SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
Prof. Flávio Pietrobon Costa
Áreas de conhecimento do CNPQ
1.01.04.00-3 - Matemática Aplicada
3.05.01.04-0 - Princípios Variacionais e Métodos Numéricos
SUMÁRIO• Introdução
• Origens
• Conceitos gerais
– Equações diferenciais
– Métodos numéricos
• Métodos numéricos de solução
– ODE
– PDE
INTRODUÇÃO • Equações diferenciais
• Surgiram na segunda metade
do século XVII
• Associadas à descrição de
problemas aplicados
• Soluções dessas equações
por procedimentos
numéricos
• Problemas de elevado grau
de complexidade
• Avanços importantes
tornaram-se possíveis, no
sentido da satisfação das
necessidades humanas.
• Preservação ambiental,• Estudo de ecossistemas, • determinação de deformações e
esforços em grandes estruturas• barragens, plataformas de petróleo e
torres de telecomunicação, • análise de estruturas de esbeltez
elevada,• estudos de aerodinâmica,• previsão atmosférica,• erosão costeira ou fluvial, • poços profundos,• planejamento cirúrgico, • exploração de jazidas subterrâneas, • análise de problemas e projetos
relativos sistemas de potência e transmissão de energia,
Problemas que resultam em sistemas de
equações diferenciais,
Elevado número de incógnitas,
Esforço de cálculo analítico proibitivo,
Custos elevados de execução,
Soluções vulnerabilizadas a erros
comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989).
• Evolução dos computadores nas últimas décadas,
• Desenvolvimento das técnicas computacionais,
• Abordagem por métodos numéricos,
• Problemas complexos: grande no. de variáveis e
de equações: sistemas,
• Atualmente resolvidos por via computacional:
solução automatizada,
• Problemas envolvendo mecânica do contínuo
(Pietrobon, 1998).
• Os métodos numéricos computacionais, utilizando técnicas de programação adequadas à otimização da busca de soluções, viabilizam o estudo dos problemas complexos, com elevado número de variáveis.
• Advento dos métodos numéricos: décadas de 50 e 60 (sec. XX),
• Prever e projetar, com apurado índice de acerto, resultados derivados de sistemas complexos de equações.
• Problemas associados à mecânica do contínuo: simulação temporal por soluções precisas (Bushnell, 1990).
• Ciências físicas, biológicas, matemáticas, químicas, engenharia, e do meio ambiente.
ORIGENSEquações diferenciais
• O raiar da Teoria das Equações Diferenciais:
– acúmulo de 325 anos de informações,– 11 de novembro de 1675, Leibinitz:
• Newton (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, escrito em 1671, editado em 1744):– equações de fluxo,– relação entre taxas de variação (“fluxo”) e
variáveis independentes (“fluente”)
• associando dois fluentes,
• definindo as Equações Diferenciais Ordinárias, EDO (inglês ODE).
• classe de equações: EDP (PDE),
• relaciona uma taxa de variação com mais de duas variáveis.
• Contribuições de Newton e Leibnitz.
• Newton:
– desenvolvimento de solução em série de potências,
– solução da equação por uma série infinita,
• resulta por substituição da série representativa de y
• in Tractatus de quadratura curvarum, 1676, 1a publicação em Opticks, 1704
• O coeficiente a0 resulta totalmente arbitrário,
• Família de soluções, infinita.
• Leibnitz, 1691, técnica de separação de variáveis:
• Desenvolvimento econômico e industrial,
• Sec. XVIII a XX, requisitos:
•ocupação do espaço territorial,
•mecânica, eletricidade, mineração, navegação, vôo, construção, e outras demandas da sociedade moderna.
– Choque ideológico e econômico entre as potências,
– Requisito de maiores e novos avanços na tecnologia,
– Avanço no conhecimento em áreas fundamentais: matemática, física, química e engenharia,
–Rápido alcance dos limites de segurança de materiais e técnicas empíricas de construção de equipamentos,
–Condições de uso nos limites da segurança e da resistência dos materiais: vôo a jato, exploração em águas profundas, construções de grandes estruturas,
No seu conjunto, requisitos de desenvolvimento da tecnologia:
• resultam em modelos matemáticos
• sistemas de ODEs e EDPs,
• solução numérica computacional.
CONCEITOS GERAIS
solução de sistemas de equações diferenciais (Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997):
• experimental: modelo físico, medição direta, análise dimensional, Teoria da Semelhança (Carneiro, F. Lobo, 1993).
• analítica: simplificações teóricas, problemas complexos tratáveis, solução depende da precisão e eficácia das hipótese simplificadoras.
• computacional: modelo matemático, algoritmo de solução, hipóteses coerentes, simulação numéricas,discretização do contínuo.
•Objeto de resolução: sistema de equações diferenciais obtidas no modelo numérico.
