ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales
2do Parcial (3ra versión)
• Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares • Transformada de Laplace • Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace • Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales • Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden • Series de Fourier • Ecuaciones en Derivadas Parciales
Roberto Cabrera V. [email protected]
06/02/2009
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales II Parcial
i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares: Ø Método de Frobenius
ii. Transformada de Laplace:
Ø Teoremas Ø Transformada de Laplace de algunas funciones Ø Transformada inversa de Laplace
iii. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace: Ø Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes Ø Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables Ø Ecuaciones integro diferenciales
iv. Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales:
Ø Método de Eliminación Ø Método de los operadores diferenciales Ø Método de Laplace Ø Método de los valores y vectores propios.
v. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden:
Ø Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador Ø Aplicaciones de circuitos eléctricos
vi. Series de Fourier
Ø Definición de la serie de Fourier Ø Serie de Fourier de una función par e impar Ø Convergencia de una serie de Fourier Ø Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier
vii. Problema de la ecuación del calor
viii. Anexos:
Ø Problemas propuestos Ø Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones Ø Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 3 -
Método de Frobenius
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial:
, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda solución linealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental. Asumiendo la solución alrededor del punto , se tiene que verificar que clase de punto es, en este caso , entonces , por lo tanto es un punto singular. Lugo se verifica si es singular regular.
i) (existe)
ii) (existe)
Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular. La fórmula de la ecuación indicial indica:
, se obtiene que: Las raíces de la ecuación indicial son: , y . Asumiendo la solución como:
Obteniendo la 1ra y 2da derivada:
Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial se obtiene:
Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:
Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a , haciendo un cambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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La nueva ecuación queda así:
Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a . Luego se desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:
Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:
Igualmente los coeficientes de
Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.
En este caso si puede ser igual a cero. La ecuación de recurrencia es:
Despejando el valor de , se obtiene la fórmula de recurrencia general:
Reemplazando la raíz mayor , se obtiene la fórmula de recurrencia particular para la primera solución:
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 5 -
Entonces la primera solución es, para el varlo de r=0:
Reemplazando los coeficientes en la solución
Por lo tanto , lo podemos encontrar de la siguiente forma:
=
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 6 -
2) Resuelva:
• ( ) 0,033 02
2
22 ==+−+ xdealrededory
dxdy
xxdxyd
x
singular es ,0)()( 02 ====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]
( )( )[ ] ( )( )
( )( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
−−
++−+=
∴
−−
+++−=
=
−++−=
−=
==∫
=∫
=
=∴
+−+−=⇒−=−=→=
=−=→=
−=−=→=
=
=≥−
−=→=≥−=→=
≥−+
−=→=−++−+−+
=−==→=−−→=−−
=−++−+−++−−
=−++−+−+
=++−+−+
=++−++−++
=++−+−++
∑
∑
∫ ∑∫∑
∫∫∫∫
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−−
−−
∞+
=
−−
−−
∞+
=
−−−−−
∞+
=
−−
−−
−−
−
−−
−−
−
−−
−−
∞+
=
+−
∞+
=
+−
∞+
=
+
∞+
=
++∞+
=
+
∞+
=
+∞+
=
+∞+
=
++∞+
=
+
+∞
=
++∞
=
−++∞
=
−+
3
21
231
2
3
21
23
3
31233
0
33
2
33
26
33
26
31
32
1
)(
12
301
323
0102
3
012
001
12
11
11
21210
110
11
0
0
1
0
000
1
0
00
12
0
22
2!1
22ln
2!1
2ln
2
!1
2!1
...!3!2!1
1!33
3
!222
!111
3
1;2
11;3
1;3
0113
13013013
011313
0113
013
0331
0331
n
nnx
n
nnx
n
nnx
n
nnx
xx
x
xx
x
dxx
xdxxp
x
1
nn
nn
nnnn
n
rnnn
r
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
nnx
xx
exxy
xy
nnxx
xx
ex
dxnxx
xxexdxnx
exxy
dxxe
exdxexex
exdxex
eexdx
y
eyxy
exCxyxxx
xCxyCC
Cn
CCCn
CCCn
r utilizando será soluciónprimera la
2n para definida esta no nnC
CrnnC
Cr
nrnC
CCrnCrnrn
enterorrrrrrCrr
xCrnCrnrnxCrr
xrnCxCrnrn
xrnCxCrnrn
xCxrnCxrnCxrnrnC
xCxrnCxxxrnrnCx
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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3) Resuelva la siguiente ecuación difrencial alrededor del punto 0x0 =
• ( ) ( ) 1132
22 =+−+− y
dxdy
xdxyd
xx
singular es ,0)()( 02 ====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )[ ] ( )
[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( )
( ) [ ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
11ln
11
)(
11ln
11
ln)(
111
11)(
lnln11ln1)(
1
1
11
1
ln
1
11ln
11
)(
1ln
11
)(
1ln1
11
11
11
11
1
11
...13
2
1
0
0;0
0;1
1311131
00
01131
01131
0131
0311
0131
21
2211
2
21
2
2
22
1
2
22
2211
21
122
21
22
13
21
)(
12
01320
0103
02
01
11
2112
2102
01
20
2
11
2
0
0
12
0
00
1
00
1
0
00
1
0
22
2
−+
−+
−=
−=
−−
−
+−=+=
−=−=−
−
−==
+−==−
−
−−=−=
−=
−−
−−
−−=→+=
−+
−=
−=→
−=
−
−−
=∫
−=
∫=
−=∴++++=⇒=→=
=→=
=→=
=
≥=→=
≥++
+++−++=→++−+++−++
==→=−
=++−+++−+++−
=++−+++−++
=+−+++−++
=++−++−++−−++
=++−+−++−
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑
−−−
−−−
+
++
∞+
=
++
∞+
−=
++
∞+
=
+
∞+
=
−+∞+
=
+
∞+
=
+∞+
=
−+∞+
=
+∞+
=
−+∞+
=
+
+∞
=
++∞
=
−++∞
=
−+
xx
xx
kx
kxy
xx
xx
xx
xxxyuyuxy
xdxdxxxxxx
dxWyxg
u
xxxdxxdxxxxx
xxdx
Wyxg
u
xxxxx
x
x
xx
xWyuyuxy
xx
kx
kxy
xx
Cxydxxx
dx
x
xxx
dxex
ex
dxy
eyxy
xCxyxxxxCxyCCn
CCn
CCn
r utilizando será soluciónprimera la
nCCr
nrn
CrnrnrnCCrnCrnrnrn
rrCr
xCrnCrnrnrnxCr
xCrnxCrnrnrn
xCrnxCrnrnrn
xCxrnCxrnCxrnrnCxrnrnC
xCxrnCxxrnrnCxx
p
p
h
x
dxxx
xdxxp
1
nn
nnnn
n
rnnn
r
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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Transformada de Laplace Halle:
• ( ) ( ){ }ttsenteL t 2cos24364 35 +−+ Por la propiedad de linealidad tenemos que:
( ) ( ){ }( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }
{ } { } ( ){ } ( ){ }
42
161236
54
42
164
3!3
65
14
2cos24364
2cos243642cos24364
2cos24364
224
224
35
3535
35
++
+−+
−=
++
+−+
−=
+−+=
+−++=+−+
+−+
ss
sss
ss
sss
tLtsenLtLeL
tLtsenLtLeLttsenteL
ttsenteL
t
tt
t
Halle
• ( ) ( ){ }teetL tt 2cosh2 42 −++ Por la propiedad de linealidad tenemos que: ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }teLeLteLetL
teLeLteLetL
teLettL
teLetLteetL
teetL
tttt
tttt
tt
tttt
tt
2cosh44
2cosh44
2cosh44
2cosh22cosh2
2cosh2
42
42
42
4242
42
−
−
−
−−
−
+++=
+++=
+++=
++=++
++
Aplicando el primer teorema de la traslación: { } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )621
20219295
44
41
14
1
14
1
!22cosh44
2cosh44
3
234
22342
42
++−
+−++=
−+
++
−+
−+
−=+++
+++
−
−
sss
ssss
s
ssss
teLeLteLetL
teLeLteLetL
tttt
tttt
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 9 -
Demuestre: • Demuestre el primer teorema de la traslación
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )asFsFdttfe
ass sidttfe
dttfeetfeL :Entonces
