TUGAS AKHIR โ SM141501
PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL TIPE CAPUTO SERTA APLIKASINYA PADA PROSES PENDINGINAN SEMI-INFINITE OLEH RADIASI DWI AFIFAH RAHMATUL HIJRAH NRP 1211 100 068 Dosen Pembimbing Dra. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2016
FINAL PROJECT โ SM141501
CAPUTO FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION AND APPLICATION PROCESS OF SEMI-INFINITE COOLING BY RADIATION DWI AFIFAH RAHMATUL HIJRAH NRP 1211 100 068 Supervisor Dra. Sri Suprapti H., M.Si MATHEMATICS DEPARTMENT Faculty of Mathematics and Science Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2016
vii
PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL TIPECAPUTO SERTA APLIKASINYA PADA PROSESPENDINGINAN SEMI-INFINITE OLEH RADIASI
Nama Mahasiswa : Dwi Afifah rahmatul hijrahNRP : 1211 100 068Jurusan : MatematikaDosen Pembimbing : Dra. Sri Suprapti H., M.Si
AbstrakPersamaan diferensial fraksional telah menjadi alat yang
penting didalam permodelan matematika. Namun, penelitiantentang teori dasar dari persamaan diferensial fraksional belumbanyak dilakukan. Kajian dasar teori persamaan diferensialfraksional dilakukan dengan membuktikan keseimbanganpersamaan antara integral volterra dengan persamaandiferensial fraksional serta membuktikan sifat-sifat daripersamaan diferensial tersebut. Dengan menggunakanpersamaan integral volterra dan masalah nilai batas didapathasil dari persamaan diferensial fraksional linier tipe Caputopada order 0 < < 1 . Sedangkan untuk persamaan diferensialfraksional nonlinier digunakan fraksional deret Taylor untukmendapatkan hasil numerik. Pada Tugas Akhir ini hasil numerikdari fraksional deret Taylor digunakan untuk menyelesaikanmodel untuk proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi.
Kata kunci: Fraksional Deret Taylor, Integral Volterra, MasalahNilai Batas, Persamaan Diferensial Fraksional,Pendinginan Semi-Infinite
viii
โHalaman ini sengaja dikosongkanโ
xi
CAPUTO FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION ANDAPPLICATION PROCESS OF SEMI-INFINITE COOLING
BY RADIATION
Nama Mahasiswa : Dwi Afifah rahmatul hijrahNRP : 1211 100 068Jurusan : MatematikaDosen Pembimbing : Dra. Sri Suprapti H., M.Si
AbstractFractional differential equations have become an important
tool in mathematics modelling. However, there are have still notmuch study about basic theory of fractional different equations.Study about basic theory of fractional differential equations hasbeen doing with born out the balance of the equations betweenvolterra integral and fractional differential equations and borrnout the properties from the differential equations. Within volterraintegral and boundary initial problem will gain the result ofCaputo linear fractional differential equations order 0 < < 1 .Whereas for nonlinear used fractional Taylor series to getnumeric result. In this final project the numeric result fromfractional Taylor series has been using to solved the process ofsemi-infinite cooling by radiation.
Keyword: Boundary Value Problem, Differential FractionalEquations, Fractional Taylor Series, IntergalVolterra, Semi-Infinite Cooling
x
โHalaman ini sengaja dikosongkanโ
xi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat AllahSWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehinggapenulis mampu menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudulโPERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL TIPECAPUTO SERTA APLIKASINYA PADA PROSESPENDINGINAN SEMI-INFINITE OLEH RADIASIโ sebagaisyarat kelulusan dalam menempuh program S-1 JurusanMatematika FMIPA ITS Surabaya.
Tugas akhir ini dapat terselesaikan dengan baik dan lancaratas kerja sama dan dukungan berbagai pihak. Sehubungandengan itu, penulis bermaksud menyampaikan terima kasihkepada :1. Bapak Dr. Imam Mukhlas, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan
Matematika FMIPA ITS.2. Ibu Dra. Sri Suprapti H., M.Si sebagai dosen pembimbing
Tugas Akhir, atas segala bimbingan dan motivasi yang telahdiberikan kepada penulis.
3. Bapak Drs. Sentot Didik Surjanto, M.Si, Bapak Drs. Kamiran,M.Si, Ibu Sunarsini, M.Si, dan Ibu Dra. Wahyu Fistiadoctorina, M.Si selaku dosen penguji.
4. Bapak Drs. Chairul Imron, MI.Komp selaku Ketua Prodi S-1Jurusan Matematika FMIPA ITS.
5. Bapak Drs. Lukman Hanafi, M.Sc, selaku dosen wali.6. Bapak dan Ibu dosen serta seluruh staff Tata Usaha dan
Laboratorium Jurusan Matematika FMIPA ITS.7. Teman โ teman angkatan 2011 Jurusan Matematika atas
dukungan yang telah diberikan kepada penulisPenulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih terdapat
kekurangan. Oleh karena itu, penulis memohon saran dan kritikdari berbagai pihak sebagai bahan perbaikan di masa yang akandatang. Semoga laporan ini bermanfaat bagi semua pihak.
xii
Surabaya, Januari 2016Penulis
xiii
DAFTAR ISIHalaman
HALAMAN JUDUL iLEMBAR PENGESAHAN vABSTRAK viiABSTRACT ixKATA PENGANTAR xiDAFTAR ISI xiiiDAFTAR GAMBAR xvDAFTAR TABEL xviiDAFTAR SIMBOL xixBAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang...................................................................1.2 Rumusan Masalah..............................................................1.3 Batasan Masalah ................................................................1.4 Tujuan................................................................................1.5 Manfaat..............................................................................1.6 Sistematika Penulisan ........................................................
122233
BAB II TINJAUAN PUSTAKA2.1 Fungsi Gamma ..................................................................2.2 Integral Fraksional dan Turunan Fraksional......................2.3 Integral Volterra ................................................................2.4 Masalah nilai Batas.....................................................2.5 Pendinginan Semi Infinite..........................................2.6 Fraksional Deret Taylor.....................................................2.7 Transformasi Laplace..................................................
57
1010111213
BAB III METODOLOGI PENELITIAN3.1 Studi Literatur ...................................................................3.2 Tahap Mengkaji Persamaan Diferensial
Fraksional...... .............................................................3.3 Tahap Perhitungan Numerik Model Pada Proses
Pendinginan Semi-Infinite Oleh Radiasi ...........................3.4 Tahap Simulasi Numerik Model Pada Proses
Pendinginan Semi-Infinite Oleh Radiasi ...........................3.5 Kesimpulan dan Saran ......................................................
1717
17
17
18
xiv
3.6 Diagram Alir ....................................................................18BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN4.1 Sifat-sifat Utama pada Integral dan Turunan
Fraksional Riemann-Louville ............................................4.2 Keseimbangan Persamaan Differensial Fraksional
dengan Persamaan Integral Volterra..................................4.3 Beberapa Contoh Penyelesaian Eksak Persamaan
Diferensial Fraksional Linier .............................................4.4 Penyelesaian Numerik Dari Proses Pendinginan
Semi-Infinite Oleh Radiasi ................................................
