Capitolo 6
Statica dei continui
unidimensionali
6.1 Richiami teorici
I fili sono un caso particolare di corpo continuo unidimensionale, in cui cioe unadimensione e prevalente rispetto alle altre. Appare giustificato descrivere, almeno inprima approssimazione corpi di questo tipo come delle curve nello spazio euclideo Esu cui vengono fatte ipotesi opportune che servono a descrivere la risposta del mezzocontinuo a sollecitazioni esterne. Queste ipotesi costitutive servono a distinguere traloro vari corpi che, geometricamente, possono essere tutti visti come delle curve. Perpoter trattare dunque i fili e le verghe euleriane, su cui questo capitolo si concentraoccorre svolgere dei richiami sulla geometria delle curve.
6.1.1 Geometria delle curve
Una curva C nello spazio euclideo e unāapplicazione continua che associa ad ogni puntot di un intervallo I ā R un punto P (t) ā E . Fissato un punto O come origine di E , lacurva C puāĆøessere descritta come
P (t)āO = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez,
dove {ex, ey, ez} e una base ortonormale dello spazio delle traslazioni associato ad E .In quel che segue supporremo sempre che la funzione t 7ā P (t) sia almeno di classe C3.Indicando con un apice ā la derivazione rispetto al parametro t, si definisce versoretangente a C in un punto P il versore
t :=P ā²(t)
|P ā²(t)| .
97
98 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
Il versore binormale b associato alla stessa curva el punto P e invece definito come
b :=P ā²ā²(t)
|P ā²ā²(t)| .
Il versore normale principale alla curva in P (t) e infine definito come
n := b ā§ t
cosicche la terna {t,n, b}, quando e definita, e una terna ortonormale positivamenteorientata, detta terna o triedro intrinseco associato a C. In generale, al cambiare delpunto P appartenente allāimmagine di C varia anche il triedro intrinseco. Per studiarela geometria di una curva e utile introdurre un particolare parametro, lāascissa dāarcos che misura la lunghezza di un arco di curva a partire da un punto di riferimentoP0 che appartiene alla sua immagine. E possibile mostrare che, quando s viene presocome parametro, il versore tangente e
t =dP (s)
ds
mentre il vettore normale principale si ottiene dalla formula di prima forumla diFrenet-Serret:
dt
ds= Īŗn, (6.1)
dove Īŗ > 0 e una funzione scalare del punto, detta curvatura della curva C in P . Laderivata prima della binormale e retta dalla terza equazione di Frenet-Serret, data da
db
ds= Ļn, (6.2)
dove lo scalare Ļ e detto torsione di C nel punto P .Infine, la variazione della normaleprincipale in termini dellāascissa curvilinea e retta dalla seconda formula di Frenet-Serret, data da
dn
ds= āĪŗtā Ļn. (6.3)
Non sempre e immediato parametrizzare una curva per mezzo della sua ascissa cur-vilinea. Occorre allora conosecere come calcolare la curvatura e la torsione di unacurva quando questāultima sia parametrizzata in termini di un generico parametro t.Si dimostra che la curvatura e data da
Īŗ =|P ā² ā§ P ā²ā²||P ā²|3 (6.4)
mentre la torsione e data da
Ļ = āPā² ā§ pā²ā² Ā· P ā²ā²ā²
|P ā² ā§ P ā²ā²| . (6.5)
6.1. RICHIAMI TEORICI 99
La curvatura di una curva indica il suo allontanamento da una linea retta, dal mo-mento che le linee rette sono le uniche curve ad avere curvatura identicamente nulla.La torsione invece indica lāallontanamento di una curva dallāessere contenuta in unpiano, dal momento che si mostra come una curva e piana se e solo se la torsione enulla in tutti i suoi punti. Osserviamo infine come il versore normale principale siadefinito in un punto solo se la tangente ha derivata non nulla in quel punto rispettoallāascissa curvilinea s. Dunque, per una retta, non e definita la normale principaleo, diversamente, ogni versore ortogonale a t puo giocare il ruolo di n. Secondo ladefinizione data in questi richiami la curvatura e sempre positiva ma occorre fare at-tenzione perche non si tratta di una convenzione seguita da tutti i testi. Similmente,la torsione Ļ e definita anche come
Ļ = ān Ā· dbds
introducendo una differenza di segno rispetto alla (6.2) che definisce Ļ come Ļ = nĀ· dbds.
In ogni punto P di una curva C sono definiti tre piani, mutuamente ortogonali. Ilpiano osculatore, che e descritto da {t,n}, il piano normale, descritto da {n, b} ed ilpiano rettificante, descritto da {t, b}. Nel piano osculatore giace il cerchio osculatorela cui circonferenza e quella che meglio approssima il comportamento della curva Cin un intorno di P rispetto a tutte le circonferenze passanti per P . Il raggio delcerchio osculatore in P e dato da
(P ) =1
Īŗ(P )
dove Īŗ(P ) e la curvatura della curva C in P . Il centro C del cerchio osculatore si trovasulla normale principale n(P ) alla curva in P , cosicche si puo scrivere
C ā P =1
Īŗ(P )n(P ). (6.6)
6.1.2 Equilibrio dei fili
I fili che considereremo sono continui unidimensionali inestendibili e perfettamenteflessibili. Inoltre essi resistono a trazione ma non a compressione. Lāinestendibilitanon riguarda solo lāimpossibilita di modificare la lunghezza complessiva del filo maanche quella di modificare localmente la lunghezza di un arco di filo, comunque piccolo.La flessibilita perfetta significa che i fili non resistono a coppie: in altre parole, none possibile applicare una coppia ad un filo e trovare una configurazione di equilibrio.Come conqeguenza di questa proprieta si ha che lo sforzo interno e diretto solo lungola direaione t tangente al filo in ogni suo punto. Lo sforzo interno Ļ (P ) nel puntogenerico P del filo e dunque puramente assiale ed e detto tensione del filo. Essoammette la rapresentazione
Ļ (P ) = Ļ(P )t(P ) (6.7)
dove Ļ(P ) e uno scalare che non cambia mai segno lungo il filo e si puo assumere comepositivo. Per evitare complicazioni ci riferiremo spesso anche a Ļ come alla tensione
100 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
del filo, anziche come al modulo della tensione del filo. Le equazioni di equilibrioindefinite dei fili si scrivono nella forma
dĻds
+ Ft = 0ĪŗĻ + Fn = 0fb = 0 ,
(6.8)
dove Īŗ e la curvatura del filo di ascissa curvilinea s ed Ft ed Fn sono le componentidelle forze attive e reattive specifiche, cioe per unita di lunghezza, agenti sul filo. Eutile distinguere in Ft la componente tangenziale ft delle sole forze specifiche attive ela componente tangenziale Ļt delle forze reattive specifiche e riscrivere (6.8) come
dĻds
+ ft + Ļt = 0ĪŗĻ + fn + Ļn = 0fb = 0 .
(6.9)
Se il filo e appoggiato su un supporto, allora in generale sia Ļt e Ļn sono non nulle.Ricordiamo che queste forze, a differenza di quelle attive, non si possono considerarecome note a priori e costituiscono unāincognita del problema. Nel caso in cui non vi eattrito, ft ā” 0 mentre in caso contrario, lāequilibrio e possibile solo se vale la seguentedisuguaglianza di Coulomb e Morin
|Ļt| ā¤ Āµ|Ļn| (6.10)
dove Āµ e un coefficiente numerico, detto coefficiente di attrito statico, che caratterizzail contatto tra i due corpi. Solitamente, Āµ ā (0, 1) ed il caso limite Āµ = 0 caratterizzalāassenza di attrito.
