7/30/2019 problemas capítulo 37
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-capitulo-37 1/26
37.1: If O′ sees simultaneous flashes then O will see the )AA( ′ flash first since O
would believe that the A′ flash must have traveled longer to reach O′ , and hence
started first.
37.2: a) .29.2
)9.0(1
1γ
2
=−
=
s.105.05s)1020.2()29.2(γ 66 −− ×=×== τ t
b) km.1.36m101.36s)1005.5()sm1000.3()900.0( 368 =×=××== −vt d
37.3: +−≈−=−2
2212222
21)1(1
c
ucucu
s.1000.5)(
)sm102(3.00
(3600)hrs)4()sm250(
2))(11()(
9
0
28
2
2
222
0
−×=∆−∆⇒
×⋅
=∆=∆−−=∆−∆⇒
t t
t c
ut cut t
The clock on the plane shows the shorter elapsed time.
37.4: .79.4)978.0(1
1γ
2=
−=
ms.0.395s103.95s)104.82()79.4(γ -46 =×=×=∆ −t
37.5: a) 2
0
2
2
22
0 11
∆∆
=−⇒−
∆=∆
t
t
c
u
cu
t t
22
0
42
6.211
−=
∆∆
−=⇒ ct
t cu
.998.0 cu =∴
b) m.126s)10(4.2)sm1000.3()998.0( 78 =××=∆=∆ −t u x
37.6: 667.1γ = a) s.300.0)800.0(γ
m1020.1
γ
8
0 =×
=∆=∆c
t t
b) m.107.20)(0.800s)300.0(7×=c
c) s.180.0γs300.00 ==∆t (This is what the racer measures your clock to read
at that instant.) At your origin you read the originals.5.0
)sm10(3(0.800)
m1020.1
8
8
=×
×
Clearly the observes (you and the racer) will not agree on the order of events!
37.7: yr)(1sm103.00
sm104.8011
2
8
622
0
××
−=∆−=∆ t cut
hrs.1.12yr )1028.1()(4
0 =×=∆−∆⇒ −t t
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7/30/2019 problemas capítulo 37
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37.12: .sm102.86952.0)γ1(1so,3048.01γ82 ×==−== ccu
37.13:22
02
2
0
11
cu
l l
c
ul l
−=⇒−=
m.92.50.600
1
m74.02
0 =
−
=⇒
c
c
l
37.14: Multiplying the last equation of (37.21) by u and adding to the first to eliminate t gives
,1
12
2
xc
u xt u x
γ =
−γ =′+′
and multiplying the first by2
c
uand adding to the last to eliminate x gives
,γ
11γ
2
2
2t
c
ut x
c
ut =
−=′+′
),(γand)(γso 2c xut t t u x x ′+′=′+′=
which is indeed the same as Eq. (37.21) with the primed coordinates replacing theunprimed, and a change of sign of u.
37.15: a) ccc
cvu
uvv 806.0
)600.0()400.0(1
600.0400.0
1 2=
++
=′+
+′=
b) ccc
cvu
uvv 974.0
)600.0)(900.0(1
600.0900.0
12
=
+
+=
′+
+′=
c) .997.0)600.0)(990.0(1
600.0990.0
1 2c
cc
cvu
uvv =
++=
′++′=
37.16: ).)54(if 35γ(667.1γ cu === a) In Mavis’s frame the event “light on” has
space-time coordinates 0=′ x and 00.5=′t s, so from the result of Exercise 37.14 or
Example 37.7, )(γ t u x x ′+′= and =′=×=′=⇒
′
+′= t t t u xc
xut t γ,m1000.2γγ 9
2
.s33.8
b) The 5.00-s interval in Mavis’s frame is the proper time 0t ∆ in Eq. (37.6), so
,s33.8γ 0 =∆=∆ t t as in part (a).c) 91000.2)800.0()s33.8( ×=c m, which is the distance x found in part (a).
37.17: Eq. (37.18): 221 cu
ut x x
−
−=′ Eq. (37.19): 22
1 cu xt u x −+′−=′
Equate:γ
γ)(x
t uut x +′−=−
7/30/2019 problemas capítulo 37
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( )( )
( )
( ) ( )
.)(1
γγ
γ11
11
1
11γ
γ
1
γγ
1γ
γγ
γ
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
cucuxt
c xut t
cucu
cu
cu
cu
cucu
u
xt
u
xt
u
xt
−−=+=′⇒
=−
−=−
−−=−
−−=−
−+=
++−=′⇒
37.18: Starting from Eq. (37.22),
)1(
)1(
1
2
2
2
2
cvuv
cuvvvuv
uvcuvv
cuv
uvv
′+=
′+=+′
−=−′
−
−=′
from which Eq. (37.23) follows. This is the same as switching the primed and unprimed
coordinates and changing the sign of u .
37.19: Let the unprimed frame be Tatooine and let the primed frame be the pursuit ship.
We want the velocity v′ of the cruiser knowing the velocity of the primed frame u and
the velocity of the cruiser v in the unprimed frame (Tatooine).
ccc
c
uv
uvv 385.0
)800.0()600.0(1
800.0600.0
12
−=−
−=−
−=′
⇒ the cruiser is moving toward the pursuit ship at .385.0 c
37.20: In the frame of one of the particles, u and v are both c9520.0 but with opposite
sign.
.9988.0)9520.0)(9520.0(1
9520.09520.0
)()(1
)(2
ccc
cvu
uvv −=
−−−−
=−−−−
=′
Thus, one particle moves at a speed c9988.0 toward the other in the other particle’s frame.
37.21:.784.0
)650.0)(950.0(1
650.0950.0
12
ccc
c
vu
uvv −=
−++−
=′
+
+′=
37.22: a) In Eq.(39-24),)400.0()700.0(1
400.0700.01
700.0,400.0 2 + +=′+ +′=⇒=′= cccvuuvvcvcu
.859.0 c=
b) .s0.31859.0
m1000.8 9
=×
=∆
cv
x
7/30/2019 problemas capítulo 37
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37.23: uvc
vuvv
cuv
uvv −=
′−′⇒
−−
=′221
ccc
u
cvv
vvuvv
c
vvu
837.0))920.0)(360.0(1(
920.0360.0
)1(1
22
−=−−
=⇒
′−′−
=⇒′−=
′
−⇒
⇒ moving opposite the rocket, i.e., away from Arrakis.
