©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 1/32Matemática Discreta I
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
10 Semestre de 2013
Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret
Aula 3: Vetores
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Introdução (1)
Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é fornecida.Tais grandezas são chamadas de escalares e são
modeladas por números reais.
Outras grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento,velocidade e força.
Tais grandezas são chamadas de vetoriais e são modeladas por vetores.
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Introdução (2)
Sejam os valores financeiros de transações de cartões de crédito de vários clientes dados pela lista abaixo, como segue, 78, 63, 73, 62, 88, 73, 81, 97
Usando-se apenas um símbolo, x, e índices subscritos, pode-se denotar os valores dessa lista, como segue,x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8
Uma lista de valores como essa,x = (x1, x2, x3, ... , x8)
É denominada de vetor.
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Vetor (1)
Definição: Um vetor x de ordem (p x 1) é um conjunto de números reais (que podem ser chamados de escalares), os quais podem ser representados como:
Notação: a usual em publicações científicas, ou seja, letras minúsculas em negrito (ou não) ou em itálico. X, Y, x, y, a, b. X, Y, x, y, a, b.
p
p
xxxx
x
x
x
x
,...,,,ou 3213
2
1
xx
Vetor coluna
Vetor linha
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Vetor (2)
Os escalares xi são conhecidos como componentes ou elementos do vetor. Na representação anterior, o vetor coluna consiste de p
linhas e 1 coluna (p também é a dimensão do vetor), e o vetor linha consiste de 1 linha e p colunas.
Exemplo 1: O vetor x apresentado a seguir é um vetor coluna de dimensão 5.
5
4
3
2
1
x
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Vetor (3)
Em algumas notações, um vetor pode ou não ter um apostrofe simples agregado ao seu nome para representar que ele é um vetor transposto (e vice-versa).
Exemplo 2: Seja o vetor x abaixo, o qual é um vetor linha de dimensão p.
O vetor x no formato transposto x ou xT é representado como segue,
][x 321 pxxxx
px
x
x
x
...
x 3
2
1
p
T
x
x
x
x
...
x 3
2
1
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Vetor (4)
Vetores podem ser representados graficamente no ℝ2. Exemplo 3: Sejam x e y os vetores apresentados a
seguir e sua representação em ℝ2.
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Vetor (5)
Álgebra Vetorial:
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Soma de Vetor (1)
Exemplo 4: Soma de Vetores.4.1) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (1,-6,9).
Então a + b = ((2+1),(4-6),(-5+9)) = (3,-2,4).
4.2) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (0,0,0). Então a + b = ((2+0),(4+0),(-5+0)) = (2,4,-5).
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Soma de Vetor (2)
Exemplo 5: Soma de Vetores - Geometria
y
2
22 y
xp
xx2
y2
0 x1+x2x1
1
11 y
xp
y1
y1+y2
p 1+p 2
21
21
2
2
1
121 yy
xx
y
x
y
xpp
1221 pppp
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Propriedades da Soma
Na adição de vetores há algumas propriedades.Comutatividade
u + v = v + uAssociatividade
(u + v) + w = u + (v + w)Vetor Identidade para adição, o Vetor 0
u, u + 0 = u
Inversa aditiva para a adição u, há um vetor inverso tal que u + (-u) = 0
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Multiplicação Escalar de Vetor (1)
Exemplo 6: Multiplicação por Escalar.6.1) Seja o vetor p = (2,4,-5) e escalar = 7.
Então p = (7(2),7(4),7(-5)) = (14,28,-35)
6.2) Seja o vetor p = (2,4,-5). Então -p = (-1)(2,4,-5) = (-2,-4,5)
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Exemplo 7: Multiplicação por Escalar – Geometria.
y
xp
y
x0 x
y
a < 0
ya
xa
y
xaap
0 < a < 1 a > 1
ax
ay
Multiplicação Escalar de Vetor (2)
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Propriedades da Multiplicação
Na multiplicação de vetores há algumas propriedades.Associatividade
(u) = ()u, para , escalaresDistributividade
(+ )u = u + u, para , escalaresIdentidade escalar
u, u = u, para =1
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Combinação Linear de Vetores
Sejam u1, u2, u3, ..., um vetores de ℝn e os escalares r1, r2, r3, ..., rm de ℝ.
Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e realizar a soma deles para se constituir o vetor
v = r1u1 + r2u2 + r3u3 + ... + rmum O vetor v é denominando de combinação linear dos
vetores u1, u2, u3, ..., um.
