RR AA ZZ OO NN AA MM II EE NN TT OO
GG EE OO MM TT RR II CC OO
NNDDIICCEE
PP RR EE SS EE NN TT AA CC II NN PP aa gg .. 33
NN DD II CC EE PP aa gg .. 55
TT RR II NN GG UU LL OO SS PP aa gg .. 77
PP EE RR MM EE TT RR OO SS PP aa gg .. 33 55
RR EE AA SS PP aa gg .. 44 99
TRIGULOS
CAPTULO
1
TRINGULOS
DEFINICIN Dados tres puntos A, B y C no
colineales, la reunin de los segmentos
AB , BC y AC se llama tringulo.
ELEMENTOS
- Vrtices: A, B, C
- Lados: AB , BC y AC
- ngulos:
Internos: ABC , BCA , CAB
Externos: FAE , CBE , BCD
* Notaciones:
Tringulo ABC: ABC
Permetro del ABC: 2p(ABC)
Semipermetro del ABC: p (ABC)
INTERIOR Y EXTERIOR DE UN
TRINGULO
Un tringulo separa al plano en tres
subconjuntos de puntos:
- Los puntos que pertenecen al
tringulo: A,B,C,M,etc
- Los puntos interiores al ABC: P es
un punto interior al ABC.
- Los puntos exteriores al ABC:
Q punto exterior al ABC relativo a AB
L punto exterior al ABC relativo a BC
S punto exterior al ABC relativo a AC
CLASIFICACIN DE LOS
TRINGULOS
A. Segn la medida de sus ngulos:
1. Tringulo Acutngulo.
Es aquel que tiene sus tres ngulos
agudos.
2. Tringulo Obtusngulo.
Es aquel que tiene un ngulo obtuso
y dos ngulos agudos.
C
B
A D
E
F
c
b
a
2p(ABC) = a + b + c
a +b +cp ( ABC)=
2
H A
B
P
C
Q L
S M
INTERIOR
EXTERIOR
ABC B , BCA C ,
CAB A ; son los ngulos
internos o simplemente
ngulos del tringulo ABC.
Se conviene en designar las medidas
de los lados de un tringulo, con la
letra minscula correspondiente al
vrtice del ngulo opuesto a dicho
lado. As:
AB = c ; BC = a ; AC = b
La reunin del tringulo con
todos sus puntos interiores se
llama regin triangular.
B
A C
a
b
c
B
A
C
< 90
< 90
< 90
Nota: A este tringulo se le llama:
tringulo ABC obtuso en A
3. Tringulo Rectngulo.
Es aquel que tiene un ngulo recto y
dos ngulos agudos.
B. Segn la medida de sus lados:
1. Tringulo Escaleno. Es aquel tringulo que tiene sus tres
lados de diferente magnitud.
2. Tringulo Issceles. Es aquel tringulo que tiene dos
lados de igual longitud; en
consecuencia, los ngulos opuestos a
dichos lados sern de igual medida.
En el ABC issceles:
: medida de los ngulos en la base.
: medida del ngulo en el vrtice.
Se cumple que: 90
y 180
2
90
2
3. Tringulo Equiltero. Es aquel tringulo que tiene sus tres
lados de igual longitud; en consecuencia,
sus tres ngulos sern de 60.
TEOREMAS FUNDAMENTALES
1. Suma de ngulos Internos:
En todo tringulo la suma de las medidas de sus tres ngulos
interiores es igual a 180
2. Suma de ngulos Externos:
(considerando uno por vrtice)
La suma de las medidas de los ngulos exteriores de un tringulo es
igual a 360
* a > b y a > c
B
A
C
c
a
b
+ = 90
AB y AC:Catetos
BC:Hipotenusa
c a y b a
> 90
< 90
< 90
A los tringulos acutngulos y
obtusngulos se les denomina
OBLICUNGULOS
AB BC AC
y adems
AB BC
m A m C
AB BC AC
m A m B m C 60
B
A
C
60
60
60
B
A
C
BASE
B
A
C
Todo tringulo equiltero es
equingulo
B
A
C
x
y
z
Se cumple:
+ + = 180
B
A C
Se cumple:
x + y + z = 360
3. Teorema del ngulo Exterior:
En todo tringulo, la medida de un ngulo exterior es igual a la suma de
las medidas de dos ngulos interiores
del tringulo no adyacentes a l
4. Propiedad de Correspondencia:
En todo tringulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ngulo
y viceversa
5. Teorema de EXISTENCIA
(Desigualdad Triangular)
En todo tringulo, la longitud de uno de sus lados est comprendida
entre la suma y la diferencia de los
otros dos lados
Tambin se cumple:
LNEAS NOTABLES Y PUNTOS
NOTABLES
1. MEDIANA:
Segmento que parte de un vrtice y llega
al punto medio del lado opuesto.
Nota: BM es la mediana relativa al
lado AC .
El punto de interseccin de las medianas
se llama BARICENTRO.
G: Baricentro, Gravicentro o
Centriode (Es el centro de gravedad
del tringulo)
Propiedad:
El baricentro divide a la mediana en dos
segmentos que estn en relacin de 2 a 1
BG 2
GM 1 ,
AG 2
GP 1 ,
CG 2
GQ 1
2. ALTURA:
Segmento perpendicular al lado opuesto
o su prolongacin.
BH es la altura relativa al lado AC .
A
B
C M
P Q G
e
B
A
C
B
A
C
c
a
C
B
A
c
b
a
Sea a b c
se cumple:
Se cumple:
e = +
Si b > a:
>
b - c < a < b + c
a - c < b < a + c
a - b < c < a + b
A
B
C M
BM: mediana
A
B
C H H
B
C A
El punto de interseccin de las alturas se
llama ORTOCENTRO.
Todo tringulo tiene un solo ortocentro y
puede estar ubicado:
- Dentro si es acutngulo
- En el vrtice del recto si es
rectngulo
- Fuera del mismo si es obtusngulo
3. BISECTRIZ:
Segmento limitado por el lado opuesto,
que divide a su ngulo en otros dos de
igual medida.
Donde
BP : bisectriz interior
BQ : bisectriz exterior
INCENTRO:
Punto de interseccin de las bisectrices
interiores.
- Centro de la circunferencia inscrita.
- Equidista de los lados
I: Incentro
EXCENTRO:
Punto de interseccin de dos bisectrices
exteriores y una interior.
- Es centro de la circunferencia
ex-inscrita.
Ea: Excentro relativo al lado BC
- Todo tringulo tiene 3 ex-centros,
uno relativo a cada lado
Donde:
E1: Excentro relativo al lado AB
E2: Excentro relativo al lado BC
E3: Excentro relativo al lado AC
A P C Q
B
E1 E2
E3
A C
B
Ea
Re
Re Re
A C
B
I
r r r
Acutngulo
Obtusngulo
Rectngulo
4. MEDIATRIZ.
Es la recta o segmento de recta que
divide a un segmento por su punto medio
en forma perpendicular.
L1: mediatriz de AC
MP: mediatriz de AC
El punto de interseccin de las
mediatrices se llama CIRCUNCENTRO.
- Centro de la circunferencia circunscrita
- Equidista de los vrtices del tringulo.
Y se ubica:
Todo tringulo tiene un solo
circuncentro y puede estar ubicado:
- Dentro si es acutngulo.
- En punto medio de la hipotenusa si
es rectngulo.
- Fuera del mismo si es obtusngulo.
1. En todo tringulo equiltero, sus
puntos notables se confunden.
El Baricentro, es tambin ortocentro, incentro y circuncentro.
Baricentro
OrtocentroO
Incentro
Circuncentro
2. En todo tringulo issceles las
alturas relativas a los lados iguales
son iguales.
CH AP
Nota: Los mismo ocurre con las
bisectrices y medianas.
O
O O
A C
P
L1
M
B
Acutngulo
Obtusngulo
Rectngulo
OBSERVACIONES
O
A C
B
H P
A C
B
K T
A C
B
M N
CK AT CM AN
3. La altura relativa al lado desigual,
corta a ste un su punto medio.
Esta altura es mediana, mediatriz y bisectriz a la vez, del lado desigual.
Si AB BC
y BH AC
AH HC
PROPIEDADES IMPORTANTES
1. Propiedad del PANTALONCITO
x a b c
Demostracin:
Prolongamos AD hasta E (E en BC),
para obtener tringulos:
ABE: = a + b (Angulo Exterior)
DEC: x = + c (Angulo Exterior)
x = a + b + c
2. Propiedad de la ESTRELLITA
a b c d e 180
Demostracin:
En ACEI: (Propiedad del Pantaloncito)
= a + c + e
BID: (Suma de ngulos Internos)
b + + d = 180
c
a
b d
e
b
c a x
b
c a x
B
C A
D E
B
H A C
Por eso cuando se tiene un
tringulo issceles se
recomienda trazar su altura. Tu profe Markito
c
a
b d
e
C
A
B D
E
I
b + (a + c + e) + d = 180
a + b + c + d + e = 180
3. Propiedad de la Mariposa o Propiedad de la Corbatita
a b
Demostracin:
AMO: = a + b (Angulo Exterior)
ROC: = + (Angulo Exterior)
a + b = +
4. ngulo formado por dos Bisectrices
Interiores
Bx 902
Demostracin:
ACI: + x + = 180
+ = 180 - x (I)
ABC: 2 + B + 2 = 180
2 ( + ) = 180 - B (II)
I en II: 2 (180 - x) = 180 - B
Bx 902
5. ngulo formado por dos Bisectrices
Exteriores
Ax 90
2
Demostracin:
BEC: + x + = 180
+ = 180 - x (I)
ABC: 2 + (180 A ) + 2 = 360
2 ( + ) =360- (180 A )
2 ( + ) =180 A (II)
I en II: 2 (180 - x) = 180 A
Ax 902
6. ngulo formado por una Bisectriz
Interior y otra Exteriores
Bx
2
Demostracin:
ACE: = + x (Angulo Externo)
- = x (I)
ABC: 2 = 2 + 2B
2 ( - ) = 2B (II)
I en II: 2 (x) = 2B
a
b
C
I
B
A
x
A C
E B x
A
B E
C
x
a
b
A
M
R
C
O
A C
E B x
180 A
Bx2
7. ngulo formado la Bisectriz y la
Altura que parten del mismo
vrtice
x
2
Demostracin:
Como AD es bisectriz:
m ABD m DBC x
AHB: + = 90 (I)
BHC: + 2x + = 90 (II)
(I)- (II): - - 2x = 0
x2
8. Propiedad:
a bx2
9. Propiedad:
a bx
2
10. Propiedad del Pescadito
m n
11. En todo Cuadriltero se cumple:
360
12. Propiedad:
x y
PROPIEDADESS GENERALES
1. TEOREMA DE LA BASE MEDIA
En todo tringulo, el segmento que une
los puntos medios de dos lados es
paralelo al tercero y mide su mitad.
