7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
1/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Anlise no Domnio do Tempo de Sistemas em
Tempo Discreto
Edmar Jos do Nascimento
(Anlise de Sinais e Sistemas)http://www.univasf.edu.br/edmar.nascimento
Universidade Federal do Vale do So FranciscoColegiado de Engenharia Eltrica
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
2/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada NulaResposta de Estado Nulo
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
3/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Introduo
Sinais discretos so sinais definidos em instantesdiscretos de tempo
Representados porx[n], n ZPodem ser discretos por natureza ou resultado de uma
operao de discretizao (passagem do tempo contnuopara o tempo discreto)
Sistemas discretos so aqueles que processam sinais
discretos, resultando em um sinal de sada tambm
discreto
Sinais contnuos tambm podem ser processados porsistemas discretos desde que eles sejam discretizados
previamente
x(t) = et
x(nTs) =e
nTs
x[n] =e0,1n (Ts=0,1)
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
4/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada NulaResposta de Estado Nulo
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
5/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Impulso discreto
[n] = 1, n=00, n=0 Degrau unitrio
u[n] = 1, n 00, n
7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
6/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Exponencial Discreta
A exponencial discretaen representada freqentemente
na forman, sendo
n = en (=e ou = ln )
O planopode ser mapeado para o plano Eixo imaginrio () - Crculo unitrio ()
= j=ej ||= |ej|= 1
SPE () - Interior do crculo unitrio ()
= a+j=eaej ||= |ea|< 1(a< 0)
SPD () - Exterior do crculo unitrio ()
= a+j=ea
ej
||= |ea
|> 1(a> 0)
Si i Di t Si t Di t
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
7/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Exponencial Discreta
Mapeamento do plano para o plano
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/http://goback/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
8/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Senide Discreta
Uma senide discreta no tempo representada por
x[n] = Ccos (n+ ) =Ccos (2F
n+ )
Camplitudefase em radianos freqncia em radianos/amostra
n ngulo em radianosF= 1
N0freqncia em ciclos/amostra
N0 perodo
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
9/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Senide Discreta
Senide discreta cos( 12 n+ 4 )
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
10/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Exponencial Complexa Discreta
Uma exponencial complexa discreta representada por
ejn
A sua relao com a senide discreta dada por
ejn = (cos n+jsin n)
ejn = (cos njsin n)
cos
n =
ejn+ ejn
2
sin n = ejn ejn
2j
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
11/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Operaes com Sinais Discretos
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada NulaResposta de Estado Nulo
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
12/64
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Operaes com Sinais Discretos
Energia e Potncia de Sinais Discretos
A energia de um sinal discretox[n] dada por
Ex =
n=
|x[n]|2
Se 0
7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
13/64
Operaes com Sinais Discretos
Operaes com Sinais
Deslocamentoxs[n] =x[nM],M ZM>0 deslocamento para a direita (atraso)M
7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
14/64
Operaes com Sinais Discretos
Decimao
xd[n] =x[2n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/http://goback/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
15/64
Operaes com Sinais Discretos
Interpolao
xd[n] =x[n/2]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/http://goback/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
16/64
Sistemas Discretos
Um sistema discreto um sistema que processa sinais
discretos resultando em sadas discretas
Sistemas discretos podem ser expressados atravs de
equaes de diferena
Esses sistemas podem ser inerentemente discretos ou
podem ser obtidos a partir da discretizao de sistemas
contnuos no tempo
Os softwares de simulao transformam os sistemascontnuos em discretos
O usurio tem a "iluso"de estar trabalhando com umsistema contnuo
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
17/64
Sistemas Discretos
Exemplo 3.6
Projetar um sistema discreto para diferenciar sinais contnuos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
18/64
Sistemas Discretos
Soluo
y(nT) = dx(t)dt |t=nT = lim
T0x(nT) x((n 1)T)
T
y[n] = limT0
x[n] x[n 1]T
y[n] =
x[n]
x[n
1]
T =
x[n]
T x[n
1]
T (Tpequeno)
T escolhido de acordo com o sinal a ser diferenciado.
