1E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA INFINITA
(IIR)[Cap. 7]
2E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
FILTRI IIR (Infinite Impulse Response)
DOMINIO TEMPORALE (equazione alle differenze finite,sistema causale)
[ ] [ ] [ ]∑∑==
−−−=N
kk
M
kk knyaknxbny
10
Ordine del filtro: N
3E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
DOMINIO DELLA TRASFORMATA Z (funzione di trasferimento)
∏
∏
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
+= N
kk
M
kk
N
k
kk
M
k
kk
zP
zZb
za
zbzH
1
1
1
10
1
0
)1(
)1(
1)(
NM ≤
4E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Se M > N filtro IIR di ordine N + filtro FIR di ordine M - N
→
Zk zeri del filtro
Pk poli del filtro
ak e bk reali: filtro reale
ak e bk complessi: filtro complesso
5E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
DOMINIO DELLA FREQUENZA)()()()( 2
Fjez eFHzHFH Fj
ϕπ ==
=
Risposta impulsiva infinita
Eccellenti risposte di ampiezza ma risposte di fase non lineari (filtri causali)È necessario verificare la stabilità dal filtro
CARATTERISTICHE
Progetto: determinare gli ak e bk in modo che H(F) soddisfi le specifiche
6E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Caso particolare: N = 2
Sezione del 2° ordine (reale)
22
11
22
110
1)( −−
−−
++++
=zazazbzbbzH
Due zeri complessi coniugati: ∗00 ZeZ
Due poli complessi coniugati: ∗00 PeP
7E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Filtro passa - tutto (2° ordine)[Cap. 3.10]
)()(
)()(
1)(
12
22
11
2112
zDzDz
zDzN
zazazzaazH p
−−
−−
−−
==++++
=
reali) (coeff. 1 )()(
)( 2
2
==−
Fj
Fj
p eDeD
FH π
π
0)( ≤Fϕ
N(z) e D(z) sono polinomi speculari
8E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase ± 0.25 π,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli
9E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Sezione del 2° ordine con solo poli(filtro accordato)
θjer ±= Poli
221cos211)( −− +−
=zrzr
zHθ
Im
Re
θx
x
r
πθ2
=pF Frequenza naturale del polo
pFje π2
10E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Si può verificare che
)(FH ha un max relativo se :21
2cosrr
+<θ
per ,2
cos)1(2cos:2
00 rrFF θπ +
=
che valeθsenrr
HM )1(1
11
+−=
~ inversamente proporzionale alla distanza del polo dalla circonferenza unitaria
11E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Per , la banda a - 3dB
πrB dB
−≅−
13
Il filtro è tanto più selettivo quanto più il polo si avvicina al cerchio unitario
1≅r
12E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° Ordine con soli poliPoli: modulo 0.9, fase ± 0.25 π
13E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
IIR del 2° ordine con zeri sul cerchio unitario
Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con zeri e poli.Poli: modulo 0.9, fase ± 0.24 πZeri: modulo 1, fase ± 0.5 π
14E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)
• Rispfreq II ord• IIR-II ord
15E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
PROGETTO FILTRI IIR
Due principali metodi di progetto
1 - Progetto indiretto da prototipi di filtri analogici
- sono disponibili espressioni notedi filtri analogici, semplici e efficienti
- metodo relativamente semplice e algebrico
16E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
2 - Progetto diretto del filtro numerico
- filtri molto efficienti
- flessibilità di progetto
- con l’ausilio del calcolatore(metodo non algebrico)
17E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
IIR: PROGETTO DA PROTOTIPI ANALOGICI[Cap. 7.2-7.3]
Specifichefiltro
analogicoHa(s) H(z)
18E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
- si parte da una funzione di trasferimento Ha(s) del filtro analogico
- successivamente Ha(s) viene trasformata tramite una appropriata corrispondenza tra il piano s e il piano z per ottenere la corrispondente funzione di trasferimento H(z) del filtro digitale
19E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Trasformazione tale che:
asse immaginario
funzione razionale
semipiano sinistro
circonferenza unitaria (risposta in frequenza)
funzione razionale (realizzazione)
interno della circonferenza unitaria (stabilità)
s z
Proprietà (desiderabili) della trasformazione
20E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
TRASFORMAZIONE BILINEARE
skskz
zzks
−+
=⇔+−
= −
−
1
1
11
