Physique du Solide
III. Électrons dans un potentiel périodique : Bandes d'Énergie
Théorème de Bloch
Zones de Brillouin
Électrons presque libres : approche intuitive
Métal - Semiconducteur - Isolant
Surfaces de Fermi
Électrons presque libres : conclusions d’une approche formelle
Physique du Solide
Interaction des électrons avec le cristal
Le modèle des électrons libres n'est en général qu'une approximation grossière pour le comportement du gaz d'électrons dans un solide.
En réalité les électrons interagissent avec le cristal. Le potentiel d’interaction associé aux ions de ce cristal est de la forme :
~1/r
xU(x) a
III. Bandes d'Énergie
Pour se simplifier la vie on se place en 1D et le cristal est une chaîne monoatomique.
Potentiel périodique
Physique du Solide
On suppose les électrons faiblement perturbés
Pour des électrons libres : 22
2k
mE
ikx
k ex (ondes planes progressives)
On sait qu’une onde est réfléchie par une structure périodique si la condition de Bragg est satisfaite :
entiern,nsind2
dPlans atomiques
onde incidente onde réfléchie Ici 1D donc : d = a
= /2
2
k
k2
na2 soit
ank
Approche intuitive
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
Il y aura réflexion de l'onde électronique chaque fois que
ank
Pour approcher le potentiel périodique on suppose :
0110 UU;xa
2cosUUxU
Pour i.e. Pas de réflexion de Bragga
k a
ikxk ex 2
20kk k
m2EE
Pour a
k Réflexion de Bragg !
Une onde réfléchie se superpose à l'onde incidente
Onde stationnaire
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
Solution de l'équation de Schrödinger : ikxikx BeAeΨ
Avec A = B pour a
k
ax
cos a
xsin
x
U(x) +(x)
-(x)
xa
cos22 xa
sin22
Distribution de la densité de charge
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
+ : Maximum de charges centré sur les ions
- : Maximum de charges centré entre les ions
Différenced'énergiepotentielle
Énergie de + < Énergie de -
k
E
a
a
EGap
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Il y a ouverture d’une bande interdite lorsque l’électron est en condition de Bragg avec le cristal.
En 1D, cette condition s’écrit :
ank
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
1ère ZDB
2ème ZDB
A trois dimensions, cette condition s’écrit :
2.2 ggk
0 g
g
k
Plans de Brillouin
Nœuds du R.Réciproque
Pour tout nœud du réseau réciproque, on peut tracer un plan médian, où la loi de Bragg est vérifiée et où l’électron est fortement perturbé par le potentiel.
Ces plans médians définissent un ensemble de zones dans l’espace réciproque, on appelle ces zones les Zones de Brillouin.
Physique du Solide
Zones de Brillouin
Les nœuds du réseau sont donnés par : 332211 anananR
mi entier,
kji
kj*i aaa
aa2a
Le réseau réciproque est donné par les vecteurs : *33
*22
*11 amamamG
Définition du réseau réciproque
En conséquence : ij*ji 2aa
et 1e GRi
ni entier, les vecteurs de la maille primitiveia
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Premier exemple en 1D : Soit une chaîne monoatomique de paramètre a
x
a
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Atomes
2ème 3ème 4ème4ème 3ème 2ème 1ère ZDB
Le réseau réciproque d'une chaîne monoatomique est aussi une chaîne unidimensionnelle de paramètre
2/a.
Attention : on passe bien ici dans le réseau réciproque. Nœuds du réseau réciproque
2/akx
G
Physique du Solide
3ème zone de Brillouin
2ème zone de Brillouin
Exemple en 3D : Cubique centré et cubique faces centrées
Réseau réciproque : cc --> cfc cfc --> cc
Illustration en 2D :
1ère zone de Brillouin
Réseau réciproque :Réseau carré plan
Pour aller plus loin en 2D : voir TD 3
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Définition générale des zones de Brillouin (en 3D)
On choisit un nœud du réseau réciproque comme origine. Ensuite on trace les plans médians par rapport au nœuds
premiers plus proches voisins, deuxièmes plus proches voisins etc.Le nœud d'origine se trouve entouré de polyèdres fermés.
Le polyèdre avec le plus petit volume est la 1ère zone de BrillouinLe volume entre ce polyèdre et le 2ème plus petit polyèdre est
la 2ème zone de Brillouin etc.
