Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°10 :
Oscillations libres d’un système non-amortis à deux degrés de liberté (suite)
• Les positions des deux masses sont :
• Les vitesses sont :
Le pendule double (1)
• Constitué de deux tiges rigides, de masse négligeable et de même longueur ℓ, portant à chaque extrémité inférieure une masse m. On désigne par 1 et 2 les angles respectifs que font les tiges avec la verticale descente Ox.
21
21
2
2
1
1
1
1
sinsin
coscos
y
x;
sin
cos
y
x
2211
2211
2
2
11
11
1
1
sincos
sinsin
y
x;
cos
sin
y
x
Le pendule double (2)
• Les énergies cinétiques et potentielles et le Lagrangien s’écrivent :
• Pour des petits angles 1 et 2 :
212122
222
12
21212122
21
221
2
22
22
21
21
cosmm2
1m
2
1
coscossinsin2m2
1m
2
1
yxm2
1yxm
2
1T
21212122
222
12
21
cosmgcosmg2cosmm2
1mVTL
cosmgcosmg2V
22
2121
222
221
2 mg2
1mgcosmm
2
1mL
Le pendule double (3)
•
• En supposant des solutions de la forme
où nous cherchons des solutions qui nous donnent la même fréquence et le même angle de phase .
02
1g
02
1g
0LL
dt
det0
LL
dt
d
122
211
2211
tcost;tcost 2211
Le pendule double (4)
• On obtient
• Pour que le système d’équations admette des solutions 1 et 2 différentes de zéro, il faut que le déterminant des coefficients de 1 et 2 soit nul
qui donne l’équation bicarrée aux pulsations propres :
g2
0
0222
02
222
0
0
02
22201
2
22
1220
02402
40
220
44
2
220
Le pendule double (5)
• Les solutions de l’équation bicarrée aux pulsations propres sont :
d’où les deux pulsations propres du pendule double :
• D’après les équations donnant 2 et 1, nous avons :
Pour , nous obtenons
Pour , nous obtenons
g
22;g
22 22
21
22
0
2
2
220
1
2 2
020
0201
84,176,0
ω22ωetω22ω
20
21 22 2
1
2
20
22 22 2
1
2
Le pendule double (6)
• Les solutions sont donc :
mode 1 :
mode 2 :
• En général, on peut écrire (on prend C1=C2=1) :
111
12
1 tcos2
1
1
222
1111
12
11
11 tcostcosttt
222
12
1 tcos2
1
1
222
1111
12
2122 tcos2tcos2ttt
Le pendule double (7)
• Si on prend :
On peut écrire :
• Ce qui donne
00t,00t,00t,00t 22221111
2
2121
1111
22
111
12
22
1211
111
22
111
11
sin2sin20
cos2cos20
sinsin0
coscos0
2
212
21
1
211
11
212
21
211
11
2
002sin;
2
002sin
22
002cos;
22
002cos
Le pendule double (8)
• On obtient :
• Pour obtenir le mode (1) seul :
• Pour obtenir le mode (2) seul :
000et020 2112
21
22
21
2
2121
21
21
21
2
2111
2
002
8
002
2
002
8
002
000et020 2112
Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (1)
Un pendule double, est libre d’osciller dans le plan vertical oxy. Les tiges sont de masse négligeable et de même longueur. Elles portent les masses 2m et m. On désignera par 1(t) et 2(t) les angles respectifs que font les tiges avec la verticale descendante Ox, à l’instant t. On suppose que ce pendule double n’est soumis qu’à de petites oscillations.
(a) Etablir les deux équations du mouvement de second ordre en 1(t) et 2(t).
