83 C A P Í T I L O I I I
SOLUCIONES SINGULAÍÍES, ECUACIONES DE PRIl-IER OIÍDEN Y G.?ADO SUPERIOR" AL SRIMERO.
ECUACIÓN DE CLAIRAUT.ECUACIÓN DE LAGRANQE.
3.1. SOLUCIONES SINGULARES
Ilustraremos lo que es una solución singular por medio del siguiente ejemplo
Ej.3.1.1.- Consideremos la familia de circunferencias representadas por la ecua
ción _ ^ ^ C ) ^ + y^ = 25
Estas circunferencias tienen sus centros
sobre la recta y = O siendo las rectas
y = 5 y y = - 5 tangentes a todas ellas
Claramente el núaero de tales circunferen
cias que pasan por un punto dado es 2
a) ceso si y es mayor que Z3 2
b) una si y es igual a Z3 2
c) dos si y es menor que 25
Cuando y = O solamente dos circunferencias tienen una tangente verti
cal única.
Busquemos la E.D. tal que la familia de circunferencias dadas sea la
solución general,para ello procedemos de la siguiente forma.
2(x - C) + 2yy' = O
de donde obtenemos yy' = -(x - C)
así que reemplazando en la Ecuación dada tenemos y^(y')^ + y^ = 25 y de aquí logramos
Es fácil ver que esta ecuación no define valores reales de y' ?=:
(y')^ = {Z3 - y^)y~^
X se 2 cumple que y es mayor que 25,define un solo valor real de y' si y
2 es igual a 25 y dos valores de y' si y es menor que 25.
Hagamos y' = p entonces el lugar .de los puntos para el cual ^2 _ (25 - y2) P - 2
y define un solo valor de p se compone de las rectas y = O,y = 5 y
y = -5.
Entonces,cabe preguntarse si estas rectas son soluciones de la E.D.
Qbtenida.Observgujios que las tres rectas anteriores tienen la forma :vy=
una constante y por tanto y'= p = O
sustituyendo en 2 _ 25 - y2 P 2
tenemos O = 0/25 si y = 5 y = -5 pero no se satisface
84
para y = 0. 2 2
Es claro que (x - C) + y = Z3
es la solución general de -, _-: 2 p2 _ zp - y P - 2
y
y que cualquier solución particular de esta E.D. es una circunferen
cia cuyo centro está sobre el eje X y de radio 5;sin embargo,las rec
tas y = 5, y = -5 no son expresables como tales a pesar de ser solu
ción de la E.D, obtenida,
Def,3,1,1,- Cualquier solución de una E.D. que no esté incluida en la solución
general es llamada solución singular.
La curva correspondiente (en el ejemplo anterior las rectas y = 5»
y = -5 )es llamada envolvente de la familia.
Ahora,se presenta el siguiente problema:Dada una E,D, como hallamos la solución
general y la singular (si existe)? Tratemos de contestar esta preg-unta mediante
un ejemplo del cual sacaremos conclusiones importantes,
Ej,3,l,2,- Hallar la solución general y singular (si existe) de la E,D. 2
xp - 2yp + 9x = O donde p = y'.
