5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 1/9
Maternatlca Universitaria N'18, junho de 1995, 42-50
Sobre a Convergenciade Sequencias de
Funcoes Diferenciaveis
Adalberto Spezamiglio
1. Introdueao
o problema em que estamos interessados e0da troca de limite com a derivada
na convergencia de sequencias de funcoes diferenciaveis, Mais especificamente,
se j" : [a,b] ~ R e uma sequencia de funcoes diferenciaveis convergindo num
certo sentido para uma funcao f em [a,b], em que condicoes f e diferenciavel em[a,b] e
lim ,,->~J,,'(x)=f'(x) = (lim iI .... ~J, '(X»' ?
E bern conhecido (ver [2], Teorema 4, pag. 157,ou [4], Teorema 7.17, pag.
158) 0 seguinte resultado relacionado com essa questao:
Teorema 1: Seja J " : [a,b] ~ R uma sequencia de funcoes diferenciaveis
satisfazendo as seguintes condicoes:
(i) Existe x, E [a,b] tal que a sequencia (f, ,(xo» converge;
(ii) (j,,') converge uniformemente em [a,b].
Entao if,,) converge uniformemente em [a,bJ para uma funcao f diferenciavel
e, para todo x E [a,b],
. lim "-7~J,,'(x) =f'(x).
Uma observacao que fazemos e que no teorema acima a hip6tese mais
exigente e feita sobre a sequencia if,,'), aparecendo a convergencia de(f,,)
e apropriaj na tese, contrario ao que normahnente ocorre nas aplicacoes, Ademais,
para se conduir a igualdade (1) precisamos saber de antemao que a sequencia
ifn') e uniformemente convergente em [a,b].
(1)
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 2/9
Objetivo deste trabalho e descrever condicoes sabre as funcoes 1 " e suas
derivadas de modo que, a partir da convergencia de (fn) paraj, possamos concluir
a existencia do lim n - - , > = ! n ' ( x ) a existencia da derivadaJ'(x) ea igualdade desses
dois valores, Na proxima seccao descrevemos alguns fatos basicos sobre limites
duplos e iterados. Na seccao 3 enunciamos e pro vamos 0resultado principal e na
seccao 4 ilustramos com alguns exemplos os fatos tratados.
2. Seqilenelas DupJas
As provas dos fatos enunciados nesta seccao podem ser encontradas em [1],
pag. 127-130. Veja tambem [3], pag, 141, exercicio 13. Uma s equencia dupla de
mimeros reais e uma aplicacao X: N x N ~ R. A imagem X(m,n) do par(m,n) E N x N sera denotada por Xmn e a sequencia X por (xmn). Dizemos que uma
sequencia dupla (xmn) tern limite x quando men tend em para 0 infinito e
escrevemos
lim m~~ Xmt~ =X ,
se para todo I: : > 0, existe no = no(l::) ENtal que IXm" - x I< E, sempre que
m,n~n().Uma sequencia dupla pode ser considerada como uma sequencia de sequen-
cias do tipo Xm = (Xml ,Xm2 ,Xm 3 , .•. ) ou de seqiiencias do tipo
X " = (XlII, X2n , X3n , ..• ). Podemos entao pensar no limite de cada uma dessas
sequencias Xm ou X". Suponha que para cada mEN exista 0 limite
Ym = lim IH~Xmn . Obtemos assim uma nova sequencia ( Ym) que pode perfeita-
mente ter limite. Assim y = lim n--'>= Ym isto e,
Y = lim m~~ lim u->- Xmu
e este e chamado limite iterado. Da mesma forma podemos considerar 0 limite
iterado x = lim ,,->_ (lim m~~ xmll) •
A existencia do limite duplo nao impIica na existencia dos iterados, como
mostra 0 exemplo Xmll = (-1)''' + n (! + ~ J ' nem a existencia e igualdade dos
limites iterados implica na existencia do limite duplo, confonne mostra a sequencia
_ { Ose m '" n
Xm/~ - •1 se m=n
No entanto, com alguma condicao de uniformidade, no ultimo caso pode-se
concluir a existencia do limite duplo.
