Download pdf - SADR AJ - mata.fon.rsmata.fon.rs/skladiste/ma3/Zbirka resenih zadataka iz Matematike 3.pdf · 10 1 Diferencijalne jednaqine prvog reda Rexea y = 2kπ ne mogu da se dobiju iz opxteg

SADRAJ

1 Diferencijalne jednaqine prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Jednaqine koje razdvajaju promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Homogene jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Linearne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Bernulijeve jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Jednaqine sa totalnim diferencijalom . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Razne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Diferencijalne jednaqine vixeg reda . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1 Jednaqine kojima se moe sniziti red . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Linearne jednaqine sa konstantnim koeficijentima 54

3 Sistemi diferencijalnih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1 Nelinearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Homogeni linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3 Nehomogeni linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 Parcijalne jednaqine prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1 Opxte rexee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Partikularno rexee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Funkcije kompleksne promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1 Izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

USERRectangle

USERLine

6 Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.1 Definicija i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 Inverzna transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.3 Primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7 Varijacioni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.1 Ekstremale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2 Fiksirani graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10 1 Diferencijalne jednaqine prvog reda

Rexea y = 2k ne mogu da se dobiju iz opxteg rexea ni za jednu vrednost

konstante C, xto znaqi da su to singularna rexea.

Smene promenivih

U zadacima 9.11. pogodnom smenom svesti datu diferencijalnujednaqinu na jednaqinu koja razdvaja promenive.

9. y = cos(x+ y).

Rexee: Ako je x + y = z(x) iz date jednaqine sledi da je z = 1 + cos z. Za

z 6= (2k + 1) integracijom dobijamo da je tanz2= x + C, pa je opxte rexee

y = x + 2 arctan(x + C) (C R).

Rexea su takoe i z = (2k + 1), odnosno y = x + (2k + 1) i to singularna.

10. y =2y + x+ 12x+ 4y + 3

.

Rexee: Smenom x + 2y = z(x) dobijamo jednaqinu

2z + 3

4z + 5dz = dx (z 6= 5/4),

pa integracijom imamo da je

1

2z +

1

8ln |4z + 5| = x + C (C R).

Kako je i z = 5/4 rexee, opxte rexee date jednaqine je

4x + 8y + 5 = De4x8y (D R).

11. (x y + 1)dy = (ay ax+ 1)dx (a R).

Rexee: Ako je x y = u(x), onda iz date jednaqine sledi da jeu + 1

udu = (1 + a)dx,

pa je

u + ln |u| = (a + 1)x + C (C R).

Prema tome, opxte rexea date jednaqine je

ln |x y| = ax + y + C (C R).

1.2 Homogene jednaqine

U zadacima 12. 26. odrediti opxte rexee date jednaqine.

12. y =x+ yx y

.

1 Diferencijalne jednaqine prvog reda 11

Rexee: Za x 6= 0 je y = 1 + y/x1 y/x

, pa smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu

xu =1 + u

1 u u,

odnosno1 u1 + u2

=dx

x.

Integracijom leve i desne strane ove jednaqine imamo da je

arctan u ln1 + u2 = ln |x| + C1, (C1 R)

odnosno

earctan x = C2|x|1 + u2 (C2 R+).

Kako je u = y/x, opxte rexee je

x2 + y2 = Cearctan y/x (C R+).Napomena: U polarnim koordinatama opxte rexee je % = Ce, xto znaqi da

integralne krive predstavaju familiju logaritamskih spirala.

13. y =y xy

.

Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu

udu

u2 u + 1= dx

x.

Integracijom leve i desne strane imamo da je

ln(u2 u + 1) + 23arctan

2u 13

= ln x2 + C1 (C1 R),

pa je opxte rexee

3 ln(x2 xy + y2) + 2 arctan 2y x

x3

= C (C R).

14. (x y)y = x.

Rexee: Za x 6= y i x 6= 0 smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu koja razdvajapromenive

dx

x=

1 uu2 u + 1

du.

Integracijom nalazimo da je

ln |x| = lnu2 u + 1 +

3

3arctan

2u 13

+ C1 (C1 R),

pa je opxte rexee date jednaqine

3 ln

y2 yx + x2 =3 arctan

2y x3x

+ C (C R).

15. y =xy

x2 + y2.

Rexee: Smenom y/x = u dobijamo jednaqinu

xu = u3

1 + u2(),


odnosno1 + u2

u3du = dx

x. Integracijom leve i desne strane ove jednakosti imamo

da je

ln |xu| = 12u2

+ A (A R),

odnosno xu = Be1/2u2(B 6= 0). Kako je i u = 0 rexee jednaqine (), eno opxte

rexee je xu = Ce1/u2(C R), a y = Cex2/2y2 opxte rexee date jednaqine.

16. y2dx+ (x2 xy)dy = 0.

Rexee: Za x(y x) 6= 0 iz date jednaqine dobijamo da je

y =y2

xy x2=

(y/x)2

y/x 1.