Exemplo 8: Em ℝ2 o vetor v = (10,16) é uma combinação linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,4), pois
v = 4u1 + 2u2
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Produto Interno (1)
O produto interno (ou produto ponto ou produto escalar) de dois vetores a e b é o escalar denotado por ab , para dois vetores de mesma dimensionalidade e definido por
Usualmente se escreve esse resultado como o produto de um vetor (linha) a e um vetor (coluna) b
n
innii babababa
12211 ba
n
iii
nn
n
n
ba
bababa
b
b
b
aaa
1
2211
2
1
21
ba
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Produto Interno (2)
O produto interno v.u é obtido com a multiplicação dos componentes correspondentes e com a soma dos produtos resultantes.
Diz-se que os vetores v e u são ortogonais ou perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se v.u = 0).Ou seja,
n
innii uvuvuvuv
12211 0uv
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Produto Interno (3)
Exemplo 9: Sejam os seguintes vetores a = (1,-2,3), b = (4,5,-1) e c = (2,7,4). Calcular a.b e a.c.a.b = (1)(4) + (-2)(5) + (3)(-1) = 4 - 10 - 3 = -9.
a.c = (1)(2) + (-2)(7) + (3)(4) = 2 - 14 - 12 = 0.
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Produto Interno (4)
Exercício 1: Sejam os seguintes vetores a = (1,2,3,4) e b = (6,,-8,2). Encontrar o valor do escalar tal que os vetores a e b sejam ortogonais.
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Propriedades do Produto Interno
No produto interno de vetores há algumas propriedades. Sejam u e v vetores em ℝn e um escalar em ℝ.(u + v).w = u.w + v.w;
(u).v = (u.v);
u.v = v.u; e
u.u = 0 se e somente se, u = 0.
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Norma de um Vetor (1)
A norma ou comprimento de um vetor x de ℝn, denotado por é definida como sendo a raiz quadrada de x.x.
Ou seja, se x = (x1,x2,...,xn) então
é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes de x.
e se e somente se, x = 0.
Um vetor x é chamado de vetor unitário se Ou seja, se x.x = 1.
x
n
iix
1
2xxxxx
x
0x 0x
1x
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Norma de um Vetor (2)
Dado qualquer vetor não nulo y,
É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de y; e
O processo de se encontrar o vetor a partir do vetor y é denominado de normalização de y.
y
yy
yy
1ˆ
y
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Norma de um Vetor (3)
Exemplo 10: Seja o vetor u = (1,-2,-4,5,3). Obter .Pode-se calcular primeiramente ; e
Tomando-se o quadrado de cada componente e somando, como se segue,
u2
u
559251641)3()5()4()2()1( 222222 u
55u
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Norma de um Vetor (4)
Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2) e w = (1/2,-1/6,5/6,1/6). Obter , e . Para se obter e calcula-se como se segue,
Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se
Que é o único vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor v.
3041691)2()4()3()1( 22222 vv
v w
11361
365
361
369)6
1()65()6
1()21( 22222 uw
)30
2,30
4,30
3,30
1(ˆ v
vv
v w
v
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Norma de um Vetor (5)
Propriedades da norma:Dados quaisquer vetores u e v de ℝn, então segue que,
vuu.v
vuvu
Desigualdade de Schwarz
Desigualdade de Minkowski
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A distância entre os vetores u = (x1,x2,...,xn) e
v = (y1,y2, ... ,yn) de ℝn é definida por
Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância d(u,v).
n
iii yxdist
1
2)()( vuvu,d v)(u,
Distância, Ângulos e Projeções (1)
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Distância, Ângulos e Projeções (2)
212
212 )()()( yyxxdist u-vvu,
12
12
1
1
2
2
yy
xx
y
x
y
xuv
y
xx1
y1
0 x2
y2
v
v-u
-u
(x2-x1)
(y2-y1)
u
v-u
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O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de ℝn é definido por
Este ângulo está bem definido, pois
Se u.v = 0, então = 90º (ou /2).
vu
u.v cos
Distância, Ângulos e Projeções (3)
11 vu
u.v
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A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é definida por
*uvv.v
u.vv
v
u.v v)(u, 2proj
Distância, Ângulos e Projeções (4)
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Exercício 2: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância dist(u,v).
Distância, Ângulos e Projeções (5)
212
2121221 )()(),( yyxxdist pppp
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Exercício 3: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular o ângulo entre os dois vetores.
Distância, Ângulos e Projeções (6)
vu
u.v cos
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Exercício 4: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a projeção proj(u,v).
Distância, Ângulos e Projeções (7)
*uvv.v
u.vv
v
u.v v)(u, 2proj