Universidade Federal do Piauí
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Disciplina: Controle Analógico
Prof.Msc. José Medeiros de Araújo Júnior
Projeto de Controladores pelo método
do LGR e frequencial em um sistema de
segunda ordem.
Aluno: Otaviano Souza Neto
Matrícula: 09T12916
Teresina, Novembro de 2012.
1.0 – INTRODUÇÃO
O desempenho de um sistema dinâmico em resposta a determinado tipo de
entrada ou estímulo em uma planta representativa da modelagem das características do
sistema pode apresentar resultados indesejáveis ou insatisfatórios que resultam em uma
resposta não esperada, prejudicando toda uma análise objetiva de acordo com a
finalidade que se espera do processo. Quando a planta do sistema não pode ser alterada
entram em ação os controladores, blocos que interferem na resposta seja em regime
transitório ou permanente do sistema e cujas características podem ser sintonizadas de
acordo com o que se deseja alterar.
Na presente literatura, foi escolhida uma planta cujas características de regime
transitório não estão desejadas, porém seu erro de regime permanente é aceitável, logo,
foi projetado um controlador do tipo proporcional derivativo através do método do lugar
geométrico das raízes e um controlador do tipo avanço de fase pelo método frequencial,
em que posteriormente foram comparadas as respostas antes e depois da inserção dos
controladores e o comparativo sobre qual desempenho foi mais satisfatório para com o
que se desejava.
A planta trata-se da função de transferência G abaixo com realimentação unitária
negativa e entrada tipo degrau unitário e representação através de diagrama de blocos.
Figura 1.0 – Representação do sistema por diagrama de blocos.
2.0 – DESENVOLVIMENTO
As análises a seguir foram realizadas no software MatLab, onde cada etapa de
análise foi implementada separadamente.
2.1 – ANÁLISE DA DINÂMICA DA PLANTA
CÓDIGO:
>> %Análise da dinâmica da planta original
>> num=[4];
>> den=conv([1 0],[1 2])
den =
1 2 0
>> [numf,denf]=cloop(num,den) % Função de transferência em malha fechada
% com realimentação unitária negativa do sistema
numf =
0 0 4
denf =
1 2 4
Wn=sqrt(denf(3)) %Cálculo da frequência natural do sistema
Wn =
2
>> e=denf(2)/(2*Wn) %Cálculo do coeficiente de amortecimento e
e =
0.5000
>> t=0:0.1:10; %Análise gráfica da resposta ao degrau do sistema
>> step(numf,denf)
grid
%Cálculo especificações de desempenho
>> Mp=(exp(-e*pi/sqrt(1-e*e)))*100 %Cálculo do overshoot em porcentagem
Mp =
16.3034
>> ts=4/(e*Wn) %Cálculo do tempo de subida em segundos
ts =
4
>> roots(denf) %Pólos dominantes de malha fechada
ans =
-1.0000 + 1.7321i
-1.0000 - 1.7321i
rlocus(num,den) %Lugar geométrico original das raízes
Figura 2.0 – Resposta do sistema ao degrau unitário.
Figura 3.0-Lugar geométrico das raízes original do sistema.
2.2 – PROJETO PELO MÉTODO DO LGR COM CONTROLADOR PD
Deseja-se alterar o transitório do sistema, com as seguintes especificações de
desempenho requeridas:
Mp=10 % ; Overshoot reduzido para dez por cento
Ts = 3s ; Tempo de subida reduzido para três segundos
CÓDIGO
>> ec=(log(0.10)*1/pi)/sqrt(1+(log(0.10)/pi)^2) %Cálculo coeficiente amortecimento
ec =
0.5912
>> Wnc=4/(3*ec) %Cálculo frequência natural
Wnc =
2.2555
>> 2*ec*Wnc %Cálculo dos coeficientes do polinômio desejado.