37.24: Solving Eq. (37.25) for cu , (see solution to Exercise 37.25)
,)(1
)(12
0
2
0
f f
f f
c
u
+−
=
and so (a) if ( ) ,0202.0,98.00 == cu f f the source and observer are moving away
from each other. b) if ( ) ,882.0,40 −== cu f f they are moving toward each other.
37.25: a) 20
20 )()( f uc f uc f
ucuc f +=−⇒−+=
)1λ)λ ((
)1λ)λ ((
1)(
)1)(()(2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
+−
=+−
=+−
=⇒c
f f
f f c
f f
f f cu
h.km101.72skm104.77sm1077.4159.0)1)575675((
)1)575675(( 847
2
2
×=×=×==+−
=∴ ccu
b) 172$)00.1$(h)km90hkm1072.1( 8 =−× million dollars!
37.26: Using ( )ccu 53600.0 −=−= in Eq. (37.25) gives
( )
( ).2
58
52
531
531000 f f f f ==
+−
=
37.27: a) 2/322
2
21
21
2222 )1(
)2(
11 cv
cvamv
cv
ma
cv
mv
dt
d
dt
dp F
−⋅
−−
=
−==
.1
)1()1(
)1(
23
2
2
2322
2322
2222
−=⇒
−=
−
+−=
c
v
m
F a
cvmacv
cvcvma
b) If the force is perpendicular to velocity then denominator is constant ==⇒dt
dp F
.11
22
22cv
m
F a
cv
dt dvm−=⇒
−
7/30/2019 problemas capítulo 37
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37.28: The force is found from Eq. (37.32) or Eq. (37.33). (a) Indistinguishable from N.145.0== ma F b) . N75.1γ3 =ma c) N.7.51γ3 =ma d) N,145.0γ =ma
N.03.1, N333.0
37.29: a) mvcv
mv p 21 22 =−=
.866.02
3
4
3
14
1121
22
2
222
ccvcv
c
vcv
==⇒=⇒
−=⇒−=⇒
b) c
v
c
vmama F ⇒=
−=⇒=⇒== 3/2
2
2
3/133 2
1
1so)2(γ2γ2γ
.608.021 3/2 =−= −
37.30: a) ( ) s.m1021.4and140.0so,01.1γ 8×=== vcv b) The relativistic
expression is always larger in magnitude than the non-relativistic expression.
37.31: a) 22
22
2
1mcmc
cv
mc K =−
−=
.866.04
31
4
12
1
12
2
22cv
c
v
cv==⇒−=⇒=
−⇒
b) .986.036
351
36
16
1
15
2
2
22
2 ccvc
v
cvmc K ==⇒−=⇒=
−⇒=
37.32:
eV.1088.1J1001.3)sm1000.3(kg)1067.1(22 91028272 ×=×=××== −−mc E
37.33: ++≈−=2
422
8
3
2
1)1γ(
c
mvmvmc K
s.m1089.4163.0150
4
4
150
2
02.0
8
3
2
102.1
722
2
2
42
0
×===⇒=⇒
=⇒=−
ccvcv
vc
vmv K K if
37.34: a) .)1007.4()1γ( 232
f mcmc K W −×=−=∆= b) ( .79.4)γγ 22
if mcmc =−c) The result of part (b) is far larger than that of part (a).
37.35: a) Your total energy E increases because your potential energy increases;
7/30/2019 problemas capítulo 37
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%103.3)sm10998.2()m30()sm80.9()(
)(so)(132822
222
−×=×=∆=∆
∆=∆=∆∆=∆
∆=∆
c y g mm
c ymg c E mcm E
ymg E
This increase is much, much too small to be noticed.
b) J36.0m)m)(0.060 N1000.2( 22212
21 =×==∆=∆ kxU E
kg100.4)( 162 −×=∆=∆ c E m
Energy increases so mass increases. The mass increase is much, much too small
to be noticed.
37.36: a) 2
00 cm E =
2
0
2 22 cmmc E ==
022
00 2
/12 m
cv
mmm =
−→=∴
sm1060.2866.0
43431
41
8
2
2
2
2
×==
=→=→−=
cv
cvcv
cv
b) 2
22
022
0
110 c
cv
mmccm
−==
sm1098.2995.0100
99
100
99
100
11
8
2
2
2
2
×===
=→=−
ccv
c
v
c
v
37.37: a) J1005.400.3means00.4so, 10222 −×===+= mc K mc E K mc E
b) 22222222 )()(0.15so,00.4;)()( pcmcmc E pcmc E ==+=smkg1094.115
18 ⋅×== −mc p
c) 2221 cvmc E −=
ccvcvmc E 968.01615and1611gives00.4 222===−=
37.38: The work that must be done is the kinetic energy of the proton.
a) 2
0
2
0 11
1)1(
2
2cmcm K
c
v
−
−=−γ =
( )
J1056.7
10.011
1J)1050.1(
11
1)sm10kg)(3.001067.1(
13
10
2c1.0
2827
−
−
−
×=
−
−×=
−
−××=
c
7/30/2019 problemas capítulo 37
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b)
−×=
−
− 1J)1050.1(2(0.5)1
110 K
J1032.2 11−×=
c)
−×=−
− 1J)1050.1(2(0.9)1
110 K
J1094.1 10−×=
37.39: )smkg102.10kg,1064.6( 1827 ⋅×=×= −− pm
a) 222 )()( pcmc E +=
J.1068.8 10−×=
b) J.1070.2kg)1064.6(1068.8 10227102 −−− ×=×−×=−= cmc E K
c) .452.0kg)10(6.64
J1070.2227
10
2=
××
= −
−
cmc
K
37.40:
212
2212242 1)(
+=+=
mc
pmcc pcm E
222
2
22
22
2
1
22
11 mvmc
m
pmc
cm
pmc +=+=
+≈
the sum of the rest mass energy and the classical kinetic energy.