sFdttfetfLTenemos
asFtfeL entoncessFtfL Si
ts
tas
atstat
st
at
−===
−=→=
=
==
−==
∫
∫
∫
∫
∞−
∞−−
∞−
∞−
0
0
0
0
:
,
Halle:
• ( ) ( ){ }ttsenhL cos23 Por la propiedad de linealidad tenemos que:
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]teLteLteLteL
teLteLteLteL
teeeeL
tee
LttsenhL
ttsenhL
tttt
tttt
tttt
tt
coscos3cos3cos81
coscos3cos3cos81
cos3381
cos2
cos2
cos2
6226
6226
6226
3223
3
−−
−−
−−
−
−+−=
−++−+=
−+−=
−=
Aplicando el primer teorema de la traslación:
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( )3712545437121854648
16
6
12
23
12
23
16
681
coscos3cos3cos81
2222
24
2222
6226
+++++−+−+−
=
++
+−
++
++
+−
−−
+−
−=
−+− −−
ssssssssss
s
s
s
s
s
s
s
s
teLteLteLteL tttt
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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• Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f(0)-sF(s)
lexponencia orden de es tf que asumiendo Pfe pero
Pfefdttfes
dttfesfPfe
dttfesetfdttfe
tfvdttfdv
dte-sdu eu :partes por Integrando
dttfedttfetf'LTenemos
fssFtf'L entoncessFtfL Si
sP
P
sP
P
st
PstsP
P
PstPst
P
Pst
P
st-st
Pst
P
st
=
=
+−=
+−=
+=
=→=
=→=
==
−==
−
∞→
−
∞→
∞−
−−
∞→
−−
∞→
−
∞→
−
−
∞→
∞−
∫
∫
∫∫
∫∫
0lim
lim0
0lim
lim'lim
'
'lim':
0,
0
0
00
0
00
• Encuentre la transformada de la función tf(t)
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ]
( ){ } ( )sFdsd
ttfL
dtttfe
dttfte
dttfes
dttfedsd
sFdsd
:tenemos igualdad la de lados ambos Derivando
sFdttfetfLTenemos
sFdsd
ttfL entoncessFtfL Si
st
st
st
st
st
−=→
−=
−=
∂∂
=
=
==
−==
∫
∫
∫
∫
∫
∞−
∞−
∞−
∞−
∞−
0
0
0
0
0
:
,
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 11 -
• ( ){ }attL cos2 Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:
( ){ }( ){ } ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )( )322
22
222
2222222
222
22
222
2
2
222
2
32
222
)(1cos
cos
as
ass
as
sasasass
as
sadsd
ass
dsd
sFdsd
attL
attL
+
−=
+
−+−+−=
+
−=
+
=
−=
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Halle:
• ( )
t
tL
cos
Usando la propiedad de la transformada de la derivada
( )
( ) ( ) ( )
{ } ( )( ) ( ){ }
( ) ( ){ }( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) s
21
s
23
s
23
23
n
nn
es
e2s
st
tL
e2s
sss2s
sssstsenL
tttt
tttttsen
nt
t senque sabemospotencias de seriePor
t sende datransforma la Encuentro
tsenLst
tL
tsensLt
tL
fssFtfL
0f(0) además t
t(t)f' entonces ,tsentf Si
t
tL
41
41
41
3
2
2
2
2
29
27
25
23
27
25
23
21753
0
212
2cos
...!3
21
!22
1
21
1
....!7
29
!5
27
!3
25
23
....!7!5!3
....!7!5!3
!121
2cos
2
cos
)0()('
,2
cos
cos
−−
−
∞+
=
+
==
=
+−+
−=
+Γ
−Γ
+Γ
−Γ
=
+−+−=+−+−=
+−
=
=
=
−=
===
∑
ππ
π
π
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- 13 -
• Encuentre la transformada de la integral de f(t)
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( )ssF
stfL
duufL
:que tenemos Despejando
duufLstfL
gtgLstgL
:que sabemosEntonces
0g(0)y f(t)(t)g' entonces ,duuftg Si
ssF
duufL entoncessFtfL Si
t
t
t
t
==
=
−=
===
=
=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
0
)0('
,
• Encuentre la transformada f(t)/t
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ } { }
{ } { }
{ } ( ) ( )
( ) ( )∫
∫∫
∫
∞
∞
∞
∞
=
=−=
−=
=
==
=
=
s
s
s
s
duufttf
L
duufduuf (t)gL
:que tenemos lados ambos Integrando
(t)gLdsd
(t)fL
g(t)tL(t)fL
:que sabemosEntonces
g(t)t(t)f entonces ,ttf
tg Si
duuFttf
L entoncessFtfL Si ,
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Halle:
• ( )
∫ − θθθ
θ dseneteLt
t
0
44 31
( )
( ){ } ( )
( )
( ){ }
( ) ( )
( ){ }( ){ }
( )
( ){ } ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222
0
44
222
2
224
4
4
0
4
0
4
4
0
44
43
arctan
254844
3
4243
1
34
arctan
2583
234
arctan2
1)(
34
arctan2
1)(
34
arctan23
4arctan
2583
)(
2583
94
33)(
3)(
)(
31
)(,)(
31
)(
,31
4
31
−
−+−+−−
+−
=−=
+
−++
+=
+−−==
+−==
+−=
+=
++==
=
++=
++==
=
=
=
==
=
−=
−=
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
−
∞∞∞
−
−
∞
−−
−
−
s
s
sssssGdseneteL
s
s
sssss
sdsd
thtLsG
sss
sMH(s)
sudu
uuduuX
)x(LM(s)
uuuseneLuX
:es traslación de teorema primer el por que seneLuX
duuX)x(
L M(s)hallamos donde De
seneLsM sissM
dseneLH(s) Encuentro
sHdsd
thtL
:que sabemosdatransforma la de derivada la de teorema el por
dsenetL es que G(s) encontrar Debo
sGtgeL
:que tenemos traslación la de teorema primer el Por
dseneteL
tt
sss
s
t
t
t
tt
πθθθ
ππ
π
πθθ
θ
θ
θθ
θθ
θθθ
θθθ
θθθ
θ
θ
θ
θθ
θ
θ
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- 15 -
• Demuestre el segundo teorema de la traslación
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
sFeduufeeatfa-tL
duufeatfa-tL
uty 0uat Cuando
dudty a-tuaut Si
dtatfeatfa-tL :Entonces
dtatfa-teatfa-tLTenemos
sFeatfa-tL entoncessFtfL Si
assuas
aus
a
st
st
as
−∞
−−
∞+−
∞−
∞−
−
==−
=−
∞=→∞==→=
==→+=
−=−
−=−
=−=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
:
,
µ
µ
µ
µµ
µ
• Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,02212;0
122;2=
+<<+
+<<=−
nntn
ntnetft
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( )
( )
{ }
+
+=
+=
+=
+=
−=
−+−+−=−+−+−=
−+−+−=
+=
−+−+−=
+
+
∞+
=
−−−−−−−−
−
∑
1212
1
111
1111)(
...11
...1
)(
...)(21
....
21
21
0
432432
543210
5432102
s
s
s
s
sn
n
s
ssssssss
t
es
esGf(t)L
ese
eses
sG
eeeess
ese
se
se
ssG
ttttttLsG
sGf(t)L que tenemos traslación la de teorema primer el Por
ttttttetf
µµµµµµ
µµµµµµ
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 16 -
• ( ) ( ) ( )
+ tttsen
ttsenL δµπ3
)(4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 31
1223
)(
3)3(13
lim3
11
22
11
122
)(4
)(4
cos22
)(44
cos22
44cos
22
4cos
444cos
44
)()(4
3)(
3)(
3)(
24
4
0
0
24
224
444
4
4
44
4
+
++
=
+
===
++
=
+
++
=
−+
−=
−+
−
−+
−=
−+
−=
+−
=
−
+
=
+
+
−
→
−
−−
−
ss
etttsen
ttsenL
ttsen
etttsen
L
:impulso función la utilizo datransforma segundala araPss
ess
se
ttsenLttLttsentL
tsenttsensenttsen
: escalón al multiplica que función la desplazar debo Pero
sFettfL
:traslación la de teorema segundoel utilizo datransforma primera la araP
tttsen
LttsenLtttsen
ttsenL
tttsen
ttsenL
s
t
s
ss
s
π
π
ππ
πππ
π
π
ππ
π
δµ
δ
µπµπµππ
ππππππππ
µπ
δµδµ
δµ
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 17 -
• Encuentre la transformada de la siguiente gráfica
Tenemos que encontrar la transformada de una función periódica:
( )
( ){ }
( ){ }
( )( ) ( )
( )
( ){ } ( )
( ){ } ( )( )111
11
11
1)cos()(
11
:Re1
)cos()()(
)cos()()(1
)()()cos()(
)()cos(
)cos()cos()(
)cos()(
)(1
1
)(1
1
20
0)(
222
0
22
2
2
02
2
02
+−=
++
−=
+−−
−=
+−−
=
−−=+
+−−=
=→=
−=→=
−−=
−=→=
−=→=
−=
−=
<<
<<=
−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−−
−−
∫
∫∫∫
∫∫
∫
∫
sese
etgL
sttsense
etgL
emplazandos
ttsensedttsene
ttsensedttsenes
dttsenestsenesetdttsene
tsenvdttdv
esdueu :partes por Integro
dttesetdttsene
tvdttsendv
esdueu :partes por Integro
dttsenee
tgL
dttgee
tgL
2 periodo con enteperiodicam extendida t
ttsentg
s
s
s
st
s
stst
st-st
st-st-st-st
st-st-
st-st-st
st-st-
sts
sts
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππππ
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 18 -
• Demuestre el teorema de la convolución
{ } { } { }
{ } { }
dtduutgufeS donde
SdtduutgufedtduutgufeduutgufL
:que lo por g(t)LG(s) f(t)LF(s) donde
sGsFduutgufL
tgtfduutgufsGsFL entoncestgG(s)Ly tfF(s)L Si
M
t
t
u
stM
MMt
t
u
stt
ut
stt
t
t1-1-
∫ ∫
∫ ∫∫∫∫
∫
∫
= =
−
∞→
∞
= =
−
=
∞
=
−
−=
=−=
−=
−
==
=
−
=−===
0 0
0 0000
0
0
)()(
lim)()()()()()(
,
)()()()(
)(*)()()()()(),()(
La región en el plano en donde se llevará a cabo la integración es: Luego de hacer el cambio t-u=v la región cambia, por lo que el integral se transforma en:
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( ) { }{ } )()()()()()(
),(,),(
0
)()(
)()(
111
01
,,
,,
)()()()(
000 0
0 00 0
0 0
sGsFdvvgeduufedvduvgufe
dvduvuKSlim entoncesdvduvuKS
Mvu
Mvuvgufev)K(u, función otra Definamos
dvduvgufeS donde De
vt
ut
vu
uu
vutu
J
:es cióntransforma la de Jacobiano el Donde
dv duvutu
vgufedt duutgufeS
svsu
v u
vus
v uMM
M
v
M
uM
vus
M
v
vM
u
vusM
R
vus
R
stM
uvtu
===
==
>+
≤+=
=
==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
=
∂∂
=−=
∫∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫∫∫∫
∞ −∞ −∞
=
∞
=
+−
∞
=
∞
=∞→
= =
+−
=
−
=
+−
+−−
0 M 0 M
t-u=v
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 19 -
Halle:
• ( )
+−
222
1
as
sL
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )aatsent
aatsen
ataa
atatsentatsen
a
aat
ataa
atsentatsen
a
duausen
ata
duau
atsena
duauausenata
duauatsena
duausenatauatsenaua
dua
utasenau
asass
L
atsena
atasas
sL
:que tenemos nconvolució de integral el Usando
as
sL
tt
tt
t
t
2
2cos
12
cos2
1
42cos1
cos1
42
21
22
cos1
22cos11
coscos1
cos1
coscoscos1
cos1
1*cos
1
2
00
00
2
0
02222
1
22221
222
1
=
−
+=
−−
+=
−
+=
−=
−=
−=
++
=
++
+
∫∫
∫∫
∫
∫−
−
−
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 20 -
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante las transformada de Laplace
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
• ( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ yyytyyyy
{ } { } { } { } ( ){ }
{ }{ }{ }{ }
( ){ }
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }( )
)(2)cos(22)(
1
2
1
21
22
1)()(
1
2
1
21
22
1)(
2121211113103
1112211
3103)(
1
3103)(21
1103)(254
110)(2)(5)(43)(
Re1
cos
)(
)()0()('
)()0(')0()(''
3)()0('')0(')0()('''
cos102'5''4'''
2
2211
22
222222
2222
2
2
22
223
223
2
22
323
tsentteeety
s
s
sssLsYLty
s
s
ssssY
2E -1,D -2,C 2,B -1,A donde De
32E2C2BA
105E2DC3B2A
34E5D2C3B2A
0E4DC3B2A
0DBA
:ecuaciones de sistema siguienteel Tenemos
2E2C2BAs5E2DC3B2As4E5D2C3B2AsE4DC3B2AsDBA310s3s
ssEDsssCsssBssAss
s
EDs
s
CsB
sA
sss
sssY
s
sssYss
s
ssYsss
s
ssYssYsYssYs
:dastransforma las emplazandos
stL
sYyL
ssYyssYyL
sYsysysYsyL
sYsysyyssYsyL
:necesarias dastransforma las Encuentro
tLyLyLyLyL
Laplace de datransforma la Aplicando
ttt
2342
+−−+−=
+
+−+
+−
++
+−
==
+
+−+
+−
++
+−
=
=====
=+++
=++++
=++++
=++++
=++
+++++++++++++++++++++=++
+++++++++++++=++→
+
++
++
++
+=
+++
++=
+
++=++
+=−+++
+=+++−
+=
=
=−=
=−−=
−=−−−=
=+++
−−−
−−
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 21 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
• ( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,2;0
20;84,4
2
2
==
>
<<+−==+ yy
t
ttthdondethy
dtyd
πππ
{ } { } ( ){ }
{ }{ }( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ }
( ){ }
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
−−−+++−=
+
−++
++−=
−====
=
=
=+
=+
+++++=
+++++=
++
++=+
•
====
−=
=
=+
=+
+++++=−+
+++++=−+
++
++=+−+
•
++
+−+
=
+−+
=+
++−
=+−
++−
=
−++−=+−−=
=
−=−−=
=+
−
−
−
−
−
222
2)(2
)2()2cos()(
411
411
)(
1,00Re
44
04
0
0
444
444
444
1,Re
44
84
0
2
44482
44482
44482
44
4482
)(
4482)(4
14
84)(42)(
:Re
14
84
2)(484)(84)()(
)(
2)()0(')0()(''
4''
2
222
22
23
222
2222
233
2223
2222
3
222
22
3
22
2
32
22
22
22
2
2020
22
ππµππ
ππ
ππ
π
π
π
π
π
π
π
ππµπµπµµ
π
π
π
π
π
π
ππ
tsentt
tsent2-2t2ty
sse
ss2-2
ss2
sY
DC1,B,A :que tenemos sistemael solviendo
B
A
DB
CA
BsAsDBsCA
sDCssBsAs
sDCs
sB
sA
ss
D2-2C-1,B,2A :que tenemos sistemael solviendo
B
A
DB
CA
BsAsDBsCAss
sDCssBsAsss
sDCs
sB
sA
ssss
:parciales fracciones Encuentross
ess
sssY
se
sss
sYs
se
sssYssYs
emplazandos
ess
thL
ttLttLtttLthL
sYyL
ssYsysysYsyL
:necesarias dastransforma las Encuentro
thLyLyL
Laplace de datransforma la Aplicando
s
s
s
s
s
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 22 -
• Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial:
Primero se expresa en términos de funciones escalones de la siguiente manera:
Se reemplaza en la ecuación diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:
Despejando Y(S):
Encontrando la solución mediante transformada inversa de Laplace:
i)
ii)
iii) Entonces
iv)
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 23 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro - diferencial:
• ( )tttyduutyuy
t
δ−+=−∫ 6)(2)()(
3
0
{ } ( ){ }
{ }
{ }
( ){ }
tttys
sY
tttys
sY
sss
ss
sY
ss
sYsY
ssYsY
emplazando
tL
sst
L
sYtyL
sYtytyLduutyuyL
:necesarias dastransforma las Encuentro
tLt
LtyLduutyuyL
Laplace de datransforma la Aplicando
t
t
−=→−=
+=→+=
+−±
=
−−±
=
=
−+−
−+=
=
==
=
==
−
−
+=
−
∫
∫
)()(1
1)(
)()(1
1)(
2
4442
2
1442
)(
01
)(2)(
11
)(2)(
:Re
1
16
!36
)()(
)()(*)()()(
6)(2)()(
222
121
4
44
4
4
2,1
4
42
42
44
3
2
0
3
0
δ
δ
δ
δ
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 24 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:
• ( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===−−+ yyyytty
{ } ( ){ } { }
{ } { } [ ]
( ){ } { } { } ( ) [ ]( ){ } ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )
( )( ) ( )
t
t
ety
KKey
KetysK
sY
KssYsds
sYsY
sss
sYsY
ssYsYss
ssYsYss
sYsssYss
sYsYsssYssYsYs
emplazando
sYyL
sYsssYssYsYssYytL
yssYdsd
yssYtyLyLytL
ssYsYsysysYsdsd
yLdsd
tyL
:necesarias dastransforma las Encuentro
yLytLtyL
Laplace de datransforma la Aplicando
2
)0(2
2
2
2
22
)(
11)0(
)(2
)(
)ln(2ln)(ln2)(
)('2)(
)('
)()('2
0)()('2
0)(222)('2
0)(21)(2)('21)(2)('
:Re
)(
1)(2)('2)(')(21)('21
)0()(2)0()('2''21
1)(2)(')0(')0()(''''
02'21''
=
=→==
=→−
=
+−−=−
−=
−−=
=−−
=−−−
=−++−++−
=−−++++−−
=
−++=++−=−
−+−=−=−
+−−=−−−=−=
=−−+
∫ ∫
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 25 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables: • ( ) 13'2'' −=++− tyytty
{ } ( ){ } { } { } { }
{ } { } [ ]
( ){ } { } { } [ ] ( )
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }
{ } { }
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) { }
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) { }
( )( ){ } ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) tkduutuek
tytkttek
ty
ts
Ltg
tek
tfekss
kLttf
sssk
Lssdsd
LttfssLtf
tgtfsGsFLs
ssLsss
L
sk
Lsss
Lsk
sss
Lty
sYLtysk
sss
sY
ksskskssYs
dss
ks
dsss
skssYs
dsss
skssusYsu
seesu
sssks
sYs
sY
ssks
sYssYss
ss
kksYsssYss
ss
sYksYsssYkssYsYs
emplazandoss
ssLtL
sYyL
ksYsssYssYsYkssYytL
yssYyssYdsd
yLtyLytL
kssYsYsysysYsdsd
yLdsd
tyL
:necesarias dastransforma las Encuentro
LtLyLytLtyL
Laplace de datransforma la Aplicando
t ut
tt
kk
kk
kk
k
k
sdss
2
0
12
1
21
11
11
113131
12
312
31
221
2
31
22
2
31
122
2
3
23
212
1
212
3
21
2ln22
3
21
2
21
2112
2112
22
11
122
13)(*
13)(
1)(
13)(13
1)1(
3)(
)1(113
1ln)(1ln)(
)(*)()()(1
1ln1ln
1ln1ln)(
)()(1ln
)(
1ln1ln3ln)(
11
31
131
)(
131
)(
131
)(2
)('
31)(14)('1
12)(3122)('
1)(32)(12)(')(2)('
:Re
1111
)(
2)(12)(')(')()(2'2
)0()(2)0()('2''2
)(2)(')0(')0()(''''
13'2''
11
11
11
1
1
+−+−
=→++−
=
=
=
+−=→+−=
+−
−=
−−+
−=
−−=→−=
==
−=
−
+
−
=
+−
=
=→+−
=
+−=+−+=
−
+=
−++−
=
−++−
=
===
−++−
=+
−−=−−−−
−=++++−−++−
−=+−−+−−+−−
−=−=−
=
−−+−=+−−=+
−+−−=+=+
+−−=−−−=−=
−=++−
∫
∫∫
∫
−
−
−−−
−−−
−−−
−
∫
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 26 -
Método de eliminación
1) Usando el método de eliminación, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
=+++
=−−+ −
)2(eyx2'y'x
)1(eyx'y'x2t
t
Restando: (1)-(2); Se obtiene:
tt eeyxx −=−− −23' Despejando y :
223
2' tt eexx
y−−
+−=
Reemplazando y en (1):
2e
2e)sentCtcosC(
23tcos
2C
sent2
Cy
tcosCsentC'x
2e
2e
2x3
2'xy
sentCtcosCxir01r
0]1r[e
exsi
0x''x02x
2''x
e2
e2e
2x3
2'xx
2e
2e
2'x3