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
19/64
Sistemas Discretos
Soluo
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
20/64
Sistemas Discretos
Em geral, uma equao diferencial qualquer pode ser
convertida em uma equao de diferenas
Considere o exemplo da equao diferencial de primeira
ordem abaixo
dy(t)
dt + cy(t) =x(t) lim
T0
y[n] y[n 1]T
+ cy[n] =x[n]
SeT pequeno, ento pode-se ter a aproximao
y[n] y[n 1]T
+ cy[n] =x[n] y[n] + y[n 1] =x[n]ou
y[n+ 1] + y[n] =x[n+ 1]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/http://goback/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
21/64
Classificao de Sistemas Discretos
A classificao dos sistemas discretos segue a mesma
linha dos sistemas contnuos
Sendo assim, os sistemas discretos podem serLineares ou no linearesVariantes ou invariantes no tempoCausais ou no causaisInversveis ou no inversveis
Estveis ou instveisCom memria ou sem memria
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
22/64
Equaes de Diferena
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Estado Nulo
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
23/64
Equaes de Diferena
Equaes de Diferena
Uma equao de diferenas pode ser escrita usandooperaes de avano ou de atraso
As duas formulaes so equivalentes
A formulao com avanos similar obtida para asequaes diferenciais contnuas
Uma equao de diferenas de ordem max (N,M)naforma de avano pode ser escrita como
y[n+ N] + a1y[n+ N 1] + + aNy[n] =bNMx[n+ M] + bNM+1x[n+ M 1] + + bNx[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
24/64
Equaes de Diferena
Equaes de Diferena
Se o sistema discreto for causal, ento N M, logo umsistema causal genrico de ordemNpode ser escrito
fazendo-seM=N
y[n+ N] + a1y[n+ N 1] + + aNy[n] =b0x[n+ N] + b1x[n+ N 1] + + bNx[n]
A equao de diferenas acima pode ser escrita na forma
de atraso fazendo-se a transformaon
n
N,
resultando em
y[n] + a1y[n 1] + + aNy[n N] =b0x[n] + b1x[n 1] + + bNx[nN]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
25/64
Equaes de Diferena
Soluo Iterativa
O mtodo mais simples de soluo de uma equao de
diferenas o recursivo ou iterativo
Nesse mtodo, os valores dey[n]so obtidosseqencialmente a partir da entradax[n]e das condiesiniciais
Esse tipo de soluo adequada para computadores
y[n] = a1y[n 1] + aNy[n N]+ b0x[n] + + bNx[n N]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
26/64
Equaes de Diferena
Soluo Iterativa
Exemplo
Resolver recursivamente a equaoy[n+ 1] + 2y[n] =x[n+ 1]parax[n] =enu[n]e y[1] =0
Soluo
y[n] + 2y[n 1] = x[n] y[n] = 2y[n 1] + enu[n]
y[0] = 2y[1] + e0
=1y[1] = 2y[0] + e1 = 1, 6321y[2] = 2y[1] + e2 =3,3996
... = ...
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
27/64
Equaes de Diferena
Soluo Iterativa
Exemplo
Resolver recursivamente a equaoy[n+ 1] + 2y[n] =x[n+ 1]parax[n] =enu[n]e y[1] =0
Soluo
y[n] + 2y[n 1] = x[n] y[n] = 2y[n 1] + enu[n]
y[0] = 2y[1] + e0
=1y[1] = 2y[0] + e1 = 1, 6321y[2] = 2y[1] + e2 =3,3996
... = ...
