bilqis 1

PERTEMUAN 1

bilqis 2

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : – Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier– Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem

Persamaan Linier– Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan

menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan

bilqis 3

Contoh Soal berapa nilai x, y dan Z

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

bilqis 4

 

Sistem Persamaan Linier 

bilqis 5

Persamaan linier :

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya.

Contoh: (1) x + y + 2z = 9 PL

(2) 2x + y = 9 PL

(3) 2xy – z = 9 Bukan PL

Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut.

Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas:

{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }

Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)

bilqis 6

Misal :

atau

atau

terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama

429

5

0

tsx

sy

tz

5

4

sy

tx

02

9

stz

529

0

4

tsy

sz

tx

bilqis 7

Sistem Persamaan Linier:

Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.

Contoh:

x + y = 3

3x – 5y = 1

 

Ruang Solusi:

berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus

memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut;

untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }

bilqis 8

PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL

Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan – penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal :

Diberikan SPL sebagai berikut : x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1

1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 01/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0

Didapat penyelesaian x1 = 9, x2 = -36, dan x3 = 30

Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal :

x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0

Didapat penyelesaian x1 ≈ 55,55; x2 ≈ -277,778; dan x3 ≈ 255,556

bilqis 9

Interpretasi Geometrik:

Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.

g1: x + y = 3

g2: 3x – 5y = 1

  Solusi: g1 dan g2 berpotongan di (2, 1)

Kemungkinan:

berpotongan di 1 titik tidak berpotongan berimpit

X+y = 5

X+y = 7

Var => samaKonst => tidak

X+y = 5

2X+2y = 10

Kelipatan

bilqis 10

Solusi Sistem Persamaan Linier

a. Cara Biasa → Seperti SMA

b. Eliminasi Gauss

c. Eliminasi Gauss - Jordan 

a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3 3x + 3y = 9

3x – 5y = 1 3x – 5y = 1

8y = 8 y = 1

3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2

II. y = 3 – x

3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2

y = 3 – x y = 1

bilqis 11

b. Eliminasi Gauss (ringkasan):

Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi

Linier Augmented Gauss Balik

OBE

bilqis 12

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

b. Eliminasi Gauss (lihat contoh 3, halaman 5)

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9

0 1 ? ?

0 0 1 ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

ditulis dalam

bentuk matriksaugmented

bilqis 13

Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar)

Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier

Contoh : x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

 Matriks Augmented-nya : 1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

bilqis 14

O.B.E sebuah baris dengan kostanta 0 sebuah baris dengan konstanta 0

kemudian pada baris lainMenukar dua buah baris

Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris)Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan

pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)Baris nol terletak paling bawah1 utama baris berikutnya berada di kanan 1

utama baris di atasnya.Dibawah 1 utama harus 0

bilqis 15

Contoh :

Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi)

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama

baris diatasnya.. Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai

nol di tempat lain

Contoh :

5100

2610

7341

10000

01100

06210

1100

7010

4001

00000

31000

10210

bilqis 16

Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E :

* + =

* + =

* + =

Substitusi Balik

271130

17720

9211[baris 1 -2] + baris 2

9

2

1

1

2

2

2

2

1

3

4

2

17

7

2

0

[baris 1 -3] + baris 3

9

2

1

1

3

3

3

3

0

5

6

3

27

11

3

0

baris 2 * 1/2

2/32/100

2/172/710

9211[baris 2 -3] + baris 3

2/17

2/7

1

0

3

3

3

3

27

11

3

0

2/3

2/1

0

0

baris 3 -2

31002

17

2

710

9211 z = 3

2

2/17)3(2/7

2/172

7

y

y

zy

1

9)3(22

92

x

x

zyx 3,2,1 zyx

bilqis 17

x y z

1 1 2 9 Substitusi Balik:

0 2 -7 -17

0 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3

1 1 2 9

0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17

0 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2

1 1 2 9 x + y + 2z = 9

0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1

0 0 -½ -3/2

z

yz

bilqis 18

Bentuk eselon baris:

1. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)

2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks

3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas

Bentuk eselon baris tereduksi:

1, 2, 3, ditambah

4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan

bilqis 19

Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier

1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0

2. Menukar posisi dua baris

3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j

bilqis 20

c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan):

Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi

Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung)

OBE

bilqis 21

 Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama)

x + y + 2z = 9 1 1 2 9

2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ?0 1 0 ?