Si: AM = MB y CN = NB
MN // AC y 1MN AC2
2. MEDIANA RELATIVA A LA
A H D C
B
x
A H D C
B
x
x
MN es base media
B
M N
A C
x
2x
a
b
x
a b x
m n
y
x
HIPOTENUSA:
En todo tringulo rectngulo, la longitud
de la mediana relativa a la hipotenusa es
na mitad de sta.
Si: MN es MEDIANA
1AM MB MC AC2
3. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista los extremos de
dicha mediatriz
APB es Issceles
4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ngulo equidista de los lados de
dicho ngulo
TRINGULOS RECTNGULOS
NOTABLES
1. Tringulo Rectngulo de 45-45
( 45-45)
En todo tringulo rectngulo de 45 -
45, el cateto que se opone a un ngulo
de 45 mide la mitad de la hipotenusa
multiplicada por 2 .
2. Tringulo Rectngulo de 30-60
( 30-60 )
En todo tringulo rectngulo de 30-60,
se cumple que:
- El cateto que se opone a un ngulo de 30 mide la mitad de
la hipotenusa.
- El cateto que se opone a un ngulo de 60 mide la mitad de
la hipotenusa multiplicada por 3 .
3. Tringulo Rectngulo de 37-53
( 37-53)
Slo en los tringulos rectngulos de
37-53, SUS LADOS ESTAN EN PROGRESIN ARITMTICA.
4. Tringulo Rectngulo de 15-75
( 15-75)
En todo tringulo rectngulo de 15 -
75, se tiene:
45
k 45
k
k 2
45
45 k k
2
k
2
60
30
2k k
k 3
4k37
535k
3k
B
O A
P
Si: 1L :Mediatriz
AP PB
A B
P
L1
PA PB
OA OB
A
B
C M
15
4k
( 6 2)k
(6
2)k
15 (6
2)k
(23
)k
Si OP:Bisec triz
6. Tringulos Rectngulos de 53
2
y 37
2
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
En la figura hallar el valor de AC, si
AB = 20m.
A) 10m B) 10 2 m
C) 10 6 m D) 10 3 m
E) 5 3 m
Solucin:
Trazamos AH BC , para obtener
(45-45) y (30-60)
Luego:
AHB (30-60):
Si AB = 20
BH = 10 (Opuesto a 30)
y AH = 10 3 (Opuesto a 60)
AHC (45-45):
Si AH = 10 3
AC = AH 2 (Hipotenusa)
AC = (10 3 ) 2
AC 10 6
EJEMPLO 2
Hallar el valor del segmento AC , en el
grfico que se muestra a continuacin,
si BC = 2 m.
A) 2 B) 2
2
C) 2 2
D) 6
3
E) 2
Solucin:
3kk 10
k
37
2
2kk 5
k
53
2
CLAVE: C
Si viene un problema con
ngulos de 15 o 75,
frecuentemente se usa la
suma o resta de 30 y 45
60
75
A C
B
60
B
H 20
30
A C
B
15
30
A C
B
15
45
45 60
H
2
Prolongamos AB , as el ngulo externo
en B seria 45 (Notable)
Trazamos CH AB , para obtener
(45-45) y (30-60)
Luego:
BHC (45-45):
Si BC = 2
CH = 1 (Opuesto a 45)
AHC (30-60):
Como CH = 1
AC = 2CH (Opuesto a 60) AC = 2 (1)
AC 2
TEOREMA DE THALES
Tres o ms rectas paralelas,
determinan sobre dos o ms rectas
secantes, segmentos cuyas
longitudes son proporcionales.
AB DE
BC EF
SEMEJANZA DE TRINGULOS
Si dos tringulos son semejantes,
entonces tienen sus ngulos
respectivamente congruentes y sus
lados homlogos respectivamente
proporcionales.
KDF
AC
EF
BC
DE
AB
K : Constante o razn de semejanza
NOTA: Lados Homlogos son aquellos
lados que se oponen a ngulos
congruentes.
OBSERVACIONES
1. Si ABC A'B'C'
KR
R
r
r
h
h
c
c
b
b
a
a
''''''
2. Si EF // AC
CLAVE: C
A
B
C
D
E
F
B
A C D
E
F
A
B
C
R
r h
A'
B'
C'
R'
r' h'
EFDBCA
FEDCBA
FDECAB
ABCEBFy
FC
BF
EA
BE
3. Si EF // AC
a m
b n
y EBF ABC
PROYECCIN ORTOGONAL
P' : Proyeccin Ortogonal de P sobre L
A'B': Proyeccin Ortogonal de AB sobre L
RELACIONES MTRICAS EN
TRINGULOS RECTNGULOS
AH: Proyeccin ortogonal de AB sobre
la hipotenusa
HC: Proyeccin ortogonal de BC sobre
la hipotenusa
1. Teorema del Cuadrado del Cateto:
bna .2 bmc .2
2. Teorema de Pitgoras:
222 cab
3. Teorema del Cuadrado de la Altura:
nmh .2
4. Teorema del producto de Catetos:
cahb ..
NATURALEZA DE UN TRINGULO
Averiguaremos si un tringulo es
acutngulo, rectngulo u obtusngulo,
con las siguientes relaciones:
Siendo: a > b y a > c
Se tiene que:
1. Si: a2 < b2 + c2 < 90 Luego ABC es Acutngulo
2. Si: a2 = b2 + c2 = 90
a
A
m
n b C
E F
B
A
E
B
F
C
P B
A
M
N' P' B' A' M'
N
L
A
B
C H
a c
b
m n
A
B
C
c
b
a
Luego ABC es Rectngulo
3. Si: a2 > b2 + c2 > 90
Luego ABC es Obtusngulo
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
Los lados de un tringulo miden 15,
18 y 20 metros. Qu tipo de
tringulo es?
A) Issceles B) Obtusngulo
C) Acutngulo D) Rectngulo
E) Equiltero
Solucin:
Aplicamos las relaciones de la
Naturaleza de un tringulo y se tendra:
202 < 182 + 152 < 90
Acutngulo
EJEMPLO 2
Las bases de un trapecio miden 4m y
12m, y los lados no paralelos 4m y
5m. Hallar el permetro del tringulo
mayor que se forma al prolongar los
lados no paralelos.
(UNSAAC 2001 II)
A) 21,5m B) 29,5m
C) 27,5m D) 25,5m
E) 23.5m
Solucin:
Notamos que: ARK MRO Por los que usamos proporciones:
x x 4x 2
4 12
y y 5 5y
4 12 2
Finalmente:
ERMETROP MRO= 12+(x+4)+(y+5)
ERMETRO
P MRO = 25.5 m
EJEMPLO 3
Oswaldo hace un recorrido de la
siguiente manera: 50 pasos al SUR,
100 pasos al NORTE, 70 pasos al
ESTE, luego 80 pasos al SUR. A
cuantos pasos del punto de partida se
encuentra?
(UNSAAC 2001 II)
A) 58 10 B) 10 58
C) 10 85 D) 158 10
E) 58 58
Solucin:
Realizamos el grfico de acuerdo a los
datos del problema y se tiene:
CLAVE: D
R
x+4 y+5
M
4
12 O
K
y
5 4
A
x
A
B
C
15
18
20
CLAVE: C
Finalmente en el tringulo sombreado
aplicamos el Teorema de Pitgoras:
2 2 2D 70 30
2 2 2 2D 10 7 3
D 10 58
EJEMPLO 4
Las longitudes de los catetos de un
tringulo rectngulo son entre s,
como 2 es a 3. En que relacin
estn las longitudes de sus
proyecciones sobre la hipotenusa?
(UNSAAC 2002 I PRIMERA OPCION)
A) 4
9
B) 2
3
C) 1
2
D) 2
3
E) 3
5
Solucin:
Usamos los teoremas de Relaciones
Mtricas en tringulos rectngulos.
(Teorema del Cuadrado del Cateto)
2
x2k m b (I)
2
x3k n b (II)
Dividimos (I) y (II)
2x
2x
an2k
n b3k
a 4b 9
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
En la siguiente figura, calcular el
valor de x, si el segmento AC es bisectriz del ngulo A y a- b = 20
A) 140 B) 150 C) 90
a b
40
x
A
B C
D
O
CLAVE: A
h
H A C m n
3k 2k
B
b
N
S
D
O
70
70
50
100 50 80
30
2
1
3
4
N
CLAVE: B
D) 100 E) 110
Solucin:
ADO: a + b = 40 (I) ( externo)
Dato: a b = 20 (II)
(I) + (II) a = 30
Finalmente:
BOA: x + a + 40 = 180
x + 30 + 40 = 180
x = 110
PROBLEMA 2
Sabiendo que el segmento AB mide
40cm. Hallar la medida del segmento
PQ.
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25
Solucin:
ABC: (30-60)
Si AB = 40 AC = 20
PCA: (45-45)
Como AC = 20 PC = 20
QCA: (53-37)
Cmo AC = 4K=20 K = 5
Luego QC = 3K QC = 15
PQ = 5
PROBLEMA 3
En la figura, si la medida de AE es
igual a la medida de BE, hallar la
medida del ngulo x.
A) 20 B) 10 C) 30
D) 25 E) 15
Solucin:
40
30
45
53
37 20 = 4k A C
B
Q
P
3k=15
5 20
CLAVE: A CLAVE: E
a a
40 40 x O
A
B C
D b
30
A
B D
C
E x
25
A C
B D
x
30 25
25
E
30
45
53
A
B
P
Q
C
Si: AE = BE BAE = ABE = 25
ABE: = 25+25 ( Externo) = 50
DEC: = x + 30 ( Externo) 50 = x +30
x = 20 Podemos usar la propiedad de la Mariposa
25 + 25 = x + 30
x = 20
PROBLEMA 4
En el interior del tringulo equiltero
ABC, se sita un punto A de tal manera que el ngulo AQC mide 90
y el ngulo QAC mide 55. Hallar la
medida del ngulo BCQ.
