Tema : Series numéricas. Problemas
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Problemas resueltos
Series Numéricas
Ximo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto3
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XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 2
PROBLEMAS RESUELTOS1. De una serie conocemos el término general de su suma parcial de orden "n", .
Se pide :
1.1. Hallar an y formar la serie
1.2. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión
1.3. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.
1.1.- ¿ an ?
Recordemos la relación entre Sn y an
a1 = S1 =
[ Observa que en el segundo sumatorio, sumamos desde n = 2 ]
1.2.- ¿ ?
Interpretando Sn como la suma de los n primeros términos de Y
1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?
Como es CONVERGENTE y su SUMA es 4.
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 3
2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n", .
Se pide :
2.1. Hallar an y formar la serie
2.2. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión
2.3. Estudiar si la serie es CONVERGENTE y hallar su SUMA.
1.1.- ¿ an ?
Operando como en el problema anterior :
a1 =
1.2.- ¿ ?
1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?
Y es CONVERGENTE y su SUMA es 1
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 4
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
3. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
Sea
Y La Serie DIVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
4. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
Y La Serie CONVERGE
[ Observa : (2n +1) ! = ( 2n+1 ) A (2n) A ( 2n-1)! ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 5
5. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
[ Si bn = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) Y bn+1 = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) ( 4n + 1 ) ¡ Ojo! ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
6. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
[ Observa : 5n+1 = 5n A 5 ]
Y La Serie CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
7. Estudiar según r 0000 úúúú el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos cualesquiera, pues r 0 ú . Estudiemos su convergencia absoluta.
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 6
[ Criterio de D' Alembert ]
Sea
Y La Serie es ABSOLUTAMENTE CONVERGE Y Es CONVERGENTE œ r 0 ú
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
8. Estudiar según los valores de x 0000 úúúú la naturaleza de la Serie
Si x 0 ú Y es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia
absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie en valor absoluto:
Sea
Hagamos unas consideraciones sobre el valor de x.
i) Si
i.1) Si x = 1 Y
Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando ahora la Condición necesaria de
Cauchy, tenemos :
Y La Serie DIVERGE para x = 1
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 7
i.2) Si x = -1 Y
Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando de nuevo la Condición necesaria
de Cauchy, tenemos :
Y La Serie DIVERGE para x = -1
ii) Si .
Aplicando ahora la condición necesaria de Cauchy , sustituyendo x / *x* < 1 en la Serie:
Y La Serie DIVERGE para *x* < 1
iii) Si
iii.1) Si x > 1 Y Y
La Serie CONVERGE
iii.2) Si x < -1
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
9. Estudiar según los valores de a 0000 úúúú, a > 0 el carácter de la Serie y aplicar el
resultado obtenido para estudiar el carácter de las series
Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del
cociente ( D'Alembert)
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 8
[
Observa : ( n+1 )! = (n+1) A n! ; ( n+1)n+1 = (n+1)n A (n+1) ]
Aplicando las condiciones del criterio del cociente, tenemos :
i) si < 1 a < e Y La serie CONVERGE
ii) si > 1 a > e Y La serie DIVERGE
iii) si = 1 a = e Y DUDA ?
Resolvamos el caso DUDA ( a = e )
Sustituyendo en la serie original, quedará :
Comprobemos la condición de convergencia de Cauchy.
Y DIVERGE
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Tema : Series numéricas. Problemas 9
Resumiendo, la serie œ a > 0
¿ Carácter ?
Observando el estudio anterior, tomando a = 3, como 3 > e Y La Serie Diverge
¿ Carácter ?
Razonando como anteriormente, tomando a = 2, como 2 < e Y La Serie Converge
[ Nota : Recordemos que e . 2,71828182 ]
10. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
<
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 10
Y Y La Serie DIVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
11. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie
Como x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.
Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie :
i) Si x = 0
Obtenemos la serie , que es una serie convergente, œ n 0 ù y
CONVERGE
ii) Si x … 0
Estudiemos la Convergencia absoluta aplicando el criterio del cociente ( D'Alembert )
œ x 0 ú
Y La serie es Absolutamente Convergente Y La serie es CONVERGENTE.