37.41: a) 0376.11
1γsm108
22
7 =−
=⇒×=cv
v
pmm = J1034.5
2
1 1220
−×== mv K
.06.1 J1065.5)1γ(0
122 =∴×=−= −
K
K mc K
b) 3.203γsm1085.2 8 =∴×=v
.88.4J1031.31)(γ
J1078.62
1
0
102
112
0
=×=−=
×==
−
−
K K mc K
mv K
37.42: MeV.3105J1097.4)sm10kg)(3.001052.5( 102827 =×=×× −−
37.43: a) V eV q K ∆=∆=
V1006.2
MeV2.06J10295.3025.41
1
1
6
132
22
2
×==∆
=×==
−
−
= −
e K V
mc
cv
mc K
b) From part (a), MeV2.06J1030.3 13 =×= − K
37.44: a) According to Eq. 37.38 and conservation of mass-energy
.292.1)7.16(2
75.91
2122 222 =+=+=γ ⇒γ =+
M
m Mcmc Mc
7/30/2019 problemas capítulo 37
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Note that since ,221
1
cv−=γ we have that
.6331.0)292.1(
11
11
22=−=
γ −=
c
v
b) According to Eq. 37.36, the kinetic energy of each proton is
MeV.274
J101.60MeV00.1)sm10kg)(3.001067.1)(1292.1()1(13
28272 =
×××−=−= −− Mc K γ
c) The rest energy of 0η is =××= −×−
J101.60
MeV00.12828213)sm10kg)(3.001075.9(mc
MeV.548
d) The kinetic energy lost by the protons is the energy that produces the ,0η
MeV).2(274MeV548 =
37.45: a) eV.104.20MeV420.05
×== E
b) eVJ106.1
)sm1000.3(kg)1011.9(eV1020.4
19
283152
−
−
×××
+×=+= mc K E
eV.109.32eV105.11eV1020.4 555 ×=×+×=
c) 22
22
2
11
−=⇒
−=
E
mccv
cv
mc E
.sm1051.2836.0eV109.32
eV1011.51 8
2
5
5
×==
××−= cc
d) Nonrel: kg109.11
)eVJ10eV)(1.61020.4(22
2
1
31
9152
−
−
×
××
==⇒= m
K
vmv K
.sm1084.3 8×=
37.46: a) The fraction of the initial mass that becomes energy is
,10382.6u)2(2.0136
u)0015.4(1 3−×=− and so the energy released per kilogram is
J.1074.5)sm10kg)(3.0000.1)(10382.6( 14283 ×=×× −
b) kg.107.1kgJ105.74
J100.1 4
14
19
×=××
37.47: a) kg102.4)sm10(2.998J)108.3(, 9282622 ×=××=== c E mmc E
1 kg is equivalent to 2.2 lbs, so 6106.4 ×=m tons
b) The current mass of the sun is kg,1099.1 30× so it would take it
y101.5s104.7)skg10(4.2kg)1099.1( 1320930 ×=×=×× to use up all its mass.
37.48: a) Using the classical work-energy theorem we obtain
7/30/2019 problemas capítulo 37
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m.81.1 N)1020.4(2
)]sm10)(3.00kg)[(0.9201000.2(
2
)(4
28120
22
=×
××=
−=∆
−
F
vvm x
b) Using the relativistic work-energy theorem for a constant force (Eq. 37.35) we obtain
.)1( 2
F
mc x
−γ =∆
For the given speed, ,55.22
920.01
1 ==γ − thus
m.65.6 N)1020.4(
)sm10kg)(3.001000.2)(155.2(4
2812
=×
××−=∆
−
x
c) According to Eq. 37.30,
,1)sm1010.2(1kg)10(2.00
N)1020.4(1
2
3
2
2216
2
3
2
2
12
42
3
2
2
−×=
−
××=
−= − c
v
c
v
c
v
m
F a
which yields, )i )100.0(sm1007.2216 =×= β a
).920.0(sm10126.0iii)
)462.0(sm1046.1ii)
216
216
=×=
=×=
β a
β a
37.49: a) s1000.4sm103
m1200 6
8
−×=×
==∆⇒∆=c
d t t cd (v is very close to ).c
But
2
0
2
2
2
0 11
∆∆
−=
⇒−=
∆∆
t
t
c
u
c
u
t
t
.1011.21000.4
106.21111
1)1(
5
212
6
821
2
0
2
02
−−
−
×=
××−−=
∆∆
−−=∆⇒
∆∆
−=∆−⇒
t
t
t
t
b) MeV6.139106.2
1000.4mc
8
62
0
2
××
=
∆∆
=γ = −
−
t
t mc E
MeV.1015.2 4×=⇒ E
37.50: One dimension of the cube appears contracted by a factor of ,γ
1so the volume in
S ′ is .)(1233
cuaγa −=
37.51: Need bl al ba ==⇒= ,0
22
0
140.1
cub
bab
l l −===∴
.sm1010.2
.700.040.1
111
8
22
×=
=
−=
−=⇒ cc
a
bcu
7/30/2019 problemas capítulo 37
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-capitulo-37 11/26
37.52: The change in the astronaut’s biological age is 0t ∆ in Eq. (37.6), and t ∆ is the
distance to the star as measured from earth, divided by the speed. Combining, the
astronaut’s biological age is
yr.7.24γ(0.9910)
yr 42.2yr 19
γ
yr 42.2yr 19 =+=+
u
c
37.53: a)100
99
γ
1γ
)(1
110and
2
2
2
2c
c
v
c
v
cvmc E =⇒
−=⇒
−=== γ γ
.995.0=
b)
+
== 1γ,γ)( 2
2
42222222
c
vcm E cvm pc
%.101.0))995.0(10(1
1
1
1)(22
2
2
22
==+
=
γ +
=−
⇒
c
v E
pc E
37.54: a) Note that the initial velocity is parallel to the x-axis. Thus, according to Eqn.37.30,
.sm1049.1)900.01(kg)10(1.67
N)1000.3(1
2142
32
27
122
3
2
2
×−=−××−
=
−= −
−
c
v
m
F a x
x