Si tratamos de despejar p observamos que aparecen radicales por tanto
despejamos y obteniendo y _ 2x + X£ y ~ 2p - 2
Derivando esta expresión con respecto a x obtenemos
p = |( ~ l ^ ' ) + (xp' + p)
por tanto P
2p = 9( ^ "2^^') + xp' + p P
° ^^^ 9p - 9xp' + xp^p' - p3 = 0
(xp' - p)p^ - 9(xp' - p) = O
(xp' - p)(p^ - 9) = O
xp = p
de donde concluímos
De
obtenemos
pero
por lo que
integrando
que
lü» y :
xp'= p
d£ _ dx P X
p = Cx
P = y'
dy = Cxdx
y = Cx^ 2
+ A
85
observe que de una E.D, de primer orden hemos obtenido una solución
que posee dos constantes arbitrarias lo cual no es posible.Entonces
si reemplazamos la expresión obtenida encontramos A en términos de
^ ^^^'- _2 2 x^ xC^x - 2(C I + A)Cx + 9x = -2ACx + 9x = O
x(9 - 2AC) = O
luego A = 9/2C
por lo que „ _ r 2. + 2_ ' y " 2 2C
También podemos eliminar p de las expresiones 2
xp - 2yp + 9x = O
p - Cx = O
además,podemos considerar las ecuaciones anteriores como ecuaciones
paramétricas de la solución.Si procedemos a eliminar p de las dos
ecuaciones anteriores tenemos
x3c^ - 2yCx + 9x = O 2 3
por tanto _ C x 9x y " 2Cx 2xC
= c¿+ ^ 2 2C
que es el mismo resultado obtenido anteriormente.
Pero p = 9 implica que p = 3 y P = -3 entonces ^ = - 3
o sea y = - 3x + B si esta ecuación la sustituímos en 2
xp - 2yp + 9x = O
tenemos ^^ _ ^^^_^^ ^ ^^ ^ +3^ + gx = í 6B = O
luego B = O
y por tanto y = - 3x
estas expresiones satisfacen la E.D» dada pero no están incluidas en
la solución general y por consiguiente son soluciones singulares.
Nota,3.1.1.- Del Algebra y Cálculo sabemos que toda ecuación polinómica F(p) =0
de grado n tiene n raíces y que toda raíz múltiple de multiplici
dad mayor que uno es también raíz de F'(p) = 0.
Recíprocamente,toda raíz de F(p) = O y F'(p) = O que sea común es
raíz múltiple de F(p) = O.
Ap3J-Cando la nota anterior a nuestro problema tenemos
f(x,y,p) = O = xp^ - 2yp + 9x
f'(x,y,p) = |^|£(x,y,p)] = O = 2px - 2y De este sistema de ecuaciones eliminamos p obteniendo
P = ^ ^ X
así que reemplazando en
86 2
xp - 2yp + 9x = O
obtenemos ^ 2-1 9x - y X = 0
lo que implica _ + :z-«.
y — — yx
que son las soluciones singulares de la E.D, dada.
De lo anterior se deduce que las condiciones para que una E.D. ten
ga soluciones singulares son: a) Que la E.D. tenga raíces múltiples
en p.
b) Que la primitiva tenga raíces múl
tiples»
Nota,3.1,2.- Observe que
1 ) Una E.D. de primer orden y primer grado no tiene so
luciones singulares.
2) Una E.D» de grado superior a uno no tiene soluciones
singulares si f(x,y,p) puede expresarse como factores que sesin lia-
neales en p y racionales en x,y.
87 EJERCICIOS 3.1.
Encontrar las soluciones singulares de las siguientes E.D. 2 y = 2px - yp 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2 2 2y = p + 4px + 2x
2 y = P ,/ / 6 7 ^ , 2
4yx = px + 4p
(p^ + l)(2y - x) = 2(x + py)y /
y = 2px + 3p /
(1 + P^)y^ - 4yp - 4x = O ^ 5 2
p- - ifxyp + 8y = 0 2 5
(xp + y) + 3x' (xp - 2y) = O y(y - 2xp)^ = 2p
8p3 - I2p^ = 27(y - x) 2/x
p = y - + a Para que valores de a esta ecuaciób tiene solución singular?
Diga si y = O es solución singular o particular de la E.D.
p^(12x) - I2yp + 4y = O
2 14) La ecuación ( l - x ) p + x y - 1 0 = 0 se satisface para y = lOx.Diga si es
ta ecuación es solución singular o particular.
EJERCICIOS 3 . 1 .
1]
z)
3)
« :
5:
6:
7:
8:
9:
10:
n: 12;
13:
14:
1 y- rc y » í v
1 y-fy ' rp
1 y--i?