19
23
25
33
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN5.1 Kesimpulan .......................................................................5.2 Saran .................................................................................
4748
DAFTAR PUSTAKA 49LAMPIRANListing program................................................................... 51
xv
DAFTAR GAMBAR
HalamanGambar 3.1 Diagram alirGambar 4.1 Grafik solusi numerik untuk N=5Gambar 4.2 Grafik solusi numerik untuk N=3Gambar 4.3 Grafik solusi numerik untuk N=4Gambar 4.4 Grafik solusi numerik untuk N=7
1641424243
xvi
โHalaman ini sengaja dikosongkanโ
xvii
DAFTAR TABEL
HalamanTabel 2.1 Tansformasi Laplace 12Tabel 4.1 Hasil numerik untuk N=5 41
xviii
โHalaman ini sengaja dikosongkanโ
xix
DAFTAR SIMBOL
= order integral dan diferensial fraksionalฮ = fungsi Gamma
= fungsi integral fraksional= variabel bebas= variabel waktuD = fungsi turunan fraksional= bilangan bulat positif terkecil yang mendekati q= derajat fungsi polinomial yang merupakan
bilangan real= konstanta turunan fraksional= koefisien panas( ) = fungsi t( , 0) = suhu permukaan= nilai awalโ( ) = bagian real dari z[0,โ) = fungsi yang kontinu pada selang [0,โ)(0, ) = suhu permukaan([0, ], ) = fungsi yang kontinu pada selang [0, ] pada
bilangan realโ = persamaan yang terbukti
xx
โhalaman ini sengaja dikosongkanโ
1
BAB IPENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan hal-hal yang melatarbelakangimunculnya permasalahan yang dibahas dalam Tugas Akhir ini.Kemudian permasalahan tersebut disusun kedalam suatu rumusanmasalah. Selanjutnya dijabarkan juga batasan masalah untukmendapatkan tujuan yang diinginkan serta manfaat yang dapatdiperoleh. Adapun sistematika penulisan Tugas Akhir diuraikanpada bagian akhir bab ini.
1.1 Latar BelakangKalkulus fraksional adalah cabang dari kajian tentang
turunan dan integral order bukan bilangan bulat (dinamakanintegral dan turunan fraksional). Secara khusus, matapelajaran ini melibatkan gagasan dan metode penyelesaianpersamaan diferensial yang melibatkan turunan fraksionaldari fungsi yang tidak diketahui yang dinamakan persamaandiferensial fraksional[5].
Kalkulus fraksional muncul hampir bersamaan dengankalkulus klasik ditetapkan. Kalkulus fraksional pertama kalidiperkenalkan dalam tulisan Leibniz pada lโHospital tahun1695, ketika ide untuk semi-turunan disarankan. Setelah itu,banyak ahli matematika yang membangun dasar kalkulusfraksional seperti Liouville, Riemann, Hadamard, Erdelyi-Kober, Griinwald-Letnikov, dan Caputo [3]. Namun,definisi yang paling sering digunakan adalah definisi dariRiemann-Louville dan Caputo.
Konsep dasar dan teori kalkulus fraksional telahdidefinisikan dengan sangat baik, namun terdapat beberapakesulitan untuk mengaplikasikannya dalam masalah nyata[7].Untuk mengatasi kesulitan ini didefinisikan turunan tipeCaputo. Konsep ini memiliki kemiripan dengan turunanRiemann-Louville.
2
Persamaan diferensial fraksional order 0 < < 1 tipeCaputo banyak digunakan untuk memodelkan masalah padafisika dan biologi[3]. Beberapa teknik untuk mendapatkansolusi dari persamaan diferensial fraksional telah dikajisebelumnya. Pada hampir semua teknik tersebut, solusi yangdiberikan merupakan solusi dari intergral volterra denganpengembangan kondisi awal.
Pada Tugas Akhir ini digunakan persamaan integralvolterra yang diberikan pada persamaan integral fraksionalyang didefinisikan Caputo pada order 0 < < 1 dengankondisi awal (0) = dan menghasilkan solusi eksak padapersamaan diferensial fraksional linier. Sedangkan persamaannonlinier menggunakan fraskional deret Taylor untukmenemukan solusi numerik. Untuk Tugas Akhir ini, hasilnumerik dari fraksional deret Taylor digunakan untukmenyelesaikan model untuk proses pendinginan semi-infiniteoleh radiasi.
1.2 Rumusan MasalahBerkaitan dengan latar belakang yang ada, permasalahan
yang dibahas pada Tugas Akhir ini antara lain :1. Bagaimanakah kajian dasar teori dari persamaan diferensial
fraksional?2. Bagaimanakah teknik untuk menemukan solusi numerik
pada persamaan diferensial fraksional tipe Caputo padamasalah proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi?
1.3 Batasan MasalahPermasalahan yang dibahas pada Tugas Akhir ini akan
dibatasi pada:1. Persamaan diferensial fraksional yang digunakan adalah tipe
Caputo2. Order yang digunakan adalah 0 < < 13. Intergal Volterra yang digunakan jenis kedua
3
4. Ditetapkan kondisi awal (0) =5. Untuk persamaan diferensial fraksional nonlinier
menggunakan hasil fraksional deret Taylor.
1.4 TujuanTujuan yang ingin dicapai dalam Tugas Akhir ini adalah :
1. Mengkaji dasar teori persamaan diferensial fraksional2. Menyelidiki teknik untuk menemukan solusi numerik pada
persamaan diferensial fraksional tipe Caputo pada masalahpada proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi.
1.5 ManfaatManfaat yang diharapkan dalam Tugas Akhir ini adalah :
1. Menambah pemahaman tentang persamaan diferensialfraksional
2. Memberikan referensi untuk mendapatkan solusi numerik daripersamaan diferensial fraksional tipe Caputo untukmeyelesaiakan masalah pada proses pendinginan semi-infiniteoleh radiasi.
1.6 Sistematika PenulisanTugas Akhir ini secara keseluruhan terdiri dari lima bab dan
lampiran. Secara garis besar masing-masing bab akan membahashal-hal sebagai berikut :
BAB I PENDAHULUANBab ini berisi latar belakang permasalahan, perumusanmasalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penulisanserta sistematika penulisan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKABab ini memaparkan dasar teori yang digunakan penulisdalam mengerjakan tugas akhir.
BAB III METODE PENELITIAN
4
Bab ini menjelaskan alur kerja dan metode yang digunakanpenulis dalam mengerjakan tugas akhir.
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASANBab ini menyajikan analisi mengenai beberapa sifat utamapada integral dan turunan fraksional Riemann-Louville,keseimbangan persamaan differensial fraksional denganpersamaan integral volterra, contoh penyelesaian eksak daripersamaan diferensial fraksional linier, penyelesaiannumerik dari proses pendinginan semi-infinite besertasimulasi numeriknya.