•Pontualmente na malha de discretização do contínuo: função algébrica integrada solução,
•MDF: derivadas substituídas por diferenças finitas apropriadas,
•MEF: funções de forma elementais ponderadas, para modelar solução.
VANTAGENS DA ABORDAGEM NUMÉRICA COMPUTACIONAL
• Liberdade de limitações de ordem dimensional, de ordem física e espacial,
• Ausência de limitações de hipóteses simplificadoras,
• É a abordagem de maior potencial evolutivo.
• Precisão, prevenção de erros numéricos, estabilidade e convergência do processo de solução (Lapidus e Pinder, 1999).
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS•Contém uma ou mais derivadas, de 1a , 2a, ou ordem superior.
•Derivadas ordinárias, correlaciona uma função, ou variável dependente, com uma única variável independente: EDO.
•Derivadas parciais: função dependente de mais de uma variável. Derivadas indicando a variável com que se relaciona: EDP (Dieguez, 1994):
MÉTODOS NUMÉRICOS• procedimentos matemáticos,
• aplicação otimizada para emprego computacional,
• implementação em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos,
• solução de um problema de caráter científico
• aproximações numéricas sucessivas: processo iterativo.
• rotina de análise e modelagem do problema,
• relações matemáticas entre variáveis, funções e condicionantes desse problema,
• testes de validação e aperfeiçoamento.
PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO
• EDOs, podem sempre ser reduzidos à 1a ordem:
• z(x) nova variável dependente (Dieguez, 19994).
• Solução genéricas de EDOs: redução das EDOs de ordem superior ao estudo de uma cadeia de n equações de 1a ordem acopladas em termos de funções yi , i=1,2,...,n:
O problema de solução numérica de EDO de ordem n:
• Não é resolvido somente com essas n equações de 1a ordem,
• Crucial é a modelagem numérica (MDF, MEF etc),
• Consideração das condições de contorno associadas à equação.
• Condições de contorno: valores algébricos de xi ou de yi em pontos discretos específicos.
PVI, problema de valor inicial: em que valores algébricos de yi são fornecidos em pontos iniciais xs, sendo necessário o conhecimento desses valores para iniciar a solução da equação;
PVC, problema de valor de contorno: sendo necessário o conhecimento de valores, ou condições associadas a yi, em pontos xf que determinam a fronteira da solução do problema.
• Conceito de discretização desenvolvido por Euler: substitui-se a taxa relacional por “steps” ou incrementos y e x (Numerical recipes, 2002):
• Multiplicando toda a equação por x,
• Resultado: formulação algébrica análoga à EDO, que fornece variação da função correspondente à variação de x de um x.
• No limite: incrementos adequadamente pequenos, aproximação ótima para a avaliação da função y, solução da EDO.
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA EDO
Método de Euler
Euler: expansão em série de Taylor, truncando a série no 2o termo, resultando um erro de ordem O(h2).
Runge-Kutta: redução da ordem de erro, seqüência de formulações de 1a ordem, avaliação do valor aproximado da função solução da EDO de ordem n.
Runge-Kutta de 2a ordem
Runge-Kutta de 4a ordem
EDO,
condições iniciais x0 = 0, y0 = 1, e xn = 0,1.Tomando 10 partições (n = 10) e, portanto h = 0,0:
SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP
• Relacionada a métodos de discretização e integração de variáveis sobre um contínuo,
• Método das Diferenças Finitas (FDM),
• Método dos Elementos Finitos (FEM).
• Nas últimas décadas: Diferenças Finitas Energéticas (EFDM), Elementos de Contorno (Boundary), Tiras (Strips) Finitas, dentre outros.
FDM: substituição das derivadas por formas de diferenças finitas,
Obtidas pela expansão em Série de Taylor e truncamento a nível da ordem de erro desejada:
Formulações análogas para formas em diferenças finitas, centrais, a vante e a ré, para derivadas de ordem superior, assim para a 2a derivada resulta a forma central:
Aplicação em EDPs: equações algébricas,
Integrando contribuições pontuais do valor da função,
Domínio contínuo discretizado em uma malha de pontos,
Valores da função em vértices da malha :
Equação de onda, EDP, propagação de ondulação em um meio contínuo:
Condições de bordo (contorno): extremidades fixas:
u(0,t) = u(L,t) = 0
Equação algébrica só tem solução para a condição de estabilidade (Lapidus e Pinder, 1999; e Diegues, 1994):
Corda inicialmente em repouso, em posição u(x) = x (4-x), de extremidades fixas, com comprimento 4 m, de 2 m/s, discretizada em 8 partições, resultando x = 0,5 m e t = 0,25 s.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA( E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york, 1944;
( L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto, 1999;Cook, Malkus e Plesha, 1989;
( Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas da Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de Janeiro, 1998;
( Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element Models: Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed Missiles and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 1990;)Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1744;
( Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704;
( Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997;
( Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993;
( Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.