7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 225
Cuprins1 Elemente de logică matematică 1
11 Propoziţii 112 Predicate 6
13 Mulţimi 914 Inducţia matematică 12
2 Numere reale 1721 Numere reale 1722 Puteri 2523 Radicali 28
24 Logaritmi 323 Şiruri progresii 37
31 Şiruri 3732 Progresii aritmetice 4233 Progresii geometrice 45
4 Funcţii 49
41 Noţiunea de funcţie 4942 Operaţii cu funcţii numerice 5243 Proprietăţile funcţiilor 6644 Funcţii bijective 7545 Graficul unei funcţii 8746 Graficul şi proprietăţile funcţiei 91
5 Funcţii numerice ecuaţii 10351 Funcţia de gradul icircntacirci 10352 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul icircntacirci 10853 Funcţia de gradul al doilea 11354 Ecuaţii de gradul al doilea 12255 Funcţia putere cu exponent
natural 13056 Funcţia putere cu exponent
negativ 13457 Funcţia radical 138
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 325
58 Ecuaţii iraţionale 14259 Funcţia exponenţială 146510 Ecuaţii exponenţiale 149511 Funcţia logaritmică 155512 Ecuaţii logaritmice 160513 Funcţia sinus 170514 Funcţia arcsinus 175515 Funcţia cosinus 180516 Funcţia arccosinus 183517 Funcţia tangentă 188518 Funcţia arctangentă 191519 Funcţia cotangentă 194520 Funcţia arccotangentă 197
6 Numere complexe 20161 Mulţimea numerelor complexe 20162 Forma algebrică 20463 Reprezentarea geometrică 20964 Forma trigonometrică 21565 Rădăcinile de ordinul n 22266 Ecuaţii binome şi bicvadratice 224
7 Elemente de combinatorică 22771 Reguli generale ale
combinatoricii 22772 Permutări 23373 Grupul Sn 23474 Aranjamente 24375 Combinări 24476 Binomul lui Newton 246
8 Statistică şi probabilităţi 24981 Matematică financiară 24982 Elemente de statistică matematică 25383 Calculul probabilităţilor 258
9 Matrice şi determinanţi 264
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 425
91 Matrice 26492 Determinanţi 27393 Aplicaţii ale determinanţilor
icircn geometrie 28294 Matrice inversabile 28495 Rangul unei matrice 287
10 Sisteme de ecuaţii liniare 29211 Structuri algebrice 302
111 Legi de compoziţie 302112 Grupuri 319113 Subgrupuri 325
114 Morfisme de grupuri 328115 Inele şi corpuri 332
12 Polinoame 337121 Inel de polinoame 337122 Forma algebrică a unui polinom 338
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 525
1 Elemente de logicămatematică
11 Propoziţii
Definiţie Se numeşte propoziţie un enunţ declara-tiv despre care se poate decide dacă este adevărat saufalsObservaţie O propoziţie nu poate fi icircn aceeaşi timp şi
adevărată şi falsăDefiniţie Unei propoziţii icirci putem atribui una din celedouă valori de adevăr ldquo1rdquo sau ldquo0rdquo dacă propoziţia esteadevărată valoarea sa de adevăr este 1 iar valoareade adevăr a unei propoziţii false este 0 (ldquo1rdquo şi ldquo0rdquo suntsimboluri nu reprezintă numere)
Notaţie Propoziţiile se notează cu literele micipqr
Exemplu Sunt propoziţii ldquoIcircn fiecare pătrat există un unghidreptrdquo- propoziţie adevărată valoarea sa de adevăr este 1ldquosuma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu
110
rdquo-falsă valoarea sa de adevăr este 0ldquoIcircntr-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegalărdquo-adevărată valoarea sa de adevăr este 1
Nu sunt propoziţii (icircn sensul logicii matematice) ldquox+3=10rdquo- nu se poate decide dacă este advărată sau falsă pentrux=7 propoziţia ldquo7+3=10rdquo este adevărată iar pentru
alte valori ale lui x propoziţia este falsăldquoIcircntr-un triunghi laturile sunt congruenterdquo- icircn cazul triun-ghiului echilateral propoziţia este adevărată icircn alte cazurieste falsă
1
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 625
Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată
Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0
Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo
Negaţia unei propoziţii
Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo
Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată
Tabelul de advăr al lui
pandqp q pandq
0 0 00 1 01 0 01 1 1
numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-
ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo
Conjuncţia propoziţiilor
2
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 225
Cuprins1 Elemente de logică matematică 1
11 Propoziţii 112 Predicate 6
13 Mulţimi 914 Inducţia matematică 12
2 Numere reale 1721 Numere reale 1722 Puteri 2523 Radicali 28
24 Logaritmi 323 Şiruri progresii 37
31 Şiruri 3732 Progresii aritmetice 4233 Progresii geometrice 45
4 Funcţii 49
41 Noţiunea de funcţie 4942 Operaţii cu funcţii numerice 5243 Proprietăţile funcţiilor 6644 Funcţii bijective 7545 Graficul unei funcţii 8746 Graficul şi proprietăţile funcţiei 91
5 Funcţii numerice ecuaţii 10351 Funcţia de gradul icircntacirci 10352 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul icircntacirci 10853 Funcţia de gradul al doilea 11354 Ecuaţii de gradul al doilea 12255 Funcţia putere cu exponent
natural 13056 Funcţia putere cu exponent