BAB V PENUTUPBab ini berisi kesimpulan dan saran dari penulis mengenaipersamaan diferensial fraksional tipe Caputo besertaaplikasinya pada proses pendinginan tubuh semi-infiniteoleh radiasi.
LAMPIRAN
5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai tinjauan pustaka yang menjadi dasar materi dalam penyusunan tugas akhir serta menunjang metode โ metode yang digunakan dalam pembahasan tugas akhir ini. 2.1 Fungsi Gamma
Di dalam matematika, fungsi Gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani ฮ). Fungsi Gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali untuk bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks dengan bagian real positif, fungsi Gamma terdefinisi melalui integral tak wajar yang konvergen.
Definisi 2.1 Fungsi Gamma didefinisikan dengan[3]:
ฮ(๐๐) = โซ ๐ก๐ก๐๐โ1๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก, โ(๐๐) > 0โ0 (2.1)
Fungsi Gamma ini dikenal sebagai Integral Euler jenis kedua. Fungsi reduksi Gamma diberikan dengan:
ฮ(๐๐ + 1) = ๏ฟฝ ๐ก๐ก๐๐+1โ1๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
0
= ๏ฟฝ ๐ก๐ก๐๐๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
0
Menggunakan integrasi parsial untuk: ๐ข๐ข = ๐ก๐ก๐๐ ๐๐๐ข๐ข = ๐๐๐ก๐ก๐๐โ1๐๐๐ก๐ก ๐ฃ๐ฃ = โซ ๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก ๐ฃ๐ฃ = โ๐๐โ๐ก๐ก maka persamaan menjadi
ฮ(๐๐ + 1) = [lim๐ก๐กโโ
โ๐๐โ๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐ + ๐๐โ00๐๐ ] โ๏ฟฝ โ๐๐๐ก๐ก๐๐โ1๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
0
6
ฮ(๐๐ + 1) = [lim๐ก๐กโโ
โ1๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก๐๐ + 0] โ๏ฟฝ โ๐๐๐ก๐ก๐๐โ1๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก
โ
0
ฮ(๐๐+ 1) = 0 + ๐๐๏ฟฝ ๐ก๐ก๐๐โ1๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
0
ฮ(๐๐ + 1) = ๐๐ฮ(๐๐) (2.2) Misalkan untuk ๐๐ = 1, maka diperoleh:
ฮ(1) = ๏ฟฝ ๐ก๐ก1โ1๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
0
= ๏ฟฝ ๐ก๐ก0๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐กโ
0
= lim๐๐โโ
๏ฟฝ ๐๐โ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก๐๐
0
= lim๐๐โโ
[โ๐๐โ๐ก๐ก ]๐๐0
= lim๐๐โโ
[โ๐๐โ๐๐ โ (โ๐๐โ0)]
=[0 โ (โ1)] = 1
Dengan menggunakan fungsi reduksi Gamma, untuk ๐๐ = 1, diperoleh:
ฮ(1 + 1) = 1ฮ(1) ฮ(2) = 1ฮ(1)
Karena ฮ(1) = 1, maka: ฮ(2) = 1
ฮ(2) = (2โ 1)! Untuk ๐๐ = 2, diperoleh:
ฮ(2 + 1) = 2ฮ(2) ฮ(3) = 2x1ฮ(1)
= 2x1 ฮ(3) = (3โ 1)!
Begitu seterusnya, sehingga didapat untuk ๐๐ โ โ maka: ฮ(๐๐) = (๐๐ โ 1)! (2.3)
7
2.2 Integral Fraksional dan Turunan Fraksional Perumusan untuk turunan dan integral fraksional
sebenarnya adalah hasil pengembangan dari integral dan turunan order bilangan bulat. Namun, turunan dan integral fraksional tidak memiliki order bilangan bulat melainkan pecahan. Misalkan q adalah order dari integral dan turunan fraksional maka selang pada q adalah 0<q<1.
Definisi 2.2 Integral fraksional tipe Riemann-Liouville pada order ๐๐ > 0 dan
fungsi ๐ผ๐ผ๐๐ : (0, โ) โ ๐ ๐ didefinisikan dengan[1]: ๐ผ๐ผ๐๐๐๐(๐ก๐ก) = 1
ฮ(๐๐) โซ (๐ก๐ก โ ๐ ๐ )๐๐โ1๐๐(๐ ๐ )๐๐๐ ๐ .๐ก๐ก0 (2.4)
Definisi 2.3 Turunan fraksional tipe Riemann-Liouville pada order ๐๐ > 0 dan
fungsi ๐ท๐ท๐๐ : (0, โ) โ ๐ ๐ didefinisikan dengan[1]:
๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก) =๐๐๐๐
๐๐๐ก๐ก๐๐1
ฮ(๐๐ โ ๐๐)๏ฟฝ(๐ก๐ก โ ๐ ๐ )๐๐โ๐๐โ1๐๐(๐ ๐ )๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก
0,
๐๐ โ 1 < ๐๐ โค ๐๐ (2.5)
Terlihat bahwa turunan fraksional merupakan pengembangan dari integral fraksional. Akan tetapi, pada turunan fraksional terdapat variabel n yang merupakan bilangan bulat positif terkecil yang mendekati order dari turunan fraksional tersebut.
Terdapat cara lain untuk menghitung tururnan fraksional, yaitu dengan menggunakan turunana fraksional tipe Caputo. Tipe ini diperkenalkan Caputo pada paper yang dibuatnya tahun 1967. Berbeda dengan turunan fraksional Riemann-Lioville, ketika menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan tipe Caputo, tidak perlu mendefinisikan kondisi awal order fraksional.
