CONTROL INTELIGENTESistemas fuzzy tipo Mamdani
Contenido Inferencia fuzzy (una sola regla) La base de reglas Reglas con varias entradas Aproximacion formal: El soplete de gas Inferencia según Mamdani Inferencia según Mamdani: algoritmo Ejemplo: Modelo del nivel de un tanque
2
Inferencia fuzzy (una sola regla)
ALGORITMO
3
Paso 1
Construir la relacion de la implicacion:
basada en la implicacion (Lukasiewicz)
basada en la conjuncion: (el producto)
, *R A Bx y x y
, min 1,1R A Bx y x y
4
Paso 2
Definir el operador composicion correspondiente:
Para el caso de la implicacion basada en la conjuncion
' ',
max min , ,B A RX YX
y x x y
' 'sup , ,B A Rx
y T x x y
5
Paso 3
Calcular el conjunto fuzzy correspondiente
'B
' 'B A R
Regla de inferencia composicional (Zadeh, 1973)
6
Inferencia fuzzy (una sola regla)
Ejemplo
7
Implicacion basada en la conjuncion
, min ,R A Bx y x y
8
Inferencia basada en la conjuncion
' ',
max min , ,B A RX YX
y x x y
9
La base de reglas
10
La base de reglas La base de reglas es un conjunto de reglas
en paralelo:
11 1
i
R :
R
IF THEN
IF THEN
IF THEN
:
:
i i
K KK
x A y B
x A y B
xR A y B
11
Agregacion de varias reglas La combinacion de las reglas fuzzy en una
relacion unica se denomina agregacion
Dos posibilidades basada en la implicacion clasica basada en la conjuncion clasica
11 1 IF THEN
IF THEN
R :
: K K K
x A y B
x A BR y
12
Agregacion de varias reglas Agregacion para reglas basadas en la
implicacion clasica
Ejemplo: Min
Agregacion para reglas basadas en la conjuncion clasica
Ejemplo: Max 1
K
ii
R R
1
K
ii
R R
13
Inferencia local e inferencia global Inferencia global
Inferencia local
1 1
' ' 'K K
i ii i
B A R A R B
1
' 'K
ii
B A R A R
Agregacion para reglas basadas en la conjuncion clasica
14
Propiedades de la base de reglas Continuidad
Reglas con premisas “adjacentes” tienen consecuentes “adjacentes”
ConsistenciaSe refiere a la consistencia del conocimiento
representado por la base de reglas
CompletitudTodas las situaciones del espacio de entrada (a un
nivel semantico) tienen una salida definida15
Reglas con varias entradas
16
Reglas con varias entradas En el caso de Multiples Entradas
La entrada esta definida sobre un dominio multidimensional
Conjuntos fuzzy sobre un dominio multi-dimensional
17
Conjuntos fuzzy multi-dimensionales
Dos representaciones
Varias proposiciones antecedentes con conjuntos fuzzy de una sola variable
Una sola proposicion antecedente con conjuntos fuzzy multivariable
1IF is , , px A x x
1 1 1IF is AND AND is p P px A x x A x
18
Reglas con varias entradas Construccion del antecedente con varios
terminos linguisticos
○ Young AND Healthy
○ Young OR Healthy
○ VERY Young AND (NOT Healthy)
19
Particion del espacio de entrada
Particion del espacio antecedente con operadores AND unicamente
El antecedente de la regla es la combinacion (interseccion) de p (o menos) conjuntos fuzzy
20
Particion del espacio de entrada
El efecto de otros operadores
El antecedente de la regla es la combinacion (interseccion o union) de p (o menos) conjuntos fuzzy
21
Una sola proposicion antecedente El antecedente de la regla es un conjunto fuzzy
multivariable
Limites entre las regiones de la particion con forma arbitraria
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Aproximacion formalEjemplo: El soplete de gas
23
Ejemplo: soplete de gas Se considera el caso de un soplete de gas:
Entrada del sistema: Flujo de oxigeno Salida del sistema: Temperatura de la llama
Problema: encontrar un sistema fuzzy que modele al sistema
24
Ejemplo: soplete de gas Terminos linguisticos:
Flujo de oxigeno: Low, OK, High
Temperatura de la llama: Low, High
25
Ejemplo: soplete de gas Funciones de pertenencia del antecedente
26
Ejemplo: soplete de gas Funciones de pertenencia del consecuente
27
Ejemplo: soplete de gas Base de reglas
R1
R2
R3
IF O2 flow rate is LOW THEN heating power is LOW
IF O2 flow rate is OK THEN heating power is HIGH
IF O2 flow rate is HIGH THEN heating power is LOW
28
Calculo de la relacion de la regla 1
29
(Implicacion = min)
IF O2 flow rate is Low THEN heating power is Low
1.00.60.00.0
1.0 1.0 0.6 0 0
antecedente
consecuente
, min ,R A Bx y x y
Calculo de la relacion de la regla 2
(Implicacion = min)
IF O2 flow rate is OK THEN heating power is High
0.00.41.00.4
0 0 0.3 0.9 1
antecedente