k costante opportuna (reale e positiva)
21E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
1) per Fjez π2=
=+−
= −
−
Fj
Fj
eeks π
π
2
2
11
Ftgkjeeeeeek FjFjFj
FjFjFj
ππππ
πππ
=+−
= −−
−−
)()(
22E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
2) Una funzione razionale è trasformata in una funzione razionale
3) z < 1 per Re(s) < 0
Verifica le tre condizioni
La trasformazione bilineare è quella più comunemente usata. Altre trasformazioni sono possibili e usate (es. invarianza dell’impulso [cap. 7.2])
23E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
PROCEDURA DI PROGETTO
1
1
11)()(
−
−
+−
==
zzksa sHzH
Ha(s) funzione di trasferimento di un filtro analogico (disponibile)
24E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Relazione fondamentale [ che segue dal punto 1 ]
FtgkfFtgkf aa ππ
ππ2
2 =⇔=
21
21
−
F
fa
Frequenza numerica normalizzata
Frequenza analogica
25E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Le frequenze del filtro analogico fa non corrispondono alle frequenze f = F fc del filtro numerico deformazione dell’asse delle frequenze (che deve essere tenuta in conto nel progetto)
⇒
Attenzione
26E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esempio di determinazione di k
Progettare un filtro (es. passa basso) con frequenza di taglio Ft
A disposizione un prototipo (passa basso) con frequenza di taglio fat.Molto spesso sono disponibili filtri normalizzati.
12 == atat fπω
Si sceglie k :
tattat FFfk πωππ cotgcotg2 ==
27E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Trasformazione bilineare: svantaggi
- distorsione dell’asse delle frequenze
- risposta in frequenza del filtro numerico diversa da quella del filtro analogico
- trasforma un filtro analogico in un filtro numerico “dello stesso tipo” (per esempio un passa basso analogico in un passa basso numerico)
28E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
PROGETTO DI FILTRI IIRPASSA-ALTO, PASSA-BANDA e
ELIMINA-BANDA
29E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Normalmente sono disponibili prototipi analogici passa-basso (generalmente normalizzati = pulsazione di taglio analogica unitaria). Si possono seguire diverse procedure. Per es.:
A) Progettare un prototipo passa-basso numerico mediante la bilineare ed operare successivamente una trasformazione nel piano z da passa-basso al tipo di filtro desiderato. Queste trasformazioni sono riportate nel Cap. 7.6.
B) Operare una trasformazione diretta dal prototipo analogico passa-basso al filtro numerico del tipo desiderato.
30E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
La prima procedura richiede due trasformazioni: bilineare e trasformazione nel piano z. La seconda procedura richiede una sola trasformazione, che può essere dedotta combinando le due della prima procedura.
Di seguito sono riportate le trasformazioni da effettuare per la procedura B.
31E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Progetto di filtri passa-alto
1
1
11
−
−
−+
=zzks tat Ftgfk ππ2=
conFt frequenza di taglio del filtro numericofat frequenza di taglio del prototipo passa-basso
analogico [se normalizzata fat = 1/ (2 ) ]π
1
Ft 21
maschera ideale
32E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Progetto di filtri passa-banda
1
F121
maschera ideale
F2 F
33E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
2
21
121
−
−−
−+−
=z
zzks α
)(cotg2 12 FFfk at −= ππ
)(cos)(cos
12
12
FFFF
−+
=ππα
conF1 frequenza di taglio inferiore del filtro
numericoF2 frequenza di taglio superiore del filtro
numericofat frequenza di taglio del prototipo
passa-basso analogico
34E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Progetto di filtri elimina-banda
1
F121
maschera ideale
F2 F
35E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
21
2
211
−−
−
+−−
=zz
zksα
)(2 12 FFtgfk at −= ππ
)(cos)(cos
12
12
FFFF
−+
=ππα
con
F1 frequenza di taglio inferiore del filtro numerico
F2 frequenza di taglio superiore del filtro numerico
fat frequenza di taglio del prototipo passa-basso analogico
36E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Nota
Ordine del filtro numerico rispetto a quello del prototipo analogico:- Rimane invariato per i filtri passa-basso e
passa-alto- Raddoppia per i filtri passa-banda e elimina
banda.