A) 35 B) 15 C) 25
D) 45 E) 60
Solucin:
AQC: QAC = 55 (Dato)
ACQ = 35
ABC: ACB = 60
35 + x = 60 x = 25
PROBLEMA 5
En la figura AB = BC. Determinar el
valor del ngulo ADC.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 75 B) 105 C) 80
D) 45 E) 35
Solucin:
ABC Issceles BH es bisectriz. ABH = HBC= 40
CLAVE: C
CLAVE: A
60
55 35 x
Q
A C
B
A
B
D
C
40
A C
B D
x
30 25
25
40 40
x x x
50
H A
D
B
C
E
Tambin Si: AB = BC
2 = 50 = 50
ABE: + 80 + x = 180 x = 75
PROBLEMA 6
En la figura adjunta determinar el
valor de a+b
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 33 B) 38 C) 36
D) 34 E) 36
Solucin:
BCD: (30 - 60)
BC = DC 3
b = 3 ( 3 )
b = 3
ABC: (45 - 45)
AC = BC AC = 3
a = 3 3
PROBLEMA 7
Determinar el valor del ngulo x, en
la figura:
(UNSAAC CBU 99 II)
A) 80 B) 75 C) 85
D) 70 E) 60
Solucin:
CAR: 4 + 30 = 90 = 15
AMO: + x = 90 x = 75
PROBLEMA 8
Hallar el valor del ngulo x en la siguiente figura, si BM=MC y
AB=BC.
(UNSAAC CBU INT 2000)
CLAVE: B
CLAVE: A
CLAVE: A
A C
B
D
b
a
45 60
3
2
x
30
2
x
30 M
C
O R A
3 a
b = 3
45 60
45 30
A D
B
C 3
A
x
B
M C 50
A) 20 B) 40 C) 25
D) 45 E) 30
Solucin:
ABC: Issceles
BAC = BCA = 50
BMC: Issceles
MBC = MCB = 50
Luego en ABC 50 + (x + 50) + 50 = 180
x = 30
PROBLEMA 9
En la siguiente figura determinar el
valor de x. (UNSAAC CBU INT 2000)
37
53
x
2 2
A) 28 B) 23 C) 3
28
D) 213 E) 3
34
Solucin:
ABC: (37 - 53)
2 2 3k 2 2k3
Luego: x 4k
8 2x3
PROBLEMA 10
La suma de las medidas de los
ngulos marcados en la figura adjunta, es:
(UNSAAC CBU 2000 I)
CLAVE: C
CLAVE: E
53
37
x = 4k
A B
C
k322
A C
B
50 x
50
H 50
A) 120 B) 150 C) 360
D) 270 E) 180
Solucin: Propiedad del Pantaloncito
En ABCF:
= a + b + c
Luego: FED: + d + e = 180 a + b +c + d +e = 180
PROBLEMA 11
Calcular la longitud de AB en el
tringulo ABC, de la figura:
(UNSAAC CBU 2000 I)
A) 10 B) 14 C) 16
D) 12 E) 8 Solucin:
Trazamos BH AC para aprovechar el ngulo de 60.
BHC (30 -60)
HC = 3 BH = 3 3
Luego en BHA. (Teor. Pitagoras)
2 2 2x 13 (3 3)
x = 14
PROBLEMA 12
Determinar la medida de AB , en la
figura:
(UNSAAC CBU 2000 I)
A) 27 B) 30 C) 25
D) 20 E) 28
Solucin:
PAM: (30 - 60)
Si AP = 6 AM = 3
QMN: (45 - 45)
CLAVE: B
CLAVE: E
B
b A
C
c
e
E
d
D
F
a
A
B
C
x 6
30
H 13 3 16
60
3 3
A
P
6
Q R
B N M
60 45
53 25 4
x
37
2
A
P
6
Q R
B N M
60 45
53 25
4 2
A
B
C
6
16 60
Si QM = 4 2 MN = 4
RNB: (37 - 53)
Si RN = 25
RN = 5k = 25
k = 5
NB = 3k NB = 15
Luego: AB = AM + MN + NB
x = 27
PROBLEMA 13
En la figura adjunta: AB = BC.
Hallar la medida del ngulo X.
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 30 B) 20 C) 25
D) 15 E) 35
Solucin:
ABC Issceles CAB = ACB = x
CAB: x + x = 50 ( externo)
x = 25
PROBLEMA 14
En la figura adjunta, calcular el valor
de X.
(UNSAAC CBU 2000 II)
A
B
C
15
12 X
37
A) 5 B) 10 C) 12
D) 6 E) 8
Solucin:
ABC: (37 - 53)
CB = 15
3k = 15 k = 5
Luego: AB = 4k
AB = 20
Finalmente: x = AB 12
x = 20 - 12
x = 8
PROBLEMA 15
En la figura adjunta. Determinar el
valor de 2X.
A B
C
37
4k = 20 12 x
15 = 3k
CLAVE: E CLAVE: C
CLAVE: A
A
C
B D 40 X 50
A
C
B D 40 X
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 120 B) 130 C) 180
D) 100 E) 140
Solucin:
MAZ: = x + x ( Externo) = 2x
RUK: = x + x ( Externo) = 2x
LIT: = x + x ( Externo) = 2x
Luego en LUZ tenemos sus 3 ngulos externos
6x = 360 x = 60
2x = 120
PROBLEMA 16
Las bases de un trapecio miden 4
metros y 12 metros y los lados no
paralelos 4 metros y 5 metros. Hallar
el permetro del tringulo mayor en
metros, que se forma al prologarse
los lados no paralelos.
(UNSAAC CBU 2000 II) A) 20.5 B) 26.5 C) 25.5
D) 24.5 E) 18.5
Solucin:
ARK MRQ (son semejantes, por lo tanto usamos proporcionales)
x x 4x 2
4 12
y y 5y 2.5
4 12
Finalmente el permetro del tringulo
MRO (2p) sera:
2p = (4 + x) + ( y + 5) + 12
2p = 25.5
PROBLEMA 17
En la figura: Hallar AE
CLAVE: C
CLAVE: A
x
x
x x
x
x
A R
K
x
x
U Z
x x
M
I T
x
x
L
12 M O
5
K
y x
R
4 A
4
Nada puede conseguir el
hombre si no es a travs
del sacrificio.
B
D 15
8
A) 9 + 4 3 B) 16 C) 21
D) 12 + 4 3 E) 13
Solucin:
De la figura: AE = AC + CE
Entonces calculamos AC y CE
BAC: (37 - 53)
Si BC = 15
BC = 5k k = 3
Pero: AC = 3k AC = 9
DCE: (30 - 60)
Si DE = 8
DE = 2a a = 4
Pero: CE = a CE = 4
Finalmente:
AE = AC + CE
AE = 9 + 4
AE = 13
PROBLEMA 18
Determinar la suma de los ngulos
marcados en la siguiente figura:
A) 160 B) 240 C) 120
D) 180 E) 360
Solucin:
En este problema nos estn pidiendo:
+ + +
Para empezar a resolver este problema,
prolongamos AD hasta E (E en BC), con
la finalidad de formar los tringulos
ABE y DEC.
Luego:
ABE: = + ( externo)
DEC: + + = 180
( + ) + + = 180
+ + + = 180
OTRA FORMA:
CLAVE: D
A
B
D C
E
CLAVE: E
A
B
D
E C 53 60
15 8
37
30
Propiedad del Pantaloncito
En ABCD:
180 - = + +
+ + + = 180
PROBLEMA 19
Hallar el valor de x en la siguiente figura:
A) 6 B) 9 C) 6 2
D) 6 3 E) 9 2
Solucin:
BEC: (30 - 60)
Si BC = 6 (Hipotenusa)
CE = 3 (Opuesto a 30)
ABC: (30 - 60)
Si BC = 6 (Opuesto a 30)
AC = 12 (Hipotenusa)
Luego: AE = AC - CE
AE = 12 - 3
AE = 9
Finalmente:
DEA (45 - 45)
Si AE = 9
AE = 9 2
x = 9 2
PROBLEMA 20
En la figura, ABCD es un
rectngulo, hallar x
(UNSAAC CBU 2001 II)
A) 18 B) 24 C) 32
D) 30 E) 20
C
A
B
D
E
x
8
37
45
30 45
x
6
CLAVE: E
CLAVE: D
A
B
D
C 180-
A
B C
D
E
x
6
3
9
30 60
30 45
45
Solucin:
ABF: (45 - 45)
AB = BF = 8
ECF: (45 - 45)
EC = CF = 3k
ECB: (37 - 53)
Si: EC = 3k
BC = 4k 8 + 3k = 4k
k = 8
Luego: x = 3k + 8
x = 32
PROBLEMA 21
Determinar la suma de los ngulos
resaltados.
(UNSAAC CBU 2001 II)
A) 180 B) 720 C) 540
D) 240 E) 360
Solucin:
Nos piden: a + b + c + d + e + f + g + h
Entonces tomamos los tringulos:
MTZ: a + f + = 180
LIA: b + e + = 180
RES: c + h + = 180
KUO: d + g + = 180
Sumando las 4 ecuaciones se tiene:
a + b + c + d + e + f + g + h + (+++) = 720
Pero en LUZE: + + + = 360
Finalmente:
a + b + c + d + e + f + g + h + (360) = 720
a + b + c + d + e + f + g + h = 360
PROBLEMA 22
En la longitud adjunta, determinar la
longitud x. (UNSAAC CBU 2001 II)
A) 12 2 B) 14 2 C) 10 2
30 45
x
8
CLAVE: E
M
A
R K
I
T
S
U
O
Z
E
L a
b
c d
e
f
g h
CLAVE: C
A
B
D
E
x
8
37
45
45
45
45 C F
3k
3k 8
8
D) 8 2 E) 9 2
Solucin:
BEC: (30 - 60)
Si BC = 8 (Hipotenusa)
CE = 4 (Opuesto a 30)
ABC: (30 - 60)
Si BC = 8 (Opuesto a 30)
AC = 16 (Hipotenusa)
Luego: AE = AC - CE
AE = 16 - 4
AE = 12
Finalmente:
DEA (45 - 45)
Si AE = 12
x 12 2
PROBLEMA 23
En la figura L1 // L2, calcular , sabiendo que el tringulo ABC es
equiltero.
(UNSAAC CBU INT 2002)
A) 80 B) 120 C) 160
D) 100 E) 140
Solucin:
Como el ABC es equiltero:
A = B = C = 60
BUM: + 60 = 100 ( externo)
= 40
Luego: Propiedad del Serruchito
+ (180-) = 60
= 160
PROBLEMA 24
En la siguiente figura. Hallar la
medida del ngulo :
(UNSAAC CBU 2002 I)
A) 60 B) 80 C) 90
CLAVE: C
A
L1
L2
U
P
60
180-
CLAVE: E
A
B C
D
E
x
8
4
12
30 60
30
45
45
A
B
C
100
L1
L2
U
M
P
60
60
180-
A B
D
C
2x
A
B
C
100
L1
L2
D) 20 E) 100
Solucin:
Si AD = DB ADB Issceles Luego: DAB = DBA= 2x
ADB: CDB = 2x + 2x ( externo)
CDB = 4x
Si CD = CB DCB Issceles Luego: CDB = CBD = 4x
DCB: 4x + 4x + x = 180 x = 20
Finalmente:
ACB: CBE = 2x + x ( externo)
= 3x
= 3 (20)
= 60
PROBLEMA 25
Calcular el valor del ngulo x, si AB = AC; BD = BC
(UNSAAC CBU 2002 I)
A) 40 B) 36 C) 30
D) 25 E) 50
Solucin:
Como BD = BC DBC Issceles
Luego: BAC = BCD = 50
Tambien AB = AC BAC Issceles
Luego: ABC = ACB = 50
Finalmente:
DBC: 50 + (x + 50) + 50 = 180 x = 30
PROBLEMA 26
Calcular la medida del lado AE del
siguiente polgono ABCDEA.
