8/17/2019 Raices Segundo Medio
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Matemática
Clase
Raíces
8/17/2019 Raices Segundo Medio
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Pregunta oficial PSU
25.
A)
B)
C)
D)
E)
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2013.
=⋅3
3
2
x
x40,
x0,2 ⋅
3
1
x3
2⋅
3
1
x10
4⋅
x3
2⋅
3
1
x20, ⋅
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Una raíz es una cantidad que se debe multiplicar por sí misma tantasveces como indique el índice, para obtener un número determinado.
Raíces
Definición
Valor de la raíz
índice
antidad sub!radical
Ejemplos:
baab nn =⇔=
2,"3 = ( ) "2 porque3 =
3,"14
= ( ) "13 porque4
=2,32# = ( ) 322 porque
# =
!#,12#!3 = ( ) !12##! porque3 =
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Raíces
Ejemplos:
Una raíz corresponde a una potencia con exponente $raccionario.
¿Cómo expresarías como raíz?
Definición
#
2
# 2# ""%4 ==
4
3
4 3
## =
%
#
% # && =
3
1
3 22 =
2
1
## =
b
a
b axx =
2
1
12
%12 %12 222%4 ===
2
'a ()b ∈∈
3
2
4
1−
33 23
23
2
1%444
1===
−
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Ejemplos:
omo toda raíz corresponde a una potencia con exponente $raccionario,
tambi*n se cumplen las si+uientes propiedades
Raíces
xxn n = ( )mnn m xx =
4444 133
3 3 ===
#### 12
22 ===
aaaa 1"
"" " ===
( ) ( ) 322""##
33 # ===
( ) ( ) 6441616 3
33 ===
( ) ( ) "24433
3 ===
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Raíces
•
Multiplicación de raícesSe multiplican las cantidades subradicales conserando el índice!ue tienen en com"n#
Ejemplos:
Propiedades
nnn baba ⋅=⋅ )n - ∈
=⋅ ## 21% =⋅# 21% =# 32 2
=⋅33
3 =⋅3
3 =3
2& 3
=⋅ 44
2&
1
3
1=⋅4
2&
1
3
1=4
"1
1
3
1
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Raíces
¿Cómo podríamos reducir las siguientes expresiones?
/suma por la di$erencia
Propiedades
( ) ( ) =−⋅+ 2323 ( ) ( ) =−22
23 23 − 1=
( ) ( ) 22 bababa −=−+
=+⋅− 2#2# ( ) ( ) =+⋅− 2#2# =−2# 3
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Raíces
Ejemplo:
¿Qué podríamos hacer si se trata del producto deraíces de distinto índice?
En este caso$ es posible expresarcada raíz como potencias de 3.
%ue&o'
Propiedades
33 =⋅
3
2
3== 3 23 3
2
1
3=3
=⋅ 33 =⋅ 2
1
3
2
33 =+2132
3 =%&
3 6 &3
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Se diiden las cantidades subradicales conserando el índice !uetienen en com"n#
Raíces
•
Diisión de raíces
Ejemplos:
b 05b 05
Propiedades
nnn
baba :: =
=33 42.04" : =3 42.04" =3 #12 "
=#
.%
3=#
32
1=#
#2
1
2
1
n
n
n
b
a
b
a
=
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Raíces
Ejemplo:
¿Qué podríamos hacer si se trata de la divisiónde raíces de distinto índice?
En este caso$ es posible expresarcada raíz como potencias de 2.
%ue&o'
Propiedades
41%# =3:
!
"
2== # 4# 21%
3
2
2== 3 23 24
=3: 41%# 3
2!"
22 : 32
#4
2−
= 1#2
2= 1# 22= 1# 4=
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Raíces
Ejemplos:
• Raí# de una raí#
6quivale a una raíz, cu(o índice es el producto de los índicesiniciales.
Propiedades
nmm n aa ⋅=
% 3 & 3% &⋅= 18 &=
)m ()n - ∈∈
3 %4 % %4= % %2= 2=
3 4 # 24 #=
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Raíces
Ejemplos:
• $omposición % descomposición de una raí#
7e utiliza para in+resar un $actor a una raíz, o cuando un $actor de lacantidad sub!radical es un cuadrado per$ecto.