Smenom y/x = u(x) imamo jednaqinu koja razdvaja promenive

xu =u

u 1, ()

odnosnou 1u

du =dx

x

za u 6= 0. Integracijom leve i desne strane ove jednaqine imamo da je

ln |xu| = u + C1, (C1 R)

odnosno xu = C2eu (C2 R \ {0}). Kako je u = 0 rexee jednaqine (), to je opxte

rexee te jednaqine xu = Ceu, gde je C R, a y = Cey/x opxte rexee datejednaqine.

17. y2dx+ x(

y2 x2 y)

dy = 0.

Rexee: Jednaqina je definisana za |y| |x|, a za x 6= 0 je ekvivalentnajednaqini

y =y2

x(y y2 x2)

.

Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu koja razdvaja promenive

dx

x=uu2 1

uu2 1

du.

Nakon integracije leve i desne strane ove jednaqine imamo da je

ln |x| = ln(u +u2 1) ln |u| + C1 (C1 R),

odnosno

x = C2u +u2 1u

(C2 R \ {0}).

Kako je i x = 0 rexee date jednaqine, opxte rexee je

yx = C(

y + sgn(x)

y2 x2)

(C R).

18. xy y = x(1 + ey/x).


Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu koja razdvaja promenive

du

1 + eu=dx

x.

Integracijom imamo da je

lneu

1 + eu= ln |x| + C1, (C1 R),

odnosnoeu

1 + eu= C|x|, (C R+).

Kako je y/x = u, opxte rexee date jednaqine je

y = |x| ln C|x|1 C|x|

, (C R+, C|x| < 1).

Napomena: Oblast definisanosti funkcije y zavisi od vrednosti konstante C.

19. xy =

x2 y2 + y.

Rexee: Smenom y/x = u(x) iz date dobijamo jednaqinu

ux =1 u2, (),

odnosnodu1 u2

=dx

x, u2 6= 1, x 6= 0.

Integracijom ove jednaqine imamo da je

arcsin u = ln |x| + C (C R).

Kako su u = 1 i u = 1 rexea jednaqine (), to su rexea date jednaqine

y = x, y = x, y = x sin(ln |x| + C).

20. y =2x3 y3

x2y.


udu

2 u2 u3=dx

x.

Kako jeu

2 u2 u3= 1

5 1u 1

+1

5 u 2u2 + 2u + 2

integracijom se dobija da je

15ln |u 1| + 1

10ln(u2 + 2u + 2) 3

5arctan(u + 1) = ln |x| + A (A R),

2 ln |u 1| + ln(u2 + 2u + 2) 6 arctan(u + 1) = 10 ln |x| + B (B R),

lnu2 + u + 2

(1 u)3x10= C + 6 arctan(1 + u) (C R),

odnosno

y2 + 2xy + 2x2

(x y)2x10= De

arctanx + y

x (D R+).


21. (y2 x2 + 2xy)dx+ (y2 x2 2xy)dy = 0.

Rexee: Data jednaqina je homogena, pa smenom u(x) = y/x, za u 6= 1, dobijamojednaqinu

u2 2u 1(1 u)(u2 + 1)

du =dx

x.

Kako jeu2 2u 1

(1 u)(u2 + 1)=

1

u 1 2uu2 + 1

,

integracijom nalazimo da je

ln |u 1| ln(1 + u2) = ln |x| + C1 (C1 R),

odnosno

u 1 = Cx(u2 + 1) (C R).

Prema tome, opxte rexee je yx = C(x2+ y2). Za u = 1 dobijamo rexee y = x.

Napomena: Ako opxte rexee napixemo u obliku

x2 + y2 = D(y x) (D R),

vidimo da su integralne krive krunice koje sadre koordinatni poqetak i qiji

centri pripadaju pravoj y = x. Partikularno rexee y = x se dobija zaD =.

22. y +x2 + y2

xy= 0.

Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinuu

1 + 2u2du = dx

x. Integraci-

jom leve i desne strane nalazimo da je

ln(1 + 2u2) = 4 ln |x| + C1 (C1 R),

odnosno 1 + 2u2 = C/x4 (C > 0). Prema tome, opxte rexee je

x4 + 2x2y2 = C.

23. xydy y2dx = (x+ y)2ey/xdx.

Rexee: Smenom y/x = u data jednaqina se svodi na jednaqinu

ueudu

(1 + u)2=dx

x. ()

Kako je

ueudu

(1 + u)2=

eu(1 + u) eu

(1 + u)2du =

d

(

eu

1 + u

)

=eu

1 + u,

to iz jednaqine () sledi da je eu

1 + u= ln |x|+C1 (C1 R), odnosno

eu

1 + u= ln C|x|

(C > 0), pa je opxte rexee xey/x = (x + y) ln C|x|.

24. y =y

x2 + y2 + x.


Rexee: Smenom y/x = u(x) sledi da je

ux + u =u

1 + u2 + 1, ux = u

1 + u2

1 + u2 + 1,

1 + u2 + 1

u1 + u2

du = dxx,

du

u+

du

u1 + u2

= dxx.