Quando il contatto tra filo e supporto non offre attrito e le forze attive specifichef sono deducibili da unāenergia potenziale specifica vtale dunque che
f = āāv,allora e possibile dedurre da (6.9) che il modulo della tensione Ļ soddisfa lāequazione
Ļ = v + C (6.11)
dove C e una costante di integrazione che deve essere determinata a partire dai datial contorno, cioe da come e sollecitato il filo nei punti estremi. In particolare la (6.11)si applica quando la forza attiva e quella gravitazionale.
Quando un filo non e appoggiato ad alcun supporto, ma vincolato solo agli estremi,Ļt = Ļn = 0 ma ora la forma di equiibrio del filo e incognita mentre, quando il filoe appoggiato, la sua forma di ricava dal supporto. La sollecitazione piu sempliceda considerare e quella in cui la forza attiva per unita di lunghezza ha direzionecostante. Nel caso della forza peso si ha f = āpey, dove p e il peso specifico del filoche si suppone costante. Si dimostra allora che il filo allāequilibrio si dispone in unpiano contenente ey. Se {ex, ey} e una base ortonormale del piano ed O un suo puntopreso come origine, i punti P del filo soddisfano lāequazione
y(x) =Ļ
pcosh
(
p
Ļx+ Ī²
)
ā c (6.12)
6.1. RICHIAMI TEORICI 101
dove Ī² e c sono costanti di integrazione mentre Ļ e unāaltra costante che rappresenta lacomponente costante della tensione nella direzione ex. La curva di equazione (6.12) enota come catenaria e trattandosi di un arco di coseno iperbolico, se si colloca lāorigineO nel vertice della catenaria, si puo riscrivere (6.12) come
y(x) =Ļ
p
[
cosh
(
p
Ļx
)
ā 1
]
. (6.13)
Il fatto di avere un profilo espresso da una funzione iperbolica permette di cal-colare facilmente la lunghezza ā di un arco di catenaria compreso tra due punti,rispettivamente di ascissa x0 ed x1 > x0. Infatti,
ā =
ā« x1
x0
ā
1 + sinh2(p
Ļx)dx =
Ļ
p[sinh
(
p
Ļx1
)
ā sinh(p
Ļx0 + Ī²)]. (6.14)
Infine, la curva dei ponti sospesi serve per determinare la forma secondo cui siatteggia un cavo (descritto come un filo) che sorregge un ponte omogeneo di pesospecifico P cui e sospeso per il tramite di un numero molto alto di tiranti. In effettiil ponte e una piattaforma rettangolare e vi sono due sistemi di tiranti collegati adue lati opposti del ponte e ciascuno fissato ad un cavo. Per ragioni di simmetria,si considera il profilo di uno solo dei due cavi. Se āey e la direzione della gravita elāequazione di equilibrio e riferita ad unāorigine O, dove e fissata una base ortonormale{ex, ey}, si puo mostrare che il profilo di ciascun cavo che sostiene il ponte e un arcodi parabola di equazione
y(x) =p
2Ļx2 + ax+ b (6.15)
dove Ļ e una costante che rappresenta, come gia per la catenaria, il valore costantedella componente della tensione nella direzione ex, mentre a e b sono altre due co-stanti di integrazione, da determinare grazie alle condizioni al contorno prescritte dalproblema di equilibrio.
6.1.3 Verghe euleriane
A differenza dei fili, le verghe euleriane trasmettono azioni interne piu complesse edin particolare sono in grado di trasmettere delle coppie interne. Infatti, unāipotesicostitutiva alla base della teoria delle verghe euleriane e che la coppia trasmessa e deltipo
Ī := AĻt +BĪŗb, (6.16)
dove t e b sono il versore tangente ed il versore binormale al profilo della verga, Ļe Īŗ la torsione e la curvatura della verga mentre A e B sono parametri positivi checaratterizzano il materiale di cui la verga e formata. La componente di Ī lungo t edetta momento torcentementre quella lungo la binormale b e detta momento flettente.Supponiamo che sulla verga agisca un sistema di carichi esterni avente densita linearedi forza f(s) e densita lineare di coppia g(s), entrambi immaginati come funzioni
102 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
continue del parametro dāarco s della verga sono{
Ī¦ā² + f = 0
Īā² + t ā§Ī¦ = 0(6.17)
dove Ī¦(s) indica lo sforzo interno allāasta nel punto caratterizzato dal valore s dellalunghezza dāarco. Queste equazioni generali diventano lineari nel limite di piccoledeflessioni che verra illustrato negli esercizi proposti, dove verranno sempre conside-rate situazioni in cui le verghe restanto in un piano, cosı da non dover considerare glieffetti del momento torcente.
6.2 Esercizi risolti
Esercizio 6.1 Assegnata la curva
p(t)āO = t2ex + eā2tey + sin tez
determinarne curvatura, torsione e terna intrinseca nel punto p(0) corrispondentea t = 0. Determinare il vettore posizione rispetto allāorigine del centro del cerchioosculatore alla curva in p(0).
Se deriviamo ripetutamente il vettore posizione p(t) ā O rispetto al parametro totteniamo
pā²(t) = 2tex +ā2e
ā2tey + cos tez ,
pā²ā²(t) = 2ex + 2eā2tey ā sin tez,
epā²ā²ā²(t) = 2
ā2e
ā2tey ā cos tez
che, specializzate al caso t = 0 forniscono
pā²(0) =ā2ey + ez, pā²ā²(0) = 2ex + 2ey pā²ā²ā²(0) = 2
ā2ey ā ez
da cui ricaviamo pā² ā§ pā²ā²(0) = 2(āex + ey āā2ez) e quindi, grazie alle formule che
esprimono la curvatura Īŗ e la torsione Ļ :
Īŗ(0) =4
3ā3
e Ļ(0) = ā3ā2
2.
Il versore tangente in t = 0 si ottiene normalizzando ad 1 il vettore pā²(0):
t(0) =1ā3(ā2ey + ez
mentre il versore binormale si ottiene normalizzando ad 1 il vettore pā² ā§ pā²ā²(0), otte-nendo
b(0) =1
2(āex + ey ā
ā2ez).
6.2. ESERCIZI RISOLTI 103
Il versore normale principale si ottiene osservando che la terna intrinseca {t,n, b} epositivamente orientata per cui, permutando ciclicamente i suoi elementi deve essere
n(0) = b(0) ā§ t(0) = ā3ex ā ey +ā2ez .
Il centro Cā del cerchio osculatore alla curva nel punto p(0) soddisfa la relazione
Cā ā p(0) =1
Īŗ(0)n(0) =
3
8(ā3ex ā ey +
ā2ez)
per cui il suo vettore posizione rispetto allāorigine O e
Cā āO = [Cā ā p(0)] + p(0)āO = [Cā ā p(0)] + ey =1
8(ā9ex + 5ey + 3
ā2ez)
Esercizio 6.2 Assegnata la curva
p(t)āO = 2t
t2 + 1ex + (tā 1)3ey + t(
t
2ā 1)ez
determinarne curvatura, torsione e terna intrinseca nel punto corrispondente a t = 0
Derivando ripetutamente il vettore posizione p(t)āO rispetto al parametro t, abbiamo
pā²(t) = 2
(
1ā t2
(t2 + 1)2
)
ex + 3(tā 1)2ey + (tā 1)ez ,
pā²ā² = ā4t
(
3ā t2
(t2 + 1)3
)
ex + 6(tā 1)ey + ez
e
pā²ā²ā² = ā12t4 ā 6t2 + 3
(t2 + 1)3
[
1 +3(3ā t2)
(t2 + 1)
]
ex + 6ey
e, posto t = 0, si ha
pā²(0) = 2ex + 3ey ā ez pā²ā²(0) = ā6ey + ez pā²ā²ā²(0) = ā36ex + 6ey.
Inoltre pā²(0) ā§ pā²ā²(0) = ā(3ex + 2ey + 12ez) e quindi, dalle formule generali percurvatura e torsione ricaviamo
c =
ā157
14ā14
e Ļ =96
157.