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
28/64
Equaes de Diferena
Soluo Iterativa
y[n+ 1] + 2y[n] =x[n+ 1]
0 1 2 3 4 530
25
20
15
10
5
0
5
10
15
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
29/64
Equaes de Diferena
Soluo Geral
Assim como foi feito para as equaes diferenciais, til
representar uma equao de diferena usando operadores
O operador de avano definido por
Eix[n] = x[n+ i]
Assim, um sistema causal genrico pode ser escrito como
(EN
+ a1EN1
+ aN) Q[E]
y[n] = (b0EN
+ b1EN1
+ bN) P[E]
x[n]
Q[E]y[n] = P[E]x[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
30/64
Equaes de Diferena
Soluo Geral
A soluo geral consiste em uma expresso paray[n]emfuno denque verifique a equao de diferenas
Q[E]y[n] =P[E]x[n]
Assim como foi verificado para o caso contnuo, a soluogeral (resposta total) de um sistema discreto dada por
y[n] = resposta de estado nulo
devido entrada+
resposta de entrada nula devido s condies iniciais
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
31/64
Resposta de Entrada Nula
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Estado Nulo
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
32/64
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Entrada Nula
A resposta de entrada nulay0[n] a resposta do sistemaquandox[n] =0, ou seja
y0[n+ N] + a1y0[n+ N
1] +
+ aNy0[n] = 0
Q[E]y0[n] = 0
A soluo obtida a partir da equao caracterstica
Q[] =0
N + a1N1 +
+ aN=0
( 1)( 2) ( N) =0
As razes1, 2, , Nso chamadas de razescaractersticas
Sinais Discretos Sistemas Discretos
R t d E t d N l
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
33/64
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Entrada Nula
Trs casos podem ser possveis
AsNrazes so distintas
y0[n] = c1n1 + c2
n2 + cNnN
H razes repetidas( 1)r( r+1) ( N) =0
y0[n] = (c1+ c2n+ + crnr1)n1 + cr+1nr+1+ cNnNH razes complexas=
||ej e =
||ej
y0[n] = c1n+ c2
n =c||ncos (n+ )
AsNconstantes so determinadas a partir dasN
condies iniciais
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Entrada N la
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
34/64
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Entrada Nula
Exerccio E3.12
Determinar a resposta de entrada nula de
y[n] + 0,3y[n 1] 0, 1y[n 2] =x[n] + 2x[n 1]comy0[
1] =1 ey0[
2] =33.
Soluo
y[n+ 2] + 0,3y[n+ 1] 0, 1y[n] =x[n+ 2] + 2x[n+ 1]Q[E] =E2 + 0,3E 0,1
Q[] =2 + 0, 3 0, 1= 0 1 = 0,5; 2 =0,2y0[n] =c1(0, 5)n+ c2(0, 2)n
y0[n] =2(
0, 5)n+ (0,2)n
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Entrada Nula
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
35/64
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Entrada Nula
Exerccio E3.12
Determinar a resposta de entrada nula de
y[n] + 0,3y[n 1] 0, 1y[n 2] =x[n] + 2x[n 1]comy0[
1] =1 ey0[
2] =33.
Soluo
y[n+ 2] + 0,3y[n+ 1] 0, 1y[n] =x[n+ 2] + 2x[n+ 1]Q[E] =E2 + 0,3E 0,1
Q[] =2 + 0, 3 0, 1= 0 1 = 0,5; 2 =0,2y0[n] =c1(0, 5)n+ c2(0, 2)n
y0[n] =2(
0, 5)n+ (0,2)n
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Entrada Nula
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
36/64
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Entrada Nula
Exerccio E3.13Determinar a resposta de entrada nula de
y[n] + 4y[n 2] =2x[n]comy0[1] = 1/(2
2)e
y0[2] =1/(4
2).
Soluo
y[n+ 2] + 4y[n] =2x[n+ 2]
Q[E] =E2 + 4
Q[] =2 + 4=0 1=2j=2ej
2; 2= 2j=2ej
2
y0[n] =c2ncos (n
2+ )
y0[n] =2ncos (n
23
4
) =
2ncos (n
2
+
4
)
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Entrada Nula
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
37/64
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Entrada Nula
Exerccio E3.13Determinar a resposta de entrada nula de
y[n] + 4y[n 2] =2x[n]comy0[1] = 1/(2
2)e
y0[2] =1/(4
2).
Soluo
y[n+ 2] + 4y[n] =2x[n+ 2]
Q[E] =E2 + 4
Q[] =2 + 4=0 1=2j=2ej
2; 2= 2j=2ej
2
y0[n] =c2ncos (n
2+ )
y0[n] =2ncos (n
23
4
) =
2ncos (n
2
+
4
)
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
38/64
Resposta de Estado Nulo
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Estado Nulo
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/http://goback/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
39/64
p
Resposta ao Impulso
Para determinar a resposta de estado nulo necessrio
primeiramente determinar a resposta ao impulso
A resposta ao impulso denotada por h[n] a soluo daequao
Q[E]h[n] = P[E][n], comh[1] =h[2] = h[N] =0Q[E] = EN + a1E
N1 + aNP[E] = b0E
N + b1EN1 + bN
QuandoaN=0, a resposta ao impulso dada por
h[n] = bN
aN[n] + yc[n]u[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
40/64
p
Resposta ao Impulso
yc[n]consiste em uma combinao linear dos modoscaractersticosido sistema
AsNconstantes presentes emh[n]so determinadas apartir deNvalores deh[n](h[0],h[1], ,h[N 1])Esses valores so obtidos iterativamente a partir dosvalores iniciaish[1] =h[2] = = h[N] =0
QuandoaN=0, a expresso da resposta ao impulso
diferenteEsse caso abordado na seo 3.12 do livro texto
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
41/64
Resposta ao Impulso
Exerccio E3.14a
Determinar a resposta ao impulso dey[n+ 1] y[n] =x[n].
