Computação Gráfica
Prof. Leo
– Curvas
Aula 11
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Importante para criação de objetos e visualização de fenômenos científicos
Servem de base para modelagem de formas: Simples : círculos, elípses, etc Complexas: automóveis, aeronaves, navios,
etc
IntroduçãoCurvas
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Para representar uma curva, pode ser suficiente apenas definir uma sucessão de linhas
Curvas e superfícies mais complexas irão demandar uma maneira mais eficiente de representação: Definir uma curva que passe por um determinado conjunto de
pontos Definir a melhor curva para representar um determinado
conjunto de pontos
RepresentaçãoCurvas
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Formalmente, as curvas podem ser representadas de diversas formas: Por um conjunto de pontos Através de sua representação analítica
Não paramétricas Paramétricas
De 3ᵃ Ordem
RepresentaçãoCurvas
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Uma curva pode ser representada por um conjunto finito de pontos Na verdade, qualquer representação de
curvas ou retas contém um número infinito de pontos
Representação – Conjunto de PontosCurvas
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A curva pode ser representada por um número grande de pontos ou pela conexão deles por segmentos adequados
Representação – Conjunto de PontosCurvas
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No caso de uma quantidade limitada de pontos, pode-se utilizar retas para conectá-los
E, para alcançar uma suavidade maior, pode-se acrescentar uma maior quantidade de pontos
Representação – Conjunto de PontosCurvas
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A representação analítica utiliza uma ou mais equações
Vantagens: É mais precisa Não requer área de armazenamento Facilita o cálculo de novos pontos É mais fácil obter propriedades da curva
(inclinação, área) Pode ser:
Não Paramétrica Paramétrica
Representação – Analítica Curvas
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A forma não paramétrica não recebe parâmetros, sendo calculada através de uma equação de y em x (ou vice-versa):
Representação – Analítica – Não Paramétrica Curvas
Y = ax2 + bx + c Equação da parábola
a = 1b = -2 c = 0
Para:É gerada:
Ordem da curva
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Certas curvas, chamadas de seções cônicas, podem ser obtidas a partir do corte de um cone por um plano
Representação – Analítica – Não Paramétrica Curvas
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Na forma paramétrica, usa-se um parâmetro para definir as coordenadas dos pontos da curva A posição do ponto na curva é definida com
base no valor do parâmetro Ex:
Formalmente, a posição de um ponto na curva é dada por:
Representação – Analítica – Paramétrica Curvas
x = 10 cos θ = fx(θ) y = 10 sen θ = fy(θ)
x = t+1 = fx(t)y = 2t+1 = fy(t)
P (t) =( x (t) , y (t) )Independe do sistema de coordenadas. Ex: pode-se acrescentar mais uma coordenada z facilmente
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Problema: algumas curvas não podem ser facilmente descritas por expressões analíticas em toda sua extensão Solução: união de diversas curvas
Novo problema: manter a continuidade das conexões Nova solução: usadas curvas representadas por
polinômios cúbicos Muito conhecidas pelos usuários da CG, as curvas
paramétricas de terceira ordem são: Hermite, Bézier e Splines
Geradas por um polinômio cúbico e pela definição de um conjunto determinado de pontos de controle
Representação – Analítica – Paramétrica de 3ᵃ Ordem
Curvas
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Charles Hermite (1822 – 1901) Uso de polinômios de 3ª ordem e 4
fatores: Ponto inicial Ponto final Vetor de controle de saída Vetor de controle de chegada
Permite um maior controle Formas suaves e homogêneas Formas bruscas, loops
Paramétrica de 3ᵃ Ordem – HermiteCurvas
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Os módulos de T1 e T2 funcionam como pesos na determinação da curva.
HermiteCurvas
Figura 1: Elementos da curva de Hermite
Figura 2: As diferentes curvas formadas por alteração na direção de T1 e T2.
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O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de pontos do polígono de controle menos 1
A curva de Bézier está contida no fecho convexo do polígono de controle
A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono de controle
Utiliza 4 fatores: Ponto inicial Ponto final 2 pontos de controle das tangentes nos extremos
BézierCurvas
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Controle Global: Movendo-se a posição de 1 só ponto, toda a
forma da curva se modifica
BézierCurvas
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Bézier – Junção de CurvasCurvas
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A base de Bézier não é própria para a modelagem de curvas longas Bézier única: suporte não local Trechos emendados: restrições não são naturais
Base alternativa: B-Splines Modelagem por polígonos de controle sem restrições
adicionais Grau do polinômio independe do número de pontos de
controle Não passa pelos pontos de controle Controle local
Alteração de um vértice afeta curva apenas na vizinhança
SplineCurvas
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SplineCurvas
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ComparativoCurvas
Spline Hermite
Bézier