8
Definisi 2.4 Fungsi ๐๐: [๐๐, ๐๐] โ โ dikatakan sebagai kontinu absolut pada [๐๐, ๐๐] jika untuk setiap ๐๐ > 0 terdapat ๐ฟ๐ฟ > 0 sehingga
{[๐๐๐๐ ,๐๐๐๐]: 1 โค ๐๐ โค ๐๐} dengan
๏ฟฝ|๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ | <๐๐
๐๐=1
๐ฟ๐ฟ
berakibat
๏ฟฝ|๐๐(๐๐๐๐)โ ๐๐(๐๐๐๐)| < ๐๐๐๐
๐๐=1
Fungsi tersebut biasa dinamakan dengan ๐ด๐ด๐ด๐ด[๐๐, ๐๐][11]. Definisi 2.5 Turunan fraksional tipe Caputo pada order 0 < ๐๐ < 1 dan fungsi
๐๐(๐ก๐ก) โ ๐ด๐ด๐ด๐ด[๐๐, ๐๐] didefinisikan dengan[3]: ๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก) = 1
๐ค๐ค(1โ๐๐)โซ (๐ก๐ก โ ๐ ๐ )๐๐๐๐โฒ(๐ ๐ )๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก0 (2.6)
Definisi 2.6 Turunan fraksional Riemann-Liouville dengan fungsi ๐๐(๐ก๐ก) =(๐ก๐ก โ ๐๐)๐ฃ๐ฃ untuk v adalah bilangan real didefinisikan sebagai[8]
๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก) = ๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃ+1)๐ค๐ค(๐ฃ๐ฃโ๐๐+1)
(๐ก๐ก โ ๐๐)๐ฃ๐ฃโ๐๐ (2.7) Lemma 2.1[3]
a. Jika ๐๐ > 0, ๐ก๐ก > 0 maka ๐ผ๐ผ๐๐๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) (2.8)
b. Jika ๐๐(๐ก๐ก) โ ๐ฟ๐ฟ1(๐๐, ๐๐) dan ๐ผ๐ผ๐๐โ๐๐๐๐(๐ก๐ก) โ ๐ด๐ด๐ด๐ด๐๐ [๐๐, ๐๐] maka
(๐ผ๐ผ๐๐๐ท๐ท๐๐๐๐)(๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) โ๏ฟฝ ๐ฆ๐ฆ(๐๐โ๐๐ )(๐๐)(๐ก๐ก โ ๐๐)๐๐โ๐๐
ฮ(๐๐ โ ๐๐ + 1)
๐๐
๐๐=1
๐ฆ๐ฆ(๐๐โ๐๐ )(๐ก๐ก) = (๐ผ๐ผ๐๐โ๐๐๐๐)(๐ก๐ก) (2.9)
dengan ๐ฟ๐ฟ1[๐๐, ๐๐] โ ๏ฟฝ๐๐:โซ |๐๐| < โ๐๐๐๐ ๏ฟฝ dan
9
๐ด๐ด๐ด๐ด๐๐ [๐๐, ๐๐] โ ๏ฟฝ๐๐: [๐๐, ๐๐] โ โ ๐๐๐๐๐๐ (๐ท๐ท๐๐โ1๐๐)(๐ฅ๐ฅ)
โ ๐ด๐ด๐ด๐ด[๐๐, ๐๐] ๏ฟฝ๐ท๐ท =๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ๏ฟฝ๏ฟฝ
Beberapa sifat utama pada integral dan turunan fraksional Riemann-Louville adalah[3]:
1. Jika ๐๐ โ ๐ด๐ด[0, โ), integral order fraksional Riemann-Louville memiliki sifat penting:
๐ผ๐ผ๐๐ ๏ฟฝ๐ผ๐ผ๐๐๐๐(๐ก๐ก)๏ฟฝ = ๐ผ๐ผ๐๐+๐๐๐๐(๐ก๐ก) dengan ๐๐ > 0 dan ๐๐ > 0.
2. Untuk ๐๐ > 0, ๐ก๐ก > 0, ๐ท๐ท๐๐(๐ผ๐ผ๐๐๐๐(๐ก๐ก)) = ๐๐(๐ก๐ก)
3. Jika turunan fraksional sebuah fungsi yang memiliki order ๐๐ dapat diintegralkan maka
๐ผ๐ผ๐๐ (๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก)) = ๐๐(๐ก๐ก) โ โ ๏ฟฝ๐ท๐ท๐๐โ๐๐ ๐๐(๐ก๐ก)๏ฟฝ ๐ก๐ก๐๐โ๐๐
ฮ(๐๐โ๐๐+1)๐๐๐๐=1
๐๐ โ 1 < ๐๐ โค ๐๐ dan jika ๐๐ < 0,๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก) didefinisikan sebagai
๐ท๐ท๐๐๐๐(๐ก๐ก) = ๐ผ๐ผโ๐๐๐๐(๐ก๐ก) 4. Turunan fraksional Riemann-Liouville dengan
konstanta c diberikan oleh
๐ท๐ท๐๐(๐๐) = ๐๐๐ก๐ก โ๐๐
ฮ(1โ๐๐)
Salah satu keuntungan penting dalam menggunakan turunan fraksional tipe Caputo adalah turunan Caputo dengan konstanta adalah nol atau ๐ท๐ท๐๐(๐๐) = 0.
10
2.3 Integral Volterra Terdapat beberapa persamaan integral volterra yang
diketahui[4]. Namun, pada Tugas Akhir ini persamaan yang digunakan hanyalah persamaan integral volterra jenis kedua.
Definisi 2.7 Persamaan linier intergal volterra jenis kedua didefinisikan
dengan[4]: ๐ข๐ข(๐ก๐ก) = ๐๐(๐ก๐ก) + โซ ๐พ๐พ(๐ก๐ก, ๐ ๐ )๐ข๐ข(๐ ๐ )๐๐๐ ๐ ๐ก๐ก โ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก
0 (2.10) dengan ๐พ๐พ(๐ก๐ก, ๐ ๐ ): kernel fungsi integral Volterra
๐๐(๐ก๐ก): fungsi yang diberikan, dan
I: = {๐ก๐ก: ๐ก๐ก1 โค ๐ก๐ก2 โค โฏ โค ๐๐}, ๐๐ > 0,๐๐ โ โ
2.4 Masalah Nilai Batas
Misalkan terdapat persamaan diferensial fraksional ๐ท๐ท๐๐๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก) = ๐๐๏ฟฝ๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)๏ฟฝ (2.11) ๐ฅ๐ฅ(0) = ๐ฅ๐ฅ0 (2.12)
Dengan fungsi ๐๐(๐ก๐ก, ๐ฅ๐ฅ(๐ก๐ก)) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu di dalam suatu selang ๐๐ โค ๐ก๐ก โค ๐๐. Persamaan diferensial bersama-sama dengan syarat awal, disebut suatu masalah nilai awal (MNA). Jika mencari suatu penyelesaian x(t) dari persamaan diferensial yang memenuhi syarat pada titik akhir dari selang ๐๐ โค ๐ก๐ก โค ๐๐, maka diberikan suatu syarat tambahan, misalkan: ๐ฅ๐ฅ(๐๐) = ๐ด๐ด ๐๐๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ(๐๐) = ๐ต๐ต (2.13)
A dan B adalah dua buah konstanta. Syarat (2.13) yang diberikan pada titik akhir (atau titik batas) dari selang ๐๐ โค ๐ก๐ก โค ๐๐ disebut syarat batas. Persamaan diferensial bersama-sama dengan syarat batas , disebut suatu masalah nilai batas (MNB). Suatu
11
MNB dapat mempunyai tepat satu penyelesaian, takberhingga penyelesaian, atau tak mempunyai penyelesaian[6].