43
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 3/9
44
Para cada m EN sejam Xm = (Xm I,Xtn2 , ..• ) e Ym = lim n_"~ xmn . Dizemos
que essa convergencia e unifonne se para todo E > 0, existe no,~ no(E ) E NtaJ que
1 Xm" - Ym 1 < E , '\In ~ no, ' l imE N.
Com essa nQ9aO de u nifo rm id ad e po de -se provar 0 seguinte resultado:
Teorema 2: Suponha que exitem as limites Y m = lim ,,->~ Xm " e
z, = lim m->= Xm" e que uma dessas convergencias seja uniforme. Entao, existem os
limites iterados e 0 limite duplo e os tres valores sao iguais,
3. 0 Resultado Principal. .Passarernos agora a discutir ,0 problema proposto inicialmente. Observamos
na Seccao 1 que para se coneluir a igualdade (l) precis amos saber que a sequencia
ifn') e uniformemente convergente em [a,b]. Uma condicao suficiente para is so
sem 0 conhecimento do limite e dada no conhecido Criteria de Cauchy para
convergencia uniforme e e a seguinte:
' \IE> 0 , ::Inn= no (E ) EN: m,n : 2 : no ::::} 11,, ' (x) - fm ' (x) 1 < E, '\Ix E [a,b] (2 )
SejaJ c R umintervalo (nao necessariamente fechado 01.1 I imi tado ) , Ahipo te se basicaque colocamos tambem e sobre a sequencia (j,,') e e que ela seja eqii icontinua em
1. Isso quer dizer que a se guin te co ndicao se verifica para quaisquer X ,Y E 1:
"IE> 0 , ::1 0 = 8(E) > 0 : 1x - Y I < 0 ::::} 1 1,,' (x) - 1,,' (y ) I < E , 'in E N (3)
Existe uma correlacao entre a condicao (2) utilizada no Teorerna 1 e a
con dicao (3) que usaremos abaixo, mas elas nfio sao equivalentes mesmo quando
1 = [a,b]: se if,,) e tal que J , , ' e continua e (j,,') e uniformemente convergente em
[a,b] entao If,,') e equicontfnua em [a,b] (ver [3], pag, 244, proposicao 16, ou [4],pag, 163, Teorema 7.23(a» e e facil ver que ela e uniformemente limitada em
[a,b] (isto 6 , existe M > ° tal que 11, , ' (x) I S ;; M , "In E N, "Ix E [a,b]). Assim, na
elasse das funcoes continuamente diferenciaveis em [a,b], a fim de que uma
sequencia seja uniformemente convergente 6 necessar io que e la seja eqii icontfnua
e uniformemente limitada. Mas essas condicoes nao sao suficientes para garantir
a convergencia uniforme da sequencia. Nesse sentido citamos 0 conhecido Teo-
rema de Arze la-Ascol i que diz 0 seguinte: se (j,,) e uma sequencia limitada em
[a,b] (isto 6 , para cada x E [a,b], existe M = M(x) > 0 tal que If" (x) I S ; ; M,"In EN) e eqiiicontfnua em [a,b] entao if, ,) adrnite uma subsequencia uniforme-
mente convergente e e uniformemente limitada em [a,b] (Ver [3], pag , 244,
proposicao 16,ou [4] pag, 163, Teorema 7.23(b». Mas uma sequencia pode ser
I
I
II
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 4/9
equicontinua em J sendo apenas pontualmente convergente ou mesmo nao sendo
convergente em J, como veremos nos exemplos. Isso deixa claro a generalizacao
do Teorema 1que apresentamos abaixo:
T eorema 3 : Seja {f,,) uma sequencia de funcoes diferenciaveis tal que (f,,') e
equicontfnua em J. Se f,(x) -,) I(x) para todo x E J entao I e diferenciavel em J e
r e x ) = lim ,,->~f,, '(x), "Ix E J.
Prova: Fixemos x E J e tomemos uma sequencia (hm) de mimeros reais,
h11l -7 0 com m -,) <XI de tal modo que x + h.; E J, para todo mEN. Para cada
n E Nseja
def f,,(x + hm) - 1,,(x)Fmn(x ) =
Como 1 " - , ) Im J segue que
. fix + hm) - f (x)lim n->~ Fm n (x) = h '
m
e da diferenciabilidade de f " ,
lim m->=Fmil (x ) =1,,'(x).