0 0 1 ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

bilqis 22

Gauss-Jordan MatLab

bilqis 23

Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E idem Gauss disambung dengan :

* + =

* + =

* + =

3100

2/172/710

9211

baris 3

2

7 + baris 2

3

1

0

0

2/7

2/7

2/7

2/7

2/17

2/7

1

0

2

0

1

0

3100

2010

9211

baris 3 -2 + baris 1

3

1

0

0

2

2

2

2

9

2

1

1

3

0

1

1

3100

2010

3011 baris 2 -1 + baris 3

2

0

1

0

1

1

1

1

3

0

1

1

1

0

0

1

3100

2010

1001

3

2

1

z

y

x

bilqis 24

Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu :

1. Mempunyai jawaban tunggal

2. Mempunyai banyak jawaban

3. Tidak mempunyai jawaban

Contoh :

Tentukan nilai a agar SPL berikut:

i. Mempunyai jawaban tunggal

ii. Mempunyai banyak jawaban

iii. Tidak mempunyai jawaban

x – 2y + 3z = 12x – 3y + 9z = 4x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a

bilqis 25

Penyelesaian :

Matriks Eselon SPL di atas adalah :

i. Mempunyai jawaban tunggal

a2 – 4 ≠ 0 a ≠ -2 dan a ≠ 2

ii. Mempunyai banyak jawaban

a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0 a = -2

iii. Tidak mempunyai jawaban

a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0 a = 2

aa 2400

2310

1321

2

bilqis 26

• Lihat contoh di halaman 5 dan 6

• Lihat contoh di halaman 11 dan 12

bilqis 27

Halaman 5Example 3.

In the left column below we solve a system of equations by operating on

the equations in the system, and in the right column we solve the same

system by operating on the rows of the augmented matrix.

x + y + 2z = 92x + 4y – 3z = 13x + 6y -5z = 0

0563

1342

9211

Add -2 times the first equation to the second to obtain

Add -2 times the first row to the second to obtain

x + y + 2z = 9 2y – 7z = -173x + 6y -5z = 0

0563

17720

9211

Add -3 times the first row to the third to obtain

Add -3 times the first equation to the third to obtain

x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y -11z = -27

271130

17720

9211

bilqis 28

Multiply the second equation by ½ to obtain

Multiply the second row by ½ to obtain

271132

17

2

7

92

zy

zy

zyx

2711302

17

2

710

9211

Add -3 times the second equation to the third to obtain

Add -3 times the second row to the third to obtain

2

3

2

12

17

2

7

92

z

zy

zyx

2

3

2

100

2

17

2

710

9211

Multiply the third equation by -2 to obtain

Multiply the third row by -2 to obtain

32

17

2

7

92

z

zy

zyx

31002

17

2

710

9211

bilqis 29

Add -1 times the second equation to the first to obtain

Add -1 times the second row to the first to obtain

32

17

2

72

35

2

11

z

zy

zx

31002

17

2

710

2

35

2

1101

Add -11/2 times the third equation to the first and 7/2 times the third equation to the second to obtain

Add -11/2 times the third row to the first and 7/2 times the third row to the second to obtain

3

2

1

z

y

x

3100

2010

1001

The solution : x = 1, y = 2, z = 3

bilqis 30

Halaman 11

Step 1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros.

Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1.