2.5 Pendinginan Semi-Infinite
Masalah nilai batas pada proses pendinginan semi infinite oleh radiasi didefinisikan dengan[8]:
๐๐๐ข๐ข๐๐๐ก๐ก
= ๐๐2๐ข๐ข๐๐2๐ฅ๐ฅ
, 0 < ๐ฅ๐ฅ < โ, 0 < ๐ก๐ก < โ. (2.14)
Menggunakan pemisahan variabel, didapat:
๐ข๐ข(๐ฅ๐ฅ, ๐ก๐ก) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ).๐๐(๐ก๐ก)
Subjek untuk kondisi awal
๐๐๐ข๐ข๐๐๐ก๐ก
(๐ก๐ก, 0) = ๐๐๐ข๐ข4(๐ก๐ก), ๐ข๐ข(๐ก๐ก,โ) = ๐ข๐ข(0, ๐ฅ๐ฅ) = ๐ข๐ข0. (2.15)
๐๐๐ข๐ข๐๐๐ก๐ก
(๐ก๐ก, 0) merupakan representasi dari turunan fraksional ๐ข๐ข(๐ฅ๐ฅ, ๐ก๐ก) yang didefinisikan dengan:
๐๐๐ข๐ข๐๐๐ก๐ก
(๐ก๐ก, 0) = ๐ท๐ท12๏ฟฝ๐ข๐ข0 โ ๐ข๐ข(๐ก๐ก, 0)๏ฟฝ. (2.16)
Sesuai dengan masalah nilai batas satu-dimensi untuk fungsi diferensial fraksional non-linear diperoleh:
๐ท๐ท12๐๐(๐ก๐ก) โ ๐๐๏ฟฝ๐ข๐ข0 โ ๐๐(๐ก๐ก)๏ฟฝ
4= 0, ๐ก๐ก > 0,
๐๐(0) = 0 (2.17)
Dengan ๐๐(๐ก๐ก) = ๐ข๐ข0 โ ๐ข๐ข(0, ๐ก๐ก)
12
2.6 Fraksional Deret Taylor Andaikan f dan semua turunannya, fโ, fโโ, fโโโ, ..., berada di
dalam selang [a, b]. Misalkan ๐ฅ๐ฅ0 โ [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar ๐ฅ๐ฅ0 dan x โ [a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor[12]: ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0) + (๐ฅ๐ฅโ๐ฅ๐ฅ0)
1!๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ0) + (๐ฅ๐ฅโ๐ฅ๐ฅ0)2
2!๐๐โฒโฒ(๐ฅ๐ฅ0) + โฏ+
(๐ฅ๐ฅโ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
๐๐ !๐๐(๐๐ )(๐ฅ๐ฅ0) +โฏ (2.18)
Jika dimisalkan x - ๐ฅ๐ฅ0= t, maka f(x) dapat juga ditulis sebagai:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0) +๐ก๐ก1!๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ0) +
(๐ก๐ก)2
2!๐๐โฒโฒ(๐ฅ๐ฅ0) + โฏ
+ (๐ก๐ก)๐๐
๐๐ !๐๐(๐๐ )(๐ฅ๐ฅ0) + โฏ (2.19)
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar ๐ฅ๐ฅ0 = 0, maka deret pada persamaan (2.19) dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Kasus ๐ฅ๐ฅ0 = 0 paling sering muncul dalam praktek.
Definisi 2.8
Perluasan deret Taylor didefinisikan dengan[12]:
๐๐(๐ก๐ก) = โ ๐๐(๐๐ )(๐๐)๐๐ !
(๐ก๐ก โ ๐๐)๐๐โ๐๐=0 (2.20)
Untuk mendapatkan fraksional deret Taylor maka ๐๐(๐๐)(๐๐) disubtitusi dengan ๐ท๐ท๐๐๐๐ ๐๐(๐๐) dan ๐๐! disubtitusi dengan fungsi gamma ฮ(๐๐๐๐ + 1) serta ๐ก๐ก๐๐ disubtitusi dengan ๐ก๐ก๐๐๐๐ , maka didapat fraksional deret Taylor yaitu:
๐๐(๐ก๐ก) = โ (๐ก๐กโ๐๐)๐๐๐๐
ฮ(๐๐๐๐+1)๐๐๐๐=0 ๏ฟฝ๐ท๐ท๐๐๐๐ ๐๐๏ฟฝ(๐๐) (2.21)
13
2.7 Transformasi Laplace Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional
yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat dirubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar kompleks.
Definisi 2.9
Tranformasi Laplace dari ๐๐(๐ก๐ก) didefinisikan oleh[11]: โ[๐๐(๐ก๐ก)] = ๐น๐น(๐ ๐ ) = โซ ๐๐(๐ก๐ก)๐๐โ๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐๐ก๐ก.โ
0 (2.22) Adapun beberapa fungsi transformasi laplace yang sering
digunakan tertera pada tabel dibawah:
Tabel 2.1 Transformasi Laplace N0 ๐๐(๐ก๐ก) ๐น๐น(๐ ๐ ) 1 1 1
๐ ๐
2 ๐ก๐ก 1๐ ๐ 2
3 ๐ก๐ก๐๐ ๐๐!๐ ๐ ๐๐+1
4 ๐ก๐ก๐๐โ๐๐๐ก๐ก 1(๐ ๐ + ๐๐)2
5 sin๐๐๐ก๐ก ๐๐๐ ๐ 2 +๐๐2
6 cos๐๐๐ก๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ 2 +๐๐2
7 ๐ก๐ก๐๐ ๐๐โ๐๐๐ก๐ก ๐๐!(๐ ๐ + ๐๐)๐๐+1
8 1๐๐ โ ๐๐
(๐๐โ๐๐๐ก๐ก โ ๐๐โ๐๐๐ก๐ก ) 1
(๐ ๐ + ๐๐)(๐ ๐ + ๐๐)
14
9 1๐๐ โ ๐๐
(๐๐๐๐โ๐๐๐ก๐ก โ ๐๐๐๐โ๐๐๐ก๐ก ) ๐ ๐
(๐ ๐ + ๐๐)(๐ ๐ + ๐๐)
10 ๐๐โ๐๐๐ก๐ก sin๐๐๐ก๐ก ๐๐(๐ ๐ + ๐๐)2 +๐๐2
11 ๐๐โ๐๐๐ก๐ก cos๐๐๐ก๐ก ๐ ๐ + ๐๐(๐ ๐ + ๐๐)2 +๐๐2
12 1๐๐2 [๐๐๐ก๐ก โ 1 + ๐๐โ๐๐๐ก๐ก ]
1๐ ๐ 2(๐ ๐ + ๐๐)
Teorema 2.1 (Teorema konvolusi)
Jika โ{๐๐(๐ก๐ก)} = ๐น๐น(๐ ๐ ), โ{๐๐(๐ก๐ก)} = ๐บ๐บ(๐ ๐ ), maka โ ๏ฟฝโซ ๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ก๐ก โ ๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก
0 ๏ฟฝ = ๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ ) (2.23) Bukti Diketahui ๐น๐น(๐ ๐ ) = โซ ๐๐โ๐ ๐ ๐ข๐ข ๐๐(๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข, โ
0
๐บ๐บ(๐ ๐ ) = ๏ฟฝ ๐๐โ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐(๐ฃ๐ฃ)๐๐๐ฃ๐ฃโ
0
maka perkalian keduanya menghasilkan
๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ ) = ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐โ๐ ๐ ๐ข๐ข๐๐(๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ขโ
0๏ฟฝ ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐โ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐๐(๐ฃ๐ฃ)๐๐๐ฃ๐ฃ
โ
0๏ฟฝ
๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ ) = ๏ฟฝ โ
0๏ฟฝ ๐๐โ๐ ๐ (๐ข๐ข+๐ฃ๐ฃ)๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ฃ๐ฃ)๐๐๐ข๐ข๐๐๐ฃ๐ฃโ
0
Menggunakan integral subtitusi, misalkan ๐ก๐ก = ๐ข๐ข + ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐ฃ๐ฃ
Persamaan baru diperoleh
๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ ) = ๏ฟฝ โ
๐ก๐ก=0๏ฟฝ ๐๐โ๐ ๐ ๐ก๐ก๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ก๐ก โ ๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข๐๐๐ก๐ก๐ก๐ก
๐ข๐ข=0
๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ ) = ๏ฟฝ ๐๐โ๐ ๐ ๐ก๐ก โ
๐ก๐ก=0๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ก๐ก โ ๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข
๐ก๐ก
๐ข๐ข=0๏ฟฝ ๐๐๐ก๐ก
๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ ) = โ ๏ฟฝโซ ๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ก๐ก โ ๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก๐ข๐ข=0 ๏ฟฝ โ
15
Integral tersebut dinamakan sebagai konvolusi dari f dan g, dan ditulis
๐๐ โ ๐๐ = โซ ๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ก๐ก โ ๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก0 (2.24)
Dengan cara yang sama seperti pada Teorema 2.1, jika โโ1{๐น๐น(๐ ๐ )} = ๐๐(๐ก๐ก),โโ1{๐บ๐บ(๐ ๐ )} = ๐๐(๐ก๐ก), maka
โโ1{๐น๐น(๐ ๐ )๐บ๐บ(๐ ๐ )} = โซ ๐๐(๐ข๐ข)๐๐(๐ก๐ก โ ๐ข๐ข)๐๐๐ข๐ข๐ก๐ก0 (2.25)
16
โhalaman ini sengaja dikosongkanโ
17
BAB IIIMETODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini dijelaskan bagaimana langkah-langkah yangdilakukan dalam melakukan analisis persamaan diferensialfraksional tipe Caputo dan aplikasi pada proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi.