Por tanto, es CONVERGENTE œ x 0 ú
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
12. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de convergencia del
cociente ( D'Alembert)
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 11
[ Mira aquí : ( 2n + 2 ) ! = ( 2n+2) ( 2n+1) (2n)! ; (n!)2 = (n!) A (n!) ]
Si aplicamos la conclusión del criterio :
si < 1 Y a < 4 Y La Serie Converge
si > 1 Y a > 4 Y La Serie Diverge
si = 1 Y a = 4 Y DUDA
Resolvamos la duda sustituyendo a = 4 en la Serie Original
Apliquemos el criterio de Raabe aprovechando el último cociente del criterio de D'Alembert
Y La serie diverge.
Resumiendo, La Serie :
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 12
Y Converge si 0 < a < 4
Y Diverge si a $ 4 [ Pregunta : ¿ De dónde hemos obtenido 4n2 + 8n + 4 ?]
13. Estudiar el carácter de la Serie
Se trata de una Serie Alternada, optemos por estudiar la convergencia absoluta.
Sea pues la serie de términos positivos :
. Apliquemos el criterio de la raíz ( Cauchy ):
Dividiendo por "n" numerador y denominador
Y La serie es CONVERGENTE
es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y
es CONVERGENTE
[ Recordemos que toda serie absolutamente Convergente, es Convergente ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
14. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie
Si x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.
i) Si x = -1. Sustituyendo queda la Serie nula que es una Serie convergente, tal como
hemos visto.
ii) Si x … -1
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 13
Apliquemos el criterio del COCIENTE
Aplicando las conclusiones de convergencia del criterio tenemos :
Y Si < 1 Y * x + 1 * < 3 Y -3 < x+1 < 3 Y -4 < x < 2 Y La Serie Converge
Y Si = 1 Y * x + 1 * = 3 Y DUDA
Y Si > 1 Y La serie diverge
Estudiemos las DUDAS:
6 Si x = -4 sustituyendo en la serie obtenemos :
Serie alternada que es fácil comprobar que converge (Criterio de Leibniz, ¡típico además!)
[ Mira : (-3)n = (-1)n A 3n ]
6 Si x = 2 Operando de igual forma :
Serie de términos positivos (Serie armónica) , divergente ( Criterio de Pringsheim " = 1 )
Resumiendo, la serie
< Es absolutamente convergente y, por tanto, CONVERGENTE si -4 # x < 2
< Es absolutamente divergente y, por tanto, DIVERGENTE si x < 4 ó x $ 2
[ No olvidemos que la divergencia absoluta (estudiada mediante criterio del cociente) implica
divergencia ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 14
15. Estudiar el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos positivos . Aplicando el criterio de la Raíz ( Cauchy ) :
Separando “astutamente” los límites :
Y La Serie CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
16. Estudiar el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos positivos . Antes de decidir qué criterio aplicar, una
reflexión interna quedaría indecisa ante la estructura de an, un poco exponencial, un poco
polinómica... Sin embargo, hay un bloque dominante y ese es y, por ese camino lo
vamos a intentar por comparación por paso al límite.
Comparemos con serie Geométrica Convergente pues
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 15
Sea, pues,
Como la serie es convergente, aplicando el criterio de comparación
Y la Serie Converge. Bueno, ¡ Tampoco era tan complicada !
[ Todos los límites de la fracción resultante al dividir por 3n y 5n dan cero mediante la técnica de
Stolz explicada en el tema de Sucesiones ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
17. Estudiar el carácter de la Serie
Intentemos, en primer lugar la convergencia absoluta
Aplicando el criterio de Pringsheim :
Sea " 0 ú /
Y La Serie Diverge en valor absoluto
Y La serie alternada no podemos afirmar nada. Apliquemos ahora directamente el criterio de
Leibniz a la serie alternada
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 16
i) ¿ ?
ii) ¿ es monótona creciente ?
Y la Serie
Converge
18. Estudiar el carácter de la Serie
Al llevar expresiones trigonométricas en su término general, cualquier criterio que apliquemos
nos va a llevar a un límite de difícil cálculo. Intentaremos el criterio de comparación, pues las
funciones trigonométricas se suelen acotar con cierta facilidad.