2''x'x2
e2
e2e
2x3
2'xx
2e
2e
2x3
2'x'x2
tt
2121
21
tt
21
2,1
2
2rt
rt
ttttt
ttt'tt
−
−
−−−
−−−
−++−+−=⇒
+−=
−+−=⇒
+=⇒
±=⇒
=+⇒
=+⇒
=⇒
=+⇒=+⇒
=+−+−−++−+⇒
=
−+−−−
−+−+
tsenh2
ee;
2e
2e
tcosksentky
2e
2etcos
2C3
2Csent
2C3
2Cy
tttt
21
tt
K
12
K
21
21
=−
−++=⇒
−+
−+
−−=
−−
−
Pero
443442144 344 21
Solución:
++=
+=
senhttcosksentkysentCtcosCx
21
21
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 27 -
2) Utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal dado, donde x´, y´, z´ denotan diferenciación con respecto a t. 1 2 De la primera ecuación despejamos y; Reemplazando y en la segunda ecuación: Multiplicando la ecuación por 3; Obtenemos una ecuación diferencial de coeficientes constantes: Resolviendo la ecuación 3 con x=ert; Ecuación Característica
Ahora encontremos y:
( ) ( )'31
32
xxy −=
tt eCeCx −+= 24
1 tt eCeCx −−= 2
414'
x2ydtdy
y3x2dtdx
−−−−====
−−−−====
3x́
x32
y
dtdx
31
)x2(31
y
−−−−====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒
x23x́
x32
3´´x
x́32
3´´x
x́32
dtdy
−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒
0x4x́3´´xx6x́x2´´xx́2
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
[[[[ ]]]] 04r3re 2rt ====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
;ececx
ex,ex
1r,4r
0)1r)(4r(
04r3r
t2
t41
t2
t41
21
2
−−−−
−−−−
++++====⇒⇒⇒⇒
========⇒⇒⇒⇒
−−−−========⇒⇒⇒⇒
====++++−−−−
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 28 -
⇒ Reemplazando x, y x’ en y:
⇒ [ ] [ ]tttt eCeCeCeCy −− −−+= 24
124
1 431
32
tt eCeCy −+−= 24
132
* Encuentre la solución particular del problema anterior dado: x (0)=8, y (0)=3 Del ejercicio anterior: tt eCeCx −+= 2
41
tt eCeCy −+−= 24
132
Como x (0)=8, entonces: 8= C1+C2 1 Como y (0)=3, entonces:
2132
3 CC +−= 2
Con 1 y 2 se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo el sistema se obtiene: C2=5, C1=3 ⇒ La solución particular es: tt eex −+= 53 4 tt eey −+−= 52 4
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 29 -
Método de los operadores diferenciales
1) Usando el método de las operaciones diferenciales resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
=+++−
=+++−t
22
12
22
12
ex)4D4D(x)D2D(tx)D2D(x)4D4D(
=++−
=++−t
22
1
212
ex)2D(x)2D(Dtx)2D(Dx)2D(
Encontrando )t(x1 usando la regla de Kramer se obtiene que:
( )[ ][ ]
( )( )( )
[ ]
;cex''
;cebx'
;cebtax
:ular xión partico la solucEncontrand;eCeC)t(x
;2r;04r
;04re
;e)t(x
;0)t(x4)t(''xogénea:homión o la solucEncontrand
;e43t1)t(x4)t(''x
;e43t1)t(x)4D(
;e3t44)t(x)4D(4
;)4D(4
e3t44)t(x
)4D(4e3t44
)4D(4e2t42e2
D4D)4D(et212D)t(x
D)2D)(2D()2D)(2D(Det)2D(2D
)2D(D)2D(D)2D()2D(e)2D(Dt)2D(
)2D()2D(D)2D(D)2D(
)2D(e)2D(Dt
)t(x
t1p
t1p
t1p
1p
t2
t21h1
2,12
2rt
rt1
11
t11
t1
2
t1
2
2
t
1
2
t
2
tt
222
t
1
2
t
22
t2
2
2
2t
1
=
+=
++=
+=
±==−
=−
=
=−
+−−=−
+−−=−
−+=−−
−−−+
=
−−−+
=−−−++−
=−−−−++
=
−−+−+−++
=−+−+−
+−+=
+−
+−
++
=
−
( )
;e43
t1ce3bt4a4
;e43
t1cebta4ce
tt
ttt
+−−=−−−
+−−=++−
+−−=− :obtiene se ,e43t1(t)4x(t)''x endoReemplazan t
11
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 30 -
[ ] ( )
( )
( )
;12e
81
eCeC)t(x
;12e
81x
;81
a;121
b
;a4be3
;bea4be
;be''x
;be'x
;beax
;eCeC)t(x
;2r
;21
4e
)t(x4)t(''x
;21
4e
)t(x)4D(
;2e)t(x)4D(4
;)4D(4
2e)4D(42e2e
)4D(41e)2D(
)t(x
)4D(41e2e)2D(
)4D(4Dte)2D()2D(
)4D(4t)2D(De)2D(
)2D()2D(D)2D(D)2D(
e)2D(Dt)2D(
)t(x
:),t(
tt2
2t2
12
t
p2
t
tt
tp2
tp2
tp2
t22
t21h2
2,1
t
22
t
22
t2
2
2
t
2
tt
2
t
2
2
tt
2
t
2
t2
2
2
t
2
2
+++=
+=
==
−−=−−
−−=+−
−−=−
=
=
+=
+=
±=
−−=−
−−=−
+=−−
−−+
=−−++−
=−−−−−
=
−−−−−
=−−
−−−=
−−−−−
=
+−
+−
−
−
=
−
−
21
4e
21
4e
:21
4e
(t)4x(t)''x en x doReemplazan
:particular solución la oEncontrand
Kramer de regla la usando x solución la encontrar a procede se Ahora
t
t
t
222p
2
La solución es:
+++=
−+++=
−
−
;12e
81eCeC)t(x
;e41t
41
41eCeC
tt2
2t2
12
tt2
t21(t)x1
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 31 -
2.-) Usando el método de los operadores diferenciales resuelva el sistema:
=++−
−=−++
)2(tcos4)x)(2D()x)(3D()1(sent)x)(1D()x)(2D(
21
21
( )( ) ( )
;senttcosCex
;senttcosx
;9AB8;7BA8
;sent7tcos9tcosAB8sentBA8;0BsenttcosAtcosBAsent8
;0xx8
;tcosBAsent'x;BsenttcosAx
;Cex
;81r
;01r8;re'x
;ex
;0xx8
;sent7tcos9xx8
tcos9sent7xx8
tcos9sent7x)1D8(tcos8tsentsent3tcosx)4D4D(x)3D4D(
cot)4)(2D(x)2D(x)3D)(2D(
)sent)(3D(x)3D)(1D(x)3D)(2D(
)2D(por2)3D(por1Multiplico
t81
2
p2
2'
2
2
2
t81
2
rt2
rt2
2'
2
2'
2
2'
2
2
22
22
22
1
21
++=
+=
==
=+
−=+−
−=+++−
=+++−
=+
+−=
+=
=
−=
=+
=
=
=+
−=+
−=−−
−=−−
−++−=++−+−
+=++−+
−
−−=−−+−+
+∧−
−
−
:es particular solución La
1,B 1,A:sistema el oResolviend
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 32 -
Ahora procedemos a encontrar 1x del sistema de ecuaciones:
++=
+−=
+−=
−−
++=
−−=
−−=−
=++−
−=−++
=++−
−=−++
−
−
−
−
;senttcosCex
;sent2tcosCe3x
;sent2tcosCe3x
t;cos4sentsenttcosCe3x
t;cos4sentx3x;tcos4sentx3x5
tcos4x2'xx3'x;sentx'xx2'x
)2(tcos4)x)(2D()x)(3D()1(sent)x)(1D()x)(2D(
t81
2
t81
1
t81
1
t81
1
21
21
2211
2211
21
21
:es sistema del solución La
:obtiene se (2), y (1) Restando(2) (1)
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 33 -
Método de Laplace 1) Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado. Aquí x’, y’, etc. denotan diferenciación con respecto a t.
=−−
=+−
;cos'4
;2'3'
tyyx
sentyxx
;0)0(
;0)0(
=
=
y
x
Aplicando transformada de Laplace a las dos ecuaciones:
+=−−−
+=+−−
;1
)()0()()(4
;1
1)(2)(3)0()(5
2
2
ss
syyssysx
ssysxxsx
+=+−
+=+−
−
−
1)()1()(4
11
)(2)()3(
)3(
)4(
2
2
ss
syssx
ssysxs
s
Sumo 1 y 2, entonces se obtiene:
[ ]1
43)()1)(3(8 2
2
+−−
=+−+−sss
syss
[ ]1
)1)(4()(52 2
2
++−
=+−−s
sssyss
++
++−
+−=
++−−−
−=⇒152)1)(52(
)43()( 2222
2
sDCs
ssBAs
sssss
sy
)1)(52()5()52()2())((
)1)(52(43
22
23
22
2
++−+++−+−+++
=++−
−−⇒
sssDBsCDAsCDBsCA
sssss
−=+
−=+−
=−+
=+
⇒
4D5B3C5D2A
1C2DB0CA
Resolviendo el sistema:
−=
−=
−=
=
;10/7D;10/11C
;2/1B;10/11A
ð
+
−−+
+−
−−=
1s107s
1011
5s2s21s
1011
)s(y 22
+−
=+−−−
+−=−−−
≈;
1)3(
)()1)(3()()3(4
;1
4)(8)()3)(4(
2
2
sss
sysssxs
ssysxs
L [ ]'x -3 L [ ]x +2 L [ ]y = L [ ]sent L [ ]x4 - L [ ]'y - L [ ]y = L [ ]tcos
1 2
1 2
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 34 -
( )[ ] 1s107s
1011
41s
s1011
21
)s(y 22 +
++
+−
−=
( )[ ] ( )[ ] 1s1
107
1ss
1011
41ss
1011
41s1
21)s(y 2222 +
⋅++
⋅++−
⋅−+−
⋅=
( )[ ]( )( )[ ] 1s
1107
1ss
1011
41s11s
1011
41s2
41)s(y 2222 +
⋅++
⋅++−+−
⋅−+−
⋅=
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ] 1s1
107
1ss
1011
41s2
2011
41s1s
1011
41s2
41)s(y 22222 +
⋅++
⋅++−
⋅−+−
−⋅−
+−⋅=
ð Aplicando transformada inversa de Laplace a y(s):
[ ] )()(1 tysyL =− ;
( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]
+
+
+
+
+−−
+−−
−
+−= −−−−−
1s1
L107
1ss
L1011
41s2
L2011
41s1s
L1011
41s2
L41
)t(y 21
21
21
21
21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsen107tcos
1011t2sene
2011t2cose
1011t2sene
41)t(y ttt ++−−= −−−
( ) ( ) ( ) ( )tsen107tcos
1011t2cose
1011t2sene
103)t(y tt ++−−= −−
De la ecuación 4x-y’-y=cos(t); podemos encontrar x(t):
4)tcos(yy
)t(x++′
=
( ) ( ) ( ) ( )tcos107)t(sen
1011]t2cose)t2(sene2[
1011]t2senet2cose[
103)t(y tttt +−−−−−−=′ −−−−
( ) ( )tcos407)t(sen
4011t2sene
85)t2cos(e
51
4)t(y tt +−+=
′ −−
( ) ( )tsen407)tcos(
4011t2cose
4011)t2(sene
403
4)t(y tt ++−−= −−
La solución:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
++−−=
+−+−=
−−
−−
tsen107tcos
1011t2cose
1011t2sene
103)t(y
tcos107)t(sen
101t2sene
2011)t2cos(e
403)t(x
tt
tt
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 35 -
2) Resolver
=+−
=++ −
t15Y3'X4''Ye15X3'Y''X t
con las condiciones X(0)=0, X’(0)=0, Y(0)=0, Y’(0)=0.
Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones: [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
+−
+=
+
−
=
+
−=
−
++
+
−+
−=
++
+
−+
−=
++
+
−+
−=
=====
++
++
++=
++−−
=++−−
=
+
−−
=+
−−
=++
−+
+−
=+−
−+−
=
−−
−
−
+
=
=−+−
+=+−
=−−
+=−+
=−−−−−
+=−−+−−
=−−
=−+ −
222222
2
222222
222
22222
2
22
2
22
2
2224222
2
2
2
2
22
22
2
22
2
22
2
t
1s1
1ss
21s1s2
;tcos1s
s
;1s1
;1s
s15
1s1s2
15s1
151s
s1s1s2
s1
15
1ss
1s1s2
s1
15)S(X
1sEDs
1sCBs
sA
151s1ss
1ss151s1ss
15ss15)S(X
1ss
15ss15
1ss
151
1s15
1s2ss
151s
)1s(1s15
s41ss
s151s
1s15
1ss4s1s
1ss15
s1s
15
)S(X
;s15
)s(Y1s)S(sX4
;1s
15)S(sY)s(X1s
;s15
)S(Y)S(sX4)s(Ys
;1s
15)S(X)S(sY)s(Xs
;s15
)S(Y)0(x)S(sX4)0('y)0(sy)s(Ys
;1s
15)S(X)0(y)S(sY)0('x)0(sx)s(Xs
t15y'x4''ye15x'y''x
1-1-1-
1-
1-
1-1-1-1-
£££
£
£
££££x(t)
:X(S)a inversa Laplace de da transforma aplicando x(t) Obteniendo
:como expresamos lo X(s) tanto lo Por
0E 1,D -1,C 2,B -1,A
:son escoeficient losde valores losque obtiene se parciales fraccionesde suma la como X(s) Expresando
:Kramerde regla la Aplicando
££
££
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 36 -
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x
tcos152
tcost2
senttsent1515
1ss15
1s1s215
s115
2tcost
2senttsent
2tcostsent
2tsent2
1s1s2
2tcostsent
1s1
2tcostsent
4)t(sen
2tcost
4)t(sen
2tcosu
4)tu2(sen
1s1
;du2
)tcos()tu2cos(du)ut(sen)u(sensent*sent
1s1s1
1s1
;2
tsenttcos*sent1s
s
;2
tsent4
)tcos(0
4)tcos(
2)t(tsen
tcos*sent
4)tu2cos(
2)u(usen
du2
)tu2(sen)t(sendu)utcos()u(sentcos*sent
;tcos*sent1s1s
s1s
s
222
22
22
t
022
t
0
t
02222
22
t
0
t
0
t
0
t
0
2222
++−+−=
+
+−+−=
++
+
−+
−=
+−=
−−
=
+
−
−=
+
−=
−−−=
−−
=
+
−−=−==
++=
+
==
+
=
−+−−=
−−=
−+=−=
=
++=
+
∫∫
∫∫
x(t)
£££x(t)
L
L
L
£L
L
£L
1-1-1-
1-
1-
1-
1-1-
1-
1-1-
Ahora encontremos y(t) usando una ecuación del sistema:
( )
( )
+−−−+−=
++−+−=
==
+−−−−−+−=
+−−−=
+−−−=
++−+−−++−+=
−−+−=
−=
−+−−+=
++−+−=
−−=
=++
−
−
−
−
−
−
−
∫
;45tcos45sent90tsent15tcost30e15)t(y
tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x
,0)0(y;Ctcos30sent60tcos15tsent15sent30tcost30e15y
sent30tcos60tcost15tsent30e15y
;sent30tcos60tcost15tsent30e15'y
;tcos15tcost5.7sent5.7tsent15153sent5.7tcost5.7tcos15tsent15e15'y
;sent5.7tcost5.7tcos15tsent15''x;tsent5.7tcost15'x
;sent15tcos5.7tsent5.7tcos5.7sent15tcost15'x;tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515x
;x3''xe15'y
e15X3'Y''X
t
t
t
t
t
t
t
: essolucion La45;C entonces
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 37 -
Método de los valores y vectores propios
1) Resuelva por el método de los valores y vectores propios el siguiente sistema:
zyz
zyxy
zyxx
3'5'
4'
−=−+=
++−=
−
−
−
=
zyx
310151
114
'z'y'x
−
−
−
=
310
151
114
A det(A-λI)=0
[ ] [ ] 01)3(11)3)(5()4(310
151114
)IAdet( =−λ−−−+λ−−λ−λ−−=
λ−−
−λ−
λ−−
=λ−
0)3)(5)(4( =+−+ λλλ 41 −=λ 52 =λ 33 −=λ
4−=λ
=
−00
0
110191
110
zy
x
=−+
=+
09
0
zyx
zy …. zx
zy
10=
−=
−=
1
1
10
1υ
5=λ
=
−
−
−
0
0
0
810
101
119
z
y
x
=−
=+−
0
08
zx
zy ….. zxzy
== 8
=
1
8
1
2υ
3−=λ
=
−
−
0
0
0
010
181
111
z
y
x
=−
=++−
0
0
zx
zyx
z11
10
zzz10
zyx
−⇒
−⇒
z181
zz8z
zyx
⇒
⇒
z101
z0z
zyx
⇒
⇒
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 38 -
ttt ececectx 321332211)( λλλ υυυ ++=
ttt ececectx 3
35
24
1
1
0
1
1
8
1
1
1
10
)( −−
+
+
−
2) Resolver el sistema
X012011203
'X
−−
−
−
=
0
12
011
203
=
−−−
−−
−−
λλ
λ
0)]1(21[2)]1()[3( =+−−++−− λλλλ
04634
0)23(2)1)()(3(23 =−−−−−
=−−+++−
λλλλ
λλλλ
0674 23 =+++ λλλ 21 −=λ i212 +−=λ i213 −−=λ
Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor: * 21 −=λ
≈
−−
−
00
0
212011
201
≈
−−
−
00
0
210210
201
−
00
0
000210
201
y= -2z x= 2z
−=
1
2
2
1v
Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor i213 −−=λ :
≈
+−−
−−
000
21300i21
)i22(206≈
+−−
−−
000
21120i21
)i22(206≈
+−−
+−
000
i21120i2120i22
=υ101
3
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 39 -
( )( )
.alesRez;zi21y3
;zi224x6
∈
+−=
+=
Entonces: .
Entonces podemos concluir que el vector propio complejo asociado a este valor de
i213 −−=λ es:
( )( ) ,i
022
31
2
3i21
i22
zyx
v
,
z
z3
i231
z3
i232
zyx
v
ba321321
+
−=
+−
+
=
=
=
+−
+
=
=
:3z si v, de forma la tenga que propio vector un usar Podemos
Entonces procedemos a encontrar la primera solución l.i. con 21 −=λ :
−= −
12
2ex t2
1
Ahora procedemos a encontrar la segunda y tercera solución l.i. con i213 −−=λ , tiene la siguiente forma iβ+α=λ , por lo tanto las otras dos soluciones son:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( );btseneatcosex
;btcoseatsenextt
3
tt2
β−β=
β+β=αα
αα
( ) ( ) ( ) ( ) ;022
t2sene31
2t2cose
022
t2sene31
2t2cosex tttt
2
+
−=
−−
−−= −−−−
.alesRez
;z3
i231y
;z3
i232x
∈
+−=
+=
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 40 -
( ) ( ) ( ) ( ) ;022
t2cose31
2t2sene
022
t2cose31
2t2senex tttt
3
+
−−=
−+
−−= −−−−
Por lo tanto la solución general es:
( ) ( ) ( ) ( ) ;022
t2cose31
2t2seneC
022
t2sene31
2t2coseC
12
2eCx
;xCxCxCx
tt3
tt
2
t21
332211
+
−−+
+
−+
−=
++=
−−−−−
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 41 -
Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador
1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg se suelta del reposo 1 metro debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-resorte, y empieza a vibrar. Después de 2/π segundos, la masa es golpeada hacia arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.
a) Determine una función que defina la posición ‘’y’’ de la masa en cualquier instante
‘’t’’. b) Halle la posición de la masa en los tiempos t= 4/π segundos y t=π segundos.
Como no hay amortiguador C=0; En t = 2/π segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbación
π−δ−=
2t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
;2
t3Ky9dt
yd2
2
π−δ−=+
Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys
;2=tδ3y9
dtyd
s22
2
2
π−
−=+−−
−−=
+ LL
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:
( )
;2
tu2
t3sent3cos)t(y
;9s
e39s
s9s
e39s
s)t(y
;9s
e39s
s9s
e3s)s(y
;e3s)s(y9s
;e3)s(y9s)s(ys
2
s2
22
s2
2
2
s2
22
2
s22
s2
s2
π−
π−−=
+−
+
=
+−
+=
+−
+=
+−
=
−=+
−=+−
π−
π−
π−
π−
π−
π−
1-1-1- LLL
)t(fKydtdy
Cdt
ydm 2
2
=++
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 42 -
a)
π≥
π−−
π<
=
2t
2t3sent3cos
2t;t3cos
)t(y
b)
m0)1(1)2/(3sen)3cos()(y
,m22)4/3cos()4/(y
=−−−=π−π−π=π
−=π=π
2) Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante m/N4k = , un amortiguador de m/Ns6c = , tiene adherido una bola metálica de 20 Newton de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t = 0 actúa una fuerza perturbadora definida así:
[ )( ]
∈−
∈=
4,2t;t1004002,0t;t100
)t(f
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
);t(fKydtdy
cdt
ydm 2
2
=++
Asumiendo que la gravedad es 2s/m10 :
21020
gwm === Kg.