156542

281261042

1270200

156542

281261042

1270200

Leftmost nonzero column

156542

1270200

281261042The first and second rows in the preceding matrix were interchanged

bilqis 31

Step 3 if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1

1 2 -5 3 6 140 0 -2 0 7 120 0 5 0 -17 -29

1 2 -5 3 6 140 0 -2 0 7 122 4 -5 6 -5 -1

step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entries below the leading 1 to zeros

step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until

the entire matrix is in row-echelon form1 2 -5 3 6 140 0 -2 0 7 120 0 5 0 -17 -29

The first row of the preceding

matrix was multiplied by ½

-2 times the first row of the preceding matrix was

added to the third row

left most nonzero coloumn in thesubmatrix

bilqis 32

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -3,5 -60 0 5 0 -17 29

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -3,5 -60 0 5 0 -17 29

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -3,5 -60 0 0 0 0.5 1

The first row in the submatrix was multiplied

by -1/2 to introduce a leading 1

-5 times the first row of the submatirx was added to the second row of the submatrix

to introduce a zero below the leading 1

The top row in the submatrix wascovered, and we returned again

to the step 1

The first(and only) row in the submatrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1

•The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step

leftmost non zero coloumn in the new submatrix

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 -3,5 -60 0 0 0 1 2

bilqis 33

Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

1 2 -5 3 0 20 0 1 0 0 10 0 0 0 0 1

1 2 -5 3 6 140 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2

1 2 0 3 0 70 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2

7/2 times the third row of the preceding matrix was added

to the second row

-6 times the third row was added

to the first row

5 times the second row was added to the first row

The last matrix is in reduced row echelon form

bilqis 34

Sistem Persamaan Linier Homogen :

1. Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0.

2. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen:

Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada

Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 )

Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

2 2 -1 0 1 0

-1 -1 2 -3 1 0

1 1 -2 0 -1 0

0 0 1 1 1 0

bilqis 35

Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0

1 1 -2 0 -1 00 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0-1 -1 2 -3 1 01 1 -2 0 -1 00 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 3/2 -3 3/2 0

0 0 -3/2 0 -3/2 0

0 0 1 1 1 0

Brs-1 (1/2)

Brs-2 + brs-1

Brs-3 – brs-1

bilqis 36

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 3/2 -3 3/2 0

0 0 -3/2 0 -3/2 0

0 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 3 0 0

Brs-2 (2/3)

Brs-3 (– 2/3)

Brs-3 – brs-2

Brs-4 – brs-2

bilqis 37

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 3 0 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

Brs-3 (1/2)

Brs-4 (1/3)

Brs-4 – brs-3

bilqis 38

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 -2 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 -1/2 0 1/2 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

baris-1 + (1/2) baris-2

bilqis 39

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

x1 + x2 + x5 = 0

x3 + x5 = 0

x4 = 0

x5 = s x3 + x5 = 0 x3 = – x5

x2 = t x1 + x2 + x5 = 0 x1 = – x2 – x5

Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) }

Catt => yang diumpamakan dahulu adalah index terbesar

bilqis 40

Teorema:

Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.

Ditinjau dari matriksnya:

Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.

bilqis 41

Contoh menggunakan Matlab

• Soal

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0Buat matrix pada Matlab

bilqis 42

MatlabMengenol-kan baris ke-2, kolom 1 Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2

bilqis 43

MatlabMengenol-kan baris ke-3, kolom 1 Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3

bilqis 44

MatlabMembuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2 Baris 2 = Baris 2 * 1/2

bilqis 45

PR

• Contoh pada slide 3, coba tukar antara baris pertama dengan baris 3, apakah hasilnya tetap sama ? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan)

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

3x + 6y – 5z = 0

2x + 4y – 3z = 1

x + y + 2z = 9

bilqis 46

PR

• Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL yang seharusnya jawabannya sama, tapi kenapa berbeda? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dengan tangan)

x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 11/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 01/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0

x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 10,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 00,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0

bilqis 47

PR kerjakan 2 saja

• 1.1 3.b, 4.c, 5.d, 11

• 1.2 6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17, 22