SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA DOMICILIARIA
SEMESTRAL VALLEJO
RESOLUCION Nº 1Piden x : valor entero par
RESOLUCION Nº4
Piden x
A
B
CP Q
M
8
6
m
mm
x
Del gráfico el ⊿BQC: Rectángulo
→ m∢APB = α ; es una medida
obtusa
→ Por Teorema de Existencia
x <6+8
Por Naturaleza:
x2>62+82
→x>10
10<x<14
∴ x=12
A
B
C
D66°
81°27°
x
66°
48° 33°
33°
60 °54°
63°
m
m
m m
mE
Del gráfico se traza BE
→∆ ABE,∆ BED : sonisósceles .
ADEMÁS el ∆ BEC :equilátero .
Por ello el ∆CED : isósceles
→ x+33 °=63°
∴ x=30 ° .
RESOLUCION Nº 5Piden x
RESOLUCION Nº7
Piden x :maximo valor entero
A
B
C
M
N P
x
x
180°-x
90°-x/2
I
Del gráfico se prolonga AN y BP / se intersecan en C, por teorema
m∢ACB=90 °− x2
Y en el ∆ ACB ,por teorema
m∢AIC=90°+(90 °− X
2 )2
=180 °−x
Operando
∴ x=60° .
A
B
C
D
4
4
xx
n n2
P
Del gráfico el ∆ ADC : isósceles , se prolonga AD y se trazaBP
→∆ BDP y ∆ ABP sonisósceles .
Pero del
∆ BDP, por elTeoremade Existencia
4<2n
→2<n…( I )
Y en el ∆ABP también por el Teorema de Existencia
x+n<8… ( II )
sumando I y II
x+2+n<n+8
→x<6
∴ x=5
RESOLUCION Nº8
Piden x
RESOLUCION Nº9
Piden x
A
B
P
D C
48°
12°
48°
x
36°
mm
m60°
Observación:
m m
m2
A
B
C
D
Entonces: x=60 °2
∴ x=30 ° .
A
B
C
P
36°
24°12°
60°x
60°
72°
M
m
m
mm
m Del gráfico trazamos CM / m∢BCM=36 ° ,CM=m
→∆ PCM :equilátero
Luego, trazamos BM
→ABCM : trapecio isósceles
Y el ∆ BMC : isósceles y por la
observación anterior x=60 °2
∴ x=30 ° .
RESOLUCION Nº11
Piden x
RESOLUCION Nº13
PidenHM=x
B
CP
R
b b
d3t
2t
H
500
d
Q2t
x
A
n
n
Dato MG = 12
*En el ∆PBQ: trazamos las bases medias TM y MR
Por teorema TM = BQ /2
MR = PB /2
*En el ⊿PHB : Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
HT = PB /2
*En el ⊿BGQ : Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
GR = BQ /2
De los anteriores se demuestra que: TH = MR
GR = MT
*Como BTMR es un paralelogramo:
→m∢BTM = m∢BRM
*Observamos que m∢HTM = m∢MRG
→ ∆HTM ≅∆MRG (L.A.L.)∴ x = 12
Al trazar PH paralela a RB:
∆RQP ≅∆HBQ
→RQ= QH y BH = RP
En el ∆ARC: Por teorema de los puntos medios
PH es la base media de AR
→ RH = HC
→ 2n = 3t – n,
→ n = t
Como: RH = HC = BH
→m∢RBC = 900
∴ x =400
P
M
Q
H
BG
A
C
α
α
θ
θ
n
n
T
Ra
b
b
a12
x2θ
2θ
φ
φ
RESOLUCION Nº15
Piden PD=x
RESOLUCION Nº17
Piden x
Dato: c + b – a = 6
*Se prolonga BA y CD: hasta que se intersecan en M, además la prolongación de CP intersecta a BM en L.