3.1 Studi LiteraturPada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dan
pemahaman teori dengan mencari referensi yang menunjangpenelitian. Referensi yang dipakai adalah tugas akhir, jurnal, bukumaupun artikel dari internet
3.2 Tahap Mengkaji Persamaan Diferensial FraksionalPada tahap ini dilakukan kajian dasar teori dari persamaan
diferensial fraksional dengan membuktikan keseimbanganpersamaan dengan integral volterra dengan persamaan diferensialfraksional serta membuktikan sifat-sifat dari persamaandiferensial tersebut.
3.3 Tahap Perhitungan Numerik Model Pada ProsesPendinginan Semi-Infinite Oleh RadiasiPada tahap ini akan diselesaikan perhitungan numerik model
pada pendinginan semi-infinite oleh radiasi dengan menggunakanfraksional deret Taylor.
3.4 Tahap Simulasi Numerik Model Pada Proses PendinginanSemi-Infinite Oleh RadiasiTahap simulasi numerik dilakukan menggunakan software
pemrograman MATLAB untuk menggambarkan grafik danpenyelesaian numerik model pada Proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi.
18
3.5 Kesimpulan dan SaranSetelah dilakukan analisis dan pembahasan maka dapat
ditarik suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untukpengembangan penelitian lebih lanjut.
3.6 Diagram AlirDiagram alir dimaksudkan untuk memudahkan dalam
pengerjaan Tugas Akhir agar lebih sistematis. Diagram alir yangdigunakan pada penelitian ini disajikan pada gambar berikut :
Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian
Kajian Persamaan Diferensial Fraksional
Mencari Nilai Numerik Untuk Model PadaProses Pendinginan Semi-Infinte Oleh
Radiasi
Simulasi Numerik
Kesimpulan
Studi Literatur
19
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas mengenai beberapa sifat utama pada
integral dan turunan fraksional Riemann-Louville, keseimbangan persamaan differensial fraksional dengan persamaan integral volterra, beberapa contoh penyelesaian eksak persamaan diferensial fraksional linier serta penyelesaian numerik dari proses pendinginan semi-infinite.
4.1 Sifat-sifat Utama pada Integral dan Turunan Fraksional Riemann-Louville Pada dasarnya, konsep integral dan turunan adalah dapat
mengintegralkan atau menurunkan suatu fungsi sebanyak satu, dua, tiga kali bahkan sampai n kali. Dimana n adalah order bilangan bulat. Namun, pada integral dan turunan fraksional, hal tersebut tidak dapat dilakukan memngingat order yang digunakan bukan order bilangan bulat. Oleh karena itu, terdapat beberapa sifat penting dari integral dan turunan fraksional yang dapat digunakan untuk membantu dalam mendapatkan solusi dari turunan dan untegral tersebut. Mengingat terdapat beberapa macam definisi integral dan turunan fraksional, dan yang sering digunakan adalah adalah integral dan turunan Rimann-liouville, maka sifat yang digunakan pun adalah sifat dari tipe tersebut. Sifat-sifat ini nantinya dapat diaplikasikan pula untuk tipe Caputo.
Integral dan turunan fraksional Riemann-Louville memiliki beberapa sifat utama, sebagai berikut:
Sifat 1 Jika ๐ โ ๐ถ[0,โ), maka integral Riemann-Louville dapat didefinisikan sebagai:
๐ผ๐๏ฟฝ๐ผ๐๐(๐ก)๏ฟฝ = ๐ผ๐+๐๐(๐ก) (4.1) ๐ > 0 dan ๐ > 0.
Bukti.
20
Dengan menggunakan definisi dari integral Riemann-Liouville diperoleh
๐ผ๐๏ฟฝ๐ผ๐๐(๐ก)๏ฟฝ = ๐ผ๐ ๏ฟฝ1
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐(๐ )๐๐ .๐ก
0๏ฟฝ
=1
ฮ(๐)๏ฟฝ(๐ก โ ๐ )๐โ1๐ก
0
๏ฟฝ๏ฟฝ1
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐(๐ )๐๐ .๐ก
0๏ฟฝ๐๐ ๏ฟฝ
=1
ฮ(๐)1
ฮ(๐)
๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐ก
0๏ฟฝ๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐(๐ )๐๐ .