(UNSAAC CBU 2002 I)
A) 36 B) 28 C) 6
D) 8 E) 10
CLAVE: C
x
50
D A
B
50
50
C
CLAVE: A
A B
D
C
2x 4x 4x
x
2x
E
x
50
D C A
H A C E
B
D
45
37
3630
Solucin:
DEC (30-60):
Si DE = 36 (Opuesto a 60)
EC = 6 (Opuesto a 30)
CEB (37-53):
Si EC = 6 (Opuesto a 37)
BE = 8 (Opuesto a 53)
AEB (45 - 45)
AE = BE
AE = 8
PROBLEMA 27
En la figura, ABC es un tringulo
issceles (AB = AC). Determinar x
si AD = AE.
(UNSAAC CBU 2002 II)
A) 15 B) 20 C) 10
D) 30 E) 45
Solucin:
Si ABC issceles AB = AC
Luego: m ABC = ACB = .
Si AD = AE ADE issceles
Luego: ADE = AED = .
Seguidamente:
DEC: ADE = + x ( externo)
= + x (I)
BAD: ADC = + 30 ( externo)
+ x = + 30 (II)
Finalmente:
(I) en (II): + 30 = ( + x) + x
x = 15
PROBLEMA 28
En un tringulo issceles EFG, de
base FG , se toman los puntos M y
N sobre EF y EG respectivamente,
de modo que: FM = MN = EN. Si el
ngulo G del tringulo dado mide
80, hallar el ngulo MNF .
(UNSAAC CBU 2002 II)
A) 20 B) 30 C) 10
D) 80 E) 60
CLAVE: D
E
D
45
37 45
53
60
30
6
8
A
B
36
x 8C
CLAVE: E
A
B D
E
C x
30
A
B D
E
C
x
30
Solucin:
Como FG es la base EF = EG
Luego: EGF = EFG = 80
EFG: EGF + EFG + FEG = 180
80 + 80 + FEG = 180
FEG = 20
Nos dan: MN=NE
MEN es Issceles
Luego: MEN = NME = 20
Como: MN = MF MNF es Issceles
Luego: MNF = MFN = x
Finalmente:
NME = x + x (externo)
20 = 2x
x = 10
PROBLEMA 29
En la figura AC = 2, determinar 2x.
(UNSAAC CBU 2002 II)
A) 3 B) 2 C) 2 1
D) 2 1 E) 3 1
Solucin:
Trazamos CH AB para aprovechar los ngulos de 30 y 45
CHA (30-60):
Si CA = 2 (Hipotenusa)
CH = 1 (Opuesto a 30)
y HA = 3 (Opuesto a 60)
CHB (45-45):
Si CH = 1 (Opuesto a 45)
HB = 1 (Opuesto a 45)
BDA (30-60)
Si BD = x (Opuesto a 30)
AB = 2x (Hipotenusa)
Pero: AB = 1 + 3
2x = 3 + 1
x
45
D C
30
B
15 H
60
2
1 2x
1 3
A
CLAVE: C
20
G
80 80
x
x
20
N
M
E
F
x
45
D A C
30
B
El XITO es la
envoltura del sacrificio.
PERMETRO
Es la suma de las medidas de los lados de
una figura geomtrica.
Se representa con 2p
Cuando vemos p en alguna frmula, esto significa
semipermetro, y es la mitad del
permetro.
Permetro del ABC: 2p(ABC)
PERMETROS DE POLGONOS
REGULARES
El permetro de un Polgono Regular es
igual al nmero de lados multiplicado por
la longitud de un lado.
2p n l
Donde:
n: nmero de lados
l: longitud de un lado
CIRCUNFERENCIA:
Es la curva plana y cerrada, cuyos puntos
equidistan de un punto interior llamado
centro.
* La distancia de un punto cualquiera
de la circunferencia al centro, se
denomina RADIO.
CRCULO:
Es la regin plana determinada por la
unin de la circunferencia y su interior.
Es el conjunto de todos los puntos de la
circunferencia y de los interiores a la
misma.
Donde:
O: Centro (del crculo o la circunferencia)
r : Radio (del crculo o la circunferencia)
P: Punto de la circunferencia
O: Punto interior de la
circunferencia
O no pertenece a la circunferencia pero si al crculo.
CLAVE: E
C
B
A
c
b
a
2p(ABC) = a + b + c
Semipermetro del ABC (p)
a + b +c
p =2
r O
P CRCULO
CIRCUNFERENICIA
Por lo tanto:
- La circunferencia tiene
longitud, ms no rea.
- El crculo tiene rea y su
permetro es la longitud de
su circunferencia.
PERMETROS CAPTULO
2
LONGITUD DE LA
CIRCUNFERENCIA (Lc)
Es el lmite hacia el cual se aproximan los
permetros (P) de los polgonos regulares
inscritos cuando su nmero de lados
aumenta indefinidamente.
nlim P Lc
EL NMERO
El nmero pi, tambin llamado Nmero LEUDOLFINO (en honor a Ludolf Van Ceulen, Matemtico Alemn
u Holands que determino su valor hasta
con 354 lugares decimales); es el valor
constante de la razn de la longitud de
una circunferencia (Lc) a su dimetro.
Lc
D Lc D
Pero D = 2r Lc 2 r
EL VALOR DE
El nmero pi es el ms importante de la ciencia matemtica, y es
inconmensurable, as tambin como su
cuadrado, su cubo, etc.
Su valor aproximado es: 3.14159265359
Su Cuadrado es: 9.869604401089
Su Cubo es: 31.0062766803
Su Inverso es: 0.318309886184
Su Raz Cuadrada es: 1.772453850906
Su Logaritmo en Base 10 es: 0.497149872
El nmero pi siempre a sido un nmero interesante para los matemticos, as
tenemos:
Los Babilonios ( = 3 ) Arqumedes ( 2 decimales )
Francois Viette ( 7 decimales )
Mtius ( 8 decimales )
Adrien Romanus ( 16 decimales )
L. V. Ceulen ( 35 decimales )
SHARPS ( 73 decimales )
Lagny ( 127 decimales )
Vega ( 140 decimales )
Dhase ( 200 decimales )
Rutherford ( 440 decimales )
Shangks ( 530 decimales )
Y otros han aportado valores racionales
aproximados de pi; tales como:
Arqumedes:
22 3.142...7
Adriano Mecio:
3553.1415929...
113
Papiro de Ahms: 2
163.16049...
9
Los Hindes:
3927 3.1416...1250
Cuando se realizan trabajos de mucha
precisin se usa 3.1416 , que viene a ser un trabajo aproximado por
exceso con un error menor que
0.0001.
B A
Lc = 2r
B A
D =2r
LONGITUD DE UN ARCO
Realizamos una Regla de Tres Simple:
AB
Lc 360
L
ABL Lc
360
Pero: Lc 2 r
Como D = 2r
PROPIEDADES
1. LONGITUD DE EN FUNCIN
AL DIMETRO DE UNA
SEMICIRCUNFERENCIA
AB
180L 2 r
360
ABPero r
2
2. LONGITUD DE UNA LNEA
CURVA FORMADA POR
SEMICIRCUNFERENCIAS
La suma de las longitudes de las
semicircunferencias con sus dimetros
sobre AB, equivale a la longitud de una
semicircunferencia de dimetro AB.
Demostracin:
Sabemos por la propiedad anterior que:
AB
ABL
2
Luego, tambin se tenda:
AM
MN
NB
AM MN NB
AML
2
MNL
2
NBL
2
AM MN NBL L L
2 2 2
AM MN NB
AM MN NBL L L
2
AM MN NB
ABL L L
2
AB
ABL
2
AB
DL
360
B A
r
ABL 2 r
360
B A
AB
ABL
2
AB
ABL
2
B
A
O
r
r AB
L
B A M N
La propiedad anterior, tambin la
podemos aplicar si la figura se presenta
de esta forma:
3. SEMICIRCUNFERENCIAS
CUYOS DIMETROS ESTN
FORMADAS SOBRE UN
SEGMENTO
La suma de las longitudes de las
semicircunferencias con sus dimetros
sobre un segmento AB, es igual a la
medida de AB, multiplicada por y dividida por 2.
Nota: Las curvas formadas sobre AB son
todas semicircunferencias.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
A UNA CIRCUNFERENCIA
1RA. PROPIEDAD
Las tangentes trazadas desde un punto
exterior a una circunferencia son iguales.
PA PB
2DA. PROPIEDAD
Las tangentes comunes exteriores a dos
circunferencias son iguales.
AB CD
3RA. PROPIEDAD
Las tangentes comunes exteriores a dos
circunferencias son iguales.
MN PQ
TEOREMAS IMPOTANTES
M
P
Q
N
A
B
C D
A
B
O
P
R
R
De ahora en adelante:
B A
AB
ABL
2
B A
AB
ABL
2
ABL Significa longitud de las curvas
(semicircunferencias) en AB , y es
igual a:
AB
ABL
2
1. TEOREMA DE PONCELET
En todo tringulo rectngulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el
dimetro de la circunferencia inscrita
Se anuncia tambin as En todo tringulo rectngulo, la suma de los
catetos es igual a la suma de los
dimetros de las circunferencias inscrita y
circunscrita
AB BC AC 2r
AB BC 2R 2r
2. TEOREMA DE PITOT
En todo cuadriltero circunscrito a una
circunferencia, la suma de dos lados
opuestos es igual a la suma de los otros
dos lados.
AB CD BC AD
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
Hallar el permetro de la figura
sombreada, si los arcos formados
sobre este segmento son todos
semicircunferencias; y el segmento
MO mide 20.
A) 10 B) 20 C) 5
D) 10(+2) E) 20(+1)
Solucin:
Sabemos que:
MA AR RC CO MOy que : L L L L L
Luego:
SOMBR.
MOPerm. MO
2
SOMBR.
20Perm. 20
2
SOMBR.Perm. 10 2
EJEMPLO 2
C
A
B
D
A C
B
r
R
MO
MOL
2
CLAVE: D
SOMBR. MO MA AR RC COPerm. L L L L L
O M
O M A R C
Debes tener cuidado, cuando te
pregunten: de la figura sombreada, por que en este ejemplo vemos que la figura
sombreada esta formada por
semicircunferencias y tambin
por segmentos.
