T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
20
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
Penyajian SPL dalam Bentuk Grafik
SPL BENTUK MATRIKS
Strategi Menyelesaikan SPL
Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi
bentuk yang lebih sederhana.
Tiga Operasi Yang Mempertahankan Penyelesaian SPL
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
21
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol
pada suatu baris.
Contoh:
DIKETAHUI
kalikan pers (i) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke
baris (ii).
…………(i) …………(ii) …………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke
pers (iii).
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke
baris (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
22
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan
representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs
(i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)
DIKETAHUI
kalikan pers (i) dengan (-2), kemu- dian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke
baris (ii).
…………(i) …………(ii) …………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-3), kemu- dian tambahkan ke
pers (iii).
kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke
baris (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
23
Bentuk Echelon-Baris
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
24
Bentuk Umum Echelon-Baris
Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
Latihan:
Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas!
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
25
Metoda Gauss-Jordan
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris
tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
-2B1 + B2B2 B2B2
5B2+B3 B3
6 18 0 8 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1- 3- 0 2- 1- 0 0
0 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2
B3
⇄ B4 B3 B3/
3 -3B3+B2B2
2B2+B1B1
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
26
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:
Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak
penyelesaian.
Metode Substitusi Mundur
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
27
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai.
Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:
Eliminasi Gaussian
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan
substitusi mundur.
CONTOH:
Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN:
Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
28
BAB III
KEGIATAN BELAJAR 2
A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan.
Kompetensi Dasar
Memahami matematika pada materi fungsi dan limit
B. Indikator Perkuliahan
Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Fungsi
Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Limit
C. Uraian Materi
FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI
Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek x
di suatuhimpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil).
Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.
Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E.
Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil E R,
yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti
y = x2 atau f(x) = x
2, x є R.
Contoh 1.
Fungsi f(x) = x2 memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x
2. Daerah asalnya adalah
R dan daerah hasilnya adalah [0,∞).
Contoh 2.
Fungsi g(x) = 1/x memetakan setiap bilangan real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah
asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
29
Operasi pada Fungsi
Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian pada fungsi, sebagai berikut:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan
daerah asal g, yakni {x є R | x ≠ 0 }.
Contoh
jika f(x) = x2 dan g(x) = 1/x, maka f + g
adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni (f + g)(x) = x2 + 1/x.
Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yakni
f p(x) = [f(x)]
p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.
KOMPOSISI FUNGSI
Aturan fungsi komposisi
Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikut
mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan x
ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C adalah
komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.
A B C
g h
f
x
y
z
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
30
Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus
f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.
adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.
f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.
Perhatikan bahwa h g g h.
(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).
h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g
h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.
Contoh :
Misalkan dua fungsi g : R R dan h : R R, keduanya berturut-turut ditentukan oleh rumus:
g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x 2
a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.
b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.
Jawab:
a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.
(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2 = 81.
(iii) Misalkan f = h g.
f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2x + 1) 2 untuk semua x R.
Jadi Rf = {x R/ x 1}.
b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.
Berdarkan a(iii);
(2x + 1) 2 = 100
2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10
x = 421 atau x = - 5
21 .
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
31
FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut
1. Menentukan Rumus untuk cos (α ± β)
Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuk
sudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β.
AOC = α dan BOC = β.
Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan (cos β, sin β).
Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah:
AB2 = (xA – xB )
2 + (yA – yB )
2
= (cos α – cos β )2
+ (sin α – sin β)2
= cos2 α – 2cosα cos β + cos
2 β + sin
2 α – 2sinα sinβ + sin
2 β
= cos2 α + sin
2 α + cos
2 β + sin
2 β – 2cos α cos β – 2sin α sin β
= 1 + 1 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )
= 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) ........................ ( 1 )
Perhatikan AOB, AOB = α – β dengan aturan cosinus, diperoleh
AB2 = OA
2 + OB
2 – 2.OA.OB cos AOB
= 1 + 1 – 2.1.1.cos (α – β)
= 2 – 2 cos (α – β) ............................................................ ( 2 )
Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh:
2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )
-2 cos (α – β) = – 2 (cos α cos β + sin α sin β )
O
α β
A
B
C
X
Y
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
32
cos (α – β) = (cos α cos β + sin α sin β )
Dengan mengubah α + β menjadi α – (– β) diperoleh :
cos (α + β) = cos (α – (– β))
= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)
= cos α cos β – sin α sin β
Contoh:
Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini!