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
2ème
2ème1ère
1ère
cc
cfc
3ème
3ème
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
réseau cfcréseau cc
2 exemples particulièrement importants
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Solution de équation de Schrödinger avec un potentiel périodique
~1/r
xU(x) a
III. Bandes d'Énergie : Théorème de Bloch
Avec un nœud du réseau cristallographique réel :
332211 anananR
ni entier, les vecteurs de la maille primitiveia
Avec le potentiel V(x) que subit l’électron qui présente la même périodicité que le réseau cristallographique :
xVRxV
Les états électroniques possibles sont les solutions de l'équation de Schrödinger :
xExxVm2
2
R
Physique du Solide
Bloch a montré que les solutions sont de la forme :
xkikk
exux
avec Rxuxu
kk
i.e. des ondes planes modulées par une fonction de la même périodicité que le réseau
-1
0
1
2
3
4
5
xkieRe
xuRek
xRek
xk
sont appelées ONDES de BLOCHLes
III. Bandes d'Énergie : Théorème de Bloch
Physique du Solide
Le potentiel est périodique, on peut donc choisir l'origine !
Si on remplace par on voit que :x
Rx
Rkik
Rkixkik
Rxkikk
exeexueRxuRx
car Rxuxukk
La fonction d'onde n'est modifiée que par un facteur de phase, ce qui ne change pas la physique !
Rkikk
exRx
C’est une autre manière de définir une onde de Bloch
III. Bandes d'Énergie : Théorème de Bloch
Physique du Solide
Si pour une fonction de Bloch on remplace par :k
Gk
RkiGk
RGkiGkGk
exexRx
Rkikk
exRx
Rappel de la définition d'une onde de Bloch :
Par comparaison :
Si on remplace par la physique ne change pas !
Gk
k
Le vecteur d'onde n'est déterminé qu'à un vecteur du réseau réciproque près
k
G
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
0 a
a
3a
3a
2a
2a
k
Représentation de la relation de dispersion E(k) en 1D
0 a
a
3a
3a
2a
2a
k
On vient de montrer que le vecteur d’onde k est défini à n’importe quel nœud G du réseau réciproque près (k est équivalment à k+G).
Pour représenter la relation de dispersion, on doit donc aussi tracer toutes les paraboles centrées à 2/a, 4/a, n/a,…
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Une fois toutes les paraboles tracées (une pour chaque G)
0 a
a
3a
3a
2a
2a
k
On obtient :
Schéma de zones étendues
La relation de dispersion est périodique avec une période 2/a
On peut se limiter à une période [-/a ; /a]
Cette période n’est rien d’autre que la première Zone de Brillouin
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Schéma de zone réduite
0 a
a
k1ère "bande"
2ème "bande"
3ème "bande"
4ème "bande"
1ère Zone de Brillouin
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Explication pour le cas en 2D
Réseau réciproque : réseau carré plan
La première zone de Brillouin :
kx
ky
2a
X
M
La relation de dispersion s'écrit :
2y
2x
20k
kkm2
E
kx
XM
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Représentation de la relation de dispersion E(k) en 2D et 3D
Physique du Solide
On présente des coupes de cette surface
kx
X
M
X MM
Én
erg
ie
(0;0) (/a;0) (/a; /a)(/a; /a)
kx
ky
2a
X
M
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Construction des branches de la structure de bandes d’un cristal
Le réseau réciproque est donné par :
cba
cb2a*
cba
ac2b*
cbaba
2c*
On suppose une structure cubique centrée
a
c
b
a
Volume de la maille : V = a3/2
Maille primitive du réseau cc :
Soient a, b, c les vecteurs générateurs de la maille primitive d’un réseau cristallographique
xzy2a
a yxz
2a
b zyx
2a
c
Ici :
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Les vecteurs du réseau réciproque sont donnés par
*3
*2
*1 cmbmamG
Calculs détaillés voir TD 3
xzy2a
a
yxz2a
b
zyx2a
c
zya
2a*
xza
2b*
yxa
2c*
a* b*
c*
4/a
cc cfc
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
1ère zone de Brillouin :
La relation de dispersion : 22
0k
Gkm2
E
Regardons la direction - H, i.e.