negativ 13457 Funcţia radical 138
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 325
58 Ecuaţii iraţionale 14259 Funcţia exponenţială 146510 Ecuaţii exponenţiale 149511 Funcţia logaritmică 155512 Ecuaţii logaritmice 160513 Funcţia sinus 170514 Funcţia arcsinus 175515 Funcţia cosinus 180516 Funcţia arccosinus 183517 Funcţia tangentă 188518 Funcţia arctangentă 191519 Funcţia cotangentă 194520 Funcţia arccotangentă 197
6 Numere complexe 20161 Mulţimea numerelor complexe 20162 Forma algebrică 20463 Reprezentarea geometrică 20964 Forma trigonometrică 21565 Rădăcinile de ordinul n 22266 Ecuaţii binome şi bicvadratice 224
7 Elemente de combinatorică 22771 Reguli generale ale
combinatoricii 22772 Permutări 23373 Grupul Sn 23474 Aranjamente 24375 Combinări 24476 Binomul lui Newton 246
8 Statistică şi probabilităţi 24981 Matematică financiară 24982 Elemente de statistică matematică 25383 Calculul probabilităţilor 258
9 Matrice şi determinanţi 264
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 425
91 Matrice 26492 Determinanţi 27393 Aplicaţii ale determinanţilor
icircn geometrie 28294 Matrice inversabile 28495 Rangul unei matrice 287
10 Sisteme de ecuaţii liniare 29211 Structuri algebrice 302
111 Legi de compoziţie 302112 Grupuri 319113 Subgrupuri 325
114 Morfisme de grupuri 328115 Inele şi corpuri 332
12 Polinoame 337121 Inel de polinoame 337122 Forma algebrică a unui polinom 338
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 525
1 Elemente de logicămatematică
11 Propoziţii
Definiţie Se numeşte propoziţie un enunţ declara-tiv despre care se poate decide dacă este adevărat saufalsObservaţie O propoziţie nu poate fi icircn aceeaşi timp şi
adevărată şi falsăDefiniţie Unei propoziţii icirci putem atribui una din celedouă valori de adevăr ldquo1rdquo sau ldquo0rdquo dacă propoziţia esteadevărată valoarea sa de adevăr este 1 iar valoareade adevăr a unei propoziţii false este 0 (ldquo1rdquo şi ldquo0rdquo suntsimboluri nu reprezintă numere)
Notaţie Propoziţiile se notează cu literele micipqr
Exemplu Sunt propoziţii ldquoIcircn fiecare pătrat există un unghidreptrdquo- propoziţie adevărată valoarea sa de adevăr este 1ldquosuma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu
110
rdquo-falsă valoarea sa de adevăr este 0ldquoIcircntr-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegalărdquo-adevărată valoarea sa de adevăr este 1
Nu sunt propoziţii (icircn sensul logicii matematice) ldquox+3=10rdquo- nu se poate decide dacă este advărată sau falsă pentrux=7 propoziţia ldquo7+3=10rdquo este adevărată iar pentru
alte valori ale lui x propoziţia este falsăldquoIcircntr-un triunghi laturile sunt congruenterdquo- icircn cazul triun-ghiului echilateral propoziţia este adevărată icircn alte cazurieste falsă
1
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 625
Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată
Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0
Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo
Negaţia unei propoziţii
Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo
Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată
Tabelul de advăr al lui
pandqp q pandq
0 0 00 1 01 0 01 1 1
numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-
ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo
Conjuncţia propoziţiilor
2
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 325
58 Ecuaţii iraţionale 14259 Funcţia exponenţială 146510 Ecuaţii exponenţiale 149511 Funcţia logaritmică 155512 Ecuaţii logaritmice 160513 Funcţia sinus 170514 Funcţia arcsinus 175515 Funcţia cosinus 180516 Funcţia arccosinus 183517 Funcţia tangentă 188518 Funcţia arctangentă 191519 Funcţia cotangentă 194520 Funcţia arccotangentă 197
6 Numere complexe 20161 Mulţimea numerelor complexe 20162 Forma algebrică 20463 Reprezentarea geometrică 20964 Forma trigonometrică 21565 Rădăcinile de ordinul n 22266 Ecuaţii binome şi bicvadratice 224
7 Elemente de combinatorică 22771 Reguli generale ale
combinatoricii 22772 Permutări 23373 Grupul Sn 23474 Aranjamente 24375 Combinări 24476 Binomul lui Newton 246
8 Statistică şi probabilităţi 24981 Matematică financiară 24982 Elemente de statistică matematică 25383 Calculul probabilităţilor 258
9 Matrice şi determinanţi 264
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 425
91 Matrice 26492 Determinanţi 27393 Aplicaţii ale determinanţilor
icircn geometrie 28294 Matrice inversabile 28495 Rangul unei matrice 287
10 Sisteme de ecuaţii liniare 29211 Structuri algebrice 302
111 Legi de compoziţie 302112 Grupuri 319113 Subgrupuri 325
114 Morfisme de grupuri 328115 Inele şi corpuri 332
12 Polinoame 337121 Inel de polinoame 337122 Forma algebrică a unui polinom 338
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 525
1 Elemente de logicămatematică
11 Propoziţii
Definiţie Se numeşte propoziţie un enunţ declara-tiv despre care se poate decide dacă este adevărat saufalsObservaţie O propoziţie nu poate fi icircn aceeaşi timp şi