Il versore tangente corrispondente a t = 0 si ottiene normalizzando ad 1 il vettorepā²(0) ed e dunque
t(0) =1
14(2ex + 3ey ā ez).
104 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
Il versore binormale b e dato da
b =p ā§ p|p ā§ p|
e dunque, per t = 0
b(0) = ā 1ā157
[3ex + 2ey + 12ez ] :
per completare la terna intrinseca occorre trovare la normale principale servendosi delfatto che {t,n, b} formano una base ortonormale positivamente orientata, per cui
n(0) = b(0) ā§ t(0) =1
2198[ā38ex + 27ey + 5ez ].
Esercizio 6.3 In un piano verticale, un filo AB omogeneo di lunghezza ĻR/2 di pesospecifico 4p e appoggiato senza attrito su un semidisco di raggio R. Lāestremo B elibero, mentre in A e applicata una forza di intensita F , tangente al semidisco, chemantiene il filo in equilibrio in modo che il raggio OA formi con lāorizzontale unangolo Ļ
3. Determinare, in condizioni di equilibrio, lāintensita F della forza applicata
A
BF
Ļ0
O ex
ey
g
in A; il valore massimo della tensione lungo il filo; la distanza del centro di massadel filo dalla verticale passante per O;
Lāintensita F della forza e uguale alla tensione in A del filo. Dāaltra parte, su tuttii punti del filo la tensione vale
Ļ(Ļ) = 4pR sinĻ+ c
dove lāangolo Ļ ā [Ļ/3, 5Ļ/6] e contato positivamente a partire dal raggio orizzontalealla sinistra di O. Poiche lāestremo B e libero, ĻB = Ļ(5Ļ/6) = 0 e dunque
c = ā2pR .
Siccome infine ĻA = Ļ(Ļ/3) = F concludiamo che
F = 2pR(ā
3ā 1)
.
La tensione nel punto di quota massima, dove Ļ = Ļ/2, vale 2pR. Richiediamo oralāequilibrio dei momenti delle forze esterne agenti sul filo rispetto al punto O. Siccome
6.2. ESERCIZI RISOLTI 105
non vi e attrito, la reazione vincolare distribuita ha direzione radiale e dunque nongenera momento rispetto ad O. La forza F ha braccio R e dunque il suo momentorispetto ad O vale 2pR2
(ā3ā 1
)
, diretto in verso antiorario. Il peso complessivo2ĻpR del filo ha braccio pari alla distanza d richiesta e dunque la condizione diequilibrio impone
d =R
Ļ(ā3ā 1) .
Esercizio 6.4 In un piano verticale, un filo AB omogeneo di lunghezza 2ĻR e densitalineare di massa 5m/2R ha il tratto CD a contatto senza attrito con un semidisco diraggio R. Allāestremo A e posto un punto materiale di massa m, mentre B e attratto
b
C
A
D
B
O
ex
ey
g
da una molla ideale di costante elastica mg/R verso un punto fisso O posto a distanza4R da CD, sulla stessa verticale di B. In condizioni di equilibrio, determinare lalunghezza di AC, lāelongazione della molla e la tensione nel punto medio dellāarcoCD.
Spezziamo il filo in tre parti: il tratto DB, il tratto AC e lāarco CD, appoggiatosulla circonferenza. Introdotto lāangolo Ļ che il generico raggio vettore forma con ladirezione ex, la tensione lungo CD e
Ļ(Ļ) = 5mg sinĻ+ c (6.18)
dove la costante c va determinata ricorrendo alle condizioni al contorno. Osser-viamo che nei punti C e D, dove Ļ = Ļ e 0, rispettivamente, la tensione del filo e
106 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
proprio pari a c. Dāatra parte, concentrandoci sul tratto AC, abbiamo che la tensionein C deve equilibrare il peso di AC e del punto materiale collocato in A. Detta x lalunghezza di AC, abbiamo allora
c = 5mgx
R+mg. (6.19)
Dāaltra parte, dai dati del problema sappiamo anche che lāaltro tratto rettilineo BDdeve avere lunghezza ĻR ā x e che la tensione in D deve equilibrare il peso di DB ela forza elastica concentrata in B. Questāultima forza ha modulo mg
ROB = mg
R(4Rā
DB) = mgR[(4 ā Ļ)R+ x] e deve dunque valere anche la condizione
c = 5mgĻ ā 5mgx
R+mg(4ā Ļ) +
mg
Rx :
uguagliando le due espressioni ottnute per c ricaviamo
x =R
9(4Ļ + 3)
e quindi la lunghezza della molla e
OB = R
(
13
3ā 5Ļ
9
)
.
Inserendo il valore di x in (6.19) e posto Ļ = Ļ2nella equazione (6.18), otteniamo
Ļ(Ļ
2) = mg
[
6 + 5
(
4
9Ļ +
1
3
)]
.
Esercizio 6.5 In un piano verticale, un filo AB omogeneo di lunghezza opportunae appoggiato senza attrito su di un semidisco di raggio R e centro O, come indicatoin figura. Il peso per unita di lunghezza del filo e
ā6p/R. Gli estremi A e B sono
A
B
P Q
X
O
ex
ey
Ļ
g
attratti verso punti P e Q dellāorizzontale per O da molle ideali di costanti elastiche2ā3p/R e Ī³p/R, rispettivamente. Se OP = R
ā2 e OQ = 2R/
ā3, trovare il valore
di Ī³ compatibile con lāequilibrio nella configurazione descritta in figura.
6.2. ESERCIZI RISOLTI 107
Le tensioni nei punti A e B sono pari alle forze elastiche agenti su di essi e pertantodai dati del problema si ricava
ĻA =2ā3p
RR = 2
ā3p e ĻB =
Ī³pā3.
Lungo il filo e poi distribuita la forza peso per cui, detto Ļ ā [Ļ6, 3Ļ
4] lāangolo che il
raggio del generico punto X del supporto forma con ex, la tensione in tutti i puntidel filo vale
Ļ(Ļ) =ā6p sinĻ+ c :
imponiamo che ĻA = Ļ(3Ļ4) per ottenere
c = pā3
ed ora, richiedendo che ĻB = Ļ(Ļ6) si ricava
Ī³ = 3
(
1 +
ā2
2
)
.
Esercizio 6.6 In un piano verticale, un filo AB non omogeneo di lunghezza ā = ĻRe appoggiato senza attrito su di un semidisco di raggio R e centro O, come indicato infigura. Il peso per unita di lunghezza del filo e p(s) = 4ps/R2, dove s e lāascissa curvi-linea lungo AB contata a partire da A. Trovare quanto deve valere il peso di un punto
bA bO
B
P
ex
ey
Ļ g
materiale da collocare in A affinche il filo rimanga in equilibrio nella configurazionedescritta in figura.
Poiche il legame tra la lunghezza dāarco s e lāangolo Ļ ā [0, Ļ] tra OA ed il genericoraggio OP , orientato come in figura, e Ļ = s/R, possiamo scrivere lāequazione diequilibrio indefinita lungo la tangente al filo nella forma
1
R
dĻ
dĻā 4ps
R2cosĻ = 0
108 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
ovverodĻ
dĻ= 4pĻ cosĻ
da cui ricaviamo, dopo integrazione per parti,
Ļ(Ļ) = 4p(Ļ sinĻ+ cosĻ) + c.
Per determinare la costante di integrazione c, osserviamo che nellāestremo libero Bla tensione si deve annullare e dunque Ļ(Ļ) = 0, da cui otteniamo c = 4p. Poichein Ļ = 0 il valore della tensione deve coincidere con il peso del punto materiale daaggiungere in A per garantire lāequilibrio, ricaviamo
pA = 8p .