(b) Exprimer en fonction de les pulsations propres ’ et ’’ des petits mouvements de ce pendule double.
g
0
Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (2)
• Energies cinétiques, potentielle et Lagrangien :
pour les petites oscillations :
21122122
21
2
21
122122
21
2
122122
21
22B
21
22A
2B
2A
coscos3mgcos23m2
1L
coscos3mgV
cos23m2
1T
cos23v;v
;mv2
1vm2
2
1T
22
2121
22
21
2 32
mg23m
2
1L
Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (3)
• donne
• En supposant des solutions de la forme
• On obtient
ii
LL
dt
d
2
0
g
022
mg22m
2
1
062
mg6m
2
1
2122
1212
0
033
22012
12021
tcost
tcost
22
11
0
03
222
012
22
122
0
Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (4)
• Pour le système admettent des solutions 1 et 2 différentes de zéro, il faut que le déterminant des coefficients soit :
002001
202
2
202
1
20
220
2
220
2220
2
4222022
02
2220
538,12
33et796,0
2
33
13
3;
31
3
0331331
03333
0303
Couplage de deux pendules simples (1)
• Deux pendules identiques O1A1 et O2A2, de masse m et de longueur ℓ, sont couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2. A l’équilibre, le ressort horizontal à sa longueur naturelle ℓ0 (ℓ0=O1O2). Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1 et 2, supposées petites, par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désigne par g l’accélération de la pesanteur.
21221
22
221
2
k2
1cos1mgcos1mgV
m2
1m
2
1T
Les énergies cinétiques et potentielles des deux masses sont :
Couplage de deux pendules simples (2)
• Le Lagrangien pour les petites oscillations s’écrit :
• nous donne :
que l’on peut écrire
212
22
21
22
21
2
212
222
21
22
221
2
m
kggm
2
1
k2
1
2
mg
2
mgm
2
1m
2
1L
...2,1i0LL
dt
d
ii
0m
kg
0m
kg
1222
1211
0m
k
m
kg
0m
k
m
kg
122
211
Couplage de deux pendules simples (3)
• Si on s’intéresse à des solutions de même pulsation , donc du type :
on obtient :
• Ce système admet une solution autre que 1= 2=0 si le déterminant des coefficients de 1 et 2 est , soit
• Les pulsations propres ’ et ’’ sont donc solutions de l’équation
soit :
222111 tcosettcos
0m
kg
m
k
0m
k
m
kg
22
212
0m
k
m
kg2
222
m
k2g''et
g'
m
k
m
kg2
Couplage de deux pendules simples (4)
• Autre méthode pour résoudre le système :
on soustraie et on additionne les deux équations, le système se découple en deux équations différentielles du second ordre indépendantes pour la somme S(t)=1+2 et pour la différence D(t)= 1- 2 :
on fait ainsi apparaître les pulsations propres :
122211 m
k
m
kg;
m
k
m
kg
0Dm
k2gDet0S
gS
m
k2g''et
g'
Couplage de deux pendules simples (5)
• Si on prend des solutions de la forme :
on en déduit
• Si on prend les conditions initiales
on obtient
et
''t''cos''A2D
't'cos'A2S
21
21
0000,0 21201
''t''cos''A't'cos'At
''t''cos''A't'cos'At
2
1
cosAcosA0
cosAcosA0
sinAsinA0
sinAsinA0
Couplage de deux pendules simples (6)
• On en déduit : soit :
• Si on prend par exemple : m=0,10 kg ; ℓ=0,80 m ; k=9,2 N/m et g = 9,8 m/s
on trouve
Remarque : il y’a des cas où ’’-’<< ’’+’, auquel cas on observerai des battements.
,2
AAet0 0
t75,8cost25,5sint
t75,8cos.t25,5cost
s5,17;s5,10s0,14,s5,3
02
01
1111
2
tsin.
2
tsintcostcos
2t
et
2
tcos.
2
tcostcostcos
2t
00
2
00
1
Oscillateurs couplés dissymétriques (1)
• Le système composé de deux masses égales et trois ressorts est un oscillateur couplé symétrique. Les équations différentielles du mouvement des deux masses sont :
• Qui sont de la forme :
• Les équations différentielles de cette forme sont caractéristiques de systèmes de deux oscillateurs couplés symétriques.
122
211
xm
kx
m
k2x
xm
kx
m
k2x
122
211
bxaxx
bxaxx
Oscillateurs couplés dissymétriques (2)
• Le système de la figure a pour énergies cinétique, potentielle :
• Le Lagrangien pour les petits angles s’écrit :
• Qui donne les équations différentielles suivantes :
• Ce système est un oscillateur couplé dissymétriques.