Hallar el permetro de la figura
sombreada, si los arcos mostrados
son semicircunferencias; y el
segmento AB mide 20.
A) 10 B) 20 C) 5
D) 10(+2) E) 20(+1)
Solucin:
SOMBR.
AB ABPerm.
2 2
SOMBR.
20 20Perm.
2 2
SOMBR.Perm. 10 10
SOMBR.Perm. 20
EJEMPLO 3
El tringulo ABC es un tringulo
equiltero, los arcos son
semicircunferencias. Hallar el
permetro de la regin sombreada, si
el permetro del tringulo es 12.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 4(+3)
Solucin:
Dato: PERIM. ABC = 12
AB + BC + AC = 12
Luego: AB = BC = AC = 4
SOMBR.
AB BC ACPerm.
2 2 2
SOMBR.
4 4 4Perm.
2 2 2
SOMBR.Perm. 6
EJERCICIOS
B A M N
CLAVE: C
A
B
C
A
B
C
CLAVE: B
SOMBR. AB ABPerm. L L
SOMBR. AB BC ACPerm. L L L
B A
En este caso, la figura
sombreada esta
limitada solamente por
semicircunferencias.
PROBLEMA 1
El lado del rombo mide 13 m y la
diagonal menor mide 10m. Hallar el
permetro de la regin sombreada.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 19 + 61 m B) 11 + 61 m
C) 18 + 61 m D) 25 + 61 m
E) 20 + 61 m
Solucin:
BHA: (Teorema de Pitgoras)
2 2 213 5 BH
BH 12
BHA: (Teorema de Pitgoras)
2 2 2PC 5 PH 2 2 2PC 5 6
PC 61
Finalmente:
SOMBREADOPerm BP BC PC
SOMBREADOPerm 6 13 61
SOMBREADOPerm 19 61
PROBLEMA 2
En el cuadrado ABCD de 10 cm. de
lado, se ha trazado
semicircunferencias en cada lado.
Calcular el permetro de la regin
sombreada.
A) 20 cm. B) 20( + 4) cm.
B) 20 ( + 1) cm. D) 10 ( + 4) cm.
E) 20 ( + 2) cm.
Solucin:
S CURVAS SEGMENTOSP L L
Donde: P s = Permetro Sombreado
Dato: Lado del Cuadrado = 10 cm.
CLAVE: A
5 5 A
P
6
6
13
D
B
C H
13
13 13
x x
2
A
D C
B
10
A B
C D
5
5
5
5
Luego: AB = BC = CD = AD = 10 cm.
Primero calculamos la suma se las
longitudes de los segmentos que limitan a
la regin sombreada SEGMENTOSL .
SEGMENTOSL AB BC CD AD
SEGMENTOSL 10 10 10 10
SEGMENTOSL 40
Seguidamente calculamos la suma se las
longitudes de las curvas que limitan a la
regin sombreada CURVASL , para lo cual usamos la propiedad.
Luego:
CURVAS
AB BC CD ADL
2 2 2 2
CURVAS
10 10 10 10L
2 2 2 2
CURVASL 20
Finalmente:
S CURVAS SEGMENTOSP L L
SP 40 20
SP 20 2
NOTITA: Para no operar tanto debemos
darnos cuenta que:
Si AB = BC = CD = AD
PROBLEMA 3
En la figura AEB es una
semicircunferencia, cul es el
permetro de la figura cerrada
ADCBEA?
(UNSAAC CBU INT 2000)
A) 16 + B) 8 +
C) 14 + D) 12 +
E) 13 +
Solucin:
ERMETRO DEAP AB BC CD L
ERMETRO
ADP 6 2 6
2
ERMETRO
2P 14
2
ERMETRO
P 14
PROBLEMA 4
CLAVE: C
CLAVE: D
A
E
B C
D
2
6
AB
ABL
2
AB BC CD ADL L L L
1
B
D C 6
6
2 E
A
CURVAS AB BC CD ADL L L L L
Calcular el permetro de la regin
sombreada que tiene forma de la letra
L, sabiendo que consta de dos rectngulos iguales contiguos, cada
uno de largo A metros y ancho B metros.
(UNSAAC CBU INT 2000)
A) 2(2A + B) B) 2A + 2B
C) 4A + B D) 4A 2B
E) 7A 4B
2
Solucin:
Para calcular el permetro, sumamos todos los lados de la regin sombreada. Empezando del lado indicado en un solo sentido (en este caso en sentido horario)
ERIMP A B (A B) A B (A B)
ERIMP 4A 2B
ERIMP 2 2A B
NOTA: Tambin podemos sumar todos
los segmentos horizontales y luego todos
los verticales, y al final ambos resultados
parciales para obtener el total.
PROBLEMA 5
En la figura se tiene seis tringulos
rectngulos issceles. La razn del
permetro de la regin sombreada al
permetro de la regin no sombreada;
es:
(UNSAAC CBU 2000 I)
A) 4 B) 2 C) 3
D) 1
2 E) 2
Solucin:
De la figura:
1 2 3 4 5 6P P P P P P K
Luego:
S 1 3 4 6 SP P P P P P 4K
NS 2 5P P P 2K
1
1
1
1
2
2P1
P2
P3
P4
P5
P6
CLAVE: A
1
A
A
A
B
B
B B
A-B
INIC
IO
Finalmente:
NS
Ps 4K
P 2K
NS
Ps2
P
PROBLEMA 6
En la figura adjunta, ABCD es un
cuadrado de lado 4 cm. El permetro
de la regin sombreada en cm es:
(UNSAAC CBU 2000 I)
A) 2(12 ) B) 2(5 )
C) 10 D) 20
E) 2(10 2 )
Solucin:
De la figura:
SOMBREADO EXTERIOR INTERIORP P P
Luego: Hallamos
EXTERIORP
EXTERIORP AB BC CD AD
EXTERIORP 4 4 4 4
EXTERIORP 16
Hallamos INTERIORP
INTERIORP MR NP MN PR
2 2
INTERIOR(2) (2)
P 4 44 4
INTERIORP 8 2
Finalmente:
SOMBREADOP (16) (8 2 )
SOMBREADOP 2(12 )
PROBLEMA 7
En la figura adjunta. Determinar el
permetro de la regin sombreada.
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 2 4 B) 4 C) 4 2 D) 4 2
E) 2 4
CLAVE: A
A
B C
D
4
P
M R
N
O 2
2
2
2
CLAVE: B
A
B C
D
O
22
Solucin:
De la figura:
SOMBREADO AB
P AP PB L
Hallamos AP y PB en APB (45-45)
Si: AB 2 2 AP = PB = 2
Hallamos AB
L
AB
ABL
2 (Propiedad)
AB
2 2L
2
ABL 2
Finalmente:
SOMBREADO AB
P AP PB L
SOMBREADOP 2 2 2
SOMBREADOP 2 4
PROBLEMA 8
Hallar la suma de los permetros de
los 4 tringulos equilteros, sabiendo
que AB mide 12 cm.
A) 18 cm. B) 36 cm.
C) 26 cm. D) 40 cm.
E) 72 cm.
Solucin:
De la figura:
ERMETROP 3a 3b 3c 3d
ERMETROP 3(a b c d)
Pero nos dan: AB = 12
a + b + c + d = 12
Finalmente:
ERMETROP 3(a b c d)
ERMETROP 3(12)
ERMETROP 36
PROBLEMA 9
En la figura adjunta, determinar en
centmetros el permetro de la regin
sombreada, si todos los crculos
tienen un radio igual a 2 centmetros:
A) 16 B) 18 C) 4
D) 8 E) 24
CLAVE: B
A B a
a a
b
b b
c
c c
d
d d
CLAVE: E
O 22
A B
P
45 45
2 2
A B
Solucin:
De la figura el permetro de la regin
sombreada es igual a la suma las
longitudes de los arcos exteriores:
YML, LO, OV, VEZ, ZU, UY
y los arcos interiores:
YAL, LRY, UKO,OIU,ZTV, VSZ
Pero nos podemos dar cuenta que al
sumar los arcos YML y LRY se obtiene
la circunferencia MLRY, de manera
similar en los otros arcos al sumarlos se
obtiene una circunferencia, luego
podemos hallar el permetro de la regin
sombreada de la siguiente forma:
CYML LRY
CYAL LO OIU UY
CUKO OV VSZ ZU
CZTV VEZ
SOMBREADO C
L L L
L L L L L
L L L L L
L L L
Permetro 4L
Las cuatro circunferencias tienen
radios iguales por los tanto tienen la
misma longitud de circunferencia.
Finalmente:
SOMBREADOPermetro 4 2 r
SOMBREADOPermetro 4 2 2
SOMBREADOPermetro 16
PROBLEMA 10
Hallar el permetro del tringulo
rectngulo ABC.
(UNSAAC CBU 2001 II)
A) 28 B) 20 C) 34
D) 24 E) 30
Solucin:
ABC (Teorema de Pitgoras)
2 2 25x 3x 2x 4
2 2 225x 9x 4x 16x 16
212x 16x 16 0
23x 4x 4 0
x = 2
Luego, el permetro sera:
ERMETROP 5x 3x 2x 4
ERMETROP 10x 4
ERMETROP 10(2) 4
ERMETROP 24
A
B C
2x + 4
5x 3x
CLAVE: A
L
M
O
Z
E
Y U
V
A R K I T S
A
B C
2x + 4
5x 3x
OTRA FORMA (MS RPIDA):
Observemos que este es un tringulo
Notable (3-4-5), entonces:
Luego: 4x = 2x + 4
x = 2
Finalmente el permetro:
ERMETROP 5x 3x 4x
ERMETROP 12x
ERMETROP 12(2)
ERMETRO
P 24
PROBLEMA 11
Hallar el permetro de la regin
sombreada.
(UNSAAC CBU 2001 II)
A) 9 B) 10 C) 12
D) 18 E) 6
Solucin:
De la figura:
AOB BOC ACP L L L
AB BCP 2 r
2 2 360
6 6 90P 2 (6)
2 2 360
P 3 3 3
P 9
PROBLEMA 12
En la figura mostrada, hallar el
permetro de la regin sombreada, si
el radio de la circunferencia es r = 2a.
(UNSAAC CBU 2002 I)
A) 32 a B) 12 a C) 16 a
D) 8 a E) 20 a
Solucin:
Resolvimos un problema muy similar
anteriormente, por lo que podemos
afirmar que:
CLAVE: A
6
m
6
m
B
A
C
O
CLAVE: D
A
B C
3x 5x
2x 4
4x
6
m
6
m
B
A
C
r r r r r
SOMBREADOPermetro = 5 L
SOMBREADOPermetro = 5 [2 (2a)]
SOMBREADOPermetro
= 20 a
PROBLEMA 13
Calcular el permetro de la regin
sombreada en la siguiente figura, si
AO = OB y los arcos son porciones
de circunferencias.