);t(fy4dtdy
6dt
yd2 2
2
=++
Antes de resolver la ecuación diferencial aplicando la transformada de Laplace, se recomienda expresar la función f(t) en términos de de funciones escalones multiplicadas por las funciones que se encuentran en cada uno de los intervalos mostrados en la regla de correspondencia:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100)t(f
);4t(u400)4t(u4t100)4t(u400)2t(u400)2t(u400)2t(u2t200)t(tu100)t(f);4t(u44t100)4t(u400)2t(u400)2t(u22t200)t(tu100)t(f
);4t(tu100)4t(u400)2t(u400)2t(ut200)t(tu100)t(f);4t(tu100)4t(u400)2t(tu100)2t(u400)2t(ut100)t(tu100)t(f
);4t(ut100400)2t(ut100400)2t(tu100)t(tu100)t(f
−−+−−−=
−+−−+−−−+−−−−−=
−+−+−−−+−+−−=
−+−−−+−−=
−+−−−−−+−−=
−−−−−+−−=
La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente forma:
( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dtdy
6dt
yd2 2
2
−−+−−−=++
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 43 -
Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ];)4t(u4t50)2t(u2t100)t(tu50y2dtdy
3dt
yd
;)4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dtdy
6dt
yd2
2
2
2
2
−−+−−−=
++
−−+−−−=
++
LL
LL
La posición inicial del sistema es y(0)=0 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
++=
+++
++−
++=
+++
++−
++=
+−=++
+−=++
+−=+−+−−
−
−−
−−
−−
−−
−−
)1s(2ss50)t(y
;e)1s(2ss
50e)1s(2ss
100)1s(2ss
50)s(y
;e2s3ss
50e2s3ss
1002s3ss
50)s(y
;es50e
s100
s502s3s)s(y
;es50
es
100s50
)s(y2)s(sy3)s(ys
es50
es
100s50
)s(y2)0(y3)s(sy3)0('y)0(sy)s(ys
21
1
y
s42
y
s22
y
2
s422
s22222
s42
s222
2
s42
s222
2
s42
s222
2
)s(3)s(2)s(1
L
444 3444 21444 3444 2144 344 21
Para encontrar )t(y1 , se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de Laplace:
Si ( )
)t(f)1s(2s
501 =
++−L , entonces
( )dud)(f
)1s(2ss50 t
0
u
02
1 ∫ ∫ θθ=
++−L
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
=+
=+
+++++
=
++
+=
++−−−
50B2A0BA
;1s2s
2s1sA1s2s
A)1s(2s
50 111 BB LLL
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: B = 501, A = -50;
( ) ( ) ( );50e50
2s50
1s50
)1s(2s50 t2t11 −−−− −=
+−
+=
++LL
Entonces:
( )( ) ;dud50e50d)(f
)1s(2ss50 t
0
u
0
2t
0
u
02
1 ∫ ∫∫ ∫ θ−=θθ=
++θ−θ−−L
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 44 -
[ ] ( )[ ] [ ]
[ ] [ ] ( )[ ]
[ ] ;5.37t25e5.12e50du2525e50
;5.1250t25e5.12e50u25e5.12e50du2525e50
;du2525e50du255025e50du25e50
t2tt
0
u2u
t2tt0
u2ut
0
u2u
t
0
u2ut
0
u0
u2ut
0
u0
2
−+−=++−
−−+−=+−=++−
++−=+−−+−=+−
−−−−
−−−−−−
−−−−θ−θ−
∫
∫
∫∫∫
Por lo tanto:
( );5.37t25e5.12e50)t(y
;5.37t25e5.12e50)1s(2ss
50
t2t1
t2t2
1
−+−=
−+−=
++−−
−−−L
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) );4t(u5.374t25e5.12e50e
)1s(2ss50)t(y
);2t(u5.372t25e5.12e502e)1s(2ss
502)t(y
e)1s(2ss
502e)1s(2ss
100)t(y
4t24ts42
13
2t22ts22
12
s22
1s22
12
−−−+−=
++=
−−−+−=
++=
++=
++=
−−−−−−
−−−−−−
−−−−
L
L
LL
Ahora y(t) es:
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( );)4t(u5.374t25e5.12e50
)2t(u5.372t25e5.12e5025.37t25e5.12e50)t(y
);t(y)t(y)t(y)t(y
4t24t
2t22tt2t
321
−−−+−+
−−−+−+−+−=
++=
−−−−
−−−−−−
Se puede representar y(t) en como una función con regla de correspondencia:
( ) ( )( ) ( )
≥−+++−++
<≤−++−+
<≤−+−
=−−
−−
−−
;4t;350t100ee21e5.12ee21e50
;4t25.212t75e21e5.12e21e50
;2t05.37t25e5.12e50
)t(y84t242t
4t22t
t2t
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 45 -
3) Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1/3 m/seg. Determine: a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.
b) La posición del objeto en t = 4π
segundos
a)
Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo tanto f(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos el eje de referencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa sera 1 metro. Y la velocidad es 1/3 m/seg. La ecuación diferencial que representa al sistema es:
;0kydt
yd5 2
2
=+
Se debe encontrar el valor de k:
Como la masa es 5kg y si se asume la gravedad 2m/seg10 , el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la
masa se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular mediante:
lkF ∆= , donde F es el peso del objeto y l∆ la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene k=25N/m. Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
[ ]
;0)s(y25)0('y5)0(sy5)s(Ys5
;0y25dt
yd5
2
2
2
=+−−
=
+ LL
)t(fKydtdy
Cdt
ydm 2
2
=++
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 46 -
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3: Reemplazando las condiciones se obtiene:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )t5sen
151t5cos)t(y
;5s3
15s
s5s3
15s
s)t(y
;5s3
15s
s)s(y
31s)s(y5s
35s5)s(y25s5
;0)s(y2535s5)s(ys5
2222
22
2
2
2
+=
++
+=
++
+=
++
+=
+=+
+=+
=+−−
1-1-1- LLL
b) La posición del objeto en 4/π segundos es:
1528
1516
22
1511
22
22
151
22
4y
45sen
151
45cos
4y
−=
−=
+−=−−=
π
π−
π=
π
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 47 -
Aplicaciones de Circuitos Eléctricos
1) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s. b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s, y t=40s. E 20 10 30 t
)(1
''' tQC
RQLQ ε=++ =20u(t-10)-20u(t-30)
)]t([]QC1[]'RQ[]''LQ[ ε=++ llll
−=++
−−
see
sQssQsQsss 3010
2 20)(100)(12)(
−=++
−−
se
se
sQssss 3010
2 20)()10012(
++−
++=
−−
)10012()10012(20)(
2
30
2
10
ssse
ssse
sQss
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 48 -
10012
1001
1001
11001210012
222
−=
−=
=
=++++⇒++
++
C
B
A
CsBsAAsAsssCBs
sA
++
+−
1001212
1001100
1
2 sss
s
++−
+++
−−
++−
+++
−= −
64)6(6
64)6(61
64)6(6
64)6(61
51
)(22
3022
10
sss
sess
ssesQ ss
[ ])()( 1 sQtQ −= l
)t(U)30t(8sene43)30t(8cose1
51
)t(U)10t(8sene43)10t(8cose1
51)t(Q
30)30t(6)30t(6
10)10t(6)10t(6
−−−−−
−−−−=
−−−−
−−−−
Cuando t=5s
0)5( =Q Condensador descargado Cuando t=20s
)10(8203
)10(8cos51
51
)( )10(6)10(6 −−−−= −−−− tsenetetQ tt
80203
80cos51
51
)20( 6060 seneeQ −− −−=
)993.0(203
)110.0(51
51
)20( 6060 −−−−= −− eeQ
coulombsxQ 251008.2)20( −=
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 49 -
2) Un circuito LRC con R=150 ohmios, L=1 Henrio, C=0.0002 faradios en t=0 se le aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga en cualquier instante de tiempo b) La corriente del circuito en t=20s.
( )( )
4
150 0 0
1 ' 0 0
2 10
R r Q
L H Q
C F−
= =
= =
= ×
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0 10
0 10 10 10
0 10 10
'' ' 1/
'' 150 ' 5000 10
'' 150 ' 5000 10 10 100 100
'' 150 ' 5000 10 10 10 100
LQ RQ C Q V t
Q Q Q t t t
Q Q Q t t t t t t
Q Q Q t t t t t
µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ
+ + =
+ + = −
+ + = − + −
+ + = − − −
Encontrando la transformada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 102
2 2
2 10 102 2
10 102 2
10 10 1000 ' 0 150 150 0 5000
10 10 100150 5000
10 10 10050 100
s s
s s
s s
e es Q s sQ Q s Q s Q Q s
s s s
s s Q s e es s s
s s Q s e es s s
− −
− −
− −
− − + − + = − −
+ + = − −
+ + = − −
§ ( ) ( )2 2
1/ 5003/ 5000010
1/1250050 100 50 1001/ 50000
ABA B C DCs s s s s s sD
= = −= + + + ⇒
=+ + + + = −
§
V(t)
100
0 10 t
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 50 -
Q(20segundos)=0
( ) ( )Q ti t
t∂
=∂
i(20segundos)=0
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 51 -
Series
De Fourier
Contenido:
Definición de la serie de Fourier Serie de Fourier de una función par. Serie de Fourier de una función impar. Convergencia de una serie de Fourier. Extensiones pares e impares periódicas de una serie de Fourier
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 52 -
Serie de Fourier de una función f(x)
Definición: Sea f una función continua por segmentos en el intervalo de [[[[ ]]]]p,p−−−− la serie de Fourier de f es la serie trigonométrica:
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
nn pxn
senbpxn
cosaa
)x(fππππππππ
Donde:
.n,....,,,n,Nn
dxpxn
sen)x(fp
b
dxpxn
cos)x(fp
a
dx)x(fp
a
p
p
n
p
p
n
p
p
321
1
1
10
====∈∈∈∈∀∀∀∀
====
====
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
−−−−
−−−−
−−−−
ππππ
ππππ
Series de Fourier cuando f(x) es par
Si la función f(x) es una función par se dice que:
∑
∫
∫
∞
=
+=∴
=∈∀
=
=
=
1
0
0
0
0
2
3210
2
2
n
n
n
p
n
p
pxn
cosaa
)x(f
.n,....,,,n,Nn
;b
dxpxn
cos)x(fp
a
dx)x(fp
a
ππππ
ππππ
Series de Fourier cuando f(x) es impar
Si la función f(x) es una función impar se dice que:
∑∑∑∑
∫∫∫∫
∞∞∞∞
====
====∴∴∴∴
====∈∈∈∈∀∀∀∀
====
====
====
1
0
0
321
2
00
n
n
p
n
n
pxn
senb)x(f
.n,....,,,n,Nn
;dxpxn
sen)x(fp
b
a
a
ππππ
ππππ
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 53 -
1) Exprese la función f definida por
<<<<<<<<
<<<<<<<<====
1x0 ,x
0x1- ,)x(f
1 como un desarrollo en series de
Fourier.