a2
;0kx
ky = kz = 0
Dans ce cas :22
0k
Gxxa
2m2
E
et 1;0x
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
H
C
2C
4C
3C
0
Énerg
ie
Première possibilité : 0G
2222
0k
Cx)xx(a
2m2
E
Rappel : *33
*22
*11 amamamG
zxa
2G
2x2xC
11xCzx1xC
zxa
2xx
a2
m2E
2
22
220k
000
0
_
10
_
1
_
11
Et il faut le faire pour toutes les valeurs de G
Soit m1 = m3 = 0, m2 = -1 )0_10(
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Pour toutes les directions de symétrie :
Réseau cc
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Dans le cas d'un réseau cfc
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Physique du Solide
Approche formelle(toujours en 1D, chaîne monoatomique de paramètre a)
Potentiel périodique : axUxU
Donc U(x) peut être développé en série de Fourier G
iGxG e2U
xU
U(x) est une fonction réelle G
iGx*G
G
iGxG e2U
e2U
On choisit l'origine pour que U(x) = U(-x) :*GGG UUU
0G
G0G
iGxiGxG cosGxUee2U
xU
L'équation de Schrödinger devient : xExeeU
m G
iGxiGxG
0
2
22
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
(x) est une onde de Bloch, donc une fonction périodique.
Développement en série de Fourier k
ikxekCx
On injecte cette expression dans l’équation de Schrödinger :
k
ikx
k
ikx
0G
iGxiGxG2
22
ekCEekCee2U
x2m
0G k
xGkixGkiGikx
k
22
0eekC2U
ekCEk2m
La résolution de cette équation sera traitée proprement en TD.
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
La résolution de cette équation mène à considérer les 2 cas suivants :
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Lorsque le vecteur d’onde k est loin d’un bord de Zone de Brillouin
m
kE
2
22La relation de dispersion est identique à celle d’un électron
libre :
L’électron n’est donc pas perturbé par la présence du cristal.
Lorsque le vecteur d’onde k est proche d’un bord de Zone de Brillouin Il y a une ouverture de la relation de dispersion, générant une bande
d’énergies interdites pour ces k.
L’électron est en condition de Bragg avec la périodicité du cristal :
L’électron n’est perturbé par le cristal que dans cette condition.
L’ouverture de cette bande interdite est proportionnelle (au premier ordre) au potentiel d’attraction du cristal :
2.2 ggk
GInterditeBande UE
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
L’ouverture de cette bande interdite est proportionnelle (au premier ordre) au potentiel d’attraction du cristal :
Observons la colonne IV du tableau de Mendeleiev :
ÉlémentLargeur de bande
interdite (eV)
C 5.5
Si 1.12
Ge 0.67
Même évolution avec les nitrures, les arsénures,…
GInterditeBande UE
Physique du Solide
Schéma de zone étendue
k
E
0 a
a
a
a
a
a
a
a
1 2 3 4 512345
3ème bande
2ème bande
1ère bande
Présentation graphique du résultat
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
k
E
0 a
a
3ème bande
2ème bande
1ère bande
Schéma de zone réduite
Comme pour les électrons libres on peut se limiter à la première zone de Brillouin
On admet qu'il y a plusieurs relations de dispersion En(k)
n : indice de bande
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Physique du Solide
Métal - Semiconducteur - Isolant : Structures de Bandes réelles
Question préliminaire :
Quel est le nombre d'états électroniques dans une bande ?
Une bande contient un nombre d'états égal au volume de la 1ère zone de Brillouin :
32
Le volume par état dans l'espace des k est :(Conditions aux limites périodiques !)
3
L2
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
xkikk
exux
avec Rxuxu
kk
Rappel du théorème de Bloch :
Conditions aux limites périodiques :
zyxLzyx
zyxzLyx
zyxzyLx
ii
ii
ii
,,,,
,,,,
,,,,
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Conséquences :
Likk
Likxkik
zkykLkxkikk
xx
zyxx
exeexu
eLxuz,y,Lx
1e Likx
xx mL2
k
yy mL2
k
zz mL2
k
mx, my, mz entier
Mêmes conditions que pour les électrons libres
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Une bande contient donc N
L
L2
23
3
3
états
N : Nombre de mailles primitives de l'échantillon
Un état peut abriter 2 électrons
Il y a 2N places pour les électrons par bande !