Esercizio 6.7 In un piano verticale, due fili omogenei AB e CD di ugual peso perunita di lunghezza 3p/R sono rispettivamente appoggiati senza attrito su un arco dicerchio di raggio R ed ampiezza 3Ļ/4 e su un piano inclinato di Ļ/4 sullāorizzontale.Il filo AB ha lunghezza 3ĻR/4, mentre CD ha lunghezza incognita. In A e collocato
A
PB
C
D
Ļb
O ex
ey
g
un punto materiale di peso 2p ed i due fili sono collegati in B e C con una molla idealedi costante p/R. In condizioni di equilibrio determinare: il valore della tensione nelpunto piu alto di AB; la lunghezza di CD e lāelongazione della molla.
La tensione in A e pari a 2p e dunque, introdotto lāangolo Ļ che il generico raggio OPforma con lāorizzontale, su tutto il filo si ha
Ļ(Ļ) = 3p sinĻ+ c :
siccome allāestremo A la tensione deve bilanciare il peso del punto materiale, abbiamoĻ(0) = c = 2p per cui la tensione nel punto piu alto di AB, dove Ļ = Ļ
2, vale
Ļ(Ļ
2
)
= 5p .
6.2. ESERCIZI RISOLTI 109
La tensione nel punto B, dove Ļ = 3Ļ4, deve bilanciare la forza elastica esercitata dalla
molla che vale pā/R, se con ā indichiamo la lunghezza di BC. Abbiamo allora
pā
R=
3ā2
2p+ 2p,
da cui ricaviamo
ā = R
(
3ā2
2+ 2
)
.
La tensione del filo CD si deve annullare nellāestremo libero D mentre in C valepā/R, come in B, per garantire lāequilibrio. Se usiamo la distanza s dallāestremo Dper parametrizzare il filo CD, abbiamo
Ļ(s) = 3ps
R
ā2
2
in quanto Ļ(0) = ĻD = 0. Se L e la lunghezza di CD, deve essere
Ļ(L) = 3pS
R
ā2
2= pā/R
da cui segue, sostituendo il valore di ā ottenuto poco sopra,
L = R
(
1 +2
3
ā2
)
.
Esercizio 6.8 In un piano verticale, un filo AC omogeneo di lunghezza 5ā/4 e pesoper unita di lunghezza 3p ha un tratto AB di lunghezza ā/4 appoggiato senza attritoad un segmento inclinato di Ļ/6 sullāorizzontale e lāestremo A attratto verso un puntofisso O del segmento da una molla ideale di costante elastica p.
C
A
Ļ/6
BV
O
ex
eyg
q
Il tratto BC e libero e lāestremo C e mantenuto alla stessa quota di B da una
forza f = 3pā(ā3
2ex +
1
2ey). In condizioni di equilibrio, determinare il modulo della
tensione del filo nel punto V di quota minima ed in B; lāelongazione della molla e ladistanza tra i punti B e C.
110 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
La tensione nel punto piu basso del filo, il vertice V della catenaria BC, e orizzontale
e dunque deve essere uguale alla componente orizzontale di f : ĻV = 3ā3
2pā = Ļ.
Siccome B e alla stessa quota di C, la tensione in B deve uguagliare quella in C,per la simmetria della catenaria. La tensione in C a sua volta e pari al modulo dif : ĻB = 3p. Se ā indica lāelongazione della molla OA, allora pā deve equilibrarela tensione in B e la componente lungo il piano inclinato della forza peso risultanteagente su AB. Poiche AB = ā
4ed il piano su cui si trova AB e inclinato di Ļ/6
sullāorizzontale, abbimo
pā = 3pā+3
8pā
da cui segue
ā =27
8ā .
Per trovare la distanza d = BC poniamo un riferimento {ex, ey} centrato in V ,cosicche lāequazione della catenaria e
y(x) =Ļ
3p
[
cosh
(
3p
Ļx
)
ā 1
]
.
Poiche
yā²(x) = sinh
(
3p
Ļx
)
,
nel punto C dove la pendenza della retta tangente alla catenaria e Ļ6si ha
yā²(xC) =1ā3
che coincide in modulo con yā²(xB). Se poniamo Ī· := 3pĻxC allora deve essere
eĪ· ā eāĪ·
2=
1ā3
per cui u := eĪ· risolve lāequazione di secondo grado
u2 ā 2ā3uā 1 = 0
la cui unica radice positiva e u =ā3 da cui otteniamo
xC =Ļ
3plnā3.
Si ha allorad = xC ā xB = 2xC = ā
ā3 ln
ā3 .
6.2. ESERCIZI RISOLTI 111
q
Ļ
O B
A ex
ey
Esercizio 6.9 Un filo inestendibile di densita lineare di massa 2m/R e lunghezzaĻR/2 e appoggiato senza attrito ad un quadrante di raggio R. Lāestremo A del filo efissato al bordo del quadrante, mentre lāestremo B e sollecitato da un carico concen-trato q = āĪ±mgey. Supponendo trascurabile la gravita, trovare per quali valori di Ī± ilfilo resta sempre a contatto con il quadrante se questāultimo viene messo in rotazionecon velocita angolare costante Ļ = 4
ā
g/Rey attorno allāasse OA.
In assenza di gravita, lāunica sollecitazione da considerare e la forza centrifuga, chesappiamo essere conservativa. Sia Ļ lāangolo formato con la verticale dal raggio OPcongiungente O con un punto qualsiasi P del filo. Poiche lāenergia potenziale specificain P e
v = ā16mg sin2 Ļ ,
la tensione in P e
Ļ = ā16mg sin2 Ļ+ c
con c costante da determinare imponendo la condizione al contorno Ļ(B) ā” Ļ(Ļ2) =
Ī±mg. Svolti i calcoli, si ottiene
Ļ = 16mg cos2 Ļ+ Ī±mg .
La condizione di contatto impone che la componente Ļn della reazione vincolare speci-fica lungo la normale principale n (entrante nel supporto) sia negativa. Dallāequazionedi equilibrio indefinita dei fili abbiamo
Ļn = ā Ļ
Rā fn ā¤ 0
112 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
dove fn = ā 32mRg sin2 Ļ e la proiezione lungo n della forza centrifuga per unita di
lunghezza. La condizione di contatto diventa cosı
16
Rmg cos2 Ļ+ Ī±
mg
Rā 32m
Rg sin2 Ļ = Ī±
mg
R+
16m
Rg ā 48m
Rg sin2 Ļ ā„ 0
per tutti i Ļ ā [0, Ļ2]. Pertanto, deve essere
Ī± ā„ 32 .
Esercizio 6.10 In un piano, un filo AB omogeneo di lunghezza ā e densita linearedi massa 2m/ā e vincolato allāestremo A, mentre e soggetto ad una forza verticalef = ā 1
2mgey in B, dove g ha le dimensioni di una accelerazione. Il piano che
a
f
ex
ey
A
B
contiene il filo trasla con accelerazione costante a = g2ex. Trovare lo spostamento d
di B rispetto alla verticale per A, in condizioni di equilibrio e supponendo trascurabilela gravita.
Nel riferimento non inerziale che trasla con accelerazione uniforme il filo risulta sog-getto ad una forza fittizia di densita lineare āmg
āex e dunque il profilo descritto
allāequilibrio e una catenaria con asse di simmetria parallelo allāasse ex e vertice inB. Vista la sollecitazione in B si ha Ļ = mg/2 e dunque, preso come vertice proprioil punto B, si ha
x(y) =ā
2
[
cosh
(
2y
ā
)
ā 1
]
.
Per valutare d = xA serviamoci del fatto che AB ha lunghezza ā per cui
ā« 0
yA
ā
1 + sinh2(
2y
ā
)
dy =
ā« 0
yA
cosh
(
2y
ā
)
dy =ā
2sinh
(
2yAā
)
6.2. ESERCIZI RISOLTI 113
da cui si ottiene
sinh
(
2yAā
)
= 2
da cui segue che
d = x(yA) =ā
2[ā5ā 1] .