21122
222111
222
211
k2
1
cos1gmcos1gmV
m2
1m
2
1T
21122
2222
222
211 k
2
1gmm
2
1m
2
1L
0kkgmm
0kkgmm
121222222
222
221121111
211
Oscillateurs couplés dissymétriques (3)
• En général, on peut donner aux oscillateurs couplés dissymétriques la forme :
où a1, a2, b1 et b2 sont des coefficients constants caractéristiques de chacun des deux oscillateurs et de leur couplage (avec b1<a1 et b2<a2).
• On appelle coefficient de couplage K (0<K<1) du système de deux oscillateurs la quantité :
Ce coefficient caractérise l’interaction de chaque oscillateur sur l’autre.
12222
21111
xbxax
xbxax
21
21
aa
bbK
Coefficient de couplage (1)
• Si on immobilise le 2ième oscillateur, on a en général pour le premier oscillateur
. Si on immobilise le 1er oscillateur, on peut écrire
On peut donc écrire
• L’équation aux pulsations propres du système :
s’écrit
ou encore
11111 aavec0xax
12222
21111
xbxax
xbxax
22222 aavec0xax 22
21
221
221 KaaKbb
0bbaa 2122
12
0K 22
21
2222
221
Coefficient de couplage (2)
Ce qui nous ramène aux différents types de couplage (on admettra 1< 2) :
• Couplage serré (K=1) :
Les pulsations propres sont alors :
• Couplage normal (0<K<1)
Les pulsations propres sont
avec • Couplage lâche (K<<1) :
• Couplage nul (K=0) :
les deux oscillateurs sont alors indépendants.
022
21
22
22
21
221
22 K4
12
K1et
12
K1
21
22
2
2
22
21
2
1
22
21et0
2et
2
22
21
22
21
;etsoit0 2122
222
1
Eclatement des fréquences et oscillations accordés
• Dans tous les cas, nous avons ’ 1 et ’’ 2. Dans tous les cas envisagés, on a obtenu ’≤1 et ’’ ≥1. La pulsation propre ’ du système couplé est donc inférieure ou égale à la pulsation 1 de l’oscillateur le plus lent (T1T2) et la pulsation propre ’’ est supérieure à la pulsation 2 de l’oscillateur le plus rapide. Cette hiérarchie entre les pulsations traduit l’éclatement l’éclatement des fréquences par couplage :
• Lorsque le coefficient de couplage croît de 0 à 1, à partir des solutions de l’équation aux pulsations propres, on voit que la pulsation propre ’ décroît depuis 1 jusqu’à zéro, et la pulsation propre ’’ croît depuis 2 jusqu’à
• Si les deux oscillateurs ont la même période en oscillations séparées (1=2) on dit qu’ils sont accordés. Nous avons alors :
Pour des oscillateurs accordés en couplage lâche, il vient :
.22
21
.K1etK1soit0K 11
221
21
2
.2
K1et
2
K1 11
Phénomène de battement (1)
• Ce phénomène est très marqué lorsque les deux oscillateurs sont accordés en couplage lâche (K<<1) et que leurs pulsations propres sont très voisines.
• Comme dans le cas du couplage de deux pendules simples, si on prend S=x1(t)-x2(t). On prend aussi pour simplifier comme conditions initiales de lancement du système couplé : la solution générale est donnée par :
qui permet d’écrire ’=’’=0 et S0=D0=A
;00x0x0x,A0x 2211
.2
K1et
2
K1 11
tcos2
Dtcos
2
Stx
tcos2
Dtcos
2
Stx
002
001
Phénomène de battement (2)• On obtient :
que l’on peut écrire :
• En introduisant le coefficient de couplage K(K<<)1 :
on écrit :
• Les deux oscillateurs couplés oscillent en quadrature (x1 est maximal lorsque x2 est nul) avec une période T1=2/1 et une amplitude lentement variable qui s’annule périodiquement avec une période TB qui est la période des battements.
tsin2
tKsinAtxettcos
2
tKcosAtx 1
121
11
t2
sint2
sinAtx
t2
cost2
cosAtx
2
1
tcos2
Atcos
2
Atx
tcos2
Atcos
2
Atx
2
1
.2etK 11
Phénomène de battement (3)
• La période des battements est telle que
Ce qui veut dire que la fréquence des battements est égale à la différence
des fréquences propres du système couplé :
BB T
1f
2
K
2TT
2
K
1BB
1
2fet
2f fffB