Now note that the initial velocity is perpendicular to the y-axis. Thus, according to Eqn.37.33,
.sm1031.1)900.01(kg)10(1.67
N)1000.5(1
2152
12
27
122
1
2
2
×=−××
=
−= −
−
c
v
m
F a
y
y
b) The angle between the force and acceleration is given by
.5.24
cos152214212212
15122
1412
1031.1()sm1049.1( N)1000.5( N)1000.3(
m10 N)(1.311000.5()sm101.49 N)(1000.3(
°=
== ×+×−×+×−××+×−×−+
−−−−
θ
θ Faa F a F y y x x
37.55: a) J103.204eV1020 612 −×=×= K
,11
1
22
2
−
−=
cvmc K so
4
2210131.2
1
1×=
− cv
c
vc
c
vcvc
c
v
c
v )(2))((1;
)10131.2(
11
22
2
242
2 −=−+=−×
=− since cvc 2≈+
cv )1( ∆−= so ∆=− 21 22 cv and 9101.1 −×=∆
b) mm
cv
mm )101.2(
21
4
22rel ×=
∆=
−=
37.56: a) J.1020.7)sm1000.3)(10kg)(1.0000.8( 13284 ×=×× − b) W.101.80s)10(4.00J)1020.7()( 19613 ×=××=∆∆ −
t E
c) kg.1035.7m)1000.1)(sm(9.80
J)1020.7( 9
32
13
×=×
×=
∆=
gh
E M
7/30/2019 problemas capítulo 37
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-capitulo-37 12/26
37.57: Heat in J101.34)kgJ10kg)(3.3400.4( 65 ×=×== f mLQ
kg.1049.1)sm10(3.00
J)1034.1( 11
28
6
2
−×=××
==∆⇒c
Qm
37.58: a) ,)(
mc
E
m
c E
m
pv === where the atom and the photon have the same
magnitude of momentum, b).c E ,cmc
E v <<== so .2mc E <<
37.59: Speed in glass sm1097.152.1
8×===c
n
cv
eV.101.67MeV0.167MeV)511.0)(326.0()1(
326.11
1
52
22
×===−γ =⇒
=−
=γ
mc K
cv
37.60: a) sm0.80 is non-relativistic, and J.1862
1 2 == mv K
b) J.1031.1)1( 152 ×=−γ mc
c) In Eq. (37.23),.sm1014.7soand,sm1080.1,sm1020.2 788 ×=×−=×=′ vuv
d) m.6.13m0.20
=γ
e) s.1009.9sm102.20
m0.20 8
8
−×=×
f) s.1018.6sm102.20
m6.13or s,1018.6
8
8
8 −−
×=×=′×=γ =′ t t
t
37.61: 222t c x ′=′
( )222222)( cuxt cut x −γ =γ −⇒
.
)()(1
1
)(
222
2
t c x
ct xcut cu xcc
u x
cuxt cut x
=⇒
=⇒+=+=
+⇒
−=−⇒
37.62: a) From Eq. (37.37),
J.304)sm1000.3(
)sm10(3.00kg)0.90(
8
3
8
3
2
128
44
2
42 =
××
==−c
vmmv K
b) .1050.74
3
)21(
)83( 9
2
2
24−×=
=
c
v
mv
cmv
7/30/2019 problemas capítulo 37
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-capitulo-37 13/26
37.63: 2322 )1( cvm
F
dt
dva −==
∫ ∫ ==−
⇒t v
t m
F dt
m
F
cv
dv
00 2322))(1(
∫ =−
=−
=−
⇒cv
cv
t m
F
cv
v
x
xc
x
dxc0 2
0
2232)(1
1)1(
2
2
222
2 1
−
=
−
=⇒
mc
Ft v
m
Ft
c
v
m
Ft v
.)(1 2mc Ft
m Ft v
+=⇒ So as ., cvt →∞→
37.64: Setting 0= x in Eq. (37.21), the first equation becomes ut x γ −=′ and the last,
upon multiplication by ,c becomes .ct t c γ =′ Squaring and subtracting gives
,)(γ 2222222222 t ct ut c xt c =−=′−′or m.1053.4
822 ×=−′=′ t t c x
37.65: a) Want 12 t t t ′=′=′∆
( )
2
2222
2
2
2
2
1212
12
12222111
1γγ
,Since.)(
γAnd
γ)(γ)(
c
xt ct t
t c
xt
c
xut t
t xuc
x xut t t
t
x
t t
x xuut x xut x x
t x ∆−∆=−∆=′∆⇒
∆∆−∆=
∆−∆=′∆
∆∆=
−−−=′∆
∆∆
=−−
=⇒−=′=−=′
∆∆
There’s no physical solution for .t c xc
xt ∆≥∆⇒
∆<∆
b) Simultaneously2
222
110
c
uxt
c
uxt t −=−∴=′∆⇒
.2
2 t
t cu x
c
ut
∆∆
=⇒∆=∆⇒
Also
∆∆
−∆∆∆−
=∆−∆−
=′−′=′∆ x
t c x
xt ct u x
cu x x x
22
222212
1
1)(
)(1
1
.1222
2
22
t c x x x
t c x ∆−∆=′∆⇒
∆∆
−∆=
c) Part (b): s.1044.1m)50.2(m)00.5(1
)()(1 82222 −×=−=′∆−∆=∆
c x x
ct
7/30/2019 problemas capítulo 37
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37.66: a) m.1080.1)sm103.00s)(0.600)(100( 108 ×=× b) In Sebulbas frame,
the relative speed of the tachyons and the ship is ,40.3 c and so the time += s1002t
s.1183.4
m101.80 10
=×
cAt 2
t Sebulba measures that Watto is a distance from him of
m.1012.2)sm103.00s)(0.600)(118( 108 ×=× c) From Eq. (37.23), with ,43.2,600.0and00.4 cvcucv +==−=′ with the plus sign indicating a direction in
the same direction as Watto’s motion (that is, away from Sebulba). d) As the result of
part (c) suggests, Sebulba would see the tachyons moving toward Watto and hence 3t is
the time they would have left Sebulba in order to reach Watto at the distance found in
part
(b), or 118 s s,8943.2
m1012.2 10
=×
−c
and so Sebulba receives Watto’s message before
even sending it! Tachyons seem to violate causality.