ans =
2.6667
>> Wnc^2
ans =
>> poli.d=[1 2.6667 5.06]; %Polinômio desejado
>> roots(poli.d) %Pólos desejados
ans =
-1.3334 + 1.4907i
-1.3334 - 1.4907i
2.2.1 – Cálculo dos parâmetros do controlador
Analisando no plano complexo, os ângulos de partida até os polos complexos
desejados são :
Aplicando a condição de ângulo:
Aplicando a condição de módulo:
>> abs((-1.33+1.49i)*(-1.33+2+1.49i)/(-1.33+6.13+1.49i))%Cálculo de Kt
ans =
0.6492
Planta do controlador:
2.2.2- Análise da dinâmica da planta controlada
O controlador foi inserido em série , resultando na seguinte planta controlada:
CÓDIGO:
>> numc=conv(0.65,[1 6.13]) %Numerador da planta controlada
numc =
0.6500 3.9845
>> denc=[1 2 0] %Denominador da planta controlada
denc =
1 2 0
>> [numcf,dencf]=cloop(numc,denc) %Definição da função transf. malha fechada
numcf =
0 0.6500 3.9845
dencf =
1.0000 2.6500 3.9845
>> sysc=tf(numcf,dencf) %Função de transferência em malha fechada da planta
Transfer function:
0.65 s + 3.985
--------------------
s^2 + 2.65 s + 3.985
>> rlocus(numc,denc) %LGR da planta controlada
>> t=[0:0.1:10];
>> step(sysc,t) %Resposta ao degrau da planta controlada
>> Wncf=sqrt(dencf(3)) % Frequência natural da planta controlada
Wncf =
1.9961
>> ecf=dencf(2)/(2*Wncf) % Coeficiente de amortecimento da planta controlada
ecf =
0.6638
>> Mpc=(exp(-ecf*pi/sqrt(1-ecf*ecf)))*100 %Overshoot planta controlada
Mp =
6.1532
>> tsc=4/(ecf*Wncf) %Tempo de subida da planta controlada
tsc =
3.0189
Figura 4.0 – Lugar geométrico das raízes do sistema controlado.
Figura 5.0 – Resposta ao degrau da planta controlada.
2.2.3 – Comparação entre as duas respostas
CÓDIGO:
>> t=[0:0.1:10];
[y1,x1,t] = step(numf,denf,t) %Resposta ao degrau sistema original
[y2,x2,t] = step(numcf,dencf,t) %Resposta ao degrau sistema controlado
figure;plot(t,y1(:,1),'b','linewidth',2);hold on;plot(t,y2(:,1),'r','linewidth',2);grid
xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')
set(1,'Position',[10 258 380 280]);title('Planta original x Planta controlada');
legend('Sem controlador','Com controlador');hold off
Figura 6.0 – Comparação entre as duas respostas.
COMENTÁRIOS:
Sistema original:
Overshoot = 16%
Tempo de subida = 4s
Erro em regime permanente = 0.
Sistema controlado:
Overshoot = 6.15%
Tempo de subida = 3.02 s
Erro em regime permanente = 0.
A análise dos resultados foi satisfatória no sentido de melhorar a resposta em
regime transitório, diminuindo a oscilação, frequência natural e tempo de assentamento
do sistema, fato comprovado tanto pelos gráficos quanto pelos valores calculados no
matlab. Vale ressaltar que o overshoot inicialmente desejado era de 10% e o encontrado
foi de 6%, melhorando ainda mais o transitório, mas se fosse desejado um overshoot
mais próximo de 10, uma sintonia nos parâmetros do controlador seria válida, a
exemplo o deslocamento do zero do controlador mais a direita do plano s. Assim
funciona a metodologia de análise do projeto de controladores pelo método do LGR,
uma questão de tentativa e erro.
2.3 – PROJETO PELO MÉTODO FREQUENCIAL
A mesma planta anterior foi colhida para a análise por esse método, em que as
especificações de margem de ganho de amplitude e fase foram traçadas pelo diagrama
de Bode.
Planta original:
Controlador Avanço de fase projetado tal que:
constante de erro de velocidade estático ;
Margem de fase de pelo menos graus;
Margem de ganho Kg > 10 dB
Onde ;
Sistema compensado:
Onde
Para temos:
Traçando diagrama de Bode para análise da margem de fase e ganho de G1 :
>> num=10;
>> den=conv([1 0],[0.5 1])
den =
0.5000 1.0000 0
>> margin(num,den)
Figura 7.0 – Diagrama de bode e análise da margem de ganho e fase de G1.