Mostremos que a convergencia (4) e uniforme. Pelo Teorema do Valor Medic
aplicado a III no intervale de extremos x e x + hm , existe 8",n entre esses dois
valores tal que
Daf,
1 Fm ,,(x) - 1,,'(x) 1= I 1 , , ' ( 8mn) - f,'(x) 1 .
Sendo (f,,') equicontfnua em J, dado f, > 0, existe 0 = 0(£) > ° tal que
1x - y 1< 8 ::::}I1,,'(x) - 1,,'(y) I< E , "I n EN
Tomando no ENtal que m ;:::no implique 1h.; 1< 8 segue que
1 f.'(em,,) - 1,,'(x) 1 < E, "1 m 2no, "I n EN
provando a convergencia uniforme de (4).Aplicamos agora 0Teorema 2 para concluir a existencia dos limites iterados
lim m->= (lim , , - > _ Fm i l » = r (x) ,
45
(4)
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 5/9
46
lim , , ->_ (lim m->" Fm , ,( X » = lim ,,->_!,,'(x)
e a igualdade desses dois valores:
lim II->_J,,'(x) =I(x) .
oTeorema esta demonstrado.
Segueuma consequencia imediata do Teorema 3.
CoroI3rio: Seja (g,,) uma sequencia equicontfnua em f. Se para algum a
fixado em J e todo x E I tivermos [ g Il (s) ds -+0, entao g,,(x) -+ 0, Vx E 1.
4 . Exernp lo s
Vejamos alguns exemplos ilustrando 0 usa do teorema anterior. Uma vanta-
gem da Condicao de Equicontinuidade sobre a Condicao de Cauchy e que, para a
primeira, em alguns casas, podemos usar urn criterio muito simples baseado na
limitacao das derivadas: se (g,,) e uma sequencia de funcoes diferenciaveis tal que
(g,,') e uniformemente limitada em J entao (g,,) e equicontinua em f. Para series
de funcoes diferenciaveis
"Silex) = Ljk(x)
k~!
(x E 1) (n EN)
temos 0 seguinte criterio tipo Weierstrass:
Lerna: Supooha que exista uma sequencia (Mk) de mirneros reais satisfazen-
do, para todo kEN,
Ifk'(x) I : : : ;M k , Vx E 1 .
Se a serie Lk~! M, e convergente entao a sequencia (S, , ) dada em (5) e eqiiicon-
tinuaeml.
Prova: Para X ,Y E I,
I S ile x) - S ,,(y) I:::; L IN x) - fb) I .
k~!
Pelo Teorema do Valor Medic existe 8 k no intervalo de extremos x e y tal
que
(5)
I!
Ii
I
II II !
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 6/9
47
IJk(X) - Jb) 1= IJ/(8k ) II x - y I .
Logo,
I S,,(X) - S,,(y) I s I x - y ILu,,bL
donde segue a equicontinuidade de (S,,) em J.
Exemplo 1: SII(X) =L" cos(x/k),b
X E [O,re].
Aqui, Jk(X) = cos( ~), H(x) = ~l se n( ~) ; como I
, < 1 Ixl < rrIJdx) l-kT- F
e a serie L k ~ L re/F e convergente, segue do lema que a sequencia (SII) e
eqiiicontfnua em [O,re]. No entanto, (SII) nao e convergente nesse intervalo, como
se pode notar tomando0
ponto x = O.
Exemplo 2:f,,(x) =x + x2/n, x E R.
Neste caso, f,,(x) _, f(x) = x, para todo x real e essa convergencia nao euniforme em R. Logo, tambem nao e uniforme em R a convergencia da sequencia
das derivadasJ,,'(x);;; 1 + 2x/n. No entanto, esta e equicontfnua emR uma vez que
IJ"(x) I =~:::;2, Vn E N, Vx E R. Assim conclufmos que in'(x} _, r e x ) = 1,n
Vx E R, 0 que, neste caso, pode ser facilmente verificado por calculo direto.
Observamos que no exemplo 2 0 Teorema 3 e aplicado em toda a reta
(J =R) ao passo que, para aplicar 0 Teorema 1,0 procedimento deve ser este:
fixa-se x E R, toma-se urn intervalo [a,b] contendo x e mostra-se que a conver-t
gencia de ifn') e uniforme nesse intervalo. Mas, em casos mais complicados como
o do proximo exemplo, isso pode nao ser muito simples ou mesmo ser impossivel.