37.67: Longer wavelength (redshift) implies recession. (The emitting atoms are moving
away.) Using the result of Ex. 37.26:1λ)λ (
1λ)λ (
0
2
0
+−
= cu
sm10071.13570.01)4.9533.656(
1)4.9533.656( 8
2
2
×−=−=
+−
=⇒ ccu
37.68: The baseball had better be moving non-relativistically, so the Doppler shift
formula (Eq. (37.25)) becomes )).(1(0 cu f f −≅ In the baseball’s frame, this is the
frequency with which the radar waves strike the baseball, and the baseball reradiates at f. But in the coach’s frame, the reflected waves are Doppler shifted again, so the detected
frequency is )(2so)),(21())(1())(1( 002
0 cu f f cu f cu f cu f =∆−≈−=− and the
fractional frequency shift is ).(20
cu f
f =
∆In this case,
h.mi5.92
hkm154sm42.9
m)1000.3(2
)1086.2(
2
87
0
=
==
××
=∆
=−
c f
f u
37.69: a) Since the two triangles are similar:.2
E mc A H =γ =γ =
b) .)( 22222 pcmc E A H O =−=−=c) .2mc E K −=
The kinetic energy can be obtained by the difference between the hypoteneuse andadjacent edge lengths.
7/30/2019 problemas capítulo 37
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37.70: a) As in the hint, both the sender and the receiver measure the same distance.
However, in our frame, the ship has moved between emission of successive wavefronts,
and we can use the time f T 1= as the proper time, with the result that .00 f f f >γ =
b) Toward: MHz930758.01
758.01MHz345
21
0 =
−+
=−+
=uc
uc f f
.MHz585MHz345MHz9300 =−=− f f
Away:
MHz.217
MHz128758.01
758.01MHz345
0
21
0
−=−
=
+−=
+−=
f f
uc
uc f f
c) .MHz183,MHz52853.1γ 000 =−== f f f f The shift is still bigger than
0 f , but not as large as the approaching frequency.
37.71: The crux of this problem is the question of simultaneity. To be “in the barn at one
time” for the runner is different than for a stationary observer in the barn.
The diagram below, at left, shows the rod fitting into the barn at time 0=t ,according to the stationary observer.
The diagram below, at right, is in the runner’s frame of reference.
The front of the rod enters the barn at time 1t and leaves the back of the barn at
time .2t
However, the back of the rod does not enter the front of the barn until the later
time .3t
7/30/2019 problemas capítulo 37
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37.72: In Eq. (37.23), ),(, ncvV u =′= and so
.)(1
)(
1
)(
2
ncV
V nc
nc
cV
V ncv
++
=+
+=
For V non-relativistic, this is
V nn
c
ncV nV V nc
ncV V ncv
−+≈
−−+=
−+≈
2
22
11
)()()(
))(1)()((
so .1
12
−=
nk For water, 333.1=n and .437.0=k
37.73: a) t d
dva
′=′ )( 2
cudxdt t d −γ =′
dvc
u
cuv
uv
cuv
dvvd
2222 )1()1( −−+
−=′
−−
+−
=′
2222.
)1(1
1
c
u
cuv
uv
cuvdv
vd
−−
=
−−
+−
=′∴22
22
22
2
2)1(
1
)1(
)(
1
1
cuv
cudv
cuv
cuuv
cuvdvvd
)1(γ
1.
)1(
)1(.
γ
)1(
)1(
222
22
2
22
22
cuvcuv
cu
dt
dv
cdxudt
cuv
cudv
a−−
−=
−−−
=′∴γ
.)1()1( 322322 −−−= cuvcua
b) Changing frames from S S →′ just involves changing =⇒′−→′→ avvaa ,
.1)1(
3
2
2322
−
′
+−′c
vucua
37.74: a) The speed v′ is measured relative to the rocket, and so for the rocket and its
occupant, .0=′v The acceleration as seen in the rocket is given to be , g a =′ and so the
acceleration as measured on the earth is
.1
23
2
2
−==
c
u g
dt
dua
b) With 01 =v when 0=t ,
7/30/2019 problemas capítulo 37
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.1
)1(
1
)1(
1
221
1
1
0 0 2322
2322
1 1
cv g
v
t
cu
du
g dt
cu
du
g dt
t v
−=
−=
−=
∫ ∫
c) ,1/ 22 cudt dt t d −=γ =′ so the relation in part (b) between dt and du,expressed in terms of t d ′ and du, is
.)1(
1
)1(1
1222232222 cu
du
g cu g
du
cudt t d
−=
−−=γ =′
Integrating as above (perhaps using the substitution cu z = ) gives
.arctanh 11
=′c
v
g
ct
For those who wish to avoid inverse hyperbolic functions, the above integral may be
done by the method of partial fractions;
−
++
=−+
=′uc
du
cu
du
cucu
dut gd
112
1
)1)(1(,
which integrates to
−+
=′1
1
1
cn1
2 vc
v
g
ct .
d) Solving the expression from part (c) for 1v in terms of ),tanh()(, 111 ct g cvt ′= so
that ),(cosh1)(1 12
1 ct g cv ′=− using the appropriate indentities for hyperbolic
functions. Using this in the expression found in part (b),
),sinh()cosh(1
)tanh(1
1
11 ct g g
c
ct g
ct g
g
ct ′=′
′=
which may be rearranged slightly as
.sinh 11
′
=c
t g
c
gt
If hyperbolic functions are not used, 1v in terms of 1t ′ is found to be
ct g ct g
ct g ct g
ee
ee
c
v′′−′
′−′
+
−=
11
111
1
which is the same as tanh( ct g 1′ ). Inserting this expression into the result of part (b)
gives, after much algebra,),(
211
1
ct g ct g ee
g
ct
′−′ −=
which is equivalent to the expression found using hyperbolic functions.
e) After the first acceleration period (of 5 years by Stella’s clock), the elapsed
time on earth is
yr.84.0s1065.2)sinh( 911 =×=′=′ ct g
g
ct
7/30/2019 problemas capítulo 37
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-capitulo-37 18/26
The elapsed time will be the same for each of the four parts of the voyage, so when Stella
has returned, Terra has aged 336 yr and the year is 2436. (Keeping more precision than is
given in the problem gives February 7 of that year.)