Esercizio 6.11 In assenza di forze attive esterne, un filo AB e avvolto per il trattoAā²B attorno ad una circonferenza di raggio R ed e tenuto teso grazie alle forze ĻA =
2pex, applicata in A e ĻB = pn, con n =ā2
2(ex + ey), applicata in B. Qual
ex
ey
A
Aā²
Ļ/4
ĻB
B
ĻA
e il minimo coefficiente di attrito statico Āµ tra filo e circonferenza compatibile conlāequilibrio nelle condizioni descritte?
Detta s = RĻ lāascissa curvilinea lungo il tratto appoggiato di filo, contata a partireda Aā², le equazioni indefinite di equilibrio per un filo richiedono
{
1
RdĻdĻ
+ Ļt = 0ĻR+ Ļn = 0,
dal momento che non agiscono forze esterne. La condizione di Coulomb-Morin
garantisce lāequilibrio finche |Ļt| ā¤ Āµ|Ļn|, ovvero finche
ā£
ā£
ā£
ā£
dĻ
dĻ
ā£
ā£
ā£
ā£
ā¤ ĀµĻ .
Integrando questo sistema di disequazioni disuguaglianze differenziali ricaviamo
āĀµāĻ ā¤ lnĻBĻA
ā¤ ĀµāĻ ,
114 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
dove āĻ = 3Ļ4e lāampiezza dellāarco su cui e appoggiato il filo. Con i dati del problema
si vede che la sola disuguaglianza non banale e
Āµ ā„ 4
3Ļln 2 .
Esercizio 6.12 In un piano verticale, un filo omogeneo AD di lunghezza (5Ļ12
+ 6)Re peso per unita di lunghezza 3p/2 e appoggiato ad un sostrato formato da un arcodi cerchio di raggio R e da due segmenti rettilinei inclinati di Ļ
4e Ļ
6sullāorizzontale.
Gli appoggi sullāarco BC e sul segmento CD sono privi di attrito, mentre quello sulsegmento AB e caratterizzato da un coefficiente di attrito statico Āµ. Il punto D e
B
A
C
D
fex
ey
Ļ/4
g
Ļ/6
sollecitato da una forza f di intensita 4pR tangente al segmento CD e la lunghezzadel tratto CD e 2R. In condizioni di equilibrio determinare: il valore della tensionenel punto C; il valore della tensione nel punto di AD di quota massima; il valoreminimo di Āµ perche il filo sia in equilibrio.
Detto e il versore associato a D ā C, la tensione nel punto C si trova imponendolāequilibrio delle forze per la porzione di filo CD, nella direzione di e. Su CD agiscela tensione ĻD = f = 4pRe, la tensione in C, Ļ c = āĻCe e la proiezione della forzapeso ā3pRey, pari a
3
2pRe. Abbiamo allora
āĻC + 4pR+3
2pR = 0
e quindi
ĻC =11
2pR.
Se Ļ ā [Ļ3, 34Ļ] e il valore dellāangolo che il generico raggio OP forma con ex, la
tensione in P vale
Ļ(Ļ) = c+3
2pR sinĻ
e la costante di integrazione c si puo determinare imponendo che ĻC = Ļ(Ļ3), cosicche
c =11
2pRā 3
4
ā3pR.
6.2. ESERCIZI RISOLTI 115
La tensione nel punto di quota massima e allora
Ļ(Ļ
2) = pR
[
7ā 3
4
ā3
]
e la tensione allāestremo B vale ĻB = Ļ(34Ļ) = pR[ 11
2+ 3
4(ā2 ā
ā3)]. Passando al
tratto AB, osserviamo che la tensione in A, estremo libero, essa e nulla e che dai datidel problema, deve essereAB = 4R. La condizione di equilibrio per AB, dove agiscelāattrito e
|Ļt| ā¤ Āµ|Ļn|dove le componenti della reazione vincolare si ottengono dalle equazioni di equilibrioindefinite dei fili
dĻ
ds+ ft + Ļt = 0
eĻn + fn = 0.
In questo caso la forza attiva e la forza peso e se orientiamo il tratto AB nel versoche va da A a B abbiamo
ft = ā3ā3
4p = fn
pertanto la condizione di equilibrio diventaā£
ā£
ā£
ā£
ā£
dĻ
dsā 3
ā3
4p
ā£
ā£
ā£
ā£
ā£
ā¤ Āµ3ā3
4p
che si traduce nella coppia di disequazioni
(1ā Āµ)3ā3
4p ā¤ dĻ
dsā¤ (1 + Āµ)
3ā3
4p
che, integrate tra s = 0 ed s = 4R forniscono
3(1ā Āµ)ā3pR ā¤ pR[
11
2+
3
4(ā2ā
ā3)] ā¤ 3(1 + Āµ)
ā3pR
da cui si ottiene finalmente la condizione su Āµ
Āµ ā„ 11
12
ā2ā 3
4ā 1
8
ā6.
Esercizio 6.13 In un piano verticale, un filo omogeneo AB di massa trascurabilee lunghezza ā e appoggiato ad un profilo circolare di raggio r lungo lāarco PR =Ļ + Ļ
2; il loro reciproco contatto e caratterizzato da un coefficiente di attrito statico
1
2. Allāestremo A e appeso un corpo puntiforme di massa 2m, mentre allāestremo B
e applicata una forza di intensita f = Ī³mg. Calcolare i valori di Ī³ compatibili conlāequilibrio, quando Ļ = Ļ
6.
116 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
A
P b
Q
Ļ
C
B
f
g
Tagliando il filo in P e Q, dallāequilibrio di AP segue che la tensione in P e ĻP = 2mg,mentre dallāequilibrio di BC ricaviamo la tensione in C, ĻC = Ī³mg. Sul tratto PCvalgono le equazioni di equilibrio indefinite
dĻ
ds=
dĻ
RdĻ+Ī¦t = 0 e
Ļ
R+Ī¦n = 0 , (6.20)
dove Ī¦t e Ī¦n sono le componenti della reazione vincolare specifica lungo il filo. Larelazione di Coulomb e Morin impone
|Ī¦t| ā¤ Āµ|Ī¦n|
o, grazie alle equazioni (6.20),ā£
ā£
ā£
ā£
1
R
dĻ
dĻ
ā£
ā£
ā£
ā£
ā¤ ĀµĻ
R
da cui si ottiene, inseriti i valori di Āµ e Ļ,
eāĻ
3 ā¤ ĻPĻC
ā¤ eĻ
3
o, grazie ai valori delle tensioni in C e P
2eāĻ
3 ā¤ Ī³ ā¤ 2eĻ
3 :
la limitazione superiore indica che, se f e troppo grande, il filo non puo restare inequilibrio nella configurazione proposta perche viene trascinato via aumentando BCmentre se f e troppo piccola, il filo viene trascinato via aumentando AP .
Esercizio 6.14 In un piano verticale, un filo AC omogeneo di lunghezza opportunae peso per unita di lunghezza 2mg/R ha un tratto AB appoggiato senza attrito suun disco fisso di centro O e raggio R ed un tratto BC libero. Il tratto AB sottendeun arco di Ļ/6, mentre BC e mantenuto in equilibrio applicando in C una forza fC
6.2. ESERCIZI RISOLTI 117
AB
C
O
fC
fA
ex
ey
g
di intensitaā2Ī³mg, inclinata di Ļ/4 sullāorizzontale. Sapendo che in A agisce una
forza fA = ā14mgex, determinare, in condizioni di equilibrio, la tensione del filo nelpunto A; il valore di Ī³ compatibile con lāequilibrio e, in corrispondenza, il dislivelloāy = yC ā yB.
Il modulo della tensione in A e,
ĻA = |fA| = 14mg .