1 jf«o ÍH i -hK^^-O
1 ?Y+ ^
1 3 y f x ' - o L/
> y^ = 4x + 4
4 3 > y = 0 y - 27 ^ 1 4y + x3 = 0
) hxy = -1
¿-1-
) y — - ^ ~ pr?
1 a = 0 y = 0
) s i n g u l a r
) P a r t i c u l a r .
88
3.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR AL PRII-íERO.
Estudiaremos algunos tipos de E.D. de primer orden y grado maiyor que uno,
CASO I, La E.D. puede ser resuelta en términos de y'.
Sabemos que la E.D. de primer orden tiene la forma
F(x,y,y') = O
Es posible que de esta ecuación podamos despejar y' como
y '= fj_(x,y) i = 1,2, ,n
donde n representa el grado de la E.D.
Integrando cada una de estas ecuaciones obtenemos las soluciones de la
E.D. inicial(la solución general es el conjunto de las n soluciones ob
tenidas) .En otras palabras,si tenemos
aQ(x,y)(y')''+a^(x,y)(y')^-U +a^_^ (x,y)y'+a^(x,y) = O
entonces es posible expresarla en la siguiente forma
[y'- fT(x,y)][y'- f^ (^ ,y) \ [y'- fi,(x,y)] = o
y por tanto
y'= fj_(x,y) i = 1,2, ,n
así que obtenemos n soluciones que son las que determinan la solución
general.
Lo anterior es cierto si encontramos n soluciones reales para y' pero
si al resolver la E.D. dada con respecto a y' encontramos k soluciones
reales, k vj n ,las k soluciones qñe se obtienen conforman una solución
de la E.D. dada.
Ej.3.2.1.- Resolver 2(y')^ - (x + 2)y' + x = O
La E.D. la podemos escribir como
(y')^ - ( I que podemos factorizarla así
(y')^ - ( I - i^y' + 1 = 0
iy' - i)(y' - |) = 0
y por tanto^j ^ , ^ .j
b) y' = I
de a) obtenemos y = x + C y 2
de b) y = X + A 4
Es fácil comprobar que cualquiera de estas expresiones satisfacen la
E.D. dada,por tanto el conjunto formado por las expresiones 2
y , = x + C y p = x + A ' 4
representa l a i n t e g r a l general de l a E.D. dada.
89
Nótese que la suma de y y y no es solución de la E.D. dada pues
2 y = y i + y p = x + X + B
4 dónde 3 = A + C,reemplazando en la E.D, tenemos
2( I + 1)^ - (x + 2)(| + 1) + X = (| + 1)(x + 2 - X - 2) + X
= X j O
salvo cuando x = 0,pero si x =- O entonces y = B que no satsiface la
E,D, original.
Ej,3,2.£,- Resolver (y')^ -(x + y)y'+ xy = O
Esta E.D, la podemos escribir como
(y' - x)(y' - y) = O
obteniendo , ,
a) y = X
b) y' = y
De a) concluímos que y = ~ + A
De b) y = Be^
Entonces el conjunto formado por las expresiones 2 , T3 X
y. = x_ + - Yp = Be
' 2
representa la solución general de la E,D, dada,
CASO II. La E.D, es de la forma F(y') = ©
Como trabajamos con E,D, de primer orden que tienen grado mayor que uno
entonces F(y') = O puede expresarse como un polinomio en y' lo qu« im
plica que existe una raíz k tal que y'= k (k puede ser constante real
o compleja).De y' = k obtenemos y = kx + C de doiide concluimos que
k = ^--n— por tanto
F(y') = F(k) = F( i^-^) = O
así que F( 2 - ^ ^ ) = O
X
es l a solución buscada. E j . 3 . 2 , 3 . - Resolver p^ - 169p + P + 13 = O
donde p = y ' . Esta E.D. l a podemos e s c r i b i r a s í
P'^(P^ -169) + (p +13) = (p+13) \ y i v - 13) + 13 = O o sea que
P = -13
satisface la E.D.