Pelos dados contidos temos
A especificação pede que o sistema final tenha pelo menos , logo, é
necessário acrescentar 15 graus e seguir os passos adiante:
Esse ângulo adicional vai ser provido pelo máximo ângulo de avanço do
controlador Gc – ϕm
Será feito com que wm coincida com a frequência de crossover
Mas a frequência de crossover final não se mantem no mesmo local devido ao
módulo de Gc(s), logo, introduz-se um fator de correção de 5 º:
Φm = 15 + 5, ϕm = 20º
Considerando ϕm = 20º, tem-se :
O valor máximo de defasagem angular Φm ocorre na frequência cujo valor é a
média geométrica das frequências de corte (
do compensador
avanço de fase, ou seja, w =
, , o quanto de modificação na curva de
magnitude nessa frequência é dado por :
Para w =
,, logo, tem-se :
Analisando na figura 8.0 tem-se que para corresponde a
w = 4.67 rad/s
Figura 8.0 – Frequência em -1.43 dB.
Esse valor w = 4.67 rad/s será selecionado para ser a nova frequência de
cruzamento de ganho wc, que corresponde a :
A função de transferência do compensador fica na forma:
Função de transferência de malha aberta:
>> numc=conv(40.8,[1 3.27])
numc =
40.8000 133.4160
>> denc=conv([1 0],[1 2])
denc =
1 2 0
>> denc=conv(denc,[1 6.67])
denc =
1.0000 8.6700 13.3400 0
Figura 9.0 – Diagrama de Bode do sistema compensado.
%Comparativo entre as duas respostas:
>> num=[4]; %Planta original
den=[1 2 0];
[numf,denf]=cloop(num,den)
numf =
0 0 4
denf =
1 2 4
>> numc=[40.800 133.416]
numc =
40.8000 133.4160
>> denc=[1 8.67 13.334 0]
denc =
1.0000 8.6700 13.3340 0
>> [numcf,dencf]=cloop(numc,denc) %Função transf.malha fechada com controlador
numcf =
0 0 40.8000 133.4160
dencf =
1.0000 8.6700 54.1340 133.4160
>> sys=tf(numcf,dencf)
Transfer function:
40.8 s + 133.4
--------------------------------
s^3 + 8.67 s^2 + 54.13 s + 133.4
>> t=0:0.1:10;
[y1,x1,t]=step(numf,denf,t);
[y2,x2,t]=step(numcf,dencf,t);
figure;plot(t,y1(:,1),'b','linewidth',2);hold on;plot(t,y2(:,1),'r','linewidth',2);grid
xlabel('Real axis'),ylabel('Imaginary axis')
set(1,'Position',[10 258 380 280]);title('Planta original x Planta controlada');
legend('Sem controlador','Com controlador');hold off;
Figura 10 – Comparativo entre as respostas.
COMENTÁRIOS
O compensador como esperado, alterou no transitório do sistema, aumentando o
overshoot líquido total mas diminuindo o tempo de estabilização e a oscilação.Nos
requisitos de desempenho iniciais, foi desejado um aumento da banda passante, fato que
foi consumado pelo aumento da frequência de cruzamento de ganho para w=4,67 rad/s,
implicando em um aumento da velocidade da resposta, e logicamente um tempo menor
de assentamento.
3.0 – CONCLUSÃO
As diferentes análises de projetos de controladores influem em uma série de
variáveis que estão interligadas, alterando a resposta final do sistema; no método
realizado pelo LGR o transitório de certa forma foi melhorado, porém com um
overshoot menor ainda que o previsto e um tempo de assentamento de acordo com o
esperado, e no método frequêncial as especificações de desempenho de banda passante
de ganho e fase acabaram por aumentar o overshoot da planta mas diminuindo o tempo
de assentamento. Resultados que condizem com uma questão muito importante na área
de projeto de controladores, que é a sintonia dos parâmetros do controlador, em que
dependendo dos ajustes realizados a resposta pode convergir para o que se deseja ou
acabar migrando para situações adversas, fato que realça a importância de uma boa
análise preventiva e de simulação no projeto de controladores de sistemas.
Recommended