Integracijom leve i desne strane poslede jednakosti nalazimo da je

ln u ln 1 +1 + u2

u= ln x + C1 (C1 R),

odnosnou2

1 +1 + u2

=C

x,1 + u2 1 = C

x.

Prema tome, opxte rexee jex2 + y2 = C + x ili y2 = C2 + 2Cx.

Napomena:

du

u1 + u2

se lako dobija smenom t = 1/u.

25. (e2x y2)dx+ ydy = 0.

Rexee: Neka je P = (e2x y2) (x) i Q = y(x). Iz uslova P y = Qx nalazimo(x) = e2x. Za jednaqinu

(

1 e2xy2)

dx + e2xydy = 0

imamo da je

u(x, y) =

(

1 e2xy2)

dx + (y) = x +1

2y2e2x + (y).

Kako je (y) = 0, opxte rexee je

x +1

2y2e2x = C, C R.

26.

(

2x shyx+ y chy

x

)

dx x chyxdy = 0.


ch u

sh udu = 2

dx

x

qije je rexee sh u = Cx2. Prema tome, opxte rexee je shy

x= Cx2.

Svoee na homogenu

U zadacima 27.30. rexiti date diferencijalne jednaqine svo-eem na homogenu jednaqinu.

27. y =3y 7x+ 73x 7y 3

.


Rexee: Smenama x = u + i y = v + , gde je

3 7 + 7 = 0, 7 + 3 3 = 0,

dobijamo homogenu jednaqinu. Dakle, za x = u + 1 i y = v imamo jednaqinu

v =3v 7u3u 7v

,

iz koje smenom v/u = z dobijamo jednaqinu koja razdvaja promenive

2dz

z 1+

5dz

z + 1= 7du

u.

Integracijom nalazimo da je

u7(z 1)2(z + 1)5 = C, (u v)(u + v)5 = C (C R),

odnosno, vraaem promenivih x i y

(y x + 1)2(y + x 1)5 = D (D R).

Drugo rexee: Smenama u = 3y 7x + 7 i v = 3x 7y 3 dobijamo da jedu

dv=

3dy 7dx3dx 7dy

=3y 73 7y

=3u/v 73 7u/v

,

a zatim smenom u/v = z imamo jednaqinu

1

7 3 7zz2 1

dz =dv

v.

Integracijom leve i desne strane nalazimo da je

2 ln |z 1| + 5 ln |z + 1| = 7 ln |v| + C1 (C1 R),

odnosno

(z 1)2|z + 1|5 = C|v|1/7, (u v)2(u + v)5 = C (C R),

odakle dobijamo isto opxte rexee.

28. y =2x y + 1x 2y + 1

.

Rexee: Smenama x = u + , y = v + , gde je

2 + 1 = 0, 2 + 1 = 0

data jednaqina se svodi na homogenu. Dakle, za = 1/3 i = 1/3 imamojednaqinu

dv

du=

2u vu 2v

()

koja se smenom v/u = z svodi na jednaqinu

1 2z1 z + z2

dz = 2du u

qije je rexee u2(1z+z2) = C (C R). Rexee jednaqine () je u2uv+v2 = C,a opxte rexee date jednaqine je

x2 xy + y2 + x y = C (C R).


Drugo rexee: Smenama 2x y + 1 = u i x 2y + 1 = v dobijamo homogenujednaqinu

du

dv=

2v uv 2u

qije je rexee u2 uv + v2 = C. Vraaem promenivih x i y i sreivaemdobijamo isto opxte rexee.

29. (4x+ 3y + 1)dx+ (x+ y + 1)dy = 0.

Rexee: Smenom x = u + 2 i y = v 3 dobijamo homogenu jednaqinu

v =3v/u 4v/u + 1

.

Ako je v/u = z(u), onda iz prethodne jednaqine sledi da je

du

u= 1 + z

(2 + z)2dz,

pa je

ln |u| = ln |2 + z| 12 + z

+ C1 (C1 R).

Iz ove jednakosti dobijamo opxte rexee homogene jednaqine

2u + v = Ceu/(2u+v) (C R),

odnosno opxte rexee date jednaqine

2x + y 1 = Ce2 x

2x + y 1 .

30. y = x 2y + 52x y + 4

.

Rexee: Smenama x = u + i y = v + , gde i odreujemo iz uslova

2 + 5 = 0, 2 + 4 = 0

data jednaqina se svodi na homogenu

dv

du= u 2v

2u vqije je rexee v u = C(v + u)3. Prema tome, opxte rexee je

y x + 3 = C(y + x + 1)3 (C R).Napomena: Partikularna rexea y = x 3 i y = x 1 se dobijaju iz opxteg

za C = 0 i C =.

1.3 Linearne jednaqine

31. Linearnu jednaqinu y + p(x)y = q(x) rexiti smenom q/y = z/z.

Rexee: Datom smenom dobijamo da jedy

y=dz

z pdx, odakle sledi da je

y = ze

p(x)dx.

Korica.pdfm3 - zbirka resenih zadataka - homogene jednacine prvog reda.pdfsadrzaj.pdfhomogene jednacine.pdf