*Observamos:
En el ∆ABC: Como AB = BC y BP es altura, por teorema se sabe que LP = PC
En el ∆MAC: Como MA = AC y AD es altura, por teorema se sabe que MD = DC
→ PD Es la base media de LM
→LM = 2x
*En el BM :
a + 2x = b + c
∴ x = 3
D
M
A
BC
P
L
c
a
b
x
a
2xb
θθ
α
2α
α
Dato: BC =AC , AB= AD
m∢ADC= 750 y m∢BAD= 900
*En el ∆ARC (BC = AC): Trazamos la altura CR
→ AR = RB = t/2
Trazamos: CH ⊥ AD
→ CH = t/2
*Prolongamos DA hasta T, de tal manera que: AT = AD = t
Observamos el ∆ TCD, como TD = 4(CH) y m∢ADC= 750, por teorema reciproco.
→ m∢TCD= 900
*En el ⊿T C 㐵D: Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
→ d = t
∴ x= 300
B
C
DA
R
HT
d
t t
d
x
t/2
750
t
B
Q
C
H DA
c
P
c
c
b+c
b
b
a
a
45
b+c 12
RESOLUCION Nº19
Pidenm∡ ACB=x
RESOLUCION Nº20
Piden BH=b+c
Dato: AD es bisectriz interior
L es mediatriz de BC
m∢ BCQ = 2 m∢ ACB = 2x
*Trazamos: QH⊥ AC y QT⊥ AB
Por el teorema de la bisectriz
QT = QH
*Por el teorema de la mediatriz :
BQ = QC
* Observamos : ⊿QHC≅⊿QTB (L.L.L.)
→ m∢ TBQ = m∢ HCQ = 3x
→ 3x + 2x = 900
∴ x = 180
B
A
Q
CD
dd
x2x
θθ
H
T
3x2x
t
t
Se trazaCP⊥BH yCQ⊥ AD yluego se observa que :
⊿ ABH ≅ ⊿PBC :(Congruencia de triangulos rectangulos )
→AH=BP=b y BH=PC=HQ=b+c
Ademas⊿CQDes notablede 45° , entonces :CQ=QD=PH=c
→AD=2 (b+c )=12→b+c=6∴BH=6
B
N
C
M
DA
n
r
r
m
a
s
x
s
L
RESOLUCION Nº21
PidenMNMax=xMax
Por teorema secumple :
AB+CD<AC+BD
→m+n<AC+BD
→m+n<10→m+n2
<5 (I )Luegoubicamos L : puntomediode BC , enel⊿ ABC y⊿BCD
aplicamos el teoremade la basemedia :
→LM= AB2
=m2, ln=CD
2=n2
luego por el teoremadeexistencia en el ∆MLN ,se cumple :
MN<m+n2
→x<m+n2
(II )( II ) en ( I ) : →x<5
∴ xMax=4 .
Observacion: B
C
D A
n
x
Se cumple: AB+CD<AC+BD
RESOLUCION Nº22 Pidenm∡DPC=x
B
N CMD
A
R
4
3
5
S
45 12
3
P
97
x
12
s
s
r
r
RESOLUCION Nº23
Piden RS
Del grafico :
prolongamos AS y DShastaN y Q
asi comoBR y CRhastaP y M
respectivamente
Luego por teor ema :∆ ADN ,∆ ADQ ,∆BPC ,∆ BCM : Isó scel es
→AD=AQ=DN=7 ,PB=BC=MC=9
→ABNM , Por teorema :
→RS=b−a2
=4−42
=0
∴ x=0
Si BC ∥AD y AM=MC ,BN=ND
a
M
B
D A
x
C
N
b
→x=b−a2
B
N
C
M
DA
0
c
x
d
a
n
b
s s
r
m
r t
t
RESOLUCION Nº24
PidenOO´= x
B
E
C
O
DA
10
M5
a
5
a
a a
45
5
T
45
5
RESOLUCION Nº25
Piden AE=a
Del gr afico trazoBD y AC ycomoα+θ=45 ° ,
luego se traza AT⊥ EB
→⊿ ATM : notable45 ° :BO=OM=MC=5
luego⊿OBC :notable53 ° :
→a=5 √5
∴ AE=5√5
B
S
C
R
DA
a