Indicato con Ļ ā [0, Ļ6] lāangolo che il generico raggio OP del supporto forma con la
verticale, la tensione lungo il tratto AB e
Ļ(Ļ) = 2mg cosĻ+ c
e sfruttando il valore della tensione in A, dove Ļ = 0, otteniamo c = 12mg per cui
Ļ(Ļ) = 2mg(cosĻ+ 6)
e pertanto ĻB = Ļ(Ļ6) = mg(12 +
ā3). Lungo il tratto BC il filo si dispone lungo
una catenaria e la componente costante della tensione nella direzione ex e pari a
Ļ = ĻB cos Ļ6= mg
ā3
2(12 +
ā3). Poiche in C la tensione coincide con |fC |, si deve
anche avere Ļ = |fC | cos Ļ4 = Ī³mg e quindi abbiamo
Ī³ = 3
(
1
2+ 2
ā3
)
.
Per trovare il dislivello āy tra B e C scriviamo lāequazione della catenaria riferendolaad assi centrati nel suo vertice, cosicche
y(x) =Ļ
p
[
cosh
(
p
Ļx
)
ā 1
]
,
dove p = 2mg/R e il peso specifico del filo. Dāaltra parte la derivata prima dellāarcodi catenaria e
yā²(x) = sinh
(
p
Ļx
)
e dunque, per la geometria del problema, abbiamo
yā²(xB) = tan5Ļ
6= ā 1ā
3= sinh
(
p
ĻxB
)
118 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
da cui segue, usando la relazione cosh2 Ī±ā sin2 Ī± = 1,
cosh
(
p
ĻxB
)
=2ā3.
Similmente si ha
yā²(xC) = tanĻ
4= 1 = sinh
(
p
ĻxC
)
e dunque
cosh
(
p
ĻxC
)
=ā2 .
Abbiamo in definitiva
āy =Ļ
p
(ā2ā 2ā
3
)
= R
[
3ā6ā 6 +
3
4
ā2ā
ā3
2
]
.
Esercizio 6.15 In un piano verticale, un filo AC omogeneo di peso specifico 3p hail tratto AB che sottende un angolo di ampiezza Ļ0 <
Ļ2a contatto senza attrito con
un semidisco di raggio R, mentre il tratto BC e libero. In A e C sono applicate dueforze orizzontali, ā2pRex e pRex, rispettivamente. Detto Ļ ā [0, Ļ0] lāangolo che
A
C
BP
Ļ
ex
eyg
la verticale forma con un raggio generico determinare, in condizioni di equilibrio, latensione in ogni punto di AB, in funzione di Ļ, il valore di Ļ0 e la lunghezza del trattolibero BC.
Preso come livello di riferimento per lāenergia potenziale gravitazionale lāorizzontalepassante per il centro del supporto, lāenergia potenziale specifica in P vale 3pR cosĻe dunque la tensione lungo lāarco appoggiato AB vale
Ļ(Ļ) = 3pR cosĻ+ c;
per trovare il valore di c osserviamo che in A, dove Ļ = 0, la tensione deve essere parial modulo 2pR della forza concentrata in quel punto per cui c = āpR e quindi
Ļ(Ļ) = pR(3 cosĻā 1) :
in paticolare, nel punto B la tensione vale ĻB = pR(3 cosĻ0 ā 1). Consideriamo oralāarco di catenariaBC ed osserviamo anzitutto che in B la retta tangente alla catenaria
6.2. ESERCIZI RISOLTI 119
deve coincidere con quella al supporto e pertanto e inclinata di Ļ0 sullāorizzontale. Ilmodulo della componente della tensione lungo ex vale allora
Ļ = ĻB cosĻ0 = pR(3 cosĻ0 ā 1) cosĻ0
e, siccome deve restare costante lungo tutto lāarco BC, deve essere anche Ļ = pR,visto che in C la tensione e diretta lungo lāorizzontale ed ha modulo pari a pR.Abbiamo allora la condizione di compatibilita su Ļ0
pR(3 cosĻ0 ā 1) cosĻ0 = pR
da cui si ottiene, come solo valore compatibile con la limitazione Ļ0 ā [0, Ļ2],
cosĻ0 =1 +
ā13
6.
Fissata lāorigine di un riferimento con assi lungo {ex, ey} in C, lāequazione dellacatenaria e
y(x) =R
3
[
cosh
(
3x
R
)
ā 1
]
e dunque
yā²(x) = sinh3x
R. (6.21)
La lunghezza dellāarco BC e
āBC =
ā«
0
xB
ā
1 + (yā²(x))2dx =
ā«
0
xB
ā
1 + sinh23x
Rdx =
ā«
0
xB
cosh3x
Rdx
dove abbiamo usato lāidentita cosh2 Ī±ā sinh2 Ī± = 1. Dunque
āBC = āR3sinh
3xBR
e, grazie allāequazione (6.21), abbiamo che
sinh3xBR
= yā²(xB).
Siccome yā²(x) e la tangente trigonometrica dellāangolo che la retta al profilo dellacatenaria forma con la direzione ex, in questo caso abbiamo yā²(xB) = tan(Ļ ā Ļ0) =ā tan0 e la lunghezza dellāarco BC e
āBC =R
3tanĻ0 =
R
3
ā1ā cos2 Ļ0cosĻ0
=
ā
32ā 2ā3
1 +ā3
.
120 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
O
A
ex
ey
xA
b
b
Esercizio 6.16 In un piano verticale, un filo omogeneo OA di peso specifico costantedescrive allāequilibrio lāarco di catenaria
y(x) =x02[cosh
(
2x
x0ā ln
ā2
)
ā cosh(lnā2)]
delimitato dallāorigine O e dal punto A di ascissa xA = x0 lnā3. Trovare lāascissa
xG del centro di massa di OA.
Oltre alla gravita applicata nel centro di massa G del filo, le altre forze esterne sonole reazioni vincolari in O ed in A il cui modulo coincide con le il valore delle tensioniin quei punti. Poiche le tensioni in O ed A sono dirette lungo le tangenti al filo inquei punti, lāequilibrio dei momenti delle forze esterne rispetto al punto P il punto diintersezione di tali rette tangenti, impone che G appartenga alla verticale per P . Perrisolvere il problema occorre trovare lāascissa xP di P . Scriviamo le equazioni dellerette tangenti al filo in O ed A. Poiche
yā²(x) = sinh
(
2x
x0ā ln
ā2
)
lāequazione della tangente in O al filo e
y = ā sinh(lnā2)x
mentre quella della tangente in A e
y =x02[cosh
(
2 lnā3ā ln
ā2)
ā cosh(lnā2)] + sinh
(
2 lnā3ā ln
ā2)
(xā x0 lnā3),
che puo essere semplificata grazie alle definizioni delle funzioni iperboliche e le pro-prieta dei logaritmi osservando che
cosh(
2 lnā3ā ln
ā2)
=11
6ā2
sinh(
2 lnā3ā ln
ā2)
=7
6ā2
6.2. ESERCIZI RISOLTI 121
e
cosh(lnā2) =
3
2ā2
sinh(lnā2) =
1
2ā2,
per cui
y =x0
6ā2+
7
6ā2(xā x0 ln
ā3) .
Intersecando le rette tangenti appena trovate si ottiene a
xP = xG =7 ln
ā3ā 1
10x0 .
Esercizio 6.17 In un piano verticale, un ponte di lunghezza 2ā e peso per unita dilunghezza p viene sospeso grazie ad un numero molto grande di tiranti ad un cavo checongiunge due punti fissi A e B aventi dislivello pari ad ā. Sapendo che allāequilibrio
A
B
ex
ey
g
il punto piu basso del cavo si trova a dislivello 2ā sotto A, trovare il rapporto tra ilmassimo ed il minimo valore della tensione nel cavo.
Se disponiamo gli assi {ex, ey} in A, il ponte sospeso deve passare per i punti A ā”(0, 0) e B ā” (2ā,āā). Dalla prima condizione otteniamo
y(x) =p
2Ļx2 + bx
mentre il passaggio per B impone il legame
2p
Ļā+ 2b+ 1 = 0 .