37E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Prototipi analogici disponibili:[Cap. 7.3]
• Butterworth• Chebyshev I• Chebyshev II• Ellittici
38E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
( ) N
at
aH 22
1
1||
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
ωω
ω
( ) ( )dBH ata 32
1−=ω
Esempi di prototipi di ButterworthLa risposta di ampiezza è massimamente piatta nella banda passante.La risposta di ampiezza è
pulsazione di taglio
L'ordine N specifica completamente il filtro: per si approssimala risposta ideale del filtro passa-basso
atat fπω 2=
∞→N
39E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
111 FtgFcotgFtgk tata ππωπω ==
( )110
210
log21log
a
ANω−
≅
Esempio di scelta dell'ordine N
Si vuole un filtro numerico con frequenza di taglio Ft e con unaattenuazione A ad una F1 .Per esempio per un passa-basso alla frequenza F1 corrisponde:
dove è la pulsazione di taglio del prototipo.
N si stima con la relazione ( ):1=atω
atat fπω 2=
40E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Progetto di filtri IIR passa basso - Butterworth, Chebyshev (I e II), EllitticoOrdine dei filtri: 7, frequenza di taglio specificata: F1= 0.25Butterworth : F1 frequenza a -3dBChebyshev I : 0.5 dB ripple nella banda fino a F1Chebyshev II : 50 dB attenuazione a partire da F1Ellittici : 0.5 dB ripple, 50 dB attenuazione
41E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Progetto di filtri IIR passa banda - Butterworth, Chebyshev (I e II), EllitticoOrdine dei filtri: 14, frequenze di taglio specificate: F1= 0.15, F2=0.35Butterworth : F1,F2 f requenze a -3dBChebyshev I : 0.5 dB ripple nella banda da F1 a F2Chebyshev II : 50 dB attenuazione prima di F1 e a partire da F2Ellittici : 0.5 dB ripple, 50 dB attenuazione
42E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
PROGETTO DIRETTO DI FILTRI IIR CON METODI ITERATIVI
[Cap. 7.4]
Non si parte da prototipi analogici, ma si progetta direttamente il filtro numerico dalle specifiche in frequenza
43E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Minimizzazione dell’errore quadratico medio
Hd(F) risposta in frequenza desiderata
{ }21
)()( e.q.m. idi
L
i
FHFHE −=∑=
da minimizzare
Fi sono L prescelte frequenze arbitrarie
44E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Supponiamo che il filtro da progettare sia
kk
N
k
kk
M
k
za
zbzH
−
=
−
=
∑
∑
+=
1
0
1)(
Si impone (per es. N=M ):
0=ka
E∂∂
0=kb
E∂∂
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
2N + 1 equazioni non lineari in 2N + 1 incognite
45E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Algoritmi e programmi per la soluzione del sistema (con metodi iterativi, per es. in Matlab, [Cap. 7 esempi])
46E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Am
piez
za (d
b)
F freq. normalizzata
Yule Walker
Filtro PASSA BASSO
Filtro IIR passa-basso (Yule-Walker) Ordine: 8F1 = 0.2 fine banda passante F2 = 0.25 inizio banda attenuata
47E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-80
-60
-40
-20
0
Ampi
ezza
(db)
F freq. normalizzata
Yule Walker
Filtro PASSA ALTO
Filtro IIR passa-alto (Yule-Walker) Ordine: 8F1 = 0.25 fine banda attenuataF2 = 0.3 inizio banda passante
48E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Am
piez
za (d
b)
F freq. normalizzata
Yule Walker
Filtro PASSA BANDA
Filtro IIR passa-banda (Yule-Walker)Ordine: 20F1 = 0.15 fine prima banda attenuata F2 = 0.2 inizio banda passante F3 = 0.3 fine banda passante F4 = 0.35 inizio II banda attenuata
49E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Am
piez
za (d
b)
F freq. normalizzata
Yule Walker
Filtro ELIMINA BANDA
Filtro IIR elimina-banda (Yule-Walker)Ordine: 20F1 = 0.15 fine prima banda attenuata F2 = 0.2 inizio banda passante F3 = 0.3 fine banda passante F4 = 0.35 inizio II banda attenuata
50E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Se il filtro da progettare è fattorizzato in S sezioni del II ordine
∏=
−−
−−
++++
=S
k kk
kk
zdzczbzaGzH
121
21
11)(
51E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Si impone:
0=GE
∂∂
0=ka
E∂∂
0=kb
E∂∂
0=kc
E∂∂
0=kd
E∂∂
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
4S + 1 equazioni non lineari in 4S + 1 incognite
Ci sono metodi efficienti (es. algoritmo Fletcher-Powell) per la soluzione di questo sistema.