37.75: a) Hz10567710.4Hz10568910.4Hz10568110.4141414
0 ×=×=×= −+ f f f
))(())((
))(())((
)(
)(
)(
)(
2
0
2
2
0
2
0
0
vuc f vuc f
vuc f vuc f
f vuc
vuc f
f vuc
vuc f
−+=−−
++=+−⇒
⋅−−
−+=
⋅+−
++=
−
+
−
+
where u is the velocity of the center of mass and v is the orbital velocity.
c
f f
f f vu
1)(
1)()(
2
0
2
0
+
−=+⇒
+
+and c
f f
f f vu
1)(
1)()(
2
0
2
2
0
2
+
−=−
−
−
sm1063.2sm1025.5 44 ×−=−×=+⇒ vuvu
⇒×+=⇒ sm1031.1 4u moving toward at 13.1 s.km
b) days.0.11sm1094.3 4 =×= T v
distance.sun-earth0.040m1096.5
2
hr)sec(3600day)hrs(24days)(11.0s)m1094.3(2
9
4
≈×
=×
=⇒=⇒π
Rvt Rπ
Also the gravitational force between them (a distance of 2 R) must equal thecentripetal force from the center of mass:
.m0.279kg1055.5kgm N10672.6
s)m10m)(3.941096.5(4
4
)2(
)(
sun
29
2211
249
22
2
2
=×=⋅×××
==⇒=
−
G
Rvm
R
mv
R
Gm
37.76: For any function ),( t x f f = and ),,(),,( t xt t t x x x ′′=′′= let =′′ ),( t x F
)),(),,(( t xt t x x f ′′′′ and use the standard (but mathematically improper) notation
).,(),( t x f t x F ′′=′′ The chain rule is then
.),(),(),(
,),(),(),(
t
t
t
t x f
t
x
x
t x f
t
t x f
x
t
t
t x f
x
x
x
t x f
x
t x f
∂′
∂′∂′′∂
+∂′
∂′∂∂
=∂′′∂
∂′∂
′∂′′∂
+∂′∂
′∂∂
=∂
′′∂
In this solution, the explicit dependence of the functions on the sets of dependent
variables is suppressed, and the above relations are then
.t
t
t
f
t
x
x
f
t
f
∂′∂
′∂∂+
∂′∂
′∂∂=
∂∂
, x
t
t
f
x
x
x
f
x
f
∂′∂
′∂∂
+∂′∂
′∂∂
=∂∂
7/30/2019 problemas capítulo 37
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-capitulo-37 19/26
a) .and,,Then.1and0,,12
2
2
2
x
E
x
E
x
E
x
E
t
t
x
t v
t
x
x
x
′∂
∂=
∂
∂
′∂
∂=
∂
∂=
∂
′∂=
∂
′∂−=
∂
′∂=
∂
′∂
For the time derivative, .t
yE
x
E vt
f
′∂∂
+′∂∂
−=∂∂
To find the second time derivative, the
chain rule must be applied to both terms; that is,
.
,
2
22
2
2
2
t
E
t x
E v
t
E
t
xt
E
x
E v
x
E
t
′∂
∂+
′∂′∂
∂−=
′∂
∂
∂
∂
′∂′∂
∂+
′∂
∂−=
′∂
∂
∂
∂
Using these in ,2
2
t
E
∂
∂collecting terms and equating the mixed partial derivatives gives
2
22
2
2
2
2
2
2t
E
t x
E v
x
E v
t
E
′∂
∂+
′∂′∂
∂−
′∂
∂=
∂
∂
and using this and the above expression for 2
2
x
E
′∂
∂gives the result.
b) For the Lorentz transformation, .γand/,,γ 2 =∂′∂=
∂′∂=
∂′∂=
∂′∂
t t cv
xt v
t x
x x γ γ
The first partials are then
t
E
x
E v
t
E
t
E
c
v
x
E
x
E
′∂∂+
′∂∂−=
∂∂
′∂∂−
′∂∂=
∂∂
γγ,γγ2
and the second partials are (again equating the mixed partials)
.γ2γγ
γ2γγ
22
2
22
2
222
2
2
2
2
2
2
2
4
22
2
22
2
2
t x
E v
t
E
x
E v
t
E
t x
E
c
v
t
E
c
v
x
E
x
E
′∂′∂
∂−
′∂
∂+
′∂
∂=
∂
∂
′∂′∂
∂−
′∂
∂+
′∂
∂=
∂
∂
Substituting into the wave equation and combining terms (note that the mixed
partials cancel),
7/30/2019 problemas capítulo 37
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.0
1
11γ
1
2
2
22
2
2
2
24
22
2
2
2
22
2
2
22
2
=′∂
∂−′∂
∂=
′∂∂
−+
′∂∂
−=
∂∂
−∂∂
t
E
c x
E
t
E
cc
v
x
E
c
v
t
E
c x
E γ
37.77: a) In the center of momentum frame, the two protons approach each other with
equal velocities (since the protons have the same mass). After the collision, the two protons
are at rest─but now there are kaons as well. In this situation the kinetic energy of the
protons must equal the total rest energy of the two kaons ⇒=−⇒ 22
cm 2)1γ(2 cmcm k p
.526.11γcm =+= p
k
m
mThe velocity of a proton in the center of momentum frame is then
.7554.0γ
1γ2
cm
2
cmcm ccv =
−=
To get the velocity of this proton in the lab frame, we must use the Lorentz
velocity transformations. This is the same as “hopping” into the proton that will be our target and asking what the velocity of the projectile proton is. Taking the lab frame to be
the unprimed frame moving to the left, cmcmand vvvu =′= (the velocity of the projectile
proton in the center of momentum frame).
.MeV2494)1γ(
658.3
1
1γ
9619.0
1
2
1
2
lablab
2
2
lab
lab
2
2
cm
cm
2
lab
=−=⇒
=
−
=⇒
=+
=′
++′=
cm K
c
v
c
c
v
v
c
vuuvv
p
b) .526.2MeV)7.493(2
MeV2494
2
lab ==k m
K
c) The center of momentum case considered in part (a) is the same as this
situation. Thus, the kinetic energy required is just twice the rest mass energy of the kaons.MeV.987.4MeV)7.493(2cm == K This offers a substantial advantage over the fixed
target experiment in part (b). It takes less energy to create two kaons in the proton center
of momentum frame.