122 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
Un ulteriore legame tra Ļ a b si ottiene che yV = ā2ā per cui
y
(
āĻpb
)
= ā2ā
da cui si ottienep
Ļ=b2
4ā
che, messo a sistema con la relazione precedente fornisce lāequazione per b
b2 + 4b+ 2 = 0
che e risolta da b = ā2Ā±ā2 di cui occorre selezionare la radice con il doppio segno
negativo per garantire che il vertice sia interno allāintervallo delimitato da A eb B.A tal proposito, osserviamo che il vertice e interno ads AB se e solo se yā²(xB) > 0.Eseguendo una verifica diretta si osserva che solo il valore b = ā(2 +
ā2) soddisfa
a questo requisito. Per rispondere al quesito del problema osserviamo che il minimodella tensione, pari a Ļ, si ha nel vertice, mentre il massimo corrisponde al puntodove la derivata del profilo del ponte sospeso ha modulo massimo in quanto Ļ =ā
Ļ2x + Ļ2y = Ļā
1 + yā²(x)2, visto che yā²(x) e la tengente trigonometrica dellāangolo
formato dal profilo di equilibrio con lāasse delle ascisse. Dunque
=ĻAĻV
=ā
1 + yā²(xA)2 =ā
1 + b2 =
ā
7 + 4ā2 .
31 gennaio 2002
In un piano verticale, un filo di peso specifico costante p e lunghezza ĻR/2 e appog-
giato senza attrito ad un supporto formato da due quadranti aventi raggio R/2 e R.Trovare il valore dellāangolo Ļ0 in condizioni di equilibrio.
Ļ0
La tensione del tratto di filo appoggiato al quadrante di raggioR/2 e del tipo Ļ = v+c,con v energia potenziale specifica e c una costante; similmente, per il tratto restantee Ļ = v + cā. Nel punto comune dei due tratti la quota e ovviamente la stessa ele due tensioni debbono coincidere, per cui c = cā. Dāaltra parte, se Ļ1 e il valoreallāequilibrio dellāangolo formato con la verticale dal filo che giace sul supporto di
6.2. ESERCIZI RISOLTI 123
raggio R, dobbiamo avere Ļ(Ļ0) = Ļ(Ļ1) = 0, visto che agli estremi non e applicatoalcun carico. Dunque la condizione di equilibrio diventa v(Ļ0) = v(Ļ1), cioe
pR
2(1 + cosĻ0) = pR cosĻ1 (6.22)
Il vincolo sulla lunghezza del filo impone
ĻR
2=RĻ02
+RĻ1
da cui otteniamo Ļ1 = Ļ2ā Ļ0
2che permette di riscrivere (6.22) come equazione per
Ļ0
sinĻ02
= 1ā sin2Ļ02,
dove abbiamo impiegato le formule trigonometriche di duplicazione. Risolvendo que-stāultima equazione rispetto a sin Ļ0
2, ricaviamo
Ļ0 = 2 arcsin
ā5ā 1
2.
Esercizio 6.18 Un filo omogeneo AB di lunghezza ĻR2
e densita lineare di massa2pg
e appoggiato senza attrito su di un supporto semicircolare di raggio R che, a suavolta, e rigidamente collegato ad una lamina rettangolare. Il filo e vincolato in A alsupporto mentre lāestremo B e soggetto ad una forza elastica di costante Ī²p che lorichiama verso il punto O della lamina posto sulla verticale per B a distanza R daB. Se, in presenza di gravita, il sistema trasla con accelerazione costante a = ā5gex,
a
ex
eyg
O
A
B
qual e il minimo valore di Ī² compatibile con il contatto tra disco e filo?
Anzitutto, conviene mettersi nel riferimento non inerziale che trasla con lāaccelera-zione a del sistema; in tal caso, oltre alla forza peso distribuita con densita linearefp = ā2pey, occorre considerare la forza apparente, di densita fa = ā 2p
ga = 10pex
Possiamo parametrizzare la curva che descrive il filo usando lāangolo Ļ che misura lāam-piezza dellāarco compreso tra il generico punto P del filo e lāestremo B. Per calcolare
124 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
la tensione, domandiamoci se la forza atviva specifica f = fp + fa e conservativa,cioe se soddisfa lāequazione
f = 10pex ā 2pey = āāv (6.23)
per una qualche funzione v dipendente solo dalle coordinate (x, y) di P . Proiet-tando la (6.23) lungo {ex, ey}, otteniamo le che v deve soddisfare il sistema
āv
āx= ā10p e
āv
āy= 2p
e dunque, a meno di inessenziali costanti additive, essa vale
v = 2p(y ā 5x) = 2pR(sinĻā 5 cosĻ),
dove abbiamo osservato che, rispetto al centro del supporto, le coordinate di P sonox = R cosĻ e y = R sinĻ. Il valore della tensione lungo il filo e allora
Ļ(Ļ) = 2pR(sinĻā 5 cosĻ) + c
e per trovare c imponiamo che in B, dove Ļ = 0, la tensione uguagli lāintensita dellaforza elastica lı applicata. Abbiamo allora
ā10pR+ c = Ī²pR
e quindi
Ļ(Ļ) = 2pR[sinĻ+ 5(1ā cosĻ)] + Ī²pR.
In un punto come P , il versore della normale principale n al filo e diretto radialmenteal supporto, con verso entrante in questāultimo; Affinche vi sia contatto nel corsodel moto, occorre che la reazione vincolare distribuita, che ha la forma Ī¦ = Ļnn inquanto non vi sono attriti, abbia
Ļn ā¤ 0
cosicche il supporto eserciti effettivamente una forza che sostenga il filo. Per ricavareĻn ricordiamo che la proiezione dellāequazione di equilibrio indefinita dei fili lungo n
eĻ
R+ Ļn + fn = 0
dove abbiamo osservato che la curvatura del supporto, e quindi del filo, e Īŗ = 1/R,mentre dalla (6.23) abbiamo
fn = f Ā· n = 2p(sinĻā 5 cosĻ).
Dunque otteniamo la condizione di contatto
Ļn = ā Ļ
Rā fn = 2p(10 cosĻā 2 sinĻā 5)ā Ī²p ā¤ 0 āĻ ā [0,
Ļ
2] :
6.2. ESERCIZI RISOLTI 125
affinche questa disuguaglianza sia soddisfatta per tutti i valori di Ļ richiesti, occorree basta che il massimo assoluto del membro di sinistra nellāintervallo [0, Ļ
2] sia non
positivo: poiche sia cosĻ che ā sinĻ sono funzioni monotone decrescenti in questointervallo, basta chiedere che la disuguaglianza valga per Ļ = 0, ottenendo dunque
Ī² ā„ 10,
che rappresenta la condizione da imporre per garantire il contatto.
3 novembre 2006 In un piano verticale, un filo AB omogeneo di lunghezza ĻR e
densita lineare di massa 3m/R e appoggiato senza attrito su un supporto semicircolare
di raggio R che e libero di traslare lungo la direzione ey con legge oraria y(t) =
6R cosā
2gRt. Lāestremo A e fissato al supporto, mentre in B e applicata la forza
f = āĪ“mgey. Trovare il minimo valore di Ī“ compatibile con il contatto del filo con il
supporto.
y(t)
BA
ex
ey
g
f
In assenza di attrito, lāequazione di equilibrio indefinita lungo la tangente al filo e
dĻ
ds+ ft = 0.
Introduciamo lāangolo Ļ contato a partire da B cosicche si ha s = RĻ. La componentedella forza peso per unita di lunghezza lungo la tangente al filo e ā 3mg
RcosĻ mentre la
forza fittizia, di densita lineare 36mgR
cosā
2gRtey ha componente 36mg
Rcosā
2gRt cosĻ.