52E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Osservazione
Il metodo diretto non pone vincoli sui poli e zeri. Poli e zeri possono risultare esterni al cerchio unitario filtro causale instabile
Metodo da completare con:
- determinazione dei poli - ogni polo esterno viene sostituito con il
suo inverso e coniugato risposta di ampiezza inalterata.
→
→∗0/1 P
0P
53E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)
• IIR-prot analogici• IIR-diretto
54E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
STRUTTURE REALIZZATIVE per IIR[Cap. 4]
STRUTTURE REALIZZATIVE CANONICHE
Sono quelle che impiegano il minimo numero di operatori (memorie, moltiplicatori, addizionatori) elementari
55E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Struttura canonica diretta
∑∑∑
∑=
−
=
−
=
−
=
−
+=
+=
N
k
kkN
k
kk
N
k
kk
N
k
kk
zbzaza
zbzH
0
11
0
1
1
1)(
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−−=
−−−=
∑
∑
∑∑
=
=
==
N
kk
N
kk
N
kk
N
kk
knwbny
knwanxnw
knyaknxbny
0
1
10
56E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
z-1
x[n] y[n]
z-1
z-1
b0
b1
b2
bN
-a1
-a2
-aN
w[n]
)1/(1 kkkza −∑+ k
kkzb −∑
57E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Struttura canonica trasposta
Si ottiene con le operazioni di trasposizione per reti lineari
58E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
z-1
x[n] y[n]
z-1
z-1
b0
b1
bN-1
bN - aN
- aN-1
- a1
59E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Caratteristica
Ciascun campione attuale dell’ingresso x[n]e dell’uscita y[n] è moltiplicato per tutti i corrispondenti coefficienti in successione: può semplificare la realizzazione HW/SW.
60E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Realizzazione con sezioni in cascata
Si decompone
,)()(1
)(21
1
)2(
1
)1(
1
0⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+= ∏∏
∑
∑==
=
−
=
−K
ii
K
iiN
k
kk
M
k
kk
zHzHGza
zbzH
21 2KKN +=
Hi(1) (z), sistema del 1° ordine con poli e zeri reali
Hi(2) (z), sistemi del 2° ordine con poli e zeri
complessi
61E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
x[n]H1(z) H2(z) H3(z)
K1+K2 filtri realizzati con strutture del 1° e del 2° ordine
y[n])(
21zH KK +
62E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Problemi connessi con questa struttura
1. Associazione di zeri e poli per ogni sezione2. Ordinamento delle sezioni in cascata3. Fattore di scala fra una sezione e l’altra per
prevenire il generarsi di valori troppo grandi (overflow) o troppo piccoli (underflow).
Aritmetica esatta (a precisione “infinita”): 1, 2 e 3 non hanno conseguenze.
Aritmetica a precisione “finita”: necessità di soluzioni adeguate per 1, 2 e 3
63E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Associazione zeri e poli
Per ridurre gli effetti della realizzazione con aritmetica a precisione finita, si segue in pratica la seguente procedura:
i) partire dal polo più vicino alla circonferenza unitaria ed associare ad esso lo zero più vicino
ii) continuare come in (i) fino ad esaurimento di tutti i poli restanti
64E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Ordinamento delle sezioni
La procedura seguita in pratica per ridurre gli effetti di una realizzazione in aritmetica a precisione finita è la seguente:
- sezioni ordinate in ordine decrescente dei valori massimi delle loro risposte in ampiezza.
65E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Struttura parallela
Si esprime (mediante scomposizione in fratti semplici [Cap. 2])
∑∑
∑=
=
−
=
−
+=+
=K
iiN
k
kk
M
k
kk
zHAza
zbzH
1
1
0 )(1
)(
con
K = intero opportunoA = bN / aN (M=N)
Hi (z) sezione del I o II ordine (a seconda del tipo di zeri e poli)
67
FIR IIR Fase può essere
esattamente linearenon lineare
per filtri causaliStabilità sempre da controllare
Strutture realizzative
più facili e semplici più complicate
Numero di operazioni
maggiore minore
Precisione finita
effetti minori e più facili da analizzare
effetti maggiori e più difficili da analizzare
Procedure diprogetto
mediante calcolatore per filtri semplici procedura algebricain genere mediante
calcolatore
Confronto filtri FIR e IIR