๐ก
0๏ฟฝ๐๐
=1
ฮ(๐ + ๐)
๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐ก
0๐(๐ )๐๐ .๏ฟฝ๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1
๐ก
0๐(๐ )๐๐ ๏ฟฝ
๐ผ๐๏ฟฝ๐ผ๐๐(๐ก)๏ฟฝ = ๐ผ๐+๐๐(๐ก) โ
Sifat 2 Untuk ๐ > 0, ๐ก > 0,
๐ท๐(๐ผ๐๐(๐ก)) = ๐(๐ก) (4.2) Bukti. Dengan menggunakan definisi dari turunan fraksional Riemann-Liouville maka diperoleh
๐ท๐๐(๐ก) =๐๐
๐๐ก๐1
ฮ(๐ โ ๐)๏ฟฝ(๐ก โ ๐ )๐โ๐โ1๐๐ ๐ก
0
=๐๐
๐๐ก๐(๐ผ๐โ๐๐(๐ก))
21
๐ท๐(๐ผ๐๐(๐ก)) =๐๐
๐๐ก๐(๐ผ๐โ๐๐ผ๐๐(๐ก))
Dengan menggunakan sifat pertama didapat
๐ท๐(๐ผ๐๐(๐ก)) =๐๐
๐๐ก๐(๐ผ๐โ๐+๐๐(๐ก))
๐ท๐(๐ผ๐๐(๐ก)) =๐๐
๐๐ก๐(๐ผ๐๐(๐ก))
๐ท๐(๐ผ๐๐(๐ก)) = ๐(๐ก) โ Sifat 3 Jika turunan fraksional sebuah fungsi yang memiliki order ๐ dapat diintegralkan maka
๐ผ๐(๐ท๐๐(๐ก)) = ๐(๐ก) โ โ ๏ฟฝ๐ท๐โ๐๐(๐ก)๏ฟฝ ๐ก๐โ๐
ฮ(๐โ๐+1)๐๐=1
๐ โ 1 < ๐ โค ๐ (4.3) Bukti. Menggunakan Lemma 2.1 didapat:
(๐ผ๐๐ท๐๐)(๐ก) = ๐(๐ก) โ๏ฟฝ ๐ฆ(๐โ๐)(๐)(๐ก โ ๐)๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
,๐ฆ(๐โ๐)(๐ก) = (๐ผ๐โ๐๐)(๐ก)
๐ท๐โ๐๐(๐ก) =๐๐โ๐
๐๐ก๐โ๐๏ฟฝ๐ผ(๐โ๐)โ(๐โ๐)๐๏ฟฝ(๐ก) = ๐ฆ(๐โ๐)(๐ก)
Sehingga diperoleh:
๐ผ๐(๐ท๐๐(๐ก)) = ๐(๐ก) โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ท๐โ๐๐(๐ก)๏ฟฝ๐ก๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
jika ๐ < 0,๐ท๐๐(๐ก) didefinisikan sebagai
๐ท๐๐(๐ก) = ๐ผโ๐๐(๐ก)
22
Dengan ๐ท๐๐(๐ก) adalah definisi turunan fraksional, maka diperoleh:
๐ท๐๐(๐ก) =๐๐
๐๐ก๐ ๏ฟฝ๐ผ๐โ๐๐(๐ก)๏ฟฝ ,๐ โ 1 < ๐ โค ๐
Jika ๐ < 0 maka ๐ < 0 sehingga:
๐ท๐๐(๐ก) = ๐ผโ๐๐(๐ก) โ Sifat 4 Turunan fraksional Riemann-Liouville dengan konstanta c diberikan oleh
๐ท๐(๐) = ๐๐กโ๐
ฮ(1โ๐) (4.4)
Bukti. Menggunakan Definisi 2.2 dan mensubtitusi ๐(๐ก) = (๐)1 diperoleh
๐ท๐(๐) =๐๐
๐๐ก๐1
ฮ(๐ โ ๐)๏ฟฝ(๐ก โ ๐ )๐โ๐โ1๐ ๐๐ ๐ก
0,
๐ โ 1 < ๐ โค ๐ Untuk n=1 diperoleh
๐ท๐(๐) =๐๐๐ก
1ฮ(1 โ ๐)๏ฟฝ
(๐ก โ ๐ )1โ๐โ1๐ ๐๐ ๐ก
0,
23
๐ท๐(๐) =๐
ฮ(1 โ ๐)๐๐๐ก
๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )โ๐ ๐๐ ๐ก
0,
๐ท๐(๐) =๐
ฮ(1 โ ๐) [(๐ก โ ๐ )โ๐]๐ =0๐ก
๐ท๐(๐) = ๐๐กโ๐
ฮ(1โ๐) โ
Salah satu keuntungan penting dalam menggunakan turunan fraksional tipe Caputo bahwa turunan Caputo dengan konstanta bernilai nol.
Menggunakan Definisi 2.5 dan mensubtitusi ๐(๐ก) = (๐)1 diperoleh
๐ท๐(๐) =1
ฮ(1 โ ๐)๏ฟฝ(๐ก โ ๐ )๐๐โฒ๐๐ ๐ก
0
=1
ฮ(1 โ ๐)๏ฟฝ(๐ก โ ๐ )๐0๐๐ ๐ก
0
๐ท๐(๐) = 0 (4.5)
4.2 Keseimbangan Persamaan Differensial Fraksional dengan
Persamaan Integral Volterra Nilai awal dari persamaan diferensial fraksional tipe Caputo
diberikan oleh[1]: ๐ท๐๐ฅ(๐ก) = ๐๏ฟฝ๐ก, ๐ฅ(๐ก)๏ฟฝ (4.6) ๐ฅ(0) = ๐ฅ0
๐ โ ๐ถ([0,๐],๐ ), 0 < ๐ < 1 Sedangkan integral volterra jenis kedua didefinisikan
sebagai: ๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 + 1
ฮ(๐)โซ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ ,๐ก0 (4.7)
0 โค ๐ก โค ๐ ๐ > 0,๐ โ โ.
24
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa solusi pada persamaan diferensial fraksional tipe Caputo merupakan solusi dari integral volterra jika dan hanya jika solusi dari integral volterra merupakan solusi dari persamaan diferensial fraksional tipe Caputo. Hal ini tertuang pada teorema berikut:
Teorema 4.1 Solusi persamaan (4.6) merupakan solusi dari persamaan
(4.7) dan begitu pula sebaliknya.
Bukti (โ) Menggunakan sifat 3, yakni:
๐ผ๐(๐ท๐๐ฅ(๐ก)) = ๐ฅ(๐ก) โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ท๐โ๐๐(๐ก)๏ฟฝ๐ก๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
๐ฅ(๐ก) = ๐ผ๐(๐ท๐๐ฅ(๐ก)) + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ท๐โ๐๐(๐ก)๏ฟฝ๐ก๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
dengan : ๐ผ๐(๐ท๐๐ฅ(๐ก)) = ๐ผ๐ ๏ฟฝ๐๏ฟฝ๐ก, ๐ฅ(๐ก)๏ฟฝ๏ฟฝ
๐ผ๐(๐ท๐๐ฅ(๐ก)) =1
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ .๐ก
0
๏ฟฝDqโjf(t)๏ฟฝ = bj maka
๐ฅ(๐ก) = ๏ฟฝ๐๐๐ก๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
+1
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ .๐ก
0
Untuk x0 = โ bjtqโj
ฮ(qโj+1)nj=1 diperoleh
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1
ฮ(๐)๏ฟฝ(๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ ,๐ก
0
Terbukti bahwa solusi dari persamaan diferensial tipe Caputo merupakan solusi dari integral volterra.