adevărată şi falsăDefiniţie Unei propoziţii icirci putem atribui una din celedouă valori de adevăr ldquo1rdquo sau ldquo0rdquo dacă propoziţia esteadevărată valoarea sa de adevăr este 1 iar valoareade adevăr a unei propoziţii false este 0 (ldquo1rdquo şi ldquo0rdquo suntsimboluri nu reprezintă numere)
Notaţie Propoziţiile se notează cu literele micipqr
Exemplu Sunt propoziţii ldquoIcircn fiecare pătrat există un unghidreptrdquo- propoziţie adevărată valoarea sa de adevăr este 1ldquosuma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu
110
rdquo-falsă valoarea sa de adevăr este 0ldquoIcircntr-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegalărdquo-adevărată valoarea sa de adevăr este 1
Nu sunt propoziţii (icircn sensul logicii matematice) ldquox+3=10rdquo- nu se poate decide dacă este advărată sau falsă pentrux=7 propoziţia ldquo7+3=10rdquo este adevărată iar pentru
alte valori ale lui x propoziţia este falsăldquoIcircntr-un triunghi laturile sunt congruenterdquo- icircn cazul triun-ghiului echilateral propoziţia este adevărată icircn alte cazurieste falsă
1
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 625
Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată
Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0
Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo
Negaţia unei propoziţii
Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo
Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată
Tabelul de advăr al lui
pandqp q pandq
0 0 00 1 01 0 01 1 1
numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-
ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo
Conjuncţia propoziţiilor
2
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 425
91 Matrice 26492 Determinanţi 27393 Aplicaţii ale determinanţilor
icircn geometrie 28294 Matrice inversabile 28495 Rangul unei matrice 287
10 Sisteme de ecuaţii liniare 29211 Structuri algebrice 302
111 Legi de compoziţie 302112 Grupuri 319113 Subgrupuri 325
114 Morfisme de grupuri 328115 Inele şi corpuri 332
12 Polinoame 337121 Inel de polinoame 337122 Forma algebrică a unui polinom 338
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 525
1 Elemente de logicămatematică
11 Propoziţii
Definiţie Se numeşte propoziţie un enunţ declara-tiv despre care se poate decide dacă este adevărat saufalsObservaţie O propoziţie nu poate fi icircn aceeaşi timp şi
adevărată şi falsăDefiniţie Unei propoziţii icirci putem atribui una din celedouă valori de adevăr ldquo1rdquo sau ldquo0rdquo dacă propoziţia esteadevărată valoarea sa de adevăr este 1 iar valoareade adevăr a unei propoziţii false este 0 (ldquo1rdquo şi ldquo0rdquo suntsimboluri nu reprezintă numere)
Notaţie Propoziţiile se notează cu literele micipqr
Exemplu Sunt propoziţii ldquoIcircn fiecare pătrat există un unghidreptrdquo- propoziţie adevărată valoarea sa de adevăr este 1ldquosuma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu
110
rdquo-falsă valoarea sa de adevăr este 0ldquoIcircntr-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegalărdquo-adevărată valoarea sa de adevăr este 1
Nu sunt propoziţii (icircn sensul logicii matematice) ldquox+3=10rdquo- nu se poate decide dacă este advărată sau falsă pentrux=7 propoziţia ldquo7+3=10rdquo este adevărată iar pentru
alte valori ale lui x propoziţia este falsăldquoIcircntr-un triunghi laturile sunt congruenterdquo- icircn cazul triun-ghiului echilateral propoziţia este adevărată icircn alte cazurieste falsă
1
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 625
Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată
Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0
Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo
Negaţia unei propoziţii
Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo
Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată
Tabelul de advăr al lui
pandqp q pandq
0 0 00 1 01 0 01 1 1
numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-
ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo
Conjuncţia propoziţiilor
2
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 525
1 Elemente de logicămatematică
11 Propoziţii
Definiţie Se numeşte propoziţie un enunţ declara-tiv despre care se poate decide dacă este adevărat saufalsObservaţie O propoziţie nu poate fi icircn aceeaşi timp şi
adevărată şi falsăDefiniţie Unei propoziţii icirci putem atribui una din celedouă valori de adevăr ldquo1rdquo sau ldquo0rdquo dacă propoziţia esteadevărată valoarea sa de adevăr este 1 iar valoareade adevăr a unei propoziţii false este 0 (ldquo1rdquo şi ldquo0rdquo suntsimboluri nu reprezintă numere)
Notaţie Propoziţiile se notează cu literele micipqr
Exemplu Sunt propoziţii ldquoIcircn fiecare pătrat există un unghidreptrdquo- propoziţie adevărată valoarea sa de adevăr este 1ldquosuma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu
110