Dunque si ottiene
dĻ
ds=
1
r
dĻ
dĻ=
3mg
RcosĻā 36mg
Rcos
ā
2g
Rt cosĻ
che, integrata, fornisce
Ļ(Ļ) = c+ 3mg sinĻā 36mg cos
ā
2g
Rt sinĻ
126 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
dove la costante c si determina imponendo Ļ(0) = Ī“mg ottenendo infine
Ļ(Ļ) = Ī“mg + 3mg sinĻā 36mg cos
ā
2g
Rt sinĻ.
La proiezione dellāequazione di equilibrio nella direzione della normale principale alsupporto e
Ļ
R+ fn + Ļn = 0
dove ora Ļn e la componente della reazione vincolare per unita di lunghezza. Ilcontatto e garantito finche Ļn ā¤ 0 in tutti i punti del filo e ad ogni istante. Poiche
fn =3mg
RsinĻā 36
mg
Rcos
ā
2g
Rt sinĻ
la condizione di contatto e
ā6mg
RsinĻ+ 72
mg
Rcos
ā
2g
Rt sinĻā Ī“
mg
Rā¤ 0
che e soddisfatta āĻ ā [0, Ļ] e āt se e solo se
Ī“ ā„ 66.
Esercizio 6.19 Una verga euleriana OA di lunghezza ā e rigidita flessionale B =14pā3 e rettilinea nella configurazione indeformata. Lāestremo O della verga e vinco-lato a terra da un incastro scorrevole, mentre lāestremo A e vincolato da un appog-gio bilatero. Sulla verga e applicato un carico avente densita lineare f = āĪ±px
āey.
Nellāipotesi di piccole deflessioni, trovare il valore di Ī± per cui, allāequilibrio, lāestremo
ex
ey
AO
O si trova ad una quota y(0) = ā ā140
.
6.2. ESERCIZI RISOLTI 127
Introduciamo le coordinate (x, y) riferite allāorigine O, orientando i corrispondentiassi cartesiani lungo le direzioni {ex, ey} indicate in Figura. Le equazioni di equilibriodellāasta sono
{
Ī¦ā² + f = 0
Īā² + t ā§Ī¦ = 0(6.24)
dove Ī¦ e lo sforzo interno allāasta e Ī = Bcb e il momento flettente, espresso intermini della curvatura c dellāasta e del versore binormale b = ez. Nellāipotesi dipiccole deflessioni le derivate che compaiono nelle equazioni di equilibrio si possonoconsiderare effettuate rispetto alla variabile x, il versore tangente t e approssimabilecon ex e la curvatura e data da c(x) = yā²ā²(x). Le equazioni di equilibrio vannoabbinate ad opportune condizioni al contorno che tengano in considerazione il tipodi sollecitazione cui e sottoposta la verga alle estremita. Poiche in O, corrispondentead x = 0, vi e un incastro scorrevole che impedisce le rotazioni, la tangente allaverga deve essere diretta lungo ex, direzione ortogonale a quella di scorrimento delcarrello. Pertanto si ha la condizione yā²(0) = 0. Nellāestremo A, dove x = ā, il carrellobilatero non esplica momento e dunque deve annullarsi il momento flettente, cosicchec(ā) = yā²ā²(ā) = 0. Inoltre, poiche il carrello non consente traslazioni lungo ey, deveanche essere y(ā) = 0. Grazie allāespressione di f possiamo ricavare Ī¦ dalla (6.24)1come
Ī¦ =Ī±p
2āx2ey ,
dove si e osservato che la costante (vettoriale) di integrazione deve annullarsi in quantodovrebbe essere simultaneamente parallela ad ex, per tener conto della sollecitazioneindotta in x = 0 dallāincastro scorrevole e parallela ad ey per rispettare la sollecita-zione in x = ā indotta dallāappoggio bilatero. Sostituendo il valore appena trovatoper Ī¦ nella (6.24)2 ed utilizzando lāipotesi di piccole deflessioni abbiamo
14ā3yā²ā²ā² +Ī±
2āx2 = 0 ,
da risolvere con le condizioni al contorno
yā²(0) = 0y(ā) = 0yā²ā²(ā) = 0 .
(6.25)
Dopo una prima integrazione ricaviamo, grazie a (6.25)3
yā²ā²(x) = ā Ī±
84ā4(x3 ā ā3) .
Integrando ancora e tenendo conto di (6.25)1 abbiamo poi
yā²ā²(x) = ā Ī±
84ā4(x4
4ā ā3x)
ed infine, con lāausilio di (6.25)2, concludiamo che
y(x) = ā Ī±
84ā4
(
x5
20ā ā3
x2
2+
9
20ā5)
.
128 CAPITOLO 6. STATICA DEI CONTINUI UNIDIMENSIONALI
Imponendo la condizione y(0) = ā ā140
, otteniamo
Ī± =4
3.
Esercizio 6.20 Una verga euleriana rettilinea di lunghezza ā e caricata da una di-stribuzione costante di coppie con densita āpez. Lāestremo O e incastrato, mentrelāestremo B e libero. Se la rigidezza flessionale della verga (coefficiente di proporzio-
O
B
a)
t
Ļ
O
B
b)ey
ex
nalita tra curvatura e momento flettente) e A = pā2
4, qual e il profilo di equilibrio della
verga, nellāipotesi di piccole deflessioni dalla configurazione indeformata?
Sia s lāascissa curvilinea della verga, misurata partendo da O. Il versore tangente t
si esprime come
t = cosĻ(s)ex ā sinĻ(s)ey = xā²(s)ex + yā²(s)ey, (6.26)
dove le coordinate (x, y) sono riferite al punto O, come indicato nella figura b). Leequazioni di equilibrio per la verga sono
{
Ī¦ā² + f = 0
Īā² + t ā§Ī¦+ g = 0
dove Ī¦ e lo sforzo interno allāasta e Ī il momento flettente, mentre f e la densita dicarico distribuita e g la densita di coppia distribuita. Lāipotesi di verga euleriana sitraduce nella relazione
Ī = Acb (6.27)
che lega il momento flettente alla curvatura c = Ļā² della verga. Nel caso in esameb = āez , f = 0 e g = āpez e dunque le equazioni di equilibrio diventano
{
Ī¦ā² = 0
āAĻā²ā²ez + t ā§Ī¦ā pez = 0.
Dalla prima equazione segue Ī¦(s) = k = 0, visto che lāestremo B non e soggetto acarichi o coppie concentrate. Sostituendo nella seconda equazione otteniamo
Ļā²ā² = ā 4
ā2
6.3. ESERCIZI PROPOSTI 129
che, integrata due volte, fornisce
Ļ(s) = ā 2
ā2s2 + c1s+ c2
con c1 e c2 costanti di integrazione. Per determinarle, notiamo che inO vi e un incastrocompleto e dunque Ļ(0) = 0, mentre in B lāestremo e libero e dunque Ī(ā) = 0 dacui segue, in virtu di (6.27), Ļā²(ā) = 0. Imponendo queste condizioni al contornootteniamo c1 = 4
ā, c2 = 0 e dunque
Ļ(s) = ā4s
ā2(s
2ā ā).
Per risalire al profilo di equilibrio ricorriamo allāipotesi di piccole deflessioni dallaconfigurazione indeformata imponendo |Ļ(s)| āŖ 1. Riscrivendo (6.26) nellāapprossi-mazione adottata, abbiamo xā²(s) = 1 e yā²(s) = āĻ(s). In particolare, integrandoxā²(s) = 1 otteniamo x = s: possiamo cioe confondere lāascissa curvilinea s con lavariabile x. Abbiamo pertanto
yā²(s) =dy
dx= Ļ(s) = Ļ(x) = ā4x
ā2(x
2ā ā)
e, integrando,
y(x) = ā 4
ā2(x3
6ā x2ā
2) + c3.
Di nuovo, poiche lāestremo O e incastrato, y(0) = 0 e dunque
y(x) =2x2
3ā2(xā 3ā).
6.3 Esercizi proposti