a. cos (2a – b)
b. cos (2p + 3q)
Jawab:
a. cos (2a – b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b
b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q
Buktikan bahwa:
a. cos(2
- A) = sin A
b. cos8
5cos
8
1 - sin
8
5sin
8
1 = 2
2
1
c. cos p2
cos p6
+ sin p2
sin p6
= 2
1
d. cos A cos A - sin A sin A = cos 2
Bukti:
a. cos(2
- A) = cos 2
. cos A + sin2
. sin A
= 0. cos A + 1 . sin A
= sin A (terbukti)
Ingat !
sin (-α ) = - sin α
cos (-α) = cos α
Jadi :
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Jadi:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
33
b. cos8
5cos
8
1 - sin
8
5sin
8
1 = cos
8
1
8
5
= cos 4
3
= 22
1 (terbukti)
c. cos p2
cos p6
+ sin p2
sin p6
= cos pp62
= cos 3
= 2
1 (terbukti)
d. cos A cos A - sin A sin A = cos { A + A }
= cos 2 (terbukti)
2. Menentukan rumus sin
Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.
sin = cos 090
= cos 090
= cos 090 cos + sin 090 sin
= sin cos + cos sin
Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin kita dapat menentukan rumus selisih dua
sudut sebagi berikut:
sin = sin
= sin cos + cos sin
Ingat !!
sin 090 = cos
cos 090 = sin
Jadi:
Sin = sin cos + cos sin
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
34
= sin cos + cos sin
= sin cos - cos sin
3. Menentukan rumus untuk tan
Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus
tan (α+β) sebagai berikut :
tan (α+β) = )cos(
)sin( =>ingat! tan α =
cos
sin
= sinsincoscos
cossincossin
=
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
=
cos
sin.
cos
sin1
cos
sin
cos
sin
= tantan1
tantan
Jadi:
sin = sin cos - cos sin
Jadi:
tan (α+β) = tantan1
tantan
Ingat: Pembilang dan penyebut
dibagi dengan cos α cosβ
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
35
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
1. Menentukan Sudut Rangkap
a. Menentukan rumus sin 2α
Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α
didapat sin 2α = sin(α + α)
= sinα cosα + cosα sinα
= 2 sinα cosα
b. Menentukan rumus cos 2α
Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α
didapat cos 2α = cos(α + α)
= cosα cosα – sinα sinα
= cos2α – sin
2α
Rumus cos 2α = cos2α – sin
2α
dapat dinyatakan dalam bentuk lain
cos 2α = cos2α – sin
2α
= cos2α – (1 – cos
2α)
= cos2α – 1 + cos
2α
= 2 cos2α – 1
Jadi:
sin 2α = 2 sinα cosα
Jadi:
cos 2α = cos2α – sin
2α
Jadi:
cos 2α = 2cos2α – 1
Ingat !!
cos2α + sin
2α = 1
sin2α = 1 – cos
2α
cos2α = 1 – sin
2α
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
36
cos 2α = cos2α – sin
2α
= (1 – sin2α )– sin
2α
= 1 – sin2α - sin
2α
= 1 – 2 sin2α
2. Identitas Trigonometri
Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama dengan
rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu identitas
trigonometri
Contoh:
Buktikan identitas berikut!