(UNSAAC CBU 2002 II)
A) 15 B) 10 C) 6
D) 16 E) 12
Solucin:
De la figura podemos ver que :
SOMBR
2 R OA OBPerm
4 2 2
SOMBR
2 (8) 8 8Perm
4 2 2
SOMBRPerm 12
PROBLEMA 14
Determinar el permetro de la regin
sombreada, de la figura.
(UNSAAC CBU 2002 II)
A) 16a ( + 2) B) 4a ( + 2)
C) 8a ( + 2) D) 8a ( - 2)
E) 8a (2 - )
Solucin:
De la figura, se deduce que:
SOMBRPerm = 4 + 4L (r = a)
SOMBRPerm = 4(4a) + 4[2 (a)]
SOMBRPerm = 8 a ( + 2)
A
8
B
O
CLAVE: C
CLAVE: E
A
8
B
O
8
CLAVE: E
a
SOMBR AO OBABPerm L L L
= 4a
a
REA:
El rea de una superficie limitada
cualquiera es su extensin, indicada por
un nmero positivo nico acompaada de
la unidad adecuada (cm2, m2, u2, etc.).
DEBEMOS RECORDAR QUE:
I. Las Figuras Equivalentes tienen
igual rea, sin importar la forma.
1 2A A
II. Las Figuras Semejantes tienen igual
forma, y sus reas son proporcionales
a los cuadrados de sus elementos
homlogos.
Por ejemplo:
Caso de 2 Tringulos Semejantes:
2 2 21
2 2 22
S AB BC AC
S MN NL ML
Caso de 2 Crculos:
22
21
22
21
2
1
r
r
D
D
S
S
PRINCIPALES FRMULAS DE
FIGURAS CONOCIDAS
A. REGIONES TRINGULARES
1. FRMULA GENERAL:
- Tringulo Acutngulo
bh
S2
- Tringulo Rectngulo
A
B
C
S1
M
N
L
S2
A2 A1
D1
S1 r1
D2
S2 r2
b
A C H
B
h
reas CAPTULO
3
49 INFORMES E INSCRIPCIONES
Av. de la Cultura 1020 Of. 203. 2do. Nivel. 244856
b hS2
- Tringulo Obtuso
b hS2
2. TRINGULO EQUILTERO:
2L 3
S4
2
h 3S
3
3. FRMULA TRIGONOMTRICA:
b c SenS2
4. FRMULA DE HERN:
a b cp2
S p p a p b p c
5. EN FUNCIN DE SU INRADIO:
S pr
6. EN FUNCIN AL CIRCUNRADIO
abc
S4R
7. TRINGULO RECTNGULO
CIRCUNSCRITO
nmS
8. EN FUNCIN A LOS EX-RADIOS
E INRADIO
A
C
B
h
b
C A
B
H
L L
L
h
C A H b
B
h
B
C A b
c a
A
B
C
c
b
b
a
h
B
C A b
c a R
A b
B
C
c a r
b
A
B
C
r
m n
ABC a b cS r R R R#
B. REAS DE REGIONES
CUADRANGULARES
1. CUADRADO:
2
S L
2
DS
2
2. RECTNGULO:
S ab
2 2 2
D a b
3. PARALELOGRAMO:
S bh
S abSen
4. ROMBO:
D d
S2
5. TRAPECIO:
B b
S h2
6. TRAPEZOIDE:
DdSen
S2
7. CUADRILTERO INSCRITO:
a b c d
p2
S p a p b p c p d
8. CUADRILTERO CIRCUNSCRITO
rpS
C. REGIONES POLIGONALES
1. POLGONO CIRCUNSCRITO:
Ra
C A
B
Rb
Rc
r
L
L D
b
a D
D
d
b
B
h
a
b
c
d
r
d D
b
a
h
rpS
2. POLGONO REGULAR
px apS
D. REGIONES CIRCULARES
1. Crculo:
2rS
2. Sector Circular:
2SECTOR
S r
360
SECTOR
LRA
2
3. Segmento Circular:
2 2
AB
r r SenS
360 2
4. Zona o Faja Circular:
ZC CD ABS S S
5. Corona Circular:
2 2CCS (R r )
6. Trapecio Circular:
2 2TC S R r360
Al Sector Circular, tambin se
le conoce como Tringulo
Circular o Tringulo Mixtilneo
y su rea se calcula as:
B
A
O
R
r
O
r
ap
B
D
A
C
R
r
R
B
A
O
B
A
O L
R
R
1 2TCL L
S R r2
ALGUNAS RELACIONES
IMPORTANTES DE REAS
A) Propiedad de la Mediana.
B) 1RA Propiedad de los Puntos Medios
C) 2DA Propiedad de los Puntos Medios
D) Se cumple que:
E) Se cumple que:
F) Se cumple que:
G) Se cumple que:
H) Se cumple que:
I) Se cumple que:
J) Propiedad del Tringulo Rectngulo:
R
r
O L1 L2
R-r
El rea de un Trapecio
Circular, tambin se puede
calcular con la frmula para un
trapecio y sera as:
T 1 2A S S
1S
2S
S
S
SS
S SS
S
S
1S 2S
3S
S
S S
SSS
TAS2
TAS6
TAS4
1 2S S
S S
TAS2
TAS2
TAS4
TAS2
S
1S 2S
S
Si los lados de un tringulo rectngulo
son lneas homologas de figuras
semejantes construidas sobre ellos,
entonces la suma de las reas de regiones
construidas sobre los catetos es igual al
rea de la regin apoyada en la
hipotenusa. Por consiguiente:
K) Lnulas de Hipcrates:
FRMULAS GEOMTRICAS
IMPORTANTES
1. TEOREMA DE PONCELET
En todo tringulo rectngulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el
dimetro de la circunferencia inscrita
a c b 2r
2. TEOREMA DE MENELAO
Toda secante a un tringulo, determina con dos lados del tringulo, cuatro
segmentos parciales, y con la
prolongacin del tercero otros dos
segmentos parciales. de tal forma que el
producto de tres de ellos no consecutivos
es igual al producto de los otros tres
tampoco consecutivos
abc xyz
PROBLEMAS
PROBLEMA 1
ABCD es un cuadrado, M y N son
puntos medios. Qu parte de la
figura falta sombrear?
A) 3/8 B) 4/8 C) 7/8
D) 5/8 E) 6/8
Solucin:
C B M
O
A N D
A D
B C M
N
3S
S
S
S
O
2S
1 2 3S S S
BA
C2S
1S
ABC 1 2S S S
A C
B
r c a
b
A
B
C D
E F
RECTA SECANTE
O TRANSVERSAL
Usamos la propiedad de la mediana vista
en la teora, por ejemplo:
En CNA MO mediana
NOA NOCA A S De manera similar para las otras regiones
Finalmente:
NS
T
A 5S
8SA
NS T
5A A
8
PROBLEMA 2
Hallar el rea de la regin sombreada,
s ABCD es un cuadrado de 12cm de
lado y ABE es un tringulo
equiltero.
A) 36 cm2 B) 72 cm2
C) 86 cm2 D) 70 cm2
E) 75 cm2
Solucin:
2cm72As
2
612
2
612As
AAAs BECAEA
Tambin podemos usar la propiedad:
AAs
2 Donde: E Punto Interior.
212As
2
2As 72 cm
PROBLEMA 3
Qu fraccin representa la regin
sombreada de la siguiente figura?
A) 3/8 B) 1/6 C) 1/2
D) 5/8 E) 2/5
Solucin:
Sabemos que en este tipo de problemas, es conveniente poner un valor al rea de la regin ms pequea, que en nuestro
CLAVE: B
CLAVE: D
B C
A D
A D
B C 12
E
12
6
6
A A
2A
A
A A
2A
A
A
A
caso es la mitad de un cuadrado, que puede ser un rectngulo o un tringulo. As ponemos A a la mitad del rea de la regin que encierra en cuadrado. Luego:
T
As 6A
12AA
T
1As A
2
PROBLEMA 4
Encontrar la fraccin que representa
la regin sombreada en el siguiente
cuadrado:
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 1/8 B) 5/16 C) 1/4
D) 3/16 E) 1/2
Solucin:
Observamos que podemos dividir la figura en tringulos congruentes. Luego contamos el nmero de tringulos sombreados y el total de tringulos que existen, para obtener la siguiente relacin:
T
5As
16A
#
#
T
5As A
16
PROBLEMA 5
En el tringulo equiltero mostrado
en la figura; AC = 6m, DC = 4m, AE
= 4m. Calcular el rea del tringulo
AED.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 4 5 m
2 B) 2 3 m2
C) 4 3 m2 D) 2 5 m
2
E) 3 m2
Solucin:
CLAVE: B CLAVE: C
A
E
B
D
C
Deducimos que BEA es equiltero AE = 2
Usamos la frmula trigonomtrica para hallar el rea de la regin triangular DEA.
Luego: DEA
4 x 2S Sen120
2#
DEA
4 x 2 3S
2 2#
2DEAS 2 3 m#
PROBLEMA 6
En la figura mostrada; si el rea de la
regin sombreada es 200 cm2. Hallar
el rea del cuadrado ABCD, sabiendo
que BOC y COD son semicrculos.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 400 cm2 B) 100 cm2
C) 600 cm2 D) 800 cm2
E) 300 cm2
Solucin:
En este tipo de problemas sabemos que debemos trasladar regiones para obtener una regin de rea conocida; as obtenemos:
ABCDDEA
SS
2#
ABCD DEAS 2S #
ABCDS 2 200
2ABCDS 400m
PROBLEMA 7
En la figura mostrada: 12 y 16
unidades son las medidas de las bases
del trapecio issceles inscrito en la
circunferencia de 10 unidades de
radio. Cul es el rea del trapecio?
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 172 u2 B) 196 u2 C) 164 u2
D) 156 u2 E) 144 u2
Solucin:
CLAVE: A
A
B C
D
CLAVE: B
A
B C
D
O
A C
B
2 2
2 60
60
60
4 4
60 6
120
E D
Para calcular el rea sombreada,
necesitamos hallar la altura.
