INTEGRAL LIPAT DUA
Lia Yuliana, S.Si., MT.
2011/2012
Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang
Telaah Ulang Integral Tentu
Misalkan f terdefinisi pada selang [a,b]. Bagi [a,b] menjadi
n selang bagian [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/n dan
pilih titik sampel *1[ , ].i i ix x x Bentuk jumlah Riemann
*
1
( )n
ii
f x x
maka integral tentu f dari a ke b diberikan oleh
*
1
( ) lim ( ) .nb
ia ni
f x dx f x x
( ) 0,f x Jika jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai
jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan ( )b
af x dx
menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.
0 a 1x 2x 1ix ix 1nx bx
y
*1x *
2x *ix *
nx
*( )if x
( )y f x
Gambar 1
Volume dan Integral Lipat Dua
Misalkan f fungsi dua peubah pada segiempat tertutup
2[ , ] [ , ] ( , ) ; ,R a b c d x y a x b c y d
Misal ( , ) 0,f x y grafik f adalah permukaan z = f(x,y).
Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dan
di bawah grafik f, yaitu
3( , , ) ; 0 ( , ), ( , )S x y z z f x y x y R
Bagaimana mencari volume S ?
R
R
b
a c
d
xy
o
z
z = f(x,y)
R
Gambar 2
Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi
beberapa segiempat bagian.Bagi interval [a,b] menjadi m
interval [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/m, dan bagi [c,d]
menjadi n interval [yj-1, yj] dengan lebar y = (d – c)/n.
Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujung
interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagian
1 1[ , ] [ , ]ij i i j jR x x y y
masing-masing dengan luas A = x y.
a x1 x2 xi-1 xi b
x
0
c
y1
yj-1
yjy
d
y
x
Rij
* *( , )ij ijx y
( , )i jx y
Gambar 3
Jika dipilih titik sampel * *( , )ij ijx y dalam setiap Rij, maka
bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi-
empat dengan alas Rij dan tinggi * *( , )ij ijf x y . Volume kotak
ini adalah * *( , ) .ij ijf x y A
Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat dan
menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh
hampiran terhadap volume total S ;
* *
1 1
( , )m n
ij iji j
V f x y A
1
b
a c
d
x y
o
z
Gambar 4
Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan n
besar, sehinga diharapkan
* *
,1 1
lim ( , )m n
ij ijm n
i j
V f x y A
2
Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padat
S yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R.
Definisi 3
Integral lipat-dua dari f pada segiempat R adalah
* *
,1 1
( , ) lim ( , )m n
ij ijm n
i jR
f x y dA f x y A
jika limit ini ada.
Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.
Jika
terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan
( , )R
V f x y dA
( , ) 0,f x y maka volume V dari benda padat yang
z = f(x,y) adalah
CONTOH 1
Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur
dan di bawah paraboloida elipssangkar [0, 2] [0,2]R 2 216 2 .z x y Bagilah R menjadi empat bujur sangkar
yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atas
dari setiap bujur sangkar Rij.
PENYELESAIAN
Perhatikan bujur sangkar berikut
R11 R21
R12 R22
0 1 2x
y
1
2
(2,1)(1,1)
(2,2)(1,2)
Gambar 5
Paraboloida adalah grafik dari 2 2( , ) 16 2f x y x y dan
luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampiri
volume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2,
diperoleh2 2
1 1
( , )i ji j
V f x y A
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)f A f A f A f A
13(1) 7(1) 4(1) 34.
CONTOH 2
Jika [ 1,1] [ 2,2]R hitunglah integral
21R
x dA
PENYELESAIAN
Karena integral dapat ditafsirkan sebagai volume21 0x
Jika 21 ,z x maka 2 2 1x z dan 0,z sehingga integral
lipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda padat
S yang terletak di bawah silinder lingkaran 2 2 1x z dan
di atas segiempat R. Volume S adalah luas setengah
lingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang silinder. Jadi
2 2121 (1) 4 2 .
R
x dA
Aturan Titik-Tengah
1 1
, ,m n
i ji jR
f x y dA f x y A
Aturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Dua
dengan ix titik-tengah 1,i ix x dan jy titik-tengah
1, .j jy y
CONTOH 3
Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untuk
menaksir nilai integral
2( 3 )R
x y dA
dengan ( , ) ; 0 2, 1 2 .R x y x y
PENYELESAIAN
Dengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung
2( , ) 3f x y x y di pusat-pusat empat segiempat bagian.
0 1 2 x
y
1
2 (2,2)
3/2
11R 21R
12R 22R
Gambar 6
Sehingga 3 511 2 12 2 4, ,x x y dan 7
2 4 .y Luas setiap
segiempat bagian adalah A = ½. Jadi,
2 2
2
1 1
3 ,i ji jR
x y dA f x y A
1 1 1 2 2 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y A f x y A f x y A f x y A
5 7 3 5 3 71 1 1 1 1 12 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f f f
958
Jadi, 2 9583 11,875.
R
x y dA
Contoh
Hitung integral lipat berikut
1.
dimana R={(x,y)0 x 6, 0 y 4}
2.
dimana R={(x,y)0 x /2, 0 y /2}
dAyxR 22 2
dAyxR sin
Sifat Integral Lipat-Dua
R R R
(a) , , , ,f x y g x y dA f x y dA g x y dA
R R
(b) , , , konstantacf x y dA c f x y dA c
R R
(c) , , , , , , ,
f x y g x y x y R f x y dA g x y dA Jika maka
(d) Jika daerah R merupakan gabungan dari beberapa daerah makanRRRRR ...321
RnRRR
dAyxfdAyxfdAyxfdAyxf ),(...),(),(),(21
Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang
Theorema
1. Jika R adalah daerah tipe I (gambar (i)) dimana f(x,y) kontinu, maka
2. Jika R adalah daerah tipe II (gambar (i))dimana f(x,y) kontinu, maka
b
a
xg
xg
dydxyxfdAyxf)(
)(
2
1
),(),(
d
c
yh
yh
dxdyyxfdAyxf)(
)(
2
1
),(),(
c
d
y = g2(x)
y = g1(x)
a b
x
y
Gambar (i)
x = h1(y) x = h2(y)
y
x
Gambar (ii)
Daerah Tipe I dan Tipe II
Aturan Integrasi
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk daerah integrasi
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
Contoh
1. Hitung , R dibatasi oleh x=y2 , y=1 dan
sumbu y
2.
R
x dAey2
4
0
2
2
2
dxdyex
y