Question supplémentaire :
Où se situe le niveau de Fermi ?
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
D'abord 1D
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes monovalents :
Il y a 1 électron par maille primitive !
Donc N électrons dans la chaîne
Il y a 2N places dans la 1ère bande
Les électrons vont occuper les N places de plus basse énergie
Comportement électrique : métallique
EF
a
a 0 k
E
EF se situe au milieu de la première bande
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes divalents :
Il y a 2 électrons par maille primitive !
Donc 2N électrons dans la chaîne
Il y a 2N places dans la 1ère bande
Les électrons vont occuper les 2N places de la premièrebande
aa 0 k
E
EF se situe en haut de la première bande
EF
Comportement électrique : isolant ou semiconducteur
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes trivalents :
Il y a 3 électrons par maille primitive !
Donc 3N électrons dans la chaîne
Il y a 2N places dans la 1ère bandeet 2N places dans la 2ème bande
Les électrons vont occuper les 2N places de la premièrebande et les N places de plusbasse énergie de la 2ème bande
EF se situe au milieu de la deuxième bande
EF
Comportement électrique : métallique Etc.
a
a 0 k
E
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Donc en une dimension c'est simple :
Nombre d'électrons impair : comportement métallique
Nombre d'électrons pair : isolant ou semiconducteur
Remarque : Tous les éléments de nombre atomique impair sont des métaux !
Pourquoi les éléments avec un nombre atomique pair ne sont ils pas tous des isolants ou des semiconducteurs ?
Illustration de la réponse en 2D
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Exemple : réseau carré plan de paramètre a
kx
ky
2a
X
MLa première zone de Brillouin :
La première et la deuxième bande sont données par deux relations de dispersion :
yx1 k;kE yx2 k;kE
qui peuvent être représentées par des surfaces
XM
kx
E1
XM
kx
E2
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Représentation en "coupe"
(/a; /a)
XM
Én
erg
ie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MC
MV kx
ky
2a
X
M
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
(/a; /a)
XM
Én
erg
ie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MC
MV
Atomes monovalents
N électrons dans l'échantillon
2N places dans la 1ère bande
Les électrons vont occuper les N places de plus basse énergie
Comportement électrique : métallique
primitivemailleélectron1
EF se situe quelque part au milieu de la première bande
EF
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Atomes divalentsprimitivemaille
électrons2
1er cas : XC > MV
(/a; /a) XM
Én
erg
ie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MC
MV
2N électrons
EF
EF au sommet de la première bande
Comportement : isolant ou semiconducteur
Les 2N états d'énergiesles plus basses se trouvent dans lapremière bande
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Atomes divalentsprimitivemaille
électrons2
2ème cas : XC < MV
2N électrons
Les 2N états d'énergiesles plus basses se trouvent à la fois
dans la première bande et la deuxième bande
Comportement : métallique
Chevauchement de bandes
(/a; /a) XM
Én
erg
ie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MC
MV EF
EF coupe la 1ère bande proche de M et la 2éme bande
proche de X
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Quelques exemples en 3D
Na, cc, a = 4,23 ÅComparaison avec la structure des électrons libres
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Exemple Cs et Ba : Évolution du niveau de Fermi
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Al, cfc, a = 4,05 ÅTrivalent !
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Cu, cfc, a = 3,61 ÅOn remarque les bandes d
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Si, cfc, a = 5,431 Å
Atomes en (0;0;0) et (¼; ¼;¼)
Si : 4 électrons de valence
8 électrons / maille
a
b
c
xy
z
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Physique du Solide
Surfaces de Fermi
Définition : La surface de Fermi est la surface, qui dans l’espace des k sépare les états occupés des états vides à T = 0 K
Cas des électrons libres :m2k
E22
0k
: rayon de Fermi3
1
32
F LN
3k
L’énergie de Fermi EF est déterminée par le nombre N des électrons :
m2k
E2F
2
F
C’est une sphère !