E xem p lo 3: SII(X) =L " (-l)k sen(x/k)/logk, x E [O,re].k~2
Para cadax fixado em ]O,re[ a expressao se n (x/k)/logk define uma sequencia
de termos positivos e decrescente para zero. Logo pelo Criterio de Leibniz a
sequencia (Sn) e convergente (pontualmente) em] a,re[, portanto em [O,re], 0mesmo
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 7/9
48
' ':1 ",! ;
" I
~i
i
acontecendo com a sequencia das derivadas
Para mostrar que (S,,/) e equicontfnua em [D,n], seja
!k(X) "" (-1)k cos(f JkIOgk.
Entaof/(x) "" (_1 )k+1 s e n ( f J k 2I O g k e
Ifk'(x) IS ; k2I!gk "i/x E [D,n].
I _ ~ k COS(Yk)
S" (x) - . L . . . (-1) klo k .1=2 g
xw s e n ( k " )
Sex) ; ;: ;;L (-1)" Iogk' x E [D,n]k=2
Como a serie Lw 1/ k2Jogk e convergente, segue do lema que (S,,/) e eqtiicontmuak=2
em [O,n]. Assim, segue do Teorema 3 que, se
entao S e diferenciavel em [D,n] e
x~ cos(/;)
S'(x) "" L (-l)k klogk'k=2
E xem p lo 4 : !,,(X);;:;; (1 +~ J x E [0,1].
Fixemos x E JO,I]. Escrevendojij») na forma
n(n - 1) x2 n(n- 1) ... [n - (n - 1)] x". ,! ,,(x ) "" 1 + x + 2 2 + ...+ I - , Is10 e
n n. ~
x2 1 x" 1 n-I
! ,,(x) "" 1+ x + - (1 - -) + ...+ - (1 - -) ... (1 - --) ,2! n n! n n
observamos facilmente que (f,(X» e crescente. Da ultima expressao,
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 8/9
x2 x"I,(X ) < 1+x+-+ ... - donde,,- 2! n!'
x2 x"
I,(x) ~ 1+ x + - + ...+ - e entao, 2 2,,-1
{
X X " - I ]n(x) ::; 1+ 1 + '2 + ...+ 221 1
-1
,OU equivalenternente,
< 2xfn(x) _ 1+--,2-x
sendo portanto (Ux)) limitada. Assim e convergente em [0,1] a sequencia (f,,).
Seja
j{x) = lim n->~ (1 + ~ } x E [0,1].
Mostrernos que (1,, ') e eqii icontfnua em [0,1]. Ternos:
(I"-2 1-.!. j;/(x)
f,,"(x) = 1-.;; 1+ ~ = *-..:.;n+-_
( 1 + ~ )
Logo, para x E [0,1],
If,,"(x) I ;5;,f,,'{x) I :: ; Ifn(x) I .
Sendo (j")uniformernente limitada em [0,1] segueque (1,,") tambem 0e , e portanto
(f,,') 6 equicontfnua em [0,1]. Do Teorema 3 segue que aj defmida em (6) 6derivavel e
r e x ) = lim , , - > _ I,,(x) =fix), X E [0,1]
l+En
Como 1 , , (0) = 1para todo n E N, entao f lO) = 1.Assim, aIada em (6) e a solucao
do problema de valor inicial.
~= y; yeO ) = 1,
e esta e a funcao exponencialf(x) = e",
49
(6)
5/17/2018 Sequências Continuamente Uniformes - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sequencias-continuamente-uniformes 9/9
50
D epartam e nto de M a tem d tica - IEILeE - UNESP
1 5054-00 0, s ao Jos e d o R io Preto, SP
Referencias
[1] Bartle, R.G. - Elementos de Analise Real, Ed. Campus, 1983
[2] Lima, E.L. - Analise Real - vol 1, (2' Edicfio), Colecao Maternatica Universitaria,
IMPA,1993.[3] Lima, E.L. - Espacos Metricos (3' Edicao) Projeto Euclides. IMPA, 1993.
[4] Rudin, W. - Principios de Analise Matemdtica, L.T. e Ed. UnB, 1971.