a. (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α
b. sin 3α = 3 sinα – 4 sin3 α
c. 4
4
44
costan1
sincos
Bukti:
a. (sin α + cos α)2 = sin
2 α + 2 sin α cos α + cos
2 α
= sin2 α + cos
2 α + 2sin αcos α
= 1 + sin2 α
(terbukti)
b. 3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga :
sin 3 α = sin (2 α + α)
= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α
= (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 sin2 α)sin α
= 2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin
3 α
= 2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin
3α
= 2sin α – 2 sin3 α + sin α – 2sin
3 α
= 3 sin α – 4 sin3 α
(terbukti)
Jadi:
cos 2α = 1 – 2 sin2α
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
37
c. 4
44
tan1
sincos =
)tan1)(tan1(
)sin)(cossin(cos22
2222
=
)cos
sincos(
cos
1
)sin.(cos1
2
22
2
22
=
)cos
sincos(
cos
1
sincos
2
22
2
22
=
)sin(coscos
1
sincos
22
4
22
=
4cos
1
1
= cos4 α
(terbukti)
Latihan
a. Jika sin x cos x = a untuk 0 x 4
, tentukan tan 2x.
b. Nilai maksimum dari 25cos8sin15 xx
madalah 25. Tentukan nilai m
c. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga.
Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan
d. Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 13
2, tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B.
e. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2 , tentukan nilai tan .
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
38
LIMIT FUNGSI
Konsep Limit
Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali
mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh
juga tidak
Limit fungsi di satu titik
Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke
nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan cara
memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asal
fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x
mendekati a sama dengan L, ditulis
ax
lim f(x) = L.
Dengan ungkapan lain:
axlim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| < .
Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilai
x = a tidak dipersoalkan.
Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003.
Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah
= 3
untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.
Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan ax
lim f(x) = L tidak
ada.
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
39
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
40
LIMIT SEPIHAK
Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1
Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
41
Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5
Definisi Limit Kanan
Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)
untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan εLxfδcx0δ0,εLxlimfcx
Definisi Limit Kiri
Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)
untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan εLxfδx-c0δ0,εLxlimfcx
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
42
KEKONTINUAN FUNGSI
Kekontinuan Sepihak
Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila
Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila
Kekontinuan Pada Interval
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan
kontinu kiri di b
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
43
2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh
3. Misalkan fungsi f diberikan oleh
Tunjukkan
4. Hitunglah
0x
0x,
1x
xsin
xf
12xxxf
16xf lim0,xf lim5x1x
xtan2x
xsinxlim
0x
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
44
BAB IV
KEGIATAN BELAJAR 3
A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
1. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi
2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan
masalah
3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
dan penafsirannya
B. Indikator Pembelajaran
Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang turunan fungsi
C. Uraian Materi
Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a.
Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah
diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu:
kecepatan rata-rata = diperlukanyangwaktu
ditempuhyangjarak =
waktuperubahan
jarakperubahan.
Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y = f(x), maka perbandingan di atas
menunjukkan perubahan nilai rata-rata:
perubahan nilai rata-rata = xiabelperubahan
fungsinilaiperubahan
var.
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
45
Misalkan fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f: x f(x).
Y y = f(x) Gambar di samping adalah
f(a+h) B sketsa suatu kurva y = f(x).
Titik A(a,f(a)) dan B(a+h,f(a+h))
f(a) A adalah dua titik yang terletak pada
kurva.
Apa yang terjadi jika h mendekati
O a a+h X nilai nol?
Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a x a + h, nilai
fungsi berubah dari f(a) pada x = a sampai f(a + h) pada x = a + h.
Perbandingan selisih nilai fungsi dan selisih nilai variabel merupakan perubahan rata-rata
nilai fungsi dalam interval a x a + h untuk h 0, yakni:
Perubahan rata-rata = iabelnilaiperubahan
fungsinilaiperubahan
var
= aha
afhaf
)(
)()(
= h
afhaf )()(.
Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut laju perubahan
nilai fungsi pada x = a.
Laju perubahan nilai fungsi (pada x = a) = 0
limh h
afhaf )()(.
Lambang turunan fungsi yang rumusnya f(x) di titik x = a, adalah f (a) (dibaca: f aksen a).
f (a) = 0
limh h
afhaf )()(.
Jika 0
limh h
afhaf )()( ada, maka dikatakan f terturunkan (terdiferensialkan) di a.
f (a) adalah turunan fungsi f di x = a.
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
46
Contoh :
Misalkan f(x) = 18x 2 + 19. Carilah turunan fungsi f di x = 4.