Utilizando el Criterio de Comparación
[ Pues 1 + sen2 n $ 1 œ n ]
Utilizando el Criterio de Pringsheim
" = 2 Y La serie CONVERGE Y CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 17
19. Estudiar el carácter de la Serie según valores de " 0 ú
Utilizando el Criterio de Pringsheim (Serie de términos positivos)
Y p = " - 3
Si " - 3 > 1 Y la Serie Converge Y " > 4
Si " - 3 # 1 Y la Serie Diverge Y " # 4
Si " > 4 Y Serie Convergente
Si " # 4 Y Serie Divergente
[ Fácil y sencillo !!. Pringsheim es muy práctico en las expresiones polinómicas ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
20. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Como se trata de una Serie Geométrica
TÉRMINOS 1,
Serie Geométrica Y Como < 1 Y La serie Converge
SUMA a1 = 1 Y Y
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
21. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
XB
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XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 18
[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series ]
CARÁCTER
a) Serie Geométrica Y La serie Converge
b) Serie Geométrica Y La serie Converge
Y La serie es Convergente
SUMA
a)
b)
S = Sa + Sb = Y
[ ha sido buena idea separar la Serie en dos Series auxiliares geométricas ]
22. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 19
Preparemos un poco el término general operando sobre el [ (-1)2n = [(-1)2 ]n = 1n = 1 ]:
se trata de una Serie de Geométrica
TÉRMINOS
CARÁCTER Serie Geométrica Y La serie Converge
SUMA
Y
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
23. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series]
CARÁCTER
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 20
a) Serie Geométrica Y La serie Converge
b) Serie Geométrica Y La serie Converge
Y La serie es Convergente al ser Suma de Series Convergentes.
SUMA
Sumando ambas como Series Geométricas.
a)
b)
S = Sa + Sb = Y
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
24. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Y Se trata de una Serie Geométrica.
TÉRMINOS
Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie Converge
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 21
SUMA a1 = Y Y
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
25. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
CARÁCTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim, an es un COCIENTE DE POLINOMIOS
]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA. Aplicaremos la técnica de descomposición de an, en este caso al ser un cociente de
polinomios, efectuaremos una descomposición en suma de fracciones simples.
Raíces del denominador : n3 + n2 - 2n = 0 Y
Propongamos
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 22
Como era , el primer valor que damos a n es n = 2
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 23
< n = 2 6
< n = 3 6
< n = 4 6
< n = 5 6
< n = 6 6
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
< n = n-2 6
< n = n-1 6
< n = n 6
Sumando )))))))))))))))))))))))
Observamos que los términos
cuyo denominador es el mismo en los tres
sumandos, se van cancelando, ya que los
numeradores suman cero.
[ ¡ Ojo ! Puede ser una buena idea
para sumar, cuando se descompone an en
fracciones simples ]
Tomando límites :
[ Un poco " durilla " para ser la primera serie que sumamos
mediante esta técnica ]
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 24
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
26. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, obtener la suma de la Serie
CARÁCTER [ Aplicando el criterio de Pringsheim ]
¡ Bueno, sí, hemos cambiado " por p, pero no importa, enriquecemos un poco nuestra operativa !
La Serie es CONVERGENTE
SUMA A primera vista, la estructura de an no nos permite identificar la suma de esta serie
con ninguno de los tipos que conocemos. No obstante, por eliminación de las
demás técnicas, vamos a tratar de hacer una descomposición en factores. Para ello,
vamos a trabajar un poco sobre el término General.
Hemos llegado, pues, a una serie telescópica
Asignando valores a n
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 25
[ Observa que los términos con el mismo denominador se van cancelando entre sí al efectuar la
suma pues tienen signo contrario ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
27. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA Mediante descomposición de an en suma de fracciones simples :
Raíces del denominador Y n3 + 5n2 + 6n = 0 Y
4
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 26
Operando e igualando numeradores, pues el denominador es el mismo
<
<
<
<
<
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
<
<
<
Sumando :
Los términos con el mismo
denominador en los tres sumandos
se van cancelando al sumar cero
sus numeradores.