2a
2a
2a
Q
a
a
2a
x
P
RESOLUCION Nº26
PidenO1O2
Del grafico AC=QS=RP=2aO sea:α+θ=90 °→R ,O2 ,C , Py D son puntos colineales
ademasQO2=PO2=2a , entonces∆QO2P :Equilatero
→O1P=QC=a√3 luego⊿O1O2P : teoremade pitagoras :
→O1O22=(2a)2+(a√3)2→x=a√7
∴O1O2=a√7
H
M
B C
DA
Q
R
L
P
SN
RESOLUCION Nº27 PidenMP=x
RESOLUCION Nº28 PidenHL=x
Del grafico :
como⊿MBC :notable53°2:
→m∡BCM=53 °2
y
m∡MCP=m∡ABD=45°
→MBCL : Inscriptible ,
luegom∡MLC=90 °
como⊿MLC :notable 45 ° :
ML=LC=5
como MP y ML⊥CL
→MP=ML=CL=5
∴ x=5
Del grafico :
APMD : Inscriptible
→m∡PSH=m∡PNH=ω,
entonces ∆NPS : Isosceles
→NH=HS ,
enel cuadrado APQR :
por teorema
m∡NQS=m∡PAS=α
→NQ∥HL
entonces ∆NSQ :Porbasemedia
→NQ=AN=2x
como∆ NPD≅ ∆MPD : (A−L−A )
→ND=MD,
AN=CM=k=2x
∴ x= k2
Ba
A C
S
12
N
a
M
L
P
x
x
a a
a
c
c
RESOLUCION Nº29
Pidenlalongitud del segmentoqueune los puntosmediosde PB y AC ,
MN=x
Del grafico :
por basemedia ∆BPC : Isosceles
→PS ∥ AB
entonces ∆ LBM ≅∆MNP : ( A−L−A ) :
→LM=MN y
LP=BN=AN=a ,
→ALNP :Trapecio isosceles ,
luego AP=ln=2 x=12
∴ x=6
x
RESOLUCION Nº31
Pidenxy+z
RESOLUCION Nº33
Piden x
A
Sesabe que :DE=FG→x= y
Como :DH y JGson segment os
tangentes
b+ y=c+x+z→ z=b−c
∴ xy+z=1+b−c
Datos :M ,N y T son puntos de tangencia
Dado que :TC=NC , trazamosTN→m∡NTC=m∡TNC=ω
Comoel arco MT mide90 º→m∡MNT=45 º ; luego :m∡HTN=45 º
∆ HTC ≅ ∆ HNC (L . A . L . )→m∡THC=m∡CHN=x
∴ x=45 º
50º
X
230º
x
RESOLUCION Nº36
Pidenlamedida del arco AB .
RESOLUCION Nº38
Piden x
Datos : A , B ,M ,N ,P , yQ son puntos
de tangencia.
Por teorema : A , P yC soncolineales ;
de igual maneralo sonD ,Q y B
Por teorema :Lasmedidas de los arcos
AD y BC son2 β y 2α respectivamente
Comoα+β=50 º→2α+2β=100 º
∴Lamedidadel arco ABes80 º
Trazamos la alturaQH del t ri á ngulo PBQ→m∡HBQ=30 º
Seobserva que :30 º+β=45º→ β=15 º
Como : x=2 β
∴ x=30 º
Del grafico :
∴Oes el Baricentro del triangulo MNQ
4
RESOLUCION Nº40
Piden2α
RESOLUCION Nº41
Pidenque punto notableesO parael trianguloMNQ
Dato :CD=AB
Enel ∆BDC trazamos lac evianainterior DEtalque :m∡BDE=α
→BE=ED. Ademásm∡EDC=5α
El cuadrilátero ABEDesinscriptible→m∡BAE=m∡EAD=α
∆ ABE≅ ∆CDE→θ=α ; Luego :α=22 º30 '
∴m∡BAE=45 º
RESOLUCION Nº42
Pidenm∡ ABM
RESOLUCION Nº44
Piden AC
Del grafico :
∴m∡ABM=30
Del grafico :
∴ AC=10
RESOLUCION Nº44
Piden x
Del grafico :
Por anguloinscrito :α=β=35 °
Como ´B H 1/¿ ´DH 2 : x=α+ β
∴ x=7 0°