MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
CONTENIDO
Medidas estadsticas unidimensionales:
- Medidas de tendencia central. Datos Agrupados y no agrupados.
- La media aritmtica, la mediana y moda. Frmulas. Propiedades.
LOGRO DE LA SESION:
Al trmino de la sesin, el estudiante resuelve problemas de situaciones
reales, aplicando las medidas de tendencia central en datos agrupados y
no agrupados, con precisin y exactitud en el clculo.
Se ha recopilado, organizado y
presentado los datos de los empleados
de la empresa Glvez y Montenegro,
pero ahora es necesario saber a travs
de un solo valor, la edad de los 329
trabajadores.
Caso de estudio:
PERFIL DE LOS TRABAJORES DE LA EMPRESA
GLVEZ Y MONTENEGRO
Se puede resumir en un solo valor, la informacin de todos los
trabajadores , a partir de una distribucin de frecuencia?
BASE DE DATOS
Intervalo Frecuencia Porcentaje
MENOR DE 500 19 38%
500 - 1000 12 24%
1000 - 2000 8 16%
2000 - 3000 2 4%
MAS DE 3000 9 18%
TOTAL 50
Ingreso Mensual
Medidas de Resumen
Nos ayudan a Describir y Comparar
CUADROS DE DISTRIBUCIN
DE FRECUENCIAS
RECOLECCION DE
DATOS
GRAFICOS
MEDIDAS DE RESUMEN
Medidas de Posicin:
Tendencia Central (media, mediana, moda)
Medidas de Variacin o Dispersin:
Varianza, desviacin estndar, rango, coeficiente de variacin.
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIA
o Promedio, Media Aritmtica.
o Valor central del conjunto de datos.
o Se denota con x o M(x) Media x
Valor Mnimo Valor Mximo
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS.
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIA
Datos No Agrupados
Datos Agrupados
n
x
x
n
1i
i
n
fX
x
m
1i
ii
Donde:
Xi = Diferentes valores de la variable en estudio.
n = tamao de la muestra
Donde:
Xi = Marcas de clase.
fi = Frecuencias absolutas simples.
n = tamao de muestra.
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIA - Datos No Agrupados
Ej.:
Se tiene las facturaciones anuales de exportacin de
cemento tipo portland, por una Empresa Cementera
Peruana, en el periodo de 2011 y 2014.
Ao 2010 2011 2012 2013
US$ 19 21 23 30
Determine: El promedio de US$ facturados.
n
xx
n
1ii
Frmula:
3.234
30232119
Interpretacin:
El promedio anual de las facturaciones
por exportacin de Cemento en el
periodo 2011 a 2014, es de US$ 23.3
millones de dlares.
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIA - Datos Agrupados
n
fX
x
k
1i
ii
Punto de
Fusin
( C)
N de
Filamentos
fi
N de
Filamentos
Acumulados
Fi
Porcentaje de
Filamentos
hi %
Porcentaje de
Filamentos
Acumulados
Hi %
Marca de Clase
Xi Xi x fi
300 350 8 8 20 20 325 2600
350 400 9 17 23 43 375 3375
400 450 6 23 15 58 425 2550
450 500 7 30 17 75 475 3325
500 550 4 34 10 85 525 2100
550 600 6 40 15 100 575 3450
TOTAL n = 40 - 100 - Xi x fi = 17400
Fuente: rea de Produccin de la Fbrica.
Frmula:
40
17400x
435x
Interpretacin:
El Punto promedio
de Fusin de los
filamentos
metlicos, es de
435 ( C).
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Ej.:
Un fabricante de aleaciones metlicas est preocupado por las quejas de
sus clientes acerca de la falta de uniformidad en el punto de fusin ( C) de
los filamentos metlicos producidos.
Se seleccionaron 40 filamentos y sus puntos de fusin fueron los siguientes: Hallar la Media
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MODA
o Se denota por Mo
o Se define como el valor que ms repite en un conjunto de datos.
o Un conjunto de datos puede presentar los siguientes casos:
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6
Amodal
Bimodal
Unimodal
Trimodal
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MODA - Datos No Agrupados
o Simplemente observar en el conjunto de datos el valor o dato que
ms se repite.
Ej.: La siguiente informacin corresponde al nmero de prestamos
mensuales que aprueba el Banco de materiales, como parte de atencin a la
poblacin de Cajamarca.
Determinar la Moda:
17 19 19 19 18 16 18 18 19 15
Interpretacin:
El nmero de prestamos mensuales ms frecuente es 19.
Por lo tanto, la moda del nmero de prestamos es 19.