Trazamos los radios OA y OB , para
formar tringulos rectngulos, entonces:
En ONA (37-53): b = 6
En BOM (37-53): a = 8
MN = a + b
MN = 14 (Altura del Trapecio)
Luego: 16 12A 142
2A 196
PROBLEMA 8
En la figura mostrada, hallar el rea
de la regin sombreada, sabiendo que
el sector circular ABC, es la cuarta
parte de un crculo de radio AB =
4cm.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 3 cm2 B) 2 cm2
C) 5 cm2 D) 4 cm2
E) 6 cm2
Solucin:
Como BAC es un cuadrante (la cuarta
parte de una circunferencia)
AC = AB = 4
BAC (45-45): BC = 24
Luego el radio del crculo sera 2 2
Finalmente:
22
S
4A 2 2
4
As 4
PROBLEMA 9
Hallar el rea del sector circular de
4m de radio y 8m de arco.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 4 m2 B) 64 m2 C) 16 m2
D) 32 m2 E) 12 m2
Solucin:
Para calcular rpidamente el rea de esta regin, usamos la frmula para el Triangulo Circular.
C
S BAA A A
CLAVE: D CLAVE: B
B C
A D
O
N
M
10
10
8 8
6 6
a
b A B
C
4
4
O
22
22
8
4 A
C
A B
O
S
8 4A
2
2SA 16m
PROBLEMA 10
En la figura mostrada, cada
cuadradito tiene un rea de 4 cm2. Cul es el rea de la regin
sombreada?
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 23 cm2 B) 18 cm2
C) 16 cm2 D) 15 cm2
E) 20 cm2
Solucin:
Dato 2a 4 a = 2
Luego:
S BAD BCDA A A # #
S
BD x AH BD x CQA
2 2
2
44
2
64
As
2SA 20cm
Que en este problema vino as:
PROBLEMA 11
La figura ABCD es un trapecio y
BCD un cuarto del crculo de radio
igual a 6cm. Hallar el rea de la
regin sombreada si AD = 12 cm.
(UNSAAC CBU 99 I)
A) 6 (9 - ) cm2 B) 9 (6 +) cm2
C) 48 - 9 cm2 D) 9 (6 - ) cm2
E) 32 + 9 cm2
b
h
A
CLAVE: E CLAVE: C
A
B C
D
A
B
C Q
H
a=2
a=2
D
4 6
b
h A
b hA
2
b hA
2
Recuerda que el rea de un tringulo
obtusngulo se calcula as:
Solucin:
Nos dan el radio del cuadrante
CD = CB = 6cm
Por lo tanto la base menor del trapecio mide 6 cm. Luego:
2
S
612 6A 6
2 4
2SA 9(6 )cm
PROBLEMA 12
Calcular el permetro de la regin
sombreada, sabiendo que el rea del
cuadrado ABCD es 64 cm2
A) 4 ( )423 + cm. B) 3 ( )423 + cm. C) 3 ( )324 + cm. D) 2 ( )324 + cm. E) 2 ( )423 + cm.
Solucin:
Dato: ABCDA 64
2L 64 L 8
Ahora: Si L = 8 BH = HC = 4
Luego usamos el (45-45)
DO OB OC 4 2
Finalmente
S ERIM ERIMP P AHO P DOC # #
SP 4 2 8 8 2 8 SP 4 3 2 4 cm
PROBLEMA 13
En el cuadrado ABCD, de 20 cm. de
lado, los puntos M, N, P, Q, E, F, G y
H son puntos medios,
respectivamente. Cul es el rea del
cuadrado EFGH?
A) 200 cm2 B) 50 cm2
C) 100 cm2 D) 150 cm2
CLAVE: A
A
D C
B
O
L=8
4
4
4 2
4
4 2 4 2
CLAVE: C
A M B
N
C Q D
P
H G
F E
A D
B C 6
6
12
SA A A
A
D C
B
E) 250 cm2
Solucin:
Usamos la siguiente propiedad:
ABCDMNPQ
AA
2
Luego:
ABCDMNPQ
AA
2
2
MNPQ MNPQ
20A A 200
2
MNPQEFGH
AA
2
EFGH MNPQ
200A A 100
2
OTRA FORMA:
Dividimos el cuadrado en tringulos
congruentes:
Observamos que existen 16 tringulos en
el cuadrado ABCD, entonces:
ABCDA 16A #
220 16A # A 25#
Finalmente: EFGHA 4A #
2EFHGA 100cm
PROBLEMA 14
Calcular el rea del tringulo ABC
A) 350 m2 B) 400 m2
C) 450 m2 D) 250 m2
E) 300 m2
Solucin:
Como AB = BC ABC issceles
Luego AH = HC = 15.
BHA: (37-53)
Si AH = 3k= 15 (Opuesto a 37)
k = 5
Luego: BH = 4k (Opuesto a 53)
BH = 4(5) BH = 20
Finalmente:
ABC
AC x BHA
2#
53 A
B
C 15
37
H
CLAVE: C
A B
N
C Q D
P
H G
F E
M
CLAVE: C
53 A C 30 m
B A Q D
N
M P A
B
C
ABC
30 x 20A
2#
2ABCA 300cm#
PROBLEMA 15
Hallar el rea de la regin sombreada,
si el tringulo ABC es equiltero de
lado 12m y E, F, G son puntos
medios de los lados ACyBCAB , ,
respectivamente.
A) 12(3 3 -) m2 B) 3(12 3 -) m
2
C) 3( 3 -12) m2 D) 12( 3 -) m
2
E) 3(4 3 -) m2
Solucin:
De la figura: S 1 2A 2A A
Hallamos A1:
2
1 1
3 9A A
2 2
Ahora hallamos A2.
2
22
12 3 60A 2 6
4 360
2A 36 3 12
Luego: SOMBA 2A1 A2
SOMB
9A 2 36 3 12
2
2SOMBA 3 12 3 m
PROBLEMA 16
Calcular el rea de la regin
sombreada, si cada cuadrito tiene
2cm. de lado.
A) 96 cm2 B) 100 cm2
C) 80 cm2 D) 114 cm2
E) 120 cm2
Solucin:
Dividimos la regin total, en 5 regiones de reas conocidas (4 tringulos rectngulos y un rectngulo); luego tendramos:
CLAVE: B
CLAVE: E
A
B
C
E F
G
A1
A2
A4
A3
A5
2
A
B
C
E F
6
6 6
6
3 3 3 3
A1 A1
A2
S 1 2 3 4 5A A A A A A
Entonces, calculamos:
1
2 10A 10
2
2
8 6A 24
2
3
4 4A 8
2
4A 12 4 48
5
6 8A 24
2
Finalmente:
S 1 2 3 4 5A A A A A A
2SA 114cm
PROBLEMA 17
Si la longitud de la circunferencia es
24. Cunto mide el rea del crculo?
(UNSAAC CBU 99 II)
A) 122 B) 12 C) 144
D) 24 E) 14
Solucin:
Dato: 24Lc
2 r 24 r 12
Luego:
PROBLEMA 18
Qu fraccin del rea del cuadrado,
representa la parte no sombreada de
la figura?
(UNSAAC CBU 99 II)
A) 9/16 B) 1/2 C) 7/16
D) 4/5 E) 3/16
Solucin:
En este problema, observamos que el cuadrado mayor queda dividido en 4 cuadrados, si cada uno de ellos tiene un rea de 4A, entonces se tiene el siguiente esquema: Luego tendramos:
CLAVE: C
CLAVE: D
2
A 12
A 144
r
A
2A
A
A
A
A A
A
A
2A
2A
2A
NS
S
A 9A
A 16A
NS
9A As
16
PROBLEMA 19
En la figura, qu fraccin del rea
del cuadrado MNPQ representa la
regin sombreada?
A) 2
5 B)
2
3 C)
4
5
D) 3
4 E)
1
2
Solucin:
Luego de trasladar regiones, para obtener, una regin de rea conocida, tenemos:
Luego: S T
1A A
2
PROBLEMA 20
Un crculo tiene igual permetro que
un cuadrado cuya diagonal mide
8 cm. El rea del crculo es:
A) 16
cm2. B) 4
cm2
C) 16
cm2. D)
4
cm2
E) 16 cm2.
Solucin:
Dato: BD = 8 BD = 2 2
BAC: (45- 45)
Como BD = 2 2 AB = AD = 2
ABCDPermetro 8
Luego, por condicin del problema:
ABCDPermetro Lc
Entonces: Lc 2 r
48 2 r r
Finalmente:
CLAVE: C
CLAVE: E
N P
M
Q
CLAVE: A
N
M Q
P
2
2
A
B C
D
r 2 2
24
A
216A cm
2A r
PROBLEMA 21
En la figura adjunta, el rea del
trapecio ABCD es 40 cm2. Entonces
el rea del rectngulo ABEF es:
A) 30 cm2 B) 25 cm2
C) 80 cm2 D) 45 cm2
E) 20 cm2
Solucin:
ABCDA 40
9k 3kh 40
2
20kh3
Luego: ABEFA 3k h
ABEF
20A 3
3
2ABEFA 20cm
PROBLEMA 22
Determinar el rea sombreada de la
figura; Si AB = 16 cm.
A) 60 cm2 B) 32 cm2
C) 64 cm2 D) 16 cm2
E) 12 cm2
Solucin:
Trasladamos regiones as tenemos:
Luego:
As 32
PROBLEMA 23
Hallar el rea de la siguiente figura:
(UNSAAC CBU 2000 I)
2
8As
2
AAs
2
CLAVE: B
A B
CLAVE: E
A B
A B
E F D C 9k
3k
53
18 cm
12 cm
A B
D C F
E
h
9k 3k
3k
A) 100 cm2 B) 150 cm2
C) 140 cm2 D) 120 cm2
E) 110 cm2
Solucin:
Trazamos CH AD para obtener el
BAC: (37- 53)
HD = 3K = 6 K = 2
y CH = 4k
CH = 8 Pero: CH = AD = 8 (Altura del Trapecio) Luego:
PROBLEMA 24
En la figura, calcular el rea en
metros cuadrados de toda la regin
sombreada, ABC es una
semicircunferencia.
(UNSAAC CBU 2000 I)
A) 3 B) 2 C)7
D) 5 E) 1
Solucin:
ABCAs A # 2 1
As2
2As 1m
PROBLEMA 25
La relacin entre el rea sombreada y
el rea del trapecio issceles es:
(UNSAAC CBU 2000 I)
A) 1
2 B)
1
3 C)
2
5
D) 1
4 E)
1
6
Solucin:
CLAVE: E
CLAVE: D
12
18
h =
8 37
53
4k =8
3k = 6 A
B C
D 12 H
O 2m
A
B
C
3a
a
ABCD
18 12A 8
2
2ABCDA 120cm
O 2m
A
B
C 1 1
1
Primero hallamos:
SOMBREADA
ahA
2
TRAPECIO
a 3aA h
2
Finalmente se tiene:
SOMBREADA
TRAPECIO
ah
A 2
3a aAh
2
SOMBRADATRAPECIO
A 1
A 4
PROBLEMA 26
Hallar el rea del cuadriltero ABCD,
si el rea del tringulo AMP es 30 m2.