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
nn pxn
senbpxn
cosaa
)x(fππππππππ
[ ] [ ]
23
23
21
1
21
1
1
00
10
201
1
0
0
1
1
1
0
0
=⇒=+=
+=+==
=
=
−
−−
−
∫∫∫
∫
a ,a
;xxxdxdxdx)x(fa
dx)x(fp
a
pp
p
( ) ( ) ( )
[ ]11111
1
0
1
00
1
222222
2222
1
022
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
−−π
=
π−
π−
=
=∈∀−=π
=∈∀=π
π
−ππ
+
ππ
+
ππ
=
ππ
+
−ππ
+
ππ−
−=
ππ
−
ππ
+
ππ
=
ππ
=⇒π=
=⇒=
π+π=π=
π=
∫
∫∫∫
∫
−
−−
−
nn
n
n
n
n
1
n
n
p
p
n
)(nnn
)(a
n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(
n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sennn
)ncos(n
)sen(nn
)n(sena
n)xncos(
n)sen(n
n)n(sen
a
dxn
x)sen(nn
x)sen(nx
nx)sen(n
a
nx)sen(n
v )dx xcos(ndv
dx,du xu
dxxncosxdxxncosdxxncos)x(fa
dxpxn
cos)x(fp
a
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 54 -
( ) ( ) ( )
π−=
=∈∀−=π
=∈∀=π
−ππ
+
ππ
−
ππ
−π
−=
ππ
+
−ππ
−
ππ
−π
−=
ππ
+
ππ
−
ππ
−=
ππ
−=⇒π=
=⇒=
π+π=π=
π=
∫
∫∫∫
∫
−
−−
−
nb
n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(
n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen
n)n(sen
n)cos(n
n)cos(n
nb
n)xn(sen
n)cos(n
n)cos(-n
nb
dxn
x)cos(nn
x)cos(nx
nx)cos(n
b
nx)cos(n
v )dx x(nsendv
dx,du xu
dxxnxsendxxnsendxxnsen)x(fb
dxpxn
sen)x(fp
b
n
n
n
n
1
n
n
p
p
n
11
0
01
01
1
22
1
022
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
Convergencia de una Serie de Fourier
Teorema: Si )x(f y )x('f son funciones continuas por segmentos en el intervalo ( )p,p− , entonces la serie de Fourier de )x(f en dicho intervalo converge hacia )a(f en un punto de continuidad, mientras que en un punto de discontinuidad a converge a:
)x(fLim)a(f
)x(fLim)a(f
:donde ,)a(f)a(f
ax
ax
+
−
→
+
→
−
+−
=
=
+2
Ejemplo:
<<π−
π<<+=
011
x- ,x
x0 ,x)x(f
En la gráfica se observa que en x=0 hay un punto de discontinuidad por lo tanto el valor a que converge la serie
de Fourier en x=0 es:
[ ] ( ) ( )∑∞
=
ππ
−π−−π
+=1
22
111
143
n
n xnsenn
xncos)(n
)x(f
1
1
02
112
==
−==
=+−
=+
+
−
→
+
→
−
+−
)x(fLim)a(f
)x(fLim)a(f
:donde ,)a(f)a(f
ax
ax
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 55 -
Extensión periódica de la función f(x) Sea f(x) una función continua por segmentos en ( )p,p− . Entonces la Serie de Fourier de f es:
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
nn pxn
senbpxn
cosaa
)x(fππππππππ
Donde se define la frecuencia angular de las funciones coseno y seno como “w”, entonces:
T.p nTEntonces np
Tf
trando , enconp
nπp
nπf
ando f:, despejp
nππf
πf, w, donde p
nπw
f
f
==
====
=⇒
==
2
2122
2
2
Por lo tanto la función f puede extenderse a una función periódica con período = 2p, de manera talque
∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++
++++====
1
0
2n
nn pxn
senbpxn
cosaa
)x(fππππππππ , y donde Rx ),x(f)px(f ∈=+ 2 .
Donde la serie converge a f(x) si es que f es continua en x y converge a 2
)x(f)x(f +− + , si es
que f es discontinua en x.
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 56 -
2) Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier: a) sólo en términos de senos de la función f(x), b) luego sólo en términos de cosenos.
<<
<<−=
2x1 0,
1x0 x,1f(x)
a) En términos de senos. Antes de comenzar el desarrollo de este problema se recomienda graficar la función f(x) Como se observa en la gráfica esta no es función impar ni par, por lo tanto para obtener el desarrollo en series de Fourier sólo en términos de senos de esta función se debe proceder a hacer una extensión periódica impar de f(x).
2pT donde 0xp- f(-x),-
px0 (x),f(x) =
<<
<<= ,
f
Como se observa en la gráfica ahora el periódo de la función es T=2p, donde p = 2, por lo tanto el período T es 4. Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:
∑∑∑∑
∫∫∫∫
∞∞∞∞
====
====∴∴∴∴
====∈∈∈∈∀∀∀∀
====
====
====
1
0
0
321
2
00
n
n
p
n
n
pxn
senb)x(f
.n,....,,,n,Nn
;dxpxn
sen)x(fp
b
a
a
ππππ
ππππ
Encontrando los coeficientes:
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 57 -
( )
( )
( )
( )
[ ]
ππ
−π
=⇒
ππ
−π
=
−
ππ
−−π
−=⇒
ππ
−
π−
π−=⇒
ππ
−
ππ
−−=⇒
ππ
−=⇒
π=
−=⇒−=
π−=
π+
π−=
π=
π=
π=
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
242
242
02
410
2
24
21
2
22
22
1
22
2
1
21
20
21
2222
22
22
2222
1
022
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
0
0
nsen
nnb
nsen
nnn
sennn
b
;xn
senn
xncosx
nb
dxxn
cosn
xncos
nxb
;xn
cosn
dxxn
sendv
;dxdu,xu
;dxxn
senxb
dxxn
sen.dxxn
senxb
dxxn
f(x)sendxxn
f(x)senb
dxxn
f(x)senp
b
n
n
n
n
n
n
n
p
n
v
Ahora la función en términos de senos es:
∑
∑∑∞
=
∞
=
∞
=
π
ππ
−π
=
π
ππ
−π
=
π=∴
==
122
122
1
2242
2242
n
nn
n
xnsen
nsen
nn)x(f
xnsen
nsen
nnpxn
senb)x(f
0a y 0,a :entonces ,impar es Como 0n
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 58 -
b) En términos de cosenos: Igualmente que en el caso anterior para obtener la serie de Fourier sólo en terminos de cosenos de f(x), la función debe ser una función par, si no lo es se debe hacer una extensión periódica de forma par. Es decir:
2pT donde 0xp- f(-x),
px0 (x),f(x) =
<<
<<= ,
f
Como se observa en la gráfica ahora el período de la función es T=2p, donde p = 2, por lo tanto el período T es 4. Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:
∑
∫
∫
∞
=
+=∴
=∈∀
=
=
=
1
0
0
0
0
2
3210
2
2
n
n
n
p
n
p
pxn
cosaa
)x(f
.n,....,,,n,Nn
;b
dxpxn
cos)x(fp
a
dx)x(fp
a
ππππ
ππππ
Encontrando los coeficientes 0n a,a :
( )
( )
21
2100
211
21
01
2
0
1
0
21
0
0
2
1
1
0
0
2
0
0
0
0
=
=
+−−=
−=−=
+−===
=
∫
∫∫∫
∫
a
xxdxxa
dx.dxxadx)x(fa
dx)x(fp
ap
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 59 -
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
π−
π=⇒
π−
π=
−
ππ
−−π
=⇒
ππ
−
π−
π=⇒
ππ
+
ππ
−=
π−=⇒
ππ
=⇒
π=
−=⇒−=
π−=
π+
π−=
π=
π=
∫∫
∫
∫∫∫
∫
214
2141
24002
24
212
22
221
21
22
2
1
21
20
21
2
2
22
2222
1
022
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
0
ncos
na
ncos
nn
cosnn
a
xncos
nxn
senxn
a
dxxn
senn
xnsen
nxdx
xncosxa
xnsen
nv,dx
xncosdv
;dxdu,xu
;dxxn
cosxa
dxxn
cos.dxxn
cosxdxxn
cos)x(fa
dxP
xncos)x(f
pa
n
n
n
n
n
n
P
n
Como ahora f(x) es una función par, entonces 0bn = La serie de fourier de f(x) en términos de cosenos es :
∑
∑
∞
=
∞
=
π
π−
π+=
π−
π=
=
=
π+=
122
22
0
1
0
2214
41
214
21
2
2
n
n
n
n
xncos
ncos
n)x(f
ncos
na
a
p
pxn
cosaa
)x(f
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 60 -
EJERCICIO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR DE UNA VARILLA Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo , tal que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la temperatura inicial de toda la varilla esta dada por . Determina la temperatura , de la varilla, conociendo que el modelo matemático de este problema viene dado por:
Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separación de variables, se asume la solución de la siguiente manera:
Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume.
Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:
Separando a un lado de la ecuación todo lo que depende de la variable “x”, y al otro lado lo de “y”.
Se obtiene dos ecuaciones diferenciales:
La solución para esta ecuación se asume como : Se obtiene: Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma: Para
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: , entonces Para
, por lo tanto las raíces son: Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 61 -
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: , entonces Para , para indicar que es un valor negativo se pondrá el singo menos dentro del radical.