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MODA - Datos Agrupados
Determinar el intervalo modal, este intervalo modal ser aquel
donde se encuentra la mayor
fi (frecuencia absoluta simple) Donde: Li = Lmite inferior del intervalo modal
A = Amplitud intervlica
Frmula:
21
1ALiMo
1ii2
1ii1
ff
ff
f i-1 = F.A.S. anterior del intervalo modal
f i+1 = F.A.S. siguiente del intervalo modal
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MODA - Datos Agrupados
Punto de
Fusin
( C)
N de
Filamentos
fi
N de
Filamentos
Acumulados
Fi
Porcentaje de
Filamentos
hi %
Porcentaje de
Filamentos
Acumulados
Hi %
300 350 8 8 20 20
350 400 9 17 23 43
400 450 6 23 15 58
450 500 7 30 17 75
500 550 4 34 10 85
550 600 6 40 15 100
TOTAL 40 - 100 - Frmula:
Interpretacin:
El Punto de Fusin ms frecuente es 362.5 ( C).
21
1ALiMo
1ii2
1ii1
ff
ff
6989
8950350Mo 5.362
Identificar Mayor fi
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Ej.:
Un fabricante de aleaciones metlicas
esta preocupado por las quejas de sus
clientes acerca de la falta de
uniformidad en el punto de fusin ( C)
de los filamentos metlicos
producidos.
Se seleccionaron 40 filamentos y sus
puntos de fusin fueron los siguientes:
Fuente: rea de Produccin de la Fbrica.
Hallar la Moda
fi =
fi-1 =
fi+1 =
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIANA
o Se denota por Me.
o Es el valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. La
mitad de ellos son menores a Me y la otra mitad son mayores a Me.
Mediana Me
Valor Mnimo Valor Mximo
50% 50%
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIANA - Datos No Agrupados
Cuando n es impar:
1. Se ordenan los nmeros en forma ascendente o descendente.
2. Se calcula el valor (n + 1)/2 y el valor mediano ser el N que ocupa el lugar
(n + 1)/2
Cuando n es par:
1. Se ordena la serie en forma ascendente o descendente.
2. El valor mediano ser el promedio de los valores centrales correspondientes a
la serie ordenada.
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
Ej.: La siguiente informacin corresponde al nmero de prestamos mensuales
que aprueba el Banco de materiales, como parte de atencin a la poblacin de
Cajamarca.
. Determinar la Mediana:
17 19 19 19 18 16 18 18 19 15 20
Luego de Ordenar: 15 16 17 18 18 18 19 19 19 19 20
Como n es impar, Calcular: (11+1) / 2 = 6 , Buscar en datos ordenados el lugar 6. Me = 18
Interpretacin:
El 50% del nmero de prestamos se encuentran sobre 18
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
i
1i
f
F2
n
ALiMe
Calcular el elemento determinante: n/2, donde
n = nmero de datos.
Ubicar este elemento en la columna de las Fi (frecuencias
absolutas acumuladas).
Determinar el intervalo mediano, este intervalo es aquel donde se
encuentre la Fi inmediatamente
mayor o igual a n/2.
Donde:
Li = Lmite inferior del intervalo de inters
A = Amplitud intervlica
n = nmero de datos
i = intervalo de inters
i-1 = intervalo anterior al intervalo de inters.
Frmula:
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Medidas de Posicin - Tendencia Central
MEDIANA - Datos Agrupados
Medidas de Posicin - Tendencia Central
Ej.:
Punto de
Fusin
N de
Filamentos
fi
N de
Filamentos
Acumulados
Fi
Porcentaje de
Filamentos
hi %
Porcentaje de
Filamentos
Acumulados
Hi %
300 350 8 8 20 20
350 400 9 17 23 43
400 450 6 23 15 58
450 500 7 30 17 75
500 550 4 34 10 85
550 600 6 40 15 100
TOTAL 40 - 100 -
Se seleccionaron 40 filamentos y sus puntos de fusin
fueron los siguientes:
Interpretacin:
El 50% de los Puntos de Fusin son
menores o iguales a 425 y el restante
50% son mayores a 425 ( C) .
i
1i
f
F2
n
ALiMe
6
170205004Me
Buscar Intervalo Mediano
encontrando una Fi n/2=20
F3 20
425Me
RESUMEN Y ANALISIS PARA DATOS CUANTITATIVOS
MEDIANA - Datos
Agrupados
Fuente: rea de Produccin de la Fbrica.
Hallar la Mediana
Un fabricante de aleaciones metlicas est preocupado por las quejas de
sus clientes acerca de la falta de uniformidad en el punto de fusin de los
filamentos ( C) metlicos producidos.
QU HEMOS VISTO?
Medidas estadsticas unidimensionales:
- Medidas de tendencia central. Datos Agrupados y no agrupados.
- La media aritmtica, la mediana y moda. Frmulas. Propiedades.
La estadstica es una ciencia que demuestra que si mi vecino
tiene dos coches y yo ninguno, los dos tenemos uno.
George Bernard Shaw (1856-1950) Escritor irlands.
BIBLIOGRAFIA BASICA:
Estimado estudiante, puedes revisar los siguientes textos que se encuentran en
tu biblioteca:
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