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 120 m2 B) 64 m2
C) 106 m2 D) 96 m2
E) 92 m2
Solucin:
De la figura:
PAM ABCD BAM CPM PADA A A A A
x x xx
a 4b a b 2a 3b30 2a 4b
2 2 2
11ab30 8ab
2
2ab 12m
Finalmente:
ABCD xA 2a 4b
ABCDA 8ab
ABCDA 8 12
2ABCDA 96m
PROBLEMA 27
Calcular el rea del tringulo
issceles en m2, si su altura es 12 m y
el permetro del tringulo es 36 m
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 36 B) 60 C) 90
D) 80 E) 120
Solucin:
CLAVE: D
A D
C M B
2a
4b
a a
2b
P
N
b
b
A D
C M B
CLAVE: D
a
3aaa
h
No nos dicen que es un cuadrado, por eso colocamos lados diferentes.
B
b b 12
Dato: ABCPermetro 36#
2a 2b 36 a b 18
b 18 a (I)
Teorema de Pitgoras en AHB:
2 2 2b a 12 (II)
Remplazamos (I) en (II):
2 2 218 a a 12 a 5
Finalmente: xABC
2a 12A
2#
2ABCDA 60m
PROBLEMA 28
En la figura adjunta. Determinar el
rea del crculo sombreado en cm2.
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) (3 + 2 2 ) B) (2 - 3 2 )
C) (3 - 2 2 ) D) (2 + 3 2 )
E) (3 - 2 )
Solucin:
Para calcular el rea del crculo, bastar
calcular el radio del dicho crculo.
CAD (45 - 45)
Como: AB = 2 (Opuesto a 45)
AC = 2 2 (Hipotenusa)
Pero de la figura: AC = 1 + 2 r + 1
2 2 = 2 + 2 r
Luego: r 2 1
Finalmente: 2A r
2
A 2 1
A 3 2 2
PROBLEMA 29
El rea de la regin sombreada en
cm2, en la figura dada es:
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 4 (8 - ) B) 4 (4 - )
C) 8 (4 + ) D) 4 (8 + )
E) 2 (16 - )
Solucin:
CLAVE: C
2cm
2cm
A
B C
D
1
1
r r
CLAVE: B
2 c
m
2 cm 4 cm
4 c
m
De la figura: S ABCDA A 4A
Pero A es la cuarta parte de un crculo, por lo tanto: 4A A
Finalmente:
S ABCDA A 4A
S ABCDA A A
2 2SA L r
2 2SA 4 (2)
SA 4 4
PROBLEMA 30
Hallar el rea de la regin no
sombreada en cm2. Si el radio del
crculo mayor mide 2 cm. y el ngulo
AOB mide 120.
(UNSAAC CBU 2000 II)
A) 4
3 B)
3
4 C)
3
8
D) 8
3 E) 4
Solucin:
Trasladamos regiones y obtenemos un
sector circular de 120, como se muestra:
Luego:
2SA r
360
2S
120A (2)
360
S
4A
3
PROBLEMA 31
En la figura, cada cuadradito tiene un
rea de 4 cm2. Qu parte del rea
total del rectngulo ABCD es el rea
sombreada?
(UNSAAC CBU 99 II)
A) 4
5 B)
3
5 C)
8
15
D) 2
3 E)
2
7
Solucin:
CLAVE: B
O
A B
120 r =2
CLAVE: B
4
4
A
A A
A
AS
O
A B
A
B C
D
El rea de cada tringulo es A; por la tanto el rea de cada cuadradito sera
2A.
Por lo tanto se tendra:
S
TOTAL
A 18A
A 30A
S TOTAL
3A A
5
PROBLEMA 32
En la figura, Qu fraccin del rea
del rectngulo ABCD representa la
regin sombreada?
(UNSAAC CBU 99 II)
A) 1
3 B)
5
8 C)
1
4
D) 2
3 E)
1
2
Solucin:
Trazamos AC ABC ACDA A# #
Usamos la propiedad de la mediana:
ABC: AM es mediana
ABM AMCA A A # #
ACD: AN es mediana
ACN ANDA A A # #
Finalmente:
S
TOTAL
A 2A
A 4A
S TOTAL
1A A
2
PROBLEMA 33
En la figura adjunta. Qu parte del
rea del hexgono regular representa
la regin sombreada?
A) 2
3 B) 3
8 C) 5
6
D) 1
2 E)
3
1
Solucin:
CLAVE: E
A
B C
D
A
A
N
A A
M
CLAVE: B
B C
D
2A 2A 2A
2A
2A
2A
A A
A
A A A
A
A
B C
D
El hexgono es regular por lo que lo
dividimos en 6 tringulos equilteros.
Trasladamos la regin indicada y luego:
S
TOTAL
A 2A
A 6A
S TOTAL
1A A
3
PROBLEMA 34
En la figura adjunta el rea de la
regin sombreada es 23 cm2
.
Determinar el rea en cm2 del
tringulo formado al unir los centros
de las circunferencias siendo estas
iguales.
A) 3
4 B) 3 C)
3
5
D) 3
2 E)
3
3
Solucin:
Al unir los centros A, B y C se obtiene un
tringulo equiltero; para calcular el rea
que encierra este tringulo equiltero
ABC necesitamos saber cunto mide su
lado, para lo que necesitamos calcular el
radio de la circunferencia.
Dato: SA 3
2
Pero de la figura:
S ABCA A 3A #
Luego:
2
2S
L 3A 3 r
4 360
22(2r) 3 603 3 r
2 4 360
22 r3 r 3
2 2
23 r 32 2
r 1
Finalmente:
A B
C
r r
r r
r r A A
A
60 60
60
CLAVE: E
A
2
ABC
L 3A
4#
2ABC
2(1) 3A
4#
ABCA 3#
PROBLEMA 35
Hallar el rea de la regin sombreada:
A) 5 B) 7 C) 2
D) 3 E) 9
Solucin:
ABQ: PM // AQ
PM es Base Media de AQ
y AQPM PM 12
Ahora como PM = 1
de la figura MN = 3
Tambin de la figura: QH = 2
Finalmente:
xMQN
MN QHA
2#
xMQN
3 2A
2#
SA 3
PROBLEMA 36
En la figura adjunta. Determinar el
rea en cm2 del trapecio AOBC.
A) 3 B) 5
2 C) 2
3
D) 3
2 E) 2
5
Solucin:
P
4 B C
N
D A Q
M
2
2
2 2
1 3
2
H
CLAVE: D
CLAVE: B
4
4
O
C
A
4cm
3cm
B
DCB Tringulo Notable (37-53)
BD = 5
En este trapecio para hallar el su rea de
la regin que encierra, necesitamos su
altura (r) y su base menor (r).
Para hallar r aplicamos el Teorema de
Poncetet en DCB.
CD + CB = BD +2 r
3 + 4 = 5 + 2 r
r = 1
Finalmente:
TRAPECIO
BC OAA CA
2
TRAPECIO
4 1A 1
2
TRAPECIO
5A
2
PROBLEMA 37
En la figura, E es el punto medio de
AC . El rea de la regin sombreada,
es:
(UNSAAC CBU 2001 I)
A) 2( 3 - 48) B) 20 ( 3 - 96)
D) 100 (2 3 -48) D) 2(200 3 -96)
E) 2 (100 3 -48)
Solucin:
ABC (30-60):
Como AC = 40 (Hipotenusa)
AB = 20 (Opuesto a30)
y BC = 20 3 (Opuesto a60)
ADE (37-53):
AE = 20 (Hipotenusa)
5k = 20 k = 4
AD = 3k (Opuesto a30)
AD = 12 BC = 4k (Opuesto a60)
y BC = 16
A C 37
E 40
30 53
B
D
20 20
4k 3k
O
C
A
4
3
B
r
r
D
5
CLAVE: B
30 A
D
B
C 37
E 40
Nada es imposible, a
menos que uno est de
acuerdo en que lo es.
Luego: S ABC ADEA A A # #
x xS
AB BC AD DEA
2 2
x xS
20 20 3 12 16A
2 2
SA 200 3 96
SA 8 25 3 12
Buscando la respuesta de las alternativas
se tiene:
SA 2 100 3 48
PROBLEMA 38
En la figura: AC y BC son tangentes al crculo. El rea de la
regin sombreada, es:
(UNSAAC CBU 2001 I)
A) 3 33
B) 9 33
C) 39
3
D) 33
3
E) 3 3
Solucin:
Primero trazamos OC para obtener
tringulos rectngulos notables de 30 y
60
OAC (30-60):
Si OA = 3 (Opuesto a 30)
AC = 3 3 (Opuesto a 60)
Luego:
AOBS OACB SECTORA A A
OAC AOBS SECTORA 2 A A #
x 2
S
3 3 3 120A 2 3
2 360
SA 9 3 3
SA 3 3 3
Buscando la forma en la que esta
respuesta se presenta en las alternativas,
se tiene:
SA 9 3
3
B
C
A
3
60
3
60 30 30
O
3 3
3 3
CLAVE: B
CLAVE: E
B
C
A
3
120
3
PROBLEMA 39
En la figura: los vrtices del tringulo
equiltero de lado de longitud 12 son
centros de crculos de radio 6. El rea
de la regin sombreada, es:
(UNSAAC CBU 2001 I)
A) 6 3 B) 16 3 3
D) 4 4 3 3 D) 9 3 E) 18 2 3
Solucin:
Trasladamos regiones y se obtiene un
tringulo equiltero y un semicrculo:
S ABC 1A A A #
2 2
S
12 3 6A
4 2
SA 36 3 18
SA 18 2 3
PROBLEMA 40
El porcentaje del rea sombreada, es:
(UNSAAC CBU 2001 I)
A) 50% B) 40% C) 55%
D) 60% E) 45%
Solucin:
x
S
TOTAL x
b h
A 2
A b h
S TOTAL
1A A
2
S TOTALA 50%A
xS
b hA
2
b
h
b
h
A1
A C
B 6 6
6 6 M 12 CLAVE: A
CLAVE: E
Para calcular el rea de la regin
sombreada hemos usado esta
formula:
PROBLEMA 41
Si en el grfico P y Q son puntos
medios. Qu parte del crculo falta
sombrear?
(UNSAAC CBU 2001 I)
A) 2
3 B)
1
3 C)
1
4
D) 1
2 E)
3
4
Solucin:
rea del crculo menor (A1):
21A a
rea del crculo mayor (A2):
22A 2a 2
2A 4 a
Finalmente:
21
22
A a
A 4 a
1 2
1A A
4
PROBLEMA 42
Qu fraccin representa la parte