consecuente
, min ,R A Bx y x y
30
Calculo de la relacion de la regla 3
(Implicacion = min)
IF O2 flow rate is High THEN heating power is Low
0.00.00.11.0
1.0 1.0 0.6 0 0
antecedente
consecuente
, min ,R A Bx y x y
31
Agregacion de las reglas Calculo de la relacion de la base de reglas
(Agregacion = max)
1
, max ,iR R
i Kx y x y
Low-Low
OK-High
High-Low32
Calculo de conjunto de salida Conjunto fuzzy de salida usando la
composicion max-min
Caso 1
Caso 2
' ',max min , , B A Rx yx
y x x y
33
Ejercicio Analizar el problema resuelto en matlab:
Soplete.m
34
Inferencia según MamdaniSustentacion teorica
35
Operadores de Mamdani
En la inferencia según Mamdani se definen los siguientes operadores:
Union: max Interseccion: min La relacion que define la regla: μR(.) = min(.) El operador composicion: max-min
Agregacion: max local
36
Inferencia según Mamdani Sea A’ el conjunto de entrada
Entonces, la expresion que calcula el conjunto fuzzy de salida B’ es:
' ',max min , ,B A Rx yx
y x x y
37
Inferencia según Mamdani Sea el conjunto de entrada. Entonces,
de la aproximacion formal 'A
' ',max mi , m nn i ,B Ax yx
A Bx xy y
' ',ma , ,x minB Ax y Rx
x yy x
38
Inferencia según Mamdani min(c,min(a,b)) = min(min(a,b),c)
',' max mi mi ,n , nAxBx y A Bx x yy
',
' minmim x n ,a ,A By
Bxx
A xxy y
39
Inferencia según Mamdani min(min(a,b),c) = min(min(c,a),b)
, '' minmim x n ,a ,A A Bx yBx
yx xy
' ',minmax min , ,B Ax yx
A By xx y
40
Inferencia según Mamdani El maximo en x del minimo en x,y es igual
al minimo en x,y del maximo en x,
, '' max mi ,min n , B
xx Ay AB x xy y
,'' minmim x n ,a ,A A B
x yB
xyx xy
41
Inferencia según Mamdani El maximo en x del minimo en x,y es igual
al minimo en x,y del maximo en x,
, '' max mi ,min n , B
xx Ay AB x xy y
,'' minmim x n ,a ,A A B
x yB
xyx xy
depende solo del antecedente de la regla
42
Inferencia según Mamdani Es posible simplificar el procedimiento.
',
min ,iB B
x yy x y
, '' max mi ,min n , B
xx Ay AB x xy y
depende solo del antecedente de la regla
43
Inferencia según Mamdani El “grado de cumplimiento” del antecedente de
la regla i-esima se define como como:
El conjunto de salida fuzzy es entonces
',
min ,B Bx y
y x y
'max min ,A Ax
x x
44
Inferencia fuzzy según Mamdani
ALGORITMO
45
Metodo de inferencia de Mamdani
1. Definir la funcion de pertenencia del conjunto fuzzy de entrada A’
2. Calcular el grado de cumplimiento entre la entrada y la funcion de pertenencia del antecedente
3. Recortar el conjunto fuzzy del consecuente de la regla usando el grado de cumplimiento
46
Representacion grafica
A
X
w
A’ B
Y
x is A’
B’
Y
A’
Xy is B’
If x es A then y es B
47
Inferencia de la base de reglas
1. Calcular el conjunto de salida para cada regla
2. Calcular el conjunto de salida por la agregacion la base de reglas completa
',
min ,i iB i B
x yy x y
1
' 'K
ii
B B
48
Inferencia con antecedente multiple
IF x is A AND y is B THEN z is C
grado de cumplimiento
El conjunto de salida fuzzy es entonces
', ,
min , ,B Cx y z
z x y z
' ',
max min , , ,A B A Bx y
x y x y
49
Representacion grafica
A B T-norm
X Y
w
A’ B’ C2
Z
C’
ZX Y
A’ B’
x is A’ y is B’ z is C’
IF x is A AND y is B THEN z is C
50
EjemploModelo del nivel de un tanque
51
Ejemplo: modelado del nivel de liquido
52
Ejemplo: modelado del nivel de liquido
Recorte de la funcion de pertenencia del consecuente de la primera regla
53
Ejemplo: modelado del nivel de liquido
Recorte de la funcion de pertenencia del consecuente de la segunda regla
54
Ejemplo: modelado del nivel de liquido
Agregacion de las dos reglas
55
Ejercicio Analizar el problema resuelto con ayuda
del Tool-box Fuzzy de matlab.
Tanque.fis
56
Fuentes
J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.
Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.
57
Fuentes
R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999
René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.
Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000
L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994
58
Fuentes
Kwang-Hyung Lee, Textbook CS670 Fuzzy Theory, http://if.kaist.ac.kr/lecture/cs670/textbook/, septiembre 2001
J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002?
Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001
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