rdquo-falsă valoarea sa de adevăr este 0ldquoIcircntr-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegalărdquo-adevărată valoarea sa de adevăr este 1
Nu sunt propoziţii (icircn sensul logicii matematice) ldquox+3=10rdquo- nu se poate decide dacă este advărată sau falsă pentrux=7 propoziţia ldquo7+3=10rdquo este adevărată iar pentru
alte valori ale lui x propoziţia este falsăldquoIcircntr-un triunghi laturile sunt congruenterdquo- icircn cazul triun-ghiului echilateral propoziţia este adevărată icircn alte cazurieste falsă
1
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 625
Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată
Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0
Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo
Negaţia unei propoziţii
Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo
Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată
Tabelul de advăr al lui
pandqp q pandq
0 0 00 1 01 0 01 1 1
numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-
ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo
Conjuncţia propoziţiilor
2
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 625
Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată
Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0
Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo
Negaţia unei propoziţii
Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo
Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată
Tabelul de advăr al lui
pandqp q pandq
0 0 00 1 01 0 01 1 1
numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-
ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo
Conjuncţia propoziţiilor
2
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 725
Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai
Tabelul de advăr al lui
porqp q porq
0 0 00 1 11 0 11 1 1
atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q
sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo
Disjuncţia propoziţiilor
Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici
notorand se pot crea propoziţii compuse
Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun
3
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 825
3 Şiruri progresii
31 Şiruri
Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N
lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea
ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-
rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale
Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang
n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară
cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său
recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)
Moduri de definire a unui şir
37
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 925
Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct
xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123
S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11
Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast
astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109
7 isinN
lowast Deci 99 nu face
parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133
7 =19isinN
lowast Deci 123 este termenul de
rang 19
Problemă Fie şirul (xn )n
ge1 definit prin relaţia de
recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se
scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3
x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN
lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN
lowast
I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo
II Presupunem că xk
=2k
minus1 şi demonstrăm că
xk+1 =2k +1minus1
38
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1025
xk+1rec
= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=
=2k+1 minus1
Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN
lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi
numai dacă există un număr real M gt0
astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast
Şiruri mărginite
Problemă Să se demonstreze că şirul (an )
an =n+2
2n+3este mărginit
S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35
a2 = 47
a3 = 59
Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici
decacirct 1
an lt1hArr n+2
2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr
hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1
Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin
[minus
52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit
S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]
39
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1125
forallnisinNlowast
Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN
Definiţie Şirul (an ) este
crescător dacă forallnisinNlowast
an lean+1
strict crescător dacă
foralln
isinN
lowast
an ltan+1
descrescător dacă forallnisinNlowast
an gean+1
strict descrescător dacăforallnisinNlowast
an gtan+1
Definiţie Şirul (an ) este
monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător
strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător
Şiruri monotone
Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător
Şirul (bn ) bn =
983131n
3
983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a
lui A) este crescător
Şirul (xn )nisinNlowast xn =
1
neste strict descrescător
40
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1225
4 Funcţii
41 Noţiunea de funcţie
Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va
lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie
x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-
nea elementului x din A prin funcţia f rdquo
Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-
erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că
3 f
rarr7isin
B
Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea
ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia
y
21 =y
22 =1 Relaţia Ararr
R+ ldquox rarry unde y
2=
xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2
49
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1325
Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia
f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC
se numeşte restricţia lui f la mulţimea C
Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789
x g
rarrx+4 Domeniul lui g este
123
codo-
meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6
O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-
nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)
Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR
x grarrradic
x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-
ile coincid iar |x|=radic
x2
forallxisinR
50
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1425
Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente
diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei
Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate
funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule
(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-
sive
Modalităţi de a defini o funcţie
Exemplu
Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care
A=263 B =abcd2 f rarrc 3
f rarrc
6 f
rarrd
2
6
3
a
b
c
d
51
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1525
Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11
defineşte
funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-
meniul este B =211 2 grarr11 3
grarr2 4 grarr11
Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-
domeniul este B =345 şi a hrarr3 b
hrarr4 c hrarr4
d hrarr5
Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază
numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=
112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin
(0
infin)
42 Operaţii cu funcţii numerice
Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR
g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA
Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor
Adunarea funcţiilor
52
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1625
5 Funcţii numerice ecuaţii
51 Funcţia de gradul icircntacirci
Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci
Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă
Dacă agt0
x
y
O
minus ba
b
Dacă alt0
x
y
O
minus
ba
b
f (x)xminusinfin minusb
a+infin
dacă agt0minusinfinminus
minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin
Tabelul de variaţie şi de semn
Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R
rarrR f (x)=ax+b a
=0 Atunci
(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)
o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080
a2983081
fiind po-
103
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1725
zitiv f este strict crescătoare
Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR
f (x)=(3
minusm2 )x+3
S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv
3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3
radic 3)
Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(
minus3
minus18)
S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr
hArr983163
2a+b =7minus3a+b =minus18
hArr983163
a =5b =minus3
Deci f RrarrR f (x)=5xminus3
Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0
Imaginea lui f Imf =R
Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =
852091983080minus b
a0983081852093
Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru
de simetrie O
dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci
104
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1825
Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b
Mărginire nu este mărginită
Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR
Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin
852059minusb
a
infin983081
f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b
a
983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080
minusinfinminus ba
983081
f (x)lt0hArr
x
isin852059minusb
a
infin983081Bijectivitate f este bijectivă
Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb
a
Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)
Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă
105