Soluo
Q[E] =E 1Q[] = 1=0 1 =1
yc[n] =c11
n
=c1h[n] = [n] + c1u[n]
h[0] =0 c1 =1h[n] = [n] + u[n] =u[n 1]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
42/64
Resposta ao Impulso
Exerccio E3.14a
Determinar a resposta ao impulso dey[n+ 1] y[n] =x[n].
Soluo
Q[E] =E 1Q[] = 1=0 1 =1
yc[n] =c11
n
=c1h[n] = [n] + c1u[n]
h[0] =0 c1 =1h[n] = [n] + u[n] =u[n 1]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
43/64
Resposta ao Impulso
Exerccio E3.14bDeterminar a resposta ao impulso de
y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] =8x[n 1] 19x[n 2].
Soluo
y[n+ 2] 5y[n+ 1] + 6y[n] =8x[n+ 1] 19x[n]Q[E] =E2 5E+ 6,Q[] =2 5+ 6= 0 1=2, 2=3
yc[n] =c12n
+ c23n
,h[n] = 19
6 [n] + (c12n
+ c23n
)u[n]
h[0] =0,h[1] =8 c1 = 32, c2=
5
3
h[n] =
19
6
[n] + (3
2
2n+5
3
3n)u[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
44/64
Resposta ao Impulso
Exerccio E3.14bDeterminar a resposta ao impulso de
y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] =8x[n 1] 19x[n 2].
Soluo
y[n+ 2] 5y[n+ 1] + 6y[n] =8x[n+ 1] 19x[n]Q[E] =E2 5E+ 6,Q[] =2 5+ 6= 0 1=2, 2=3
yc[n] =c12n
+ c23n
,h[n] = 19
6 [n] + (c12n
+ c23n
)u[n]
h[0] =0,h[1] =8 c1 = 32, c2=
5
3
h[n] =
19
6
[n] + (3
2
2n+5
3
3n)u[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
45/64
Resposta de Estado Nulo
Um sinal discreto qualquerx[n]pode ser expressadocomo uma combinao linear de impulsos deslocados
x[n] =
m=x[m][n m]Alguns exemplos
u[n
] =
m=0 [
n
m]
nu[n] =
m=0
m[n m]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
46/64
Resposta de Estado Nulo
Se o sistema linear e invariante no tempo, ento:
entrada = sada[n] =
h[n]
[nm] = h[n m]x[m][n m] = x[m]h[n m]
m=
x[m][n m]
x[n]
=
m=
x[m]h[n m]
y[n]
y[n] a resposta de estado nulo e se deve unicamente entradax[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
47/64
Resposta de Estado Nulo
Define-se
x[n] h[n] =
m=
x[m]h[n m]
x[n] h[n] chamado de somatrio de convoluoAs propriedades do somatrio de convoluo so
similares s da integral de convoluo
Comutatividade
x1[n] x2[n] = x2[n] x1[n]
Distributividade
x1[n]
(x2[n] + x3[n]) = x1[n]
x2[n] + x1[n]
x3[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
48/64
Somatrio de Convoluo
Associatividade
x1[n] (x2[n] x3[n]) = (x1[n] x2[n]) x3[n]Deslocamento
x1[n] x2[n] = c[n]x1[n m] x2[n p] = c[n m p]
Convoluo com o impulso
x[n] [n] = x[n]Largura
Sex1[n]tem larguraW1 eL1 elementos ex2[n]tem larguraW2 eL2 elementos, entox1[n] x2[n]tem larguraW1+ W2
eL1+ L2 1 elementos no nulos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
49/64
Somatrio de Convoluo
Sex[n]eh[n]forem causais, ento tem-se que:
x[m] = 0 semn
y[n] =
m=
x[m]h[nm] =n
m=0
x[m]h[n m]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
50/64
Somatrio de Convoluo
Exerccio E3.15
Mostrar que(0, 8)n
u[n] u[n] =5[1 (0,8)n+1
]u[n]. Use o fatoque
nk=m
rk = rn+1 rm
r
1
parar=1
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
51/64
Resposta de Estado Nulo
Exemplo 3.14
Determinar a resposta de estado nulo de um sistema LDIT
descrito pory[n+ 2] 0,6y[n+ 1] 0, 16y[n] =5x[n+ 2]sex[n] =4
n
u[n].