25
Bukti (โ) Dari pembuktian sebelumnya didapatkan
๐ฅ(๐ก) = ๏ฟฝ๐๐๐ก๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
+1
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ .๐ก
0
Kalikan kedua sisi dengan Dq maka persamaan menjadi
Dq๐ฅ(๐ก) = ๏ฟฝ๐๐Dq๐ก๐โ๐
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
+Dq
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ .๐ก
0
Karena Dq๐ก๐โ๐ = 0 untuk ๐ = 1,2, โฆ๐ maka
Dq๐ฅ(๐ก) = ๏ฟฝ๐๐0
ฮ(๐ โ ๐ + 1)
๐
๐=1
+Dq
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ .๐ก
0
Dq๐ฅ(๐ก) = 0 +Dq
ฮ(๐)๏ฟฝ (๐ก โ ๐ )๐โ1๐๏ฟฝ๐ , ๐ฅ(๐ )๏ฟฝ๐๐ .๐ก
0
Dq๐ฅ(๐ก) = Dq๐ผ๐ ๏ฟฝ๐๏ฟฝ๐ก, ๐ฅ(๐ก)๏ฟฝ๏ฟฝ Dengan Lemma 2.1 diperoleh
๐ท๐๐ฅ(๐ก) = ๐๏ฟฝ๐ก, ๐ฅ(๐ก)๏ฟฝ Terbukti bahwa solusi dari integral volterra merupakan solusi
dari persamaan diferensial fraksional tipe Caputo.
4.3 Beberapa Contoh Penyelesaian Eksak Persamaan Diferensial Fraksional Linier Pada sub bab ini akan dibahas dua contoh persamaan
diferensial fraksional linier beserta solusi eksaknya. Contoh 4.1
Terdapat persamaan diferensial fraksional dari suatu fungsi t dengan order ยฝ yang didefinisikan dengan:
๐ท12๐ฅ(๐ก) = ๐ก (4.8)
26
Akan didapatkan solusi dari fungsi t atau ๐ฅ(๐ก) dengan menggunakan solusi integral volterra.
Dengan menggunakan solusi dari integral volterra maka solusi untuk persamaan (4.8) adalah
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 + 1ฮ(12)
โซ ๐ (๐กโ๐ )1/2 ๐๐
๐ก0 (4.9)
Menggunakan integral parsial, dimisalkan: ๐ข = ๐ ๐๐ข = ๐๐
๐ฃ = ๏ฟฝ1
(๐ก โ ๐ )1/2 ๐๐
๐ฃ = โ2โ๐ก โ ๐ maka didapat persamaan baru, yakni:
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1
ฮ(12)๏ฟฝโ2๐ โ๐ก โ ๐ โ ๏ฟฝโ2โ๐ก โ ๐ ๐๐ ๏ฟฝ
0
๐ก
Mencari nilai ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ.
ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ didefinisikan sebagai fungsi Gamma dengan:
ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ = ๏ฟฝ ๐ก
12โ1๐โ๐ก๐๐ก
โ
0
ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ = โซ ๐กโ1/2๐โ๐ก๐๐กโ
0
ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ = lim
๐โโ๏ฟฝ ๐กโ1/2๐โ๐ก๐๐ก๐
0
Dengan menggunakan integral subtitusi, misalkan ๐ก = ๐ข2
๐๐ก = 2๐ข ๐๐ข ๐กโ1/2 = (๐ข2)โ1/2 ๐กโ1/2 = ๐ขโ1
Persamaan integral menjadi:
ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ = lim
๐โโ๏ฟฝ ๐ขโ1๐โ๐ข22๐ข ๐๐ข๐
0
= 2 lim๐โโ
๏ฟฝ ๐โ๐ข2 ๐๐ข๐
0
27
= 2 lim๐โโ
๏ฟฝ ๐โ๐ฃ2 ๐๐ฃ๐
0
๏ฟฝฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ๏ฟฝ2
= ๏ฟฝ2 lim๐โโ
๏ฟฝ ๐โ๐ข2 ๐๐ข๐
0๏ฟฝ๏ฟฝ2 lim
๐โโ๏ฟฝ ๐โ๐ฃ2 ๐๐ฃ๐
0๏ฟฝ
๏ฟฝฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ๏ฟฝ2
= 4 lim๐โโ
๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐โ(๐ข2+๐ฃ2)๐๐ข ๐๐ฃ๐
0
๐
0
Transformasi kedalam koordinat kutub Ambil:
๐ข = ๐ cos๐ ๐ฃ = ๐ sin๐ ๐ข2 + ๐ฃ2 = ๐2
๏ฟฝฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ๏ฟฝ2
= 4 lim๐โโ
โซ โซ ๐โ๏ฟฝ๐2๏ฟฝ ๏ฟฝ๐๐ข๐๐
๐๐ฃ๐๐
๐๐ข๐๐
๐๐ฃ๐๐
๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐0
๐/20
= 4 lim
๐โโโซ โซ ๐โ๏ฟฝ๐2๏ฟฝ ๏ฟฝcos๐ โ๐. sin๐
sin๐ ๐. cos๐ ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐0
๐/20
= 4 lim
๐โโโซ โซ ๐โ๏ฟฝ๐2๏ฟฝ(๐. ๐๐๐ 2๐ + ๐. ๐ ๐๐2๐)๐๐ ๐๐๐
0๐/20
= 4 lim
๐โโโซ โซ ๐โ๏ฟฝ๐2๏ฟฝ๐(๐๐๐ 2๐ + ๐ ๐๐2๐)๐๐ ๐๐๐
0๐/20
= lim๐โโ
4๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐โ๏ฟฝ๐2๏ฟฝ๐ ๐๐ ๐๐๐
0
๐/2
0
Menggunakan integral subtitusi kembali, misalkan: ๐ด = ๐2
๐๐ด = 2๐ ๐๐ Persamaan baru diperoleh:
๏ฟฝฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ๏ฟฝ2
= 4 lim๐โโ
๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐โ๐ด1/2 ๐๐ด ๐๐๐
0
๐/2
0
28 = 2 lim
๐โโโซ โซ ๐โ๐ด ๐๐ด ๐๐๐
0๐/20
= 2 lim
๐โโโซ [โ๐โ๐ด]0
๐๐/20 ๐๐
= 2โซ ๏ฟฝ lim
๐โโโ๐โ๐ + ๐โ0๏ฟฝ๐/2
0 ๐๐
= 2โซ (0 + 1)๐/20 ๐๐
= 2[๐]0๐2
= 2(๐2โ 0)
๏ฟฝฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ๏ฟฝ2
= ๐
Maka didapat ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ = โ๐ (4.10)
Oleh karena itu, persamaan (4.9) menjadi:
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1โฯ
๏ฟฝโ2๐ โ๐ก โ ๐ โ ๏ฟฝโ2โ๐ก โ ๐ ๐๐ ๏ฟฝ0
๐ก
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1โฯ
๏ฟฝโ2๐ โ๐ก โ ๐ + ๏ฟฝโ43
(๐ก โ ๐ )3/2๏ฟฝ๏ฟฝ0
๐ก
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1โฯ
๏ฟฝโ2๐กโ๐ก โ ๐ก + ๏ฟฝโ43
(๐ก โ ๐ก)32๏ฟฝโ 2.0โ๐ก โ 0
โ ๏ฟฝโ43
(๐ก โ 0)32๏ฟฝ