Jawab:
Turunan fungsi f(x) = 18x 2 + 19x di x = 4 adalah f (4).
f (4) = 0
limh h
fhf )4()4(
= 0
limh h
hh )4.194.18())4(19)4(18( 22
= 0
limh h
hhh )4.194.18()194.19184.2.184.18( 222
= 0
limh h
hh 218163
= 0
limh
(163 + 18h)
= 163.
Turunan dari fungsi f
Misalkan f : A R dengan A R suatu fungsi dan untuk setiap anggota A fungsi f
memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … A,
f (a) = 0
limh h
afhaf )()(, f (b) =
0limh h
bfhbf )()(, … ada nilainya;
maka dikatakan f terturunkan (diferensiable) pada A.
Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh nilai baru di bawah f . Jadi kita memperoleh
fungsi baru yang diturunkan dari f, yaitu.
f : A R dengan A R.
Fungsi f ini disebut turunan f pada A, dan ditentukan oleh rumus:
f (x) = 0
limh h
xfhxf )()(.
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
47
Contoh:
Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 .
Jawab:
Turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 adalah
f (x) = 0
limh h
xfhxf )()(
= 0
limh h
xhx 33 3)(3
= 0
limh
h
xhxhhxx 33223 3)33(3
= 0
limh
h
xhxhhxx 33223 33993
= 0
limh
h
hxhhx 322 399
= 0
limh
(9x 2 + 9xh + 3h 2 )
= 9x 2 .
Turunan Beberapa Fungsi Khusus
(1) Turunan fungsi konstan, yaitu f(x) = a, a konstanta.
f (x) = 0
limh h
xfhxf )()(
= 0
limh h
aa
= 0.
(Lihat latihan 7 nomor 1)
Jika f(x) = a, a konstanta; maka f (x) = 0.
(2) Turunan fungsi pangkat positif dari x, yaitu f(x) = x n .
Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel:
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
48
f(x) x x 2 x 3 x 4 … x n
f (x) 1 2x 3x 2 4x 3 … ……
Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu dapat
mengisi …… di bawah x n ?
Jika f(x) = x n , maka f (x) = nx 1n .
(3) Turunan f(x) = ax n dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional.
Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku:
Jika f(x) = ax n , maka f (x) = anx 1n
(4) Turunan pangkat negatif dari x, yaitu f(x) = nx
1
Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat polanya
turunannya, yaitu:
Jika f(x) = nx
1, maka f (x) = -
1nx
n.
Karena nx
1 = x n , maka pernyataan di atas setara dengan:
Jika f(x) = x n , maka f (x) = -nx )1(n .
Turunan f(x) yaitu f (x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni
f (x) = 0
limh h
xfhxf )()(.
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
49
Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan:
1. Jika fungsi f dan g keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika
ada) dari f dan g juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga
fungsi-fungsi f + g, f - g, cf, f g, dan f/g (khusus untuk f/g perlu tambahan syarat g 0)
adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I.
2. Rumus turunan f + g, f - g, cf, f g, dan f/g berturut-turut adalah:
a. (f + g) (x) = f (x) + g (x).
b. (f - g) (x) = f (x) - g (x).
c. (cf) (x) = cf (x), c konstanta.
d. (f g) (x) = f(x)g (x) + g(x) f (x)
e. (f/g) (x) = 2)]([
)(')()(')(
xg
xgxfxfxg, g(x) 0.
Notasi yang juga sering digunakan adalah:
a. Jika y = u + v, maka y = u + v .
b. Jika y = u - v, maka y = u - v .
c. Jika y = cu, maka y = c u , c konstanta.
d. Jika y = uv, maka y = uv + vu .
Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x3 – y
3 =2xy di titik (-1,1)
2. Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di sumbu
Y dan C pada kurva y = a2 – x
2. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang tersebut agar
luasnya maksimum
3. Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x
2 pada [-
2
1,2]
4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi
bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut
agar :
- jumlah seluruh luasnya minimum
- jumlah seluruh luasnya maksimum
5. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
50
BAB V
KEGIATAN BELAJAR 4
A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri yang sederhana
B. Indikator Pembelajaran
1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tak tentu
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tentu
B. Uraian Materi
Pengertian Integral
Untuk memahami pengertian operasi tentang pengintegralan, perhatikan suatu fungsi
turunan F (x) = f(x) = 2x yang dihasilkan dari berbagai dari bentuk F(x) yang mungkin. Hal ini
akan diperlihatkan pada tabel berikut.
Melalui contoh di atas jika F (x) = f(x) = 3x2, maka rumus untuk F(x) mempunyai banyak
kemungkinan, yaitu berbeda pada konstantanya, sedangkan bagian variabel x selalu berbentuk x3.
F(x) sialanPendiferen F (x) = f(x)
alanPengintegr
x3 ..…….………………..……………… 3x2
x3 - 1 ………………..………………………. 3x2
x3 + 2 ………………..………………………. 3x2
x3 + 3 ………………..………………………. 3x2
x3 + c ………………..………………………. 3x2
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
51
Oleh karena itu himpunan semua fungsi pengintegralan dari F (x) = f(x) = 3x2 dapat disajikan
dalam bentuk:
F (x) = x3 + c
dengan c adalah sebuah konstanta, di mana c R.
Integral Tak Tentu
Definisi:
Misalkan F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat F´(x) = f(x) atau F(x) dapat
didiferensialkan sehingga F′(x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai
himpunan anti-pendiferensialan (anti turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi
F΄(x) = f(x).
Operasi pengintegralan ditulis dengan notasi integral ∫. Misalkan ∫ f(x) dx adalah
pengintegralan dari fungsi f(x) terhadap variabel x. Hasil dari pengintegralan di atas adalah F(x)
+ C, di mana F(x) adalah fungsi integral umum dan F(x) bersifat F´(x) = f(x), f(x) disebut fungsi
integran, dan c konstanta real sembarang dan sering disebut konstanta pengintegralan.
Untuk lebih jelasnya kalian lihat contoh berikut!
1) 4x dx = 2x2 + c, jelas bahwa F(x) = 2x
2+c, sebab F (x) = 4x = f(x)
2) x2 dx = cx
3
1 3 , jelas bahwa F(x) = 3x3
1+ c, sebab F (x) = x
2 = f(x)
3) 3x2 dx = cx
4
3 4 , jelas bahwa F(x) = 4x4
3+c, sebab F (x)=3x
3 = f(x)
Teorema:
Jika n sembarang bilangan rasional keciali -1,
maka
c 1
x dx x
1 n n
n
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
52
f(x1)
x1
y = f(x)
f(x2)
x2
f(x3)
x3
f(xn)
xn
0 a= 0 x1 0 x2 0 x3 xn
Sifat-sifat umum integral tak tentu di bawah ini!
1. (i) cxdx
(ii) a dx ax c
2. (i) dx g(x) dx f(x) dx g(x) f(x)
(ii) dx g(x) -dx f(x) dx g(x) f(x)
3. 1- n dan rasionalbilangan n , c x
1
a dx ax 1 n n
n
Integral Tentu
Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas yang di batasi oleh kurva y
= f(x) sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b, atau dalam interval tertutup [a, b] dapat ditentukan
dengan proses limit seperti berikut.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Pada gambar di atas, luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang.
Jadi L = f(x1) . x1 + f(x2) . x2 + f(x3) . x3 + … + f(xn) . xn
Dengan menggunakan notasi sigma ( ) bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat ditulis
menjadi:
n
ii xxfL1 i
. )(
Andaikan luas daerah dibawah kurva y = f(x), di atas sumbu x, antara garis x = a dan x = b
adalah L, maka n
ii xxf1 i
. )( akan mendekati L, sehingga bisa dituliskan n
ii xxfL1 i
. )( .
L1 = f(x1) . x1
L2 = f(x2) . x2
L3 = f(x3) . x3
Ln = f(xn) . xn
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
53
Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah interval [a, b] maka
ditulis bx
xxfLa x
. )(
Bentuk penjumlahan n
ii xxf1 i
. )( disebut sebagai Jumlah Riemann.