Soluo
h[n] = [(0, 2)n
+ 4(0,8)n
]u[n]y[n] = x[n] h[n]
= [1,26(4)n+ 0,444(0,2)n+ 5, 81(0, 8)n]u[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
R d E d N l
http://find/http://goback/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
52/64
Resposta de Estado Nulo
Exemplo 3.14
Determinar a resposta de estado nulo de um sistema LDIT
descrito pory[n+ 2] 0,6y[n+ 1] 0, 16y[n] =5x[n+ 2]sex[n] =4
n
u[n].
Soluo
h[n] = [(0, 2)n
+ 4(0,8)n
]u[n]y[n] = x[n] h[n]
= [1,26(4)n+ 0,444(0,2)n+ 5, 81(0, 8)n]u[n]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
F d T f i
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
53/64
Funo de Transferncia
Sejazn
uma exponencial com durao infinita e comparmetro complexoz
A resposta do sistema com resposta ao impulso h[n]entradazn dada por
y[n] = h[n]
zn
=
m=
h[m]znm
= zn
m=h[m]zm =H[z]zn
Sendo que,
H[z] =
m=h[m]zm
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
F d T f i
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
54/64
Funo de Transferncia
H[z] chamada defuno de transfernciado sistema
H[z]pode ser tambm definido da seguinte maneira:
H[z] =
Sinal de sada
Sinal de entrada |entrada=zn
Um sistema LDIT pode ser escrito na forma:
Q[E]y[n] = P[E]x[n]
Logo
Q[E]H[z]zn = H[z](Q[E]zn) =P[E]zn
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Resposta de Estado Nulo
F d T f i
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
55/64
Funo de Transferncia
Como
Ek
zn
= zn+k
=zn
zk
P[E]zn
=P[z]zn
e Q[E]zn
=Q[z]zn
Logo
H[z] = P[z]
Q[z]
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Roteiro
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
56/64
Roteiro
1 Sinais Discretos
Modelos de Sinais Discretos
Operaes com Sinais Discretos
2 Sistemas Discretos
Equaes de Diferena
Resposta de Entrada Nula
Resposta de Estado NuloEstabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
57/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Assim como foi feito para os sistemas contnuos, aestabilidade dos sistemas discretos pode ser avaliadasegundo dois critrios
Estabilidade BIBO (externa)
Estabilidade assinttica (interna)
Um sistema LDIT BIBO estvel se uma entrada limitada
resulta sempre em uma sada limitada
Essa condio sempre verificada se
n=
|h[n]| < K
7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
58/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
As condies de estabilidade assinttica para sistemas
LDIT causais so anlogas s dos sistemas contnuos
quando se faz a correspondncia entre os planos e
Assim, um sistema LDIT assintoticamente estvel setodas as razesiesto dentro do crculo unitrio
Um sistema LDIT assintoticamente instvel se
Ao menos uma raiz estiver fora do crculoOu se houverem razes repetidas no crculo
Um sistema LDIT marginalmente estvel se noexistirem razes fora do crculo e se existirem algumas
razes no repetidas no crculo unitrio
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
59/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
60/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
61/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
62/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
63/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Sinais Discretos Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos
http://find/7/21/2019 Sistema Tempo Discreto
64/64
Estabilidade de Sistemas Discretos
Os critrios de estabilidade esto relacionados daseguinte forma
Assintoticamente estvelBIBO estvelAssintoticamente instvel e marginalmente estvelBIBO instvel
O inverso nem sempre verdadeiro
S quando o sistema controlvel e observvel (ver
tansformada Z)
http://find/