Reglas Básicas de la
Diferenciación
MATE 3031 – Cálculo 1
30/01/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18
Cálc
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1 -
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3031
Actividades 2.2
• Referencia: – Referencia: Sección 3.1 Derivadas de polinomios
y de funciones exponenciales, Ver ejemplos 1 al 9– Ejercicios de Práctica: Páginas 190 - 191: Impares
1 – 27
• Asignación 2.1: – Asignación 2.2: Página 191; 20 y 36 a y c; Haga
ejercicios de Khan Academy The Power Rule
• Referencia en el Web:– JGR Ahumada – Reglas Básicas de
Diferenciación– Khan Academy – The Power Rule– Calculus Phobe – The Power Rule– Visual Calculus – Differentiation Formulas;
Derivative of the Exponential Functions.
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Reglas de diferenciación (1)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, entonces 𝑓′ 𝑥 = 0
• Ejemplos:
Si 𝑓(𝑥) = 5, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
Si 𝑓(𝑥) = 𝜋, entonces 𝑓’(𝑥) = 0
• Si f(x) = xn, entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 para cualquier
número real 𝑛 diferente de 0.
• Ejemplos
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥8, entonces 𝑓’(𝑥) = 8𝑥7
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3, entonces 𝑓’(𝑥) = −3𝑥−4
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Reglas de diferenciación (2)
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔 𝑥 entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔′ 𝑥
• Ejemplo:
Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥6, entonces
𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 6𝑥5
= 18𝑥5
Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥−2, entonces
𝑓′ 𝑥 = 6 ∙ −2𝑥−2−1
= −12𝑥−3
=−12
𝑥3
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Determine f’(x) si
Ejemplo 1
2
5)(
xxf
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25)( xxf
1)2()2(5)(' xxf
310 x
3
10
x
xxf 3)(
1)(
21 2
1
)(3)('
xxf
21
3)( xxf
21
2
3 x
21
2
3
x
21
21
x
x
x
x
2
3 21
x
x
2
3
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Ejercicios #1
1. F(x) = x4
2. F(x) =
3. F(x) = 9x
4. F(x) = -4x3
5. F(x) = -4x -2
6.
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Determine la función derivada:
53)( xxF
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Ejercicios #1
1. F(x) = x4
2. F(x) =
3. F(x) = 9x
4. F(x) = -4x3
5. F(x) = -4x -2
6.
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Determine la función derivada:
5
34)( xxF
0)( xF
9)( xF
212)( xxF
3
8)(
xxF
131
3
1)('
xxF
32
3
1 x
32
3
1
x
x
x
3
3
31
31
x
x
3)( xxF 3
1
x
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Ejemplo 2
• Problema: Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 calcule la derivada de la
función en 𝑥 = 2.
• Solución:
– Paso 1 – calcule la función derivada 𝑓′(𝑥)
– Paso 2 – Evalúe la función derivada en 𝑥 = 2
• Otras maneras de presentar el mismo problema:
– Calcule la pendiente de la recta tangente cuando 𝑥 = 2
– Calcula la razón de cambio instantáneo cuando 𝑥 = 2
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𝑓′ 𝑥 = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2
𝑓′ 2 = 15 2 2 = 60
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Reglas de diferenciación:
Adición y Sustracción
• Si f(x) = u(x) + v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) + v’(x)
• Si f(x) = u(x) - v(x) entonces:
f’(x) = u’(x) - v’(x)
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• Encuentre la función derivada de:
• Solución:
• Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la
función f en 𝑥 = 1
Ejemplo 2
xxxxf
358)( 33
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13 358)( 31
xxxxf
11113 )1(33
15)3(8)(' 3
1
xxxxf
22 33
524 3
2
xxx
224x x
x
3
53
2
3
x
2
124)1(f
13
153
21
3=58
3
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Nomenclatura
• Primera derivada (“funcíon derivada”):
• La primera derivada en 𝑥 = 5
• Segunda derivada
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)(' xf 'ydx
dy
dx
df fDx
)('' xf ''y2
2
dx
yd2
2
dx
fd fDx2
)5('f5xdx
dy
5xdx
df fDx 55
'x
y
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Ejercicio #2
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Determine:
xdx
da
1 ) 5 ) x
dx
db
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Ejercicio #2
a)
b)
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151
5
1 x
Determine:
121
2
1 x 2
3
2
1 x
23
2
1
x
22x
x
54
5
1
x54
5
1
x
21
21
23
2
1
x
x
x
51
51
54
5
1
x
x
x
x
x
5
5
xdx
da
1 ) 5 ) x
dx
db
21
xdx
d
51
xdx
d
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Derivadas de la funciones exponenciales
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aaadx
d xx ln)(
)( xedx
d
Ejemplos:
)3( x
dx
d3ln3x
x
dx
d
4
3
4
3ln
4
3x
ee x ln xe
x
dx
d
2
1
2
1ln
2
1x
x2
2ln
x2
2ln 1
12ln2
1 x
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Ejercicio #3
• Calcule:
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2xedx
d x
21
8 xdx
d x
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Ejercicio #3
• Calcule:
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2xedx
d x xex 22x
dx
de
dx
d x
21
8 xdx
d x 218 dx
dx
dx
d
dx
d x
8ln8x 11)1( x 0
28ln8 xx
2
18ln8
x
x
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Ejemplo 4
Encuentre la ecuación de la recta tangente a
y = (ex + 1) por el punto (0, 2)
• Solución:
• La ecuación de la tangente por (0,2) es:
y – 2 = 1(x -0)
y = x + 2
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)1( xedx
d1
dx
de
dx
d x 0 xe xe
(0,2)en tangentela de pendiente 10xdx
dy )0( e
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Actividades 2.2
• Referencia: – Referencia: Sección 3.1 Derivadas de
polinomios y de funciones exponenciales, Ver ejemplos 1 al 9
– Ejercicios de Práctica: Páginas 190 - 191: Impares 1 – 27
• Asignación 2.1: – Asignación 2.2: Página 191; 36
• Referencia en el Web:– Calculus Phobe – The Power Rule– Visual Calculus – Differentiation Formulas;
Derivative of the Exponential Functions.
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