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Problemas de Relatividad Especial
http://www.fisica-relatividad.com.ar/problemas
Si no se indica lo contrario, asuma que todos los sistemas de referencia son
inerciales
(Nota: Se están incorporando las respuestas y algunas soluciones completas).
1. ¿Cuál ha de ser la velocidad relativa de dos observadores inerciales para que sus
medidas de intervalos de tiempo difieran en 1% ?(Respuesta: V=0.99995 c). Solución
2. El período propio de vida de un mesón pi es de 2.6x10-8 seg . Si un haz de estas partículas tiene una velocidad de 0.9 c, indicar:
a. ¿Cuál es el período de vida de esos mesones con respecto al laboratorio?
(Rta.: 5.96x10-8 seg )b. ¿Qué distancia recorren en el laboratorio antes de desintegrarse?
(Rta.: 16.1 m)
3. En el caso de los mesones pi considerados en el ejercicio anterior, indicar qué distanciahabrá recorrido el laboratorio en el sistemas de referencia de los mesones.
(Rta.: 7.02 m)
4. ¿Cuántas veces aumentará la vida de una partícula inestable (para un observador en
reposo), si se mueve a una velocidad 0.99 c ?
(Rta.: T´/ T 0= 7.09)
5. Un avión vuela a 3x10-6 c (3240 Km/h). Asumiendo que la Tierra fuera un sistema
inercial, indicar:a. ¿En qué proporción se verá contraída la longitud del avión con respecto a la
Tierra?b. ¿Durante un año medido en tierra (3.16x107 seg ), qué intervalo de tiempo marcará
el reloj del avión?
(Rta: No se detectarán cambios, ni de longitud ni de tiempo)
6. Demuestre que si un fenómeno es causal no puede existir un sistema de referencia en
el cual el orden de los sucesos esté invertido.
(Solución en la última parte del capítulo de Simultaneidad)
7. Dos naves espaciales se aproximan desde posiciones opuestas en un sistema inercial.
Si la velocidad de cada una de ellas es de 0,9 c, calcule la velocidad relativa entre
las naves.(Rta.: Vel rel = - 0.994 c) Solución
8. Un haz luminoso se mueve a lo largo del eje y’ del sistema inercial S’ con velocidad c.S’ se está moviendo con respecto a S según el eje x con una velocidad V constante. Se
pide:
a. Hallar las componentes v x y v y del haz con respecto a S.(Rta.: v x= V v y= [c2-V 2 ]1/2)
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b. Demostrar que la velocidad de la luz con respecto a S es c.
(Rta.: c2 = v x2 + v y
2)
9. Un cuerpo se mueve a una velocidad v3 = 0.9 c a lo largo del eje x” de un sistema
inercial S”. S” se mueve hacia la derecha a una velocidad v2 = 0.9 c sobre el eje x’ de un
sistema S’, y S’se mueve hacia la derecha a una velocidad v1 = 0.9 c sobre el eje x de unsistema S.
Se pide hallar la velocidad del cuerpo con respecto a S.
(Rta.: v = 0.9997 c)
10. Dos naves espaciales de 100 m de longitud propia se mueven en sentido opuesto a
velocidad 0.8 c respecto a la Tierra (suponga el sistema inercial). Se pide:
a. Indicar que longitud tiene cada nave con respecto a la otra.(Rta.: L' = 21.95 m)
b. En el instante t = 0, medido en Tierra, las proas de las naves se cruzan.
Calcular la diferencia de tiempo que marcará el reloj de la Tierra cuando se crucen sus popas.
(Rta.: T = 2.5x10-7 seg )
11. Un tren cuya longitud propia es de 1200 m pasa a gran velocidad por una estación
cuyo andén mide 900 m, y el jefe de la estación observa que al pasar el tren ocupa
exactamente toda la longitud del andén. Se pide calcular la velocidad del tren.(Rta.: 0.66 c)
12. Una nave espacial pasa frente a la Tierra (suponga inercial el sistema) a una velocidadv = 0.6 c. En ese instante un observador en la Tierra y el tripulante de la nave ponensimultáneamente sus relojes en cero. Cuando el tripulante de la nave lea 60 seg en su
reloj mandará una señal luminosa hacia la Tierra. Cuando el observador de la Tierra
reciba la señal, a su vez mandará hacia la nave una señal de confirmación. Se pide:a. ¿A qué hora según él reloj de la Tierra llega la señal de la nave?
(Rta.: 120 seg )b. ¿A qué hora según el reloj de la nave recibirá la señal de confirmación?
(Rta.: 240 seg )
13. Sea un tren que camina a una velocidad V con respecto a la Tierra. Sobre los
extremos del tren caen rayos que dejan marcas P’ y Q’ sobre él, y P y Q sobre la Tierra.Un observador O que esté sobre la Tierra a mitad de camino entre P y Q ve caer los rayos
en forma simultánea. Indicar si ocurrirá o no lo propio para un observador O’ situado en
el punto medio del tren (ejemplo propuesto por Einstein). Solución
14. Sea un sistema S en el cual ocurren dos sucesos E1 y E2 (fenómeno causal).E1 determina a E2, y por lo tanto t 1< t 2. Demostrar que según un sistema S’ cualquiera que
se mueve con respecto a S hacia la derecha con una velocidad V , E1 y E2 ocurrirán en
instantes t’ 1 y t’ 2, siendo t’ 1 < t’ 2. Solución en la última parte del capítulo de Simultaneidad
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15. Un electrón se mueve a una velocidad v = 1.8 x 108 m/seg con respecto a un
observador inercial. Indicar:
a. Su masa. (Rta.: m=1.25 m0=1.14x10-30 Kg ) b. Su energía cinética. (Rta.: 0.128 Mev)
c. Su energía total. (Rta.: 0.638 Mev)
16. Un protón es acelerado hasta que su energía cinética es igual a su energía en reposo
(938,28 MeV ).Hallar la relación v/c. (Rta.: 0.866 El dato de la energía en reposo noes necesario)
17. Un electrón es acelerado hasta que su energía cinética es 1000 MeV. Indicar:
a. La relación m/mo. (Rta.: 1958)b. La relación v/c. (Rta.: 0.999...)
