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Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter
MÓDULO IV – PARTE 2:
Álgebra Booleana
Bacharelado em Sistemas de Informação
Disciplina: Lógica
PORTAS LÓGICAS
• Como já vimos, portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos queoperam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma esomente uma saída, a qual é dependente da função implementada nocircuito. Existem 7 Portas Lógicas e são elas:
TABELAS OPERACIONAIS
• Semelhante às tabelas verdade da Lógica das Proposições, podemosconstruir as tabelas operacionais para a álgebra booleana. Nestas últimasos valores lógicos são os dígitos 0 e 1. Vamos relembrar:
CIRCUITO LÓGICO
• Todas as complexas operações de um computador não sãomais do que simples operações aritméticas e lógicas básicas,como somar bits, complementar bits, comparar e mover bits.Estas operações são usadas para controlar a forma como oprocessador trata os dados, acede à memória e gera resultados.
• Todas estas funções do processador são fisicamente realizadaspor circuitos eletrônicos, chamados circuitos lógicos. Assimsendo, um computador digital não é mais do que um"aglomerado" de circuitos lógicos. Quando se deseja construirum circuito lógico relativamente simples, faz-se uso de umcircuito integrado.
IMPLEMENTANDO CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESSÃO BOOLENAS
• É possível desenhar um circuito lógico que executa uma funçãobooleana qualquer, ou seja, pode-se desenhar um circuito a partir desua expressão característica.
• O método para a resolução consiste em se identificar as portaslógicas na expressão e desenhá-las com as respectivas ligações, apartir das variáveis de entrada deve-se sempre respeitar a hierarquiadas funções da aritmética elementar, ou seja, a solução inicia-seprimeiramente pelos parênteses.
• Para exemplificar, será obtido o circuito que executa a expressão
X= ( A+B ) . ( ̅B+C ): Essa expressão mostra que os termos A+B e ̅B+C sãoentradas de portas AND, e cada um deles é gerado por portas ORindependentemente.
• Exemplo de um circuito a partir de uma expressão booleana.
TABELAS VERDADE OBTIDAS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS
• Uma maneira de se fazer o estudo de uma função booleana é autilização da tabela verdade. Para extrair a tabela verdade de umaexpressão devem-se seguir alguns procedimentos:
• 1º) Montar o quadro de possibilidades;
• 2º) Montar colunas para os vários membros da equação;
• 3º) Preencher estas colunas com os seus resultados;
• 4º) Montar uma coluna para o resultado final e
• 5º) Preencher esta coluna com os resultados finais.
Para exemplificar este processo, utiliza-se a expressão
X=(A.(~B).C) + (A.(~D)) + ((~A).B.D)
A expressão contém 4 variáveis: A, B, C e D, logo, existem 16possibilidades de combinações de entrada, para as quatro variáveis, onúmero de linhas da tabela é 24=16 linhas. Na tabela a seguir veja que nacoluna um o valor 0 e 1 se repete 8 vezes cada um, enquanto na coluna doisse repete 4 vezes, na três duas vezes e na coluna quatro uma vez cada um.
Desta forma, monta-se o quadro de possibilidades com quatro variáveis deentrada, três colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão,e uma coluna para o resultado final.
Exemplo de tabela verdade obtida de expressão booleana:
Matrizes Booleanas:
Faremos uma revisão das operações de adição e multiplicação matriciais, necessárias para a compreensão das operações com matrizes booleanas.
a. Adição: Sejam duas matrizes de mesma ordem, 𝐴𝑚𝑥𝑛 = [𝑎𝑖 ,𝑗 ] e 𝐵𝑚𝑥𝑛 = [𝑏𝑖 ,𝑗 ], a
adição resulta em uma matriz de mesma ordem 𝐶𝑚𝑥𝑛 = [𝑐𝑖 ,𝑗 ], sendo:
𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑖 ,𝑗 𝑚𝑥𝑛= [𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑏𝑖 ,𝑗 ]𝑚𝑥𝑛 (1)
Matrizes Booleanas:
a. Multiplicação de matrizes: sejam matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑚 𝑥 𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ]𝑛 𝑥 𝑝 (só
podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira
for igual ao número de linhas da segunda), o produto 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶𝑚𝑥𝑝 , em que o
produto é dado por:
(𝐴𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑟 𝑏𝑖𝑟 = 𝑎𝑖1𝑏𝑖1 + 𝑎𝑖2𝑏𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗
𝑛
𝑟=1
(1)
para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.
Matrizes Booleanas:
De acordo com GERSTING, matrizes booleanas são matrizes que têm apenas elementos iguais a 0 ou 1.
Pode - se definir uma operação booleana de multiplicação A×B para matrizes booleanas usando multiplicação e soma booleanas, ao invés de multiplicação e adição usuais.
Recebeu o nome de “Matriz Booleana” em homenagem a George Boole, um grande matemático do século XIX.
Matrizes Booleanas:Definições:
Multiplicação booleana: 𝑥 ∙ 𝑦 (operação lógica ‘e’)
Soma booleana: 𝑥 + 𝑦 (operação lógica ‘ou’)
Tabelas para operações de soma e multiplicação de matrizes booleanas:
𝑥 𝑦 𝑥 ∙ 𝑦
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑦
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tal tabela nos remete as tabelas verdades de conjunção e disjunção.
Matrizes Booleanas:
Tal tabela nos remete as tabelas verdades de conjunção e disjunção.
Sejam A e B matrizes booleanas,
1 1 00 1 00 0 1
É seguido os mesmo passos de uma multiplicação matricial comum. A soma do
produto dos elementos da linhas da matriz A com as colunas da matriz B.
1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 1 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 1 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 10 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 10 ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1
Lembrando da definição de conjunção e disjunção:
1 + 1 + 0 0 + 1 + 0 0 + 1 + 00 + 1 + 0 0 + 1 + 0 0 + 1 + 00 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1
𝐴 𝑥 𝐵 =
𝐴 𝑥 𝐵 =
A = B = 1 0 01 1 10 0 1
= 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Matrizes Booleanas:Exemplificando a operação lógicas ‘ou’:
1 1 0𝐴 + 𝐵 = 1 1 1 0 0 1
(
Matrizes booleanas podem ser usadas para representar uma relação binária entre
um par de conjuntos finitos.
Tendo os conjuntos:
𝐴 = { 1, 2, 3 } 𝐵 = { 2 , 4 , 3 }
E a relação dada por: 𝑅3 = { 1,2 , 2,4 , 3,3 }
𝐴 𝑥 𝐵 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑅3 = 1 0 00 1 00 0 1
(
Em que 0 representa falso (não existe no conjunto), e 1 verdadeiro (existe no
conjunto).
Também são usadas como portas lógicas no estudo da computação quântica.