Luego la solución general es
( 5 L ^ )9 . T69( J L ^ )7 ^ J L ^ ) + 13 = O
90
CASO III, La B.D. es de la forma y = F(x,y')
En este caso,podemos derivarla con respecto a x obteniendo
' d^ = $£ + d^' dx h* ' ^ ' dx
^F . vE. dp , P = •^— + - ^ -T*- P = Y
^ >y 7)P dx P Oí
entonces observamos que p puede escribirse como
p = g((x,p,p')
que es una E.D. de primer orden y primer grado por tanto,si resolve
mos esta ecuación obtenemos una función
g(x,p,C) = O
Luego,para obtener la solución de la E.D, dada eliminamos p entre las
ecuaciones y = F(x,g)
g(x,p,C) = O
Si lo anterior no es posible entonces expresamos x e y separadamente
como funciones del parámetro p.
A este método muy a menudo se le conoce con el nombre de "solución de
una E.D» por derivación".
Ej.3.2,4.- Hallar las soluciones (general y singular) de 2 2
y = 5px + 5x + p P = y'
Derivando la S.D. con respecto a x obtenemos
y' = p = (5p + lOx) + (5X + 2p)p'
luego pt(5x + 2p) + 2(5x + 2p) = O
(p' + Z)i3x + 2p) = O
Sol Gral.Como p' =-2 entonces p = - 2x + C y de las ecuaciones 2x + p = C 2 2 c + P = y
eliminamos p.Esto es,sustituyendo p = -Zx + C en
obtenemos
5px + 5x + p = y
2 2 5px + 5x + p = y
y = 5(C - 2x)x + 5x + (C - Zx)
= 5Cx - lOx^ + 5x^ + C^ - ¿fCx + hx^ 2 2
= Cx - X + C
Sol Singular,Como 5x + 2p = O entonces p = -(5/2)x y reemplazando
en la S.D, original encontramos y = 5(- |i:)x + 5x^ + (- 2 "" ^
- - ¿x2 - 4""
91
CASO IV. La E.D. es de la forma x = G(y,y')
En este caso podemos derivarla con respecto a y obteniendo
dx _ iO ^ d ' dy ~ ¿y •*" *7«dy 1 = ^G + dO dE
o sea , — - -V J dp _p >y
dy = ^
dP esta ecuación puede resolverse por los métodos conocidos obteniéndose
comomsolución ,,, „, -. i-í(y»p»c) = O
Entonces si elininamos p entre esta ecuación y la original obtenemos _
la solución general.
Si lo anterior no es posible,entonces expresamos a x e y separadamente
como funciones del parámetro p.
Ej,3.2.5.- Resolver x = y + Ln(p) P = y'
Derivando la E.D. con respecto a y obtenemos dx _ i _ . . 1 d£ dy p ~ p dy
por tanto , i j i
P P dy p ^ dy
entonces ,
de donde Obtenemos y + Ln(p - 1) ± LnC
o sea p ' 1 _ e~y
C - ^
p = Ce"y + 1
eliminando p entre esta úitima ecuación y la original encontramos la
solución general que es
X = y + Ln(Ce~y + l)
CASO V. La E»D. es de la forma F(y,y') = O
Si de la expresión anterior se puede despejar y' se obtiene una ecuación
de variables separables.
Por consiguiente,son de inter&s los demás casos,
a) Si de la expresión F(y,y') = O se puede despejar y obtenemos una ex
presión de la forma _ f( *)
y por tanto podemos aplicar el CASO III así que derivando la expresión
y = f(p) con respecto a x obtenemos dz, _ df dp dx ~ P ~ dp dx
luego
92 A 1 df , dx = — ir" dp P dp -
o sea , , -^ , ' dp
= /i — y p dp
Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p por tanto
son ecuaciones paraiaétricas.