Propiedades
)5n∈nn
n baba ⋅=
=3 4# =⋅3 3 4# =⋅3 412# 3 #00
=4 23 =⋅4 423 =⋅4 2"1 4 1%2
=3%3 =⋅3121 =⋅ 3121 311
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¿Cómo podríamos reducir las siguientes expresiones?
Raíces
Propiedades
=++ #01"32 22#221% ⋅+⋅+⋅
2#2324 ++=
212=
=−+ 12&"# 34&32#231%# ⋅−⋅+⋅
32&3#234# ⋅−⋅+⋅=
314310320 −+=
31%=
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7e llama racionalizaci8n al procedimiento que convierte una expresi8n$raccionaria con raíces en el denominador, en otra equivalente sin que
aparezcan raíces en *l.
(odemos a&rupar las ormas de racionalización en tres tipos'
9 :e raíces cuadradas en el denominador
Ejemplo : ¿Qué hacemos?
Se ampliica por la misma raíz deldenominador$ en este caso$ por #
Raíces
Racionali#ación
#
3=
#
=⋅#
#
#
3
( ) =
2
#
#3
#
#3=#
3
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Ejemplo:
Ejemplo:
Raíces
Racionali#ación
&2
&!=
=&2
&!=⋅
&
&
&2
&!=
⋅&2
&&!
2
&!
n
m=
=⋅n
n
n
m=
n
m=
2n
nm
n
nm
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9 :e una raíz en*sima en el denominador
Ejemplo: Ampliicaremos por
¿Qué hacemos si la raíz del denominador tiene un índice maor?
Ejemplo: Ampliicaremos por
Raíces
Racionali#ación
3
23
=
3 23
=3 3
2
=⋅ 3 2
3 2
3 3
3
3
2 =⋅3 3
3 2
3
32
3
32 3 2⋅
32
% 2 = % 4
3
=% 23
2=⋅
% 4
% 4
% 2 3
3
3
2=
⋅% %
% 4
3
32
3
32 6 4⋅
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Raíces
En &eneral$ si en el denominador de una racción se presenta una raíz del tipo'
podremos racionalizar por #
Ejemplo: Ampliicaremos por
Ejemplo: Ampliicaremos por
Racionali#ación
n ma n m!na
%
4" #
= " 3
%
=⋅" 3
" 3
" # %
%
%
4=" #%
4=
⋅" 3#
" 3
%%
%4=
" "
" 3
%
%4
%
%4" 3
n
m# =
=# n
m=⋅
# 4
# 4
# n
n
n
m=
# #
# 4
n
nm
n
nm# 4
# 4n
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9 :e adici8n o sustracci8n de raíces en el denominador Ejemplo: ¿Qué hacemos?
Si el denominador presenta unaadición !ue inolucra raíces$ entoncesse ampliica por la di!erencia de los
mismos t*rminos#
/suma por la di$erencia
Raíces
Racionali#ación
13
2=
+
=+13
2=
−−
⋅+ 13
13
13
2 ( )=
−
−13
132 ( )2
132 −
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Ejemplo: ¿Qué hacemos?
Si el denominador presenta una di!erencia!ue inolucra raíces$ entonces se ampliicapor la adición de los mismos t*rminos#
/suma por la di$erencia
Raíces
Racionali#ación
21
#=
−
=− 21
#=
++
⋅− 21
21
21
# ( )=
−+21
21# ( )=
−+1
21# ( )21#! +
R í
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Ejemplo:
/suma por la di$erencia
Raíces
Ejemplo: +olemos a racionalizar
Racionali#ación
n3
2 =+
=+ n3
2 =−−
⋅+ n3
n3
n3
2 ( )n3
n32
−−
2!3
23=
+
=+
2!3
23=
+
+⋅
+
23
23
2!3
23 ( )( )( )
=+
+232!3
232
( ) =−
+2.
23 ( ) =+&
23 ( )&
&23+
P fi i l PSU
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Pregunta oficial PSU
25.
A)
B)
C)
D)
E)
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE , Proceso de admisión 2013.
&'(ER)&(*+&$,RRE$(&
-
=⋅3
3
2
x
x40,
x0,2 ⋅
3
1
x3
2⋅
3
1
x10
4⋅
x3
2⋅
3
1
x20, ⋅
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