[ Fíjate que hemos dejado los
valores de A, B, C en el numerador
sin operar la fracción resultante,
para que se "vean" mejor los
términos que se cancelan entre sí ]
Tomando límites :
Y
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 27
[ Supongo que te ha resultado más sencillo ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
28. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
CARACTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA Por descomposición . Aplicando la Suma por descomposición de an en suma de
fracciones simples :
[ Mira esta nueva forma de hallar los coeficientes indeterminados ]
¿ Qué te ha parecido ? Se llama método de coeficientes indeterminados (MCI) y consiste en
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 28
igualar los coeficientes de los términos del mismo grado de cada uno de los polinomios situados a cada
lado del símbolo “igual”.
Dando valores a "n" :
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
29. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA ¿ Es Hipergeométrica ?
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 29
es Hipergeométrica
Al ser Hipergeométrica y convergente
[ También podíamos haber sumado mediante descomposición de an en suma de fracciones simples
]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
30. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
CARÁCTER: [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
[ ¡ Vaya sorpresa ! emplear el criterio de Pringsheim en la convergencia de esta serie ]
SUMA: Preparemos an
[ Aplicando las propiedades de los logaritmos ]
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 30
Dando valores a "n"
Y
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
31. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA por descomposición de an en suma de fracciones simples :
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 31
Sumando todo
Tomando Y Y
Observa esta " variante " en la suma Sn para no especificar todos los términos ]
32. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 32
La Serie es CONVERGENTE
SUMA propongamos una descomposición en factores :
Sea pues
Igualando numeradores ( pues los denominadores son iguales )
y asignando valores a "n "
6 si n = 1
6 si n = 2
6 si n = 3
6 si n = 4
AAAAAAAAAAAAAAAAA
6 si n = n-2
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 33
6 si n = n-1
6 si n = n
Sumando y simplificando los elementos que son iguales pero con signo distinto
Tomando límites :
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
33. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 34
Al ser hipergeométrica y convergente
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
34. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es CONVERGENTE
SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Al ser Hipergeométrica y Convergente
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
35. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 35
La Serie es CONVERGENTE
SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Al tratarse de una serie convergente su suma es :
Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :
Igualando numeradores :
Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :
6 Si n = -2 2 = 2 A Y A = 1
6 Si n = -3 2 = -B Y B = -2
6 Si n = -4 2 = 2 C Y C = 1
Por lo tanto,
Así, pues,
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 36
[
Obviamente, en esta serie, la suma como hipergeométrica resultaba mucho más sencilla, pero bueno,
comparamos métodos y consolidamos técnicas. ¡Todo positivo!
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
36. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
6 Antes de empezar, busquemos el término general al cual obedecen en los términos de la serie.
No es difícil comprobar que:
1, 3, 5, 7, .... Y 2n - 1
3, 5, 7, 9, .... Y 2n + 1
5, 7, 9, 11,.... Y 2n + 3
Por tanto, la serie queda:
CARÁCTER [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
XB
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Tema : Series numéricas. Problemas 37
La Serie es CONVERGENTE
SUMA
Ante la doble opción para obtener la Suma de la serie, optamos por ... las dos.
¿ Es hipergeométrica ?
Como :
Al tratarse de una serie convergente su suma es :
Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en factores :
Igualando numeradores :
Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :
6 Si n = 1 = 8 A Y A =
6 Si n = - 1 = -4B Y B =
6 Si n = 1 = 8 C Y C =
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 38
Y asignando valores a "n" :
[Observa que en la suma se anulan los términos con el mismo denominador a partir de denominador igual
a 5.]