18. ¿Qué potencial eléctrico constante debe usarse para llevar un protón a la velocidad0.6 c?. ¿Cuál será su energía total?. ¿Cuál será su energía cinética?. ¿Cuál será su
cantidad de movimiento?.(Rta.: E TOTAL=1172.85 MeV ; E CINÉTICA=234.57 MeV ; V=2.34x108 Volts; p=3.75x10-
19 Kg m/seg )
19. Indicar el trabajo necesario para llevar un electrón de la velocidad 0.6 c a la velocidad0,9 c.
(Rta.: W=0.533 MeV )
20. Cuánta energía en MeV es necesaria para llevar la masa de un electrón al doble de sumasa en reposo?
(Rta.: Energía necesaria=0.511 MeV )Indicar:
a. La velocidad del electrón. (Rta.: 0.86 c)b. Su energía cinética. (Rta.: 0.511 MeV )
21. En un sistema inercial actúa una fuerza constante F sobre un cuerpo inicialmente en
reposo, durante un tiempo t . Demostrar que se cumple p = F t (Rta.: Usar definición de fuerza e integrar )
22. Una partícula de masa mo en reposo tiene una energía total E. Mostrar que la
velocidad de dicha partícula es:
(Rta.: Usar Principio de Equivalencia y masa relativista)
23. Indicar la cantidad de movimiento de un electrón cuya energía cinética es de 1 MeV .(Rta.: p=7.58x10-22 Kg m/seg )
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24. ¿Cuál es la velocidad de un electrón que ha sido acelerado por una diferencia de
potencial de 105 KVolts?
25. ¿Cuál es la energía cinética de un electrón cuya cantidad de movimiento es de 2 MeV/c ?
26. Calcular la cantidad de movimiento de un electrón cuya velocidad es 0,8 c.
27. La masa en reposo de un muón es de 105 MeV/c2 y su tiempo de vida media es de2x10-6 seg . Calcular la masa del muón en movimiento, referida al laboratorio, si su
tiempo de vida media medida es 7x10-6 seg . Calcular la velocidad del muón.
28. En el sistema S un electrón se mueve hacia la derecha a una velocidad 0.6 c. Unobservador se mueve a una velocidad 0.8 c en la misma dirección y sentido que el
electrón. Indicar la energía del electrón que mediría el observador.
29. Un fotón gamma tiene una energía de 6 MeV . Determine su cantidad de movimiento.
30. Un cuerpo tiene una masa m y una velocidad v según un sistema inercial S. Indicar lamasa que tendrá según un sistema S’ que se desplaza con velocidad V constante hacia la
derecha con respecto a S.
31. Un cuerpo de masa mo en reposo se desplaza con velocidad 0.8 c en el sentido
positivo del eje x del sistema inercial S, y choca plásticamente con un cuerpo de masa 3mo, en reposo sobre el eje x de S. Indicar la masa del cuerpo unificado resultante del
choque, su masa en reposo y su velocidad.
32. En un tubo de rayos X un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de0,2x105 Volt .Indicar la cantidad de movimiento de este electrón después de sufrir dicha aceleración.
33. La longitud de una varilla con 10 MeV de energía total se contrae 6.2 % con respectoa su longitud propia. Se pide hallar:
a. Su masa en reposo.
b. Su velocidad.
c. Su energía cinética.
34. Un mesón cuya energía en reposo es de 140 MeV se creó a 100Km sobre el nivel del
mar y se mueve verticalmente hacia abajo. Tiene una energía total de 1,5x105 MeV y sedesintegra en 2,6x10-8 seg según su propio sistema de referencia. Indicar a que altura
sobre el nivel del mar tendrá lugar la desintegración del mesón.
35. Sean dos partículas idénticas que se mueven en sentido contrario y velocidad v con
respecto a un sistema inercial. Si su masa en reposo es mo, se pide indicar:
a. La energía total del sistema, su cantidad de movimiento y la energía cinética decada partícula.
b. La energía total del sistema y la energía cinética de cada partícula desde el punto
de vista de un observador situado en una de las partículas.
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36. Sean dos partículas idénticas cuya masa en reposo sea mo y que se desplazan con
respecto al sistema inercial S según el eje x con velocidades v y -2v respectivamente.
Indicar:a. La energía total del conjunto, su cantidad de movimiento y la energía cinética de
cada partícula.
b. Idem a) pero para un observador situado en la partícula con velocidad v.
37. Sea un triángulo rectángulo de 6 m de base y 8 m de altura, tal como se indica en la
figura adjunta. Este triángulo es solidario con un sistema S’ que se mueve a unavelocidad 0.8 c según el eje x de un sistema S. Se pide indicar la superficie de dicho
triángulo según S’ y según S.
38. Sean dos sucesos E1 y E2 que ocurren en puntos separados sobre el eje x de un sistema
inercial S. E1 se produce antes que E2. Analizar que condiciones deben cumplirse para
que en otro sistema de referencia S’, E2 se produzca antes que E1.
39. Sean tres partículas idénticas de masa mo en reposo, que con respecto a un sistema S
tienen velocidades tales como está indicado en la figura adjunta.
A. Se pide indicar para un observador situado en S:
a. La energía total del sistema.
b. La cantidad de movimiento del sistema.c. La energía cinética de cada partícula.
B. Lo mismo para un observador en B.
40. Un fotón gamma de 4 Mev se aniquila creando un par electrón positrón. Determinar:
a. La energía cinética de cada partícula.
b. El ángulo de salida entre electrón y positrón.
41. Un observador inercial nota que dos naves espaciales se aproximan entre sí en una
misma dirección, y hacia él. La velocidad de ambas naves con respecto al observador esde 0.8 c y están separadas por 600000 Km para el observador. Se pide averiguar:
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a. En cuanto tiempo, según el observador, chocarán ambas naves.
b. La velocidad de cada nave con respecto al piloto de la otra nave.
c. El tiempo que tiene el piloto de una de las naves para evitar una colisión.