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Exemple en 2D : réseau carré plan de paramètre a
(réseau réciproque : carré plan de 2/a)
L’aire de la 1ère zone de Brillouin :
2
a2
21
2F LN
2k
2
N
L2
k2
2F
Détermination de kF
En 2D :
Surfaces d’isoénergie : cercles !
kx
X
M
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Atomes monovalents :22 a1
LN
a798,0
a2
kF
Toute la sphère de Fermi est contenue dans la 1ère zone de Brillouin
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Une partie se trouve dans la deuxième zone !
Atomes divalents :22 a
2LN
a128,1
a4
kF
1ère 2ème
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Atomes trivalents :22 a
3LN
a382,1
a6
kF
Une partie se trouve dans la deuxième zone !
1ère2ème
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Remarque : k n’est déterminé qu’à G près
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Schéma de zone répété :
1ère zone de Brillouin : 2ème zone de Brillouin :
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Remarque : en 3D cela devient complexe !
Exemple Al : Surface de Fermi est presque une sphère !
3 zones 3 bandes
Remarque : La 3ème zone est appelé : "le monstre"
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Exemple en 2D : réseau carré plan de paramètre a
Comment se modifient les lignes d'isoénergie dans le cas de vraies bandes ?
X
M
kx
E1
1ère bande
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Quelques exemples réel :
Métaux alcalins :
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Métaux nobles
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Al réel :
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Dernier exemple : W
Si cela vous intéresse plus :
http://www.phys.ufl.edu/fermisurface
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Expression générale de la densité d’états g(E)
G (E) dE est le nombre discrets de valeurs de k qui se
trouvent entre les surfaces correspondantes à E = const.
et E + dE = const. dans l’espace des k
kx
ky
E = const.
E + dE = const.
Remarque : La notion de densité d'états reste valable
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Par conséquence :
3
dEE
E
3
L2
kd
dEEG
dE=const.
E+dE=const.
dk T dkdkd3
On sait que
€
dE
dk⊥= grad kE
r k ( )
€
d 3k =dσ dE
grad kEr k ( )
€
G E( ) =L3
2π( )3
dσ
grad kEr k ( )E =const.
∫
Formule générale de la densité d’états des électrons
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Exemple :
Na, cc, a = 4,23 Å
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Exemple :
Cu, cfc, a = 3,61 Å
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Dernier exemple :
Si, cfc, a = 5,431 Å
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Les états électroniques solution de l'équation de Schrödinger
xExxVm2
2
avec xVRxV
sont des ondes de Bloch :
xkikk
exux
avec Rxuxukk
ou Rki
kkexRx
Le vecteur d'onde n'est déterminé qu'à un vecteur du réseau réciproque prèsk
Le réseau réciproque (la transformée de Fourrier du réseau cristallographique)est donné par
*33
*22
*11 amamamG
avec:
kji
kj*i aaa
aa2a
Conséquences :La première zone de Brillouin (maille de Wigner-Seitz du réseau réciproque) contient toutes les valeurs de qui possèdent un sens physiquek
à l'intérieur de la 1ère ZdBSi est en dehors de la 1ère ZdB on peut trouver un k
Gkk'
sont des relations périodiques dansl'espace réciproque (l'espace des ) k
Les relations de dispersion kEn
n est l'indice de bande
Si n = m, Em(k) est la relation de dispersion qui correspond au valeurs de k de la mème zone de Brillouin, translatée dans la 1ère zone !
III. Bandes d'Énergie : Résumé
Physique du Solide
Influence du potentiel périodique :
Dès que les valeurs de k approchent la limite d'une zone de Brillouin un gap s'ouvre dans les relations de dispersion.
La surface de Fermi est la surface, qui dans l’espace des k sépare les états occupés des états vides à T = 0 K
.constE k
3
3
kEgrad
d
2
L2EG La densité d’états des électrons :
Selon différents directions de l'espace des k, plusieurs bandes peuvent se chevaucherUne bande peut contenir 2 N électrons (N : Nombre de mailles primitives de l'échantillon)
La position du niveau de Fermi détermine le comportement d'un matériau
Métal : EF se situe à l'intérieur d'une ou de plusieurs bandesIsolant ou semiconducteur : EF se situe en haut d'une bande pleine et toute les autres bandes sont videsIsolant : la gap entre la dernière bande pleine et la première bande vide est supérieur à 3-5eVSemiconducteur : la gap entre la dernière bande pleine et la première bande vide est inférieur à 3-5eV
III. Bandes d'Énergie : Résumée