Contoh:
Hitung
3
2
!)3( dxx
Penyelesaian:
Partisikan inteval [-2, 3] menjadi n interval bagian yang sama. Masing-masing panjangnya adalah
x = n
5.
Dalam tiap bagian interval [xi-1, xi]. Gunakan xi = xi sebagai sampel.
Diperoleh:
x0 = -2
x1 = -2 + x = -2 +n
5
x2 = -2 + 2 x = -2 +2n
5
xi = -2 + n
ixi5
2.
. ..
xn = -2 + nn
nx5
2. = 3
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
54
Jadi f(xi) = xi + 3 = 1 + i(n
5), sehingga
xx i
n
i if )(
1 = xx i
n
i if )(
1
= nn
in
i
5)
5(1
1
=
n
i
n
ii
nn 121
251
5
= 2
)1(2552
nn
nn
n
= 5 + n
11
2
25
Ingat:
f(x) = x + 3
Karena partisinya tetap, maka untuk
0x setara dengan n
Kita simpulkan bahwa
3
2
!)3( dxx = xx iixfLim )(
0
= nlim 5 +
n
11
2
25
= 2
35
3 -2
y = x+3
3
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
55
Sifat-sifat Integral tertentu
Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat
sebagai berikut ini.
(1) a
a
dxxf 0)(
(2) b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
(3) b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()( , k konstanta riil sembarang
(4) b
a
b
a
b
a
dxxgdxfdxxgxf )()()()(
(5) cbadxxfdxxfdxxf
c
b
c
a
b
a
,)()()(
(6) a) Jika f(x) > 0 dalam interval a < x < b
maka
b
a
dxxf 0)(
b) Jika f(x) < 0 dalam interval a < x < b
maka
b
a
dxxf 0)(
Latihan
1. Tentukan dxxx
xx
3 24
3
4
2
2. Tentukan dxx
xx sincos3
3. Tentukan xdx7sin
4. Tentukan 29 x
dx
5. Tentukan x
dx
sin2
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
56
BAB VI
KEGIATAN BELAJAR 5
A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda
putar
B. Indikator Pembelajaran
1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang luas daerah di bawah kurva
dan
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang volum benda putar.
B. Uraian Materi
Luas Daerah yang Di Batasi Oleh Kurva Dengan Sumbu X
Pembahasan luas daerah dibawah kurva yang telah dipelajari dalam bagian terdahulu.
Pada sub bab ini akan diawali dengan membahas luas daerah untuk kurva yang sederhana.
Perhatikan gambar berikut!
D1
0
y
y = f(x)
x = b x = a
x
(a)
D2
0
y
y = f(x)
x = b x = a
x
(b)
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
57
Pada gambar 1-6 (a) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu
dan tak negatif (f(x) > 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D1 daerah yang dibatasi oleh kurva y
= f(x), sumbu x dan garis x = a dan x = b.
Luas D1 ditentukan dengan rumus
L (D1) =
b
a
dxxf )(
Pada gambar (b) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu dan tak positif
(f(x) < 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D2 daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu
x dan garis x = a dan x = b.
Luas D2 ditentukan dengan rumus
L (D2) =
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
atau
L (D2) = b
a
dxxf )(
Contoh:
Nyatakan dengan Integral luas daerah yang diarsir berikut:
(a) (b)
y = f(x)
y
a
c b x
y = f(x)
y
a
c d
b x
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
58
Penyelesaian:
(a) c
a
b
c
dxxfdxxfL )()(
(b) c
a
b
d
d
c
dxxfdxxfdxxfL )()()(
Luas Daerah Antara Dua Kurva
Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x) merupakan
kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang di batasi oleh
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan x = b diperlihatkan pada gambar berikut :
Luas daerah ABCD = L daerah EFCD - L daerah EFBA
=
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
=
b
a
dxxgxf )()(
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan x = b ditentukan
dengan rumus :
L =
b
a
dxxgxf )()(
dengan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b
y D
y = f(x)
c
0
A
y = g(x)
B
E F
x = a x = b
x
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
59
Contoh:
Hitunglah luas daerah yang di batasi oleh kurva y = 3 + x - 2x2 dan
kurva y = -2x + 3!
Penyelesaian:
Sketsa grafik :
* Dicari titik potong kurva y = 3 + x - 2x2
dan y = -2x + 3
3 + x - 2x2 = -2x + 3
2x2 - 3x = 0
x (2x - 3) = 0
x = 0 atau x = 2
3
** Dari sketsa grafik tampak bahwa untuk 2
3,0 kurva y = 3 + x - 2x
2 berada diatas kurva y =
-2x + 3, ini berarti 3 + x - 2x2 > -2x + 3
Jadi luas L = 2
3
0
2 )32(23 dxxxx
= 2
3
0
2 32 dxxx
=
23
0
23
2
3
3
2 xx
= 02
)(3
23
3
22
233
= 8
11 satuan luas.
Pengintegralan Dengan Substitusi
y
-1 0 1 2
y = -2x+3 y = 3+x-2x
2
x
Teorema: Misalkan dengan substitusi u = g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai
turunan, dxxgxgf )(')( dapat diubah menjadi duuf )( jika F(u) adalah anti
pendiferensialan dari f(u), maka:
∫ f [g(x)]g (x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F[g(x)] + c
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
60
Untuk menyelesaikan pengintegralan dengan substitusi ini diperlukan dua langkah
sebagai berikut:
(1) Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f [g(x)]g (x) dx dapat diubah menjadi ∫ f(u) du
(2) Mencari fungsi integral umum F(u) yang bersifat F (u) = f(u)
Contoh:
Hitunglah: ∫ (4x – 3)3dx
Penyelesaian:
Pilih u = 4x – 3
du = 4 dx
4
1du = dx
Jadi dxx3
34 = duuduu 33
4
1
4
1.
= cx
cu
cu
16
)34(
1644
1 444
Latihan
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x2 di kuadran I, garis x + y = 2,
dan garis y = 4.
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang didefinisikan
f(x) = x2 + 2x – 3, x = -3, x = 1
3. Tentukan volum benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4
diputar mengelilingi sumbu Y
4. Tentukan volum benda putar yang terjadi bila daerah diantara kurva y = x2 + 1 dan
y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu X.
5. Tentukan volum benda putar daerah yang dibatasi grafik y = x , x = 4, dan sumbu
X koordinat putar terhadap garis x = -1
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
61
TES KOMPETENSI AKHIR SEMESTER
1. Draw the curve r = 8 sin
2. Prove that (1 – cos 2x)(1 + cot
2x) = 1
3. Find tx
txLim
tx
22
4. Find X1, X2 and X3 from
3X1 + 2X2 + X3 = 10
X1 + X2 + X3 = 6
2X1 + X2 + X3 = 7
5. Find dx
dyif y = (3x – 2)
2(3 – x
2)2
6. If f(x) = 2x – 5 and g(x) = 392x
a. Find (f 0 g)(x)
b. Find (f 0 g)(5)
T i m M a t d a s | h t t p : / / m a t e m a t i k a . u n n e s . a c . i d
62
Daftar Pustaka
GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising. Singapore
Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7th
edition, New York: John Wiley & Sons,
Inc.
M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar Perkuliahan.
Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES
Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 2. Grafindo Media Pratama. Bandung
Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 3. Grafindo Media Pratama. Bandung
Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University Press
Purcell, dkk. 2004. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga
Rochmad, Mulyono. 2005. Matematika Untuk Kelas XI Program Ilmu Alam (Kelas 2 SMA/MA).
Semarang: PT Bengawan Ilmu
Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jakarta: Erlangga
Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 2. Jakarta: Erlangga
Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 1.Jakarta: Erlangga.
Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 2.Jakarta: Erlangga.
Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson Blackie Ltd
London
Subanji. 2005. Matematika Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam (Kelas 3 SMA/MA). Semarang:
PT. Bengawan Ilmu