, por lo tanto las raíces son: Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, pero queda , donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial por lo tanto lo que si puede suceder es que Donde , luego se despeja
Ahora es :
Luego se obtiene la solución para la segunda ecuación diferencial que está en función de t:
Como , entonces:
Expresando en sumatoria:
Ahora se usa la condición inicial :
Donde:
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 62 -
Se procede a integrar por partes:
Otra vez por partes:
La solución es:
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 63 -
Transformada de Laplace de ciertas funciones
Transformada inversa de Laplace de ciertas funciones
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 64 -
Problemas propuestos
1.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales alrededor del punto Xo = 0. Determine si es posible la función a la que converge la primera solución, y luego halle por cualquier método la segunda solución linealmente independiente. a) ;0yx4'y''xy 3 =+−
b) ;0y)x43('xy4''yx4 22 =−+− c) ;0y2'y3''y)1x(x =−+− d) ;0y'y)x31(''y)1x(x =+−−− e) ;0y2'y3''y)1x(x =+−−
f) ;0y)x26('y)x4(x''yx2 =−+−− g) 0xy'y2''xy =−+
h) 0y)2x('xy4''yx 22 =+++ 2.-) Halle: a) [ ]( )[ ][ ][ ]( )[ ];3e5
;t5senh4t5cosh3;)tcossent(
;1t
;t5sen2sen10
2t2
2
22
−
−
−
+
L
LLL
L
b) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t(''fL :
;tcoset t2 −
( )
;t3cost2sen5
;e
t2sent
;tcos1t2
;t2senht5
t2
3
4
3
−
−
c) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t('fL :
( );)t2sentcos3(
;t2sene2
;t3cosht5senh10;t2cost2sen5;t2tsen3cos6
2
2t3
−
−
[ ][ ][ ][ ]( )[ ];e2t
;t4sene2
;et
;t4cosh
;)t2(cos4
t2
t3
t32/3
2
2
+
−
LLLLL
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 65 -
d) Halle:
e) Halle:
( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]
;due
u2sent
;senhtt
;sente si f(t),)t('ft
;tcost
;t2cos2t2sen3t
t
0u2
2
3
t2
22
=
−
∫ −
−
L
L L
LL
f) Halle:
[ ];
ttsen
;t2tsen2cost5
;t
t3senh
;t
btcosatcos
;t
ee
2
2
1
btat
−
−
−
−−
L
L
L
L
L
g) Halle:
( )
;duu
senu
;duue1
;dueuu
t
t u
tu2
−
+−
∫
∫
∫−
−
0
0
0
L
L
L( )
( ) ;dusenhuu
;duu3cos
t2
t2
∫
∫
0
0
L
L
;)1t(1t
e1
;)t(t
t2sen
)1t(
−δ
−−
δ
−−
L
L
;5t2t
)t()3t(32
2
++δ−+L
[ ][ ][ ][ ][ ];)5t(u)3t(
;)t(u)t(sen;)1t(uet
;)2t(u)t(senh.te
;)t(u)t(3coste
2
t32
t2
t2
−−
π−
−
−
π−π−
−
−
LLLLL
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 66 -
3.-) Grafique las siguientes funciones y halle sus transformadas de Laplace:
≥
<≤
<≤
<≤
=
≥
<≤+
<≤
<≤−
=
=3 t , 0=3t=2 sent; 5-
=2t =; 0=t0 sent; 5
g(t)
15 t; 015t10; 5t
10t5; 05t0; 1t
f(t)
4.) Encuentre el período de las siguientes gráficas y halle la transformada de Laplace de cada una de ellas: a)
b)
c)
d)
≥
<≤−
<≤
<≤
=
9 t; 09t6; 20 6t3 ; 10
3t0 ; 5
h(t)
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 67 -
5.-) Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:
( )
( )
( )
( )( )
( )
2s3sse)S(F
se)S(F
1s1)S(F
2s1s11s15s5)S(F
;)3s)(2s(1s
4s2)S(F
;1ss
1)S(F
;s11ln)S(F
;as
s)S(F
;3s2
1)S(F
;3s2s
7s3)S(F
;16s8s
2s4)S(F
20s4s4s6)S(F
;s
1)S(F
;3s
1)S(F
;2s
s)S(F
;s1)S(F
;9s
1)S(F
2
s2
2
s2
5
3
2
2
23
2
222
2
2
2
2/3
2
2
4
2
++=
=
+=
−+−−
=
−−+−
=
+=
+=
+=
+=
−−+
=
+++
=
+−−
=
=
−=
+=
=
+=
−
−
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ;5s2ss2)S(F
;1s9sln)S(F
;1s
1sln)S(F
);1scot(ar)S(F
;25s6s
se4)S(F
;4s
36s40s3s3)S(F
;1s
1)s(F
;4s
s)s(F
;1s2s
1)s(F
;3ss
2s)s(F
;1ss
1)s(F
;bsasln
s1)s(F
1s2sln
s1)s(F
;1s2sln)s(F
2s2s
1s)s(F
5s2se)S(F
22
2
2
2
2
2
s2
22
23
32
22
2
5
2
3
22
22
22
2
s2
+−=
++
=
−+
=
+=+−
=
−
+−−=
+=
+=
−+=
++
=
+=
++
=
++
=
++
=
++
+=
+−=
−
−
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 68 -
6.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace:
( )
2; y(0) (t) y'
y(t)
10) y(sent;-y(t)(t) y'
0;(0) y'1, y(0)y2y''ty'
2;(0) y'1, y(0)yty'' y'
0)( y'1, y(0)'ty'
(0)y' y(0)y' y'
-2(0) y'1, y(0)y' y'
9(0) y'1, y(0)tey'' y'
-4(0) y'5, y(0)10y7y'' y'
t
0
t
0
t
0
t
==θθ−
+=θθ−θ+
=−=θθ−θ+
===+−
===+−
=π==++
==π−δ+π−=+
==π−−=+
=−==+
==+=+−
∫
∫
∫
θ− ;tde)(y2)j
;3td)t)((y)i
d)t(sen)(y)h
;2t)g;1)f
;;0ty'ty2)e.0);2t(e)t(u44)d
);2t(ut2sen3t2sen3)c;25)b
;sent7tcos9)a
t
32
t2
7.-) En los siguientes problemas utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal dado, donde x’, y’, z’ denotan diferenciación con respecto a t.
8.-) En los siguientes problemas utilice el método de los operadores diferenciales para encontrar la solución general del sistema lineal dado:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) 0(0)y'(0)x'x(0) , 2y(0)
2(0)x' 1,x(0) :dadas
====
=++−
=−+
=++−
−=−++
==
=+++−
=+++−
;0y2Dx
;0yx2D)c
;tcos4y2Dx3D;senty1Dx2D
)b
;ey4D4DxD2D
;tyD2Dx4D4D)a
2
2
t22
22
9.-) En los siguientes problemas utilice el método de la transformada de Laplace para encontrar la solución general del sistema lineal dado:
=++−
=−+
−−=
+−=
;02''
;045'' )
;cos4'
;23' )
yyx
yxxe
tyxy
sentyxxd
0;z(0)(0)y'y(0) 0;y2z''y' ===
=++
=+−− ;sentz2y2'z'y)a
0;(0)'z' 4,z(0)
2;(0)y' -1,y(0)
-1.z(0) 1,y(0)
===−
==−=+−
==
=−
−=++
−
−
−
;sent'z''ty
;tcos3te''z3''y3)c
;ez'y
;e)1t('tzzty)b
t
t
t
=++
=−+
−=
=
1;yy'x'
;5x'y'x)b
;yx2'y,y3'x
)a
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
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- 69 -
10.-) En los siguientes problemas utilice el método de los valores y vectores propios para encontrar la solución general del sistema lineal dado:
−
−=
−=
=−−
=++
=
−
−
=
610
,'X1236
)c
;0y3x5'y2
;0)b
201
,X122212221
)a
X(0) X
5y3x2x'
X(0) X'
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
1) Una masa de 100 gramos esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50 cm. El resorte se alarga cuando se le agrega esta masa. Si la masa se pone en movimiento con una velocidad de 10cm/s, determine el movimiento subsiguiente. (Desprecie la resistencia del aire) 2) Un circuito mecánico vibratorio compuesto de un resorte de constante K=4 N/m. Un amortiguador de constante e=6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definida así:
[[ 4).-f(tf(t) 2,4)t 100t-400
0,2)t =
∈
∈= ;
;t100)t(f
3) Un resorte se estira 50cm con una fuerza de 2 Newton. El resorte en referencia forma parte de un sistema m-c-k el cual tiene una masa de 1 Kg, y un amortiguador con una constante c = 4N.m/s. Si la masa es puesta en movimiento desde su posición de equilibrio y sin velocidad inicial con una fuerza perturbadora de 20 Newton que actúa los primeros 5 segundos y luego cesa durante 5 segundos, y luego crece linealmente hasta 10 Newton durante 10 segundos, para nuevamente cesar definitivamente. Determine la forma en que vibra la masa.
a) ¿Cuál es la posición de la masa a los 2 segundos y a los 8 segundos? 4) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios y un condensador de 0.02 faradios. Inicialmente el condensador no tiene carga. Si el sistema es perturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo. 2< t < 8 (seg), y luego por un voltaje instantáneo de 24 voltios en el instante t= 15 seg, determine:
a) La carga acumulada en el capacitor en el tiempo t= 6 seg. b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en el tiempo t= 10 seg.
Este documento fue creado con fines académicos, de apoyo para los estudiantes politécnicos. Agradecimiento: Agradezco a Dios por haberme dado fuerza, paciencia para la elaboración de esta obra. A mi profesora de esta materia, Yadira Moreno. Y a los profesores a los que colaboré en la materia como ayudante de cátedra puesto que ellos fueron los que me dieron su confianza y apoyo para impartir las clases y compartir el conocimiento, los cuales pongo a continuación: Janet Valdiviezo, Eduardo Rivadeneira, Fernando Sandoya, Enrique Bayot, Félix Ramírez. Dedicado a todos mis compañeros politécnicos. Roberto Cabrera Velasco.
Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
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Referencias
Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica
Nagle Kent, Saff Edward, Zinder Arthur, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Editorial Addison –Wesley Iberoamericana, 2001.
William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a ed. México, Limusa, 1998
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