[Por ambos métodos hemos llegado bien a la suma. Como siempre un poco más sencillo si la Serie es
Hipergeométrica, sumándola como tal ]
37. Estudiar carácter y suma de según valores de p, y, en particular
obtener el carácter y la suma de
CARÁCTER ( Serie de términos positivos œ p 0 ù ) Aplicando el criterio de Pringsheim ]
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 39
Aplicando sobre " el criterio de Pringsheim :
6 Si " > 1 Y p > 1 Y La Serie Converge
6 Si " # 1 Y p # 1 Y La Serie Diverge
SUMA œ p > 1 p 0 ù
Comprobamos si se trata de una Serie Hipergeométrica
Como
Al ser convergente su suma es :
En particular, para observamos que se trata de la Serie anterior para p = 3
CARÁCTER
Como p = 3 > 1 Y La Serie Converge
SUMA. Tomando en la expresión de suma p = 3 Y
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 40
38. Estudiar carácter y suma de
CARÁCTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]
Y La Serie Converge
SUMA. Claramente, an tiene la forma adecuada para obtener la Suma de la Serie como
Aritmético-Geométrica, es decir, , apliquemos pues esta técnica
Tomando límites :
XB
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Series
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Tema : Series numéricas. Problemas 41
39. Estudiar carácter y suma de
CARÁCTER ( Serie de términos positivos ) Aplicando el criterio de D'Alembert]
Y
La Serie Converge
SUMA. Sumando como Serie Aritmético-Geométrica
Tomando Límites :
XB
Apuntes
Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 42
[ NOTA : mediante Stolz, aplicándolo dos veces ]
[ Observa que al ser el polinomio del numerador de 2º grado hemos aplicado la técnica de suma de
series Aritmético-Geométricas dos veces]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
40. Estudiar carácter y suma de
CARÁCTER ( Se trata de una Serie Alternada) . Ante la doble opción que tenemos para su
estudio de convergencia ( Leibniz, Convergencia Absoluta ), elegimos la convergencia absoluta. ]
Mediante el Criterio del Cociente (D'Alembert)
es CONVERGENTE
Así es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE
XB
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Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 43
es CONVERGENTE
SUMA
Sumemos por el procedimiento de la Serie Aritmético-Geométrica
Aplicando límites :
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
41. Estudiar carácter y suma de
CARÁCTER (Como an > 0 œ n 0 ù Y Es una Serie de Términos positivos. Apliquemos el
criterio de D'Alembert)
XB
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Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 44
Y
La serie CONVERGE
SUMA
En principio, an no se ajusta a ninguno de los modelos de suma conocidos. Preparemos el término
general...:
Estudiemos cada una de las Series obtenidas por separado :
Y 31 Se trata de una Serie Geométrica, demos algunos términos :
Y 32 Se trata de una Serie Aritmético-Geométrica, Apliquemos la técnica adecuada.
[ Para no abusar de notación fraccionaria, llamaremos a = 5/2 ]
XB
Apuntes
Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 45
[ ¡ Bonita suma !, ¿ eh ? ]
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
42. Estudiar carácter y suma de
2n es PAR, œ n 0 ù Y (-1)2n = 1, œ n 0 ù
Y
CARÁCTER es una Serie de términos positivos.
Apliocando el criterio de D'Alembert :
Y
La Serie CONVERGE
SUMA. Serie Aritmético-Geométrica. Apliquemos la técnica adecuada:
XB
Apuntes
Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 46
Tomando límites :
S)))))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
43. Estudiar carácter y suma de
CARÁCTER: La Serie dada, se puede descomponer como una resta de dos series así :
Estudiemos cada una de ellas por separado :
Serie de términos positivos. Por D'Alembert :
Y
XB
Apuntes
Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 47
La Serie CONVERGE
SUMA. Apliquemos la técnica adecuada para sumar la Serie Aritmético-Geométrica
Tomando límite :
Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de Pringsheim
Y La Serie CONVERGE
Propongamos una descomposición del término general en SUMA de fracciones según las raíces
del denominador
XB
Apuntes
Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 48
Asignando valores a "n" ( “Hábil e inteligentemente” seleccionados )
6 Si n = -2 1 = A Y A = 1
6 Si n = -3 1 = -B Y B = -1
Refundiendo los resultados :
CARÁCTER es CONVERGENTE
SUMA
NOTA : La serie también es Hipergeométrica pues
XB
Apuntes
Series
XB Apuntes
Tema : Series numéricas. Problemas 49
Y al ser CONVERGENTE su suma es
“That’s all”