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 1925
54 Ecuaţii de gradul al doilea
Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al
doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei
dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură
soluţie reală (două soluţii egale)
x12 =minusb
2a
dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte
x1 =minusb+
radic ∆
2a
x2 =minusbminusradic
∆
2a
Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile
ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci
ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )
Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia
3x2 minus5x+2=0
SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii
122
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2025
x1 =minus(minus5)+radic 1
2middot3=1
x2 =minus(minus5)minusradic
1
2
middot3
=2
3
Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală
mx2 minus(m+3)x+4=0
S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=
0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1
Teoremă
Fie x1
şi x2
soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 Atunci
S =x1 +x2 =minusb
a P =x1 middotx2 =
c
a
Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei
ax2 +bx+c=0 atuncix2
1 +x22 =S2 minus2P
1
x1
+1
x2
=S
P
x3
1+x3
2=S
middot(S2
minus3P )
1
x21
+1
x22
=S2 minus2P
P 2
Relaţiile lui Vieacutete
123
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2125
Cu notaţia Sn =xn
1
+xn
2
n
isinN avem relaţia
de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3
Relaţiile lui Vieacutete (continuare)
Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze
x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde
x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5
x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6
Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn
2 nge3 cal-
culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S
=x
2
1 +x
2
2Sn =x
n
1 +x
n
2 S1 =3 S2 =x2
1 +x22 =S2 minus2P =5
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr
x2 soluţierArrx22 minus3x2 +1=0 |middotx2 rArr
rArr3
minus3x2
1+x
1=0
rArrx32 minus3x2
2 +x2 =0
oplusrArr
rArrx31 +x3
2 minus3983080
x21 +x2
2
983081+(x1 +x2)=0rArr
124
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2225
rArrS3 =3middot5minus3=12
x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2
1 rArrx2 soluţierArrx2
2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr
rArrx4
1 minus3x3
1 +x2
1 =0rArrx4 minus3x32 +x2
2 =0
oplusrArr
rArrx41 +x4
2 minus3983080
x31 +x3
2
983081+983080
x21 +x2
2
983081=0rArr
rArrS4 =3middot12minus5=31
Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei
S lt0 S gt0
P lt0 x1 lt0x2 gt0P
ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0
Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea
Exemplu Fie ecuaţia 3x2
minus15x+5=0 Atunci
S =5gt0 P = 5
3gt0 deci x1x2 gt0
Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-
ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde
S =x1 +x2 P =x1 middotx2
125
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2325
515 Funcţia cosinus
Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus
Reprezentarea geometrică a graficului
x
y
O
1
minus1
minus4
minus3
minus2
minus1
minusπ
x
y
1
2
3
4
5
6
7
1
minus1
π6
π3
π2
2π3
5π6
π
7π6
4π3
3π2
5π3
11π6
2π
Gcos x
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cosx1
radic 3
2
radic 2
212
0 minus 12
minusradic
22
minusradic
32
minus1
Valori remarcabile
180
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2425
x minusπ 0 π 2π 3π
cosx minus1 1 minus1 1 minus1
Tabelul de variaţie
x minus3π
2minus
π
2
π
2
3π
2
5π
2cosx 0
minus 0 + 0
minus 0 + 0
Tabelul de semne
Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx
Imaginea lui f Imf =[
minus11]
Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =
=852091983080
π2
+kπ0983081
| kisinZ
852093Periodicitate periodică perioada principală
T =2π
Paritate f este pară cos
(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy
Continuitate curbă continuă Asimptote nu există
Proprietăţile funcţiei cosinus
181
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)
7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra
httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 2525
Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ
cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ
Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare
[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ
Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π
2 +2kπ π
2 +2kπ
852061şicosxlt0hArrxisin983080
π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081
Convexitate f este convexă pe983080π2
+2kπ 3π2
+2kπ983081
f este concavă pe983080minus π2
+2kπ π2
+2kπ983081
Puncte de inflexiexk = π
2 +kπ kisinZ
Bijectivitate
f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)
Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx
Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)