'^2»3»¿»S.- Resolver y = (y')3 - (y')^ - i
= P^ - P^ - 1
Como -^ = p entinces dx = — dy dx - p
Luego ,^2 _^ dx = ^P - ^P dp
P por lo que = fi3v - 2)dp 3 2
= ^ p - 2p + C
b) Si de la expresión F(y,y') = O no pueden despejarse ni y ni y' pe
ro estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante
algún parámetro t,digamos
y = h(t) p = j(t) P = y'
entonces dy = pdx = j(t)dx
y de otro lado dy = h'(t)dt
de modo que j(t)dx = h'(t)dt
de donde logramos dx = . f\.\' dt 3(t)
o sea ^-Ct)
^=j j r^ dt t)
Por consiguiente,obtenemos 1 a solución general de la E.D, dada
en forma paramétrica,
Ej,3.2,7.- Resolver (y^^^) + (y') ' 3
Si hacemos y = cos' t , y' = p = sen t
la E.D. se satisface entonces
dx dx -3cos^t sen t^^^ cosft ^^ 2^ ^ P 3±. 2.
• sen t sen t de donde
X = 3t + 3ctg t + C
y la solución general es
y = cos3t
X = 3t + 3ctg t + C
CASO VI. La E.D. es de la forma G(x,y') = O
Si de la expresión anterior se puede despejajr y'obtenemos una E.D, de
variables separables.
Entonces pueden ocurrir los siguientes casos
a) Si de la expresión G(x,y') = O se puede despejar x obtenemos una
93 expresión de la forma , ,,
X = g(y )
y por tanto podemos aplicar el caso IV así que derivando con respecto
a y obtenemos 1_ _ d£ dp p ~ dp dy
luego dy = p d£ dp ^
o sea ^
Obsérvese que tanto x como y están dadas en términos de p y por tanto
son ecuaciones paramétricas,
Ej.3.2.8.- Resolver x = p - p-1 p = y' 2
Como dy = pdx entonces dy = p(3p - 1)dp por tanto
y = jp(3p - l)dp
3 Las ecuaciones x = p - p - 1
y = ¿ p ^ - i p 2 + C
determinan en forma paramétrica la familia de curvas buscadas
b) Si de la expresión G(x,y') = O no puede despejarse ni x ni y' pero
estas últimas pueden expresarse en forma paramétrica mediante algún
parámetro t,se procede en forma similar a la parte b) del caso V.
94 EJERCICIOS 3<Z,
Resolver l a s s i g u i e n t e s
1 (./.
V2
"3
%
5
7
8
9
10
11
la
13
14
15
16
Í7
13
y = ( y ' ) ^ e y '
y '= e y ' y " ' <
X = L n ( y ' ) + s e n ( y ' )
X = ( y ' ) ^ - 2y ' + 2
y = y ' L n ( y ' )
)
y = ( y ' - Dey"
x( 1 + ( y ' ) 2 ) = 1
( 1 + ( y ' ) ^ ) ^ ' ^ ^ = a a c t e
y = s e n " ' ' ( y ' ) + Ln( 1 + ( y ' ) ^ )
X
y2 /5 , ( ^ , ) 2 / 5 ^ ^2 /5
y^ - ( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ = o
X = y ' + s e n ( y ' ) •>
y = y ' ( 1 + y ' c o 3 ( y ' ) ) / ""^
( y ' ) ^ - y ( y ' ) ^ - x ^ y ' + x^y = o ¿ '
( y ' ) ^ + (x + 2)ey = O
x ( y ' ) ^ - 2yy ' + x = O L-
( y ' ) ^ - 2yy' = y ^ ( e ' ' - 1) ^'
( y ' ) ^ - (2x + y ) y ' + (x^ + xy) = O ''-
19) y = 2y 'x + y ^ ( y ' ) 3
EJERCICIOS 3 . 2 .
X = e P ( p + 1) + C 2 p y = O
y = p e^ j ^
X = Ln(Ln p) + -—^ + C ^ Ln p
y = Ln p
X = Ln p + s e n p
y = C + p ( l + s e n p) + c o s p
X = p - 2p + 2 2 5 2
y = I p^ - p' ' + C
x + C= ^' I ^^ P^^
y = pLn p 1 ^ ^ (^ 2 , 1 / 2
X + C = 2 t g - ^ - Ln( ^ ^ ^^ - P ^ ) y = sen~^p + L n ( l + p^) y = O X = eP + C
p y = -1
y = (p - l ) e ^
y + C = í ( (X - x ^ ) ^ / ^ + s en ~ \ x ^ ^ ^ ) )
X = a c o s t y = C - asen-^t X = 5( ^ t g 3 t - t g t + t ) + C
5 y = a s e n t
X = - | + Ln( | - i - i ) - 2 t & ~ \
y = t ^ d - t ^ ) - 1
X = p + s en p 1 2 y + C = j p + p s e n p + c o s p
X + C = Ln p + s e n p + Í C O S p 2 y = p + p e o s p
y = 2 ¿ + C , y = - ¿ + C , y = C e ^ 2 2
(X + Z ) ' ' ^ ^ = 4 e - ( y / 3 )
C 2 1 y = 2 ^ - 2 c y = 1 ^
Ln Cy = X + 2 e ^ ^ / ^ ^ y = O
y = | - + C , y = C e ^ - x - 1
X = ^ - ¿ y ^ + x3 = O
y = O p = y t
95 3.3. LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT
Def.3.3.1.- La ecuación y ^ px + f(p)
es llamada ecuación de Clairaut donde p = y'.
Observando la ecuación vemos que si la derivamos con respecto a x
(CASO Ul) tenemos dy ^ ^ ^ df(p)^ dp ^ = p = p + ( x + , ^^ ' ) -r dx ^ ^ dp dx
luego
= p + ( X + f'(p)) ^
entonces
( X + f'(p)) = o
b) X + f'(p) = O
De a) conclxiimos que p = C y sustituyendo en la ecuación de Clai
raut tenemos ^ ^ ^^ ^^^^
que es eviaentemente la solución general,
si se cumple b) o sea __ f'(ri) - o
entonces de las ecuaciones
y = px + f(p)
O = X + f'(p)
podemos eliminar p obteniéndose así una relación entre x e y.Esta
relación es una solución de la 2,,D, de Clairaut pero ng__£Dntie&©
constantes arbitrarias y por tanto no es la solución general,De o-
tro modo,esta solución no se obtiene,en general,a partir de la so-
lución general y = Cx + f(e)
dando valores a C.Pero según lo visto anteriormente,al eliminar p
de dichas ecuaciones y obtener así una relación entre x e y,esta
solución es una solución singular de la S.D, de Clairaut,
96
EJERCICIOS 3.3.
1) Pruebe que la ecuación Zf-, ,, ^ / . -,N , n r.
^ p (3x - 1) - 3p(y + 2) + 9 = O
(ecuación de Clairaut) tiene como soluci|)n general a la expresión
2Cy + C (y - 3x) - 4 = O
y como solución singular a la expresión
y^ + 4y - 12x = O
Demuestre que también y = 3x es solución y que esta solución no está conteni
da en la solución general aunque puede obtenerse deella cuando C crece inde
finidamente , tal solución es llamada solución límite,
2) Resuelva las siguientes Ecxiaciones de Clairaut 2 2 1 / 2 — 1
a ) y = p x + 2 p - p d ) y = p x + ( l - p ) ' - pcos p
b) y = px + a^p~^ e) y = px + (p - ' [)~^^^
c) y = px + (1 + p^)^'^^ f) y = px + ap(l + v^)~^^^
3) Demostrar que la E.D. de Clairaut
y = px + ap + b P = y'
no tiene soluciones singulares.
^ERCICIOS 3 . 3 .
2 a) y = Cx + 2C -C
b) y = Cx + a^C"^
c) y = Cx + (1 + C^)^ / ^
d) y = Cx + (1 - C ^ ) ^ / ^ - Ccos"^C
e) y = Cx + (C - 1 ) " ^ / ^
(x - 1)"^ + 8y = O y
yK z a x ^
y = ( i - x ^ ) ' / ^
y = sen x y = X + 3 2~^''^3 x ^ / 3
97 3.4. LA ECUACIÓN DE LAGRANGE
Def,3,4.1,- Una E,D. de la forma ^ ^ ^ ^pj p = y'
es llamada ecuación de Lagrange,
Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Clairaut pues
el coeficiente de x es una función cualquiera de y' en lugar de ser
y'. Para encontrar su solución general la derivamos con respecto a x oüb-
tenündo p = f(p) + ( xf'(p) + g'(p) ) g
que la podemos escribir como
(p - f(p))f|- f'(p) X = g'(p)
dx _ f'iv) ^ f¡'{v) dp p - f(p) p - f(p) ¿X f'(p) X g'(p) dp f(p) - p p - f(p)
que es una E.D, Lineal de primer orden en la variable x.
Integrando ésta ecuación encontraremos
X = F(p) y como p = y' entonces dy = pdx por tanto dy = pF*(p)dp o sea
y = / S F ' ( p ) d p 2 2 /
E j , 3 . 4 . 1 . - R e s o l v e r y = -p x + p + 1
p = - p ^ + (-2px + Z v ) p '
Derivando con r e s p e c t o a x obtenemos
s impl i f i cando encontramos
1 + p = 2(1 - x ) ^ dx
esta ecuación es lineal pero además es de variables separables luego
dp _ 1_ dx 1 + p ~ 2 1 - X
C cuya solución es p = T-TT - 1
(1 - x)^/2
entonces reemplazando en la E,D, original tenemos y = -( — r/2 - D^x + ( 2—r72 - D^ - i
(1 - x)^/^ (1 - x)^/^
es la solución general.
EJERCICIOS 3.4.
1) Demuéstrese que la E,D, de Lagrange puede tener soluciones singulares de la
forma y = xf(C) + g(C) donde C es una raíz de la ecuación f(C) - C = O,
98 3 . 5 . LA E.D. DE ORDEH SUPERIOR QUE PERMITEN REDUCIR SU ORDElí
L a s E.D, de n-ésimo orden t i e n e n l a forma (n) „, , , , ( n - 1 ) ,
y ' = f ( x , y , y , y ' , ,y^ ) o b i e n „ , , , (n -1) ( n ) , ^
F ( x , y , y , y ' , ,y^ S y ^ ' ) = O
La primera de dichas ecuaciones se presenta cuando es posible despejar de la
E^D, la derivada n-ésima y la segunda cuando es imposible,o muy difícil hacerlo.
En ciertos casos,el orden de la E,D, puede ser reducido lo que permite facilitar
su integración,Señalaremos tres clases de estas ecuaciones,
a) y " = f(x) Vésase pag 17 de estas notas.
b) La E.D, no contiene la función buscada y sus derivadas hasta el orden k - 1
inclusive.
Esto quiere decir aue la E.B. es de la forma „/ (k) (k+1) (n), „ F(x,y^ ',y^ , ,y^ ') = O
En este caso,el orden de la E,D, dada puede reducirse a n-6: mediante un cam-ariables,Es (n) ^(n-k)
bio de Variables,Este cambio es y = q y por tanto y - q
L Ú ¡ ¡ ¡ " F(x,y^^\yí^^l\ ,y^^^) = O se reduce a Q(x,q,q', ,q ~ ^) = O
De esta ecuación encontramos su solución general que contendrá n-k constan
tes arbitrarias y que será de la forma
Q(x,C^,C2, ,C^_^) = q
y hallamos la función buscada y aplicando el caso a),En otras palabras,como
y^^^= q entonces y^^^= Q(x, 0 ,02» »^n-k^
así que integrando k veces obtenemos la función buscada.
En particular,si la E.D, es de segundo orden y ésta no contiene a y entonces
la sustitución y'= p nos conduce a una E.D, de primer orden,
Ej.3.5.1.- Resolver d ^ _ 1 d/^ _ Q
dx^ ^ dx^
Hagamos q = d% entonces la E.D. se convierte en
dx^
t - i ^ - ° que es de variables separables asi que integrando obtenemos
q = Cx
luego ¿!f = Cx
dx"
integrando cuatro veces logramos la solución general que es
y = (C/5!)x^ + (A/if!)x + (B/3!)x3 + (D/2!)x^ + Ex + F
c) La E.D. no contiene a la variable independiente.O sea que es de la forma
F(y,y',y':,,. ,. _,_,. , ,_y ^ jL = _Q_
99
Haciendo y'= p la E.D» dada se reduce en su orden en una unidad.
En este caso se considrra p como una función en términos de y por eso todas (k) las derivadas ( y ) deben expresarse en términos de las derivadas de la
nueva función p con respecto a y así: d 2 : _ ix ,2
dx = P
d_y.= d£^d£d2: ^ d £ ^ 2 . dx dy dx - dy
y asi sucesivamente las que siguen.
Particularmente,si la E.D. es de segundo orden y no contiene la variable in
dependiente entonces la sustitución de la variable anteriormente señalada nos
conduce a una E.D. de primer orden 2
Ej.3.5.2.- Resolver d y _ . dy .:_ _
dx^
Z dx
dy 2 Sea p = •^ entonces d y _ d£ _ d£ d^ _ dg
- 2 ~ dx ~ dy dx ~ Pdy
reemplazando en la E.D, tenemos
dp 2 „
py d^ - p = 0
P(y i^ - p) = o entonces , ^ -, £ -, • r. n .
a) p = O lo que ímplxca que y = C C cte y-r - T) = O o sea -^ = -* cuya solución es dy - P y p = C^ pero p = y' por lo que •^ = Cdx que tiene
Cx por solución a la expresión y = Ae
100
EJERCICIO^ ^ . 5 ,
Resolver l a s s i g u i e n t e s E,D,
y
. 8
9
10
1 1
.12
15
y " ' = xLn X s i y(1 ) = y ' ( 1 ) = y " ( l ) = o
y ' " = : X + cos X , /
( y " ) ^ - 5y ' + 6 = o
(1 + x ^ ) y " + ( y ' ) ^ + J = 0
( y " ) ^ - 2 y " y ' •*-3 = O
x y " = y ' L n ( | )
yr 'C 1 + 2Ln y ' ) = 1 ^
Cy")^ - y ' y ' " = ( J^ )^ X
y " ( y ' + 2)ey' = 1
y " = ( 1 + (y ' ) ^ ) ^ / ^
y " = y 'Ln y ' s i y(o) = 0 y ' ( o ) = 1
(1 - x 2 ) ^ / ^ y " + ( 1 - { y ' ) W ^ ^ = O
y " ' = 3y y ' s i y(o) = y ' ( o ) = 1 , y " ( o ) = Z/3
EJERCICIOS 3 .3*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
.12
13
1 y = -TT- Ln X -
24 .4
x^ + ^ ^ - ^ + 1 -288 8 9 32
'3 X ' 2
y = 2zJ' ~ ^®^ X + C x^ + C X + c
y + C2 = | ( x + C^) + ^ x + C^)3
y = (1 + C^)Ln(x + C^) - e^x + c
un z + *—T-
t = y "
X + C = ¿ Ln t + ¿ - ^
4 t
y ^ ^2 = 4 ^ - ^
y = (c^x - ef) e^^'/c^^ ^ 1 '1
X + C2 = z (.2Ln z - 1 )
y + C, Z^
z Ln z z = y-
y = C , ( x e ^ l ' ' - C, e^l"") + C, '1
X + C2 = e^(z + 1)
y + C ZZ z^e^ y
y = cosh(x + 0^) + C
y = X
y = C2- 1(1 - C f ) l / V + i c ^ x d - x 2 ) l / 2 , i c ^ s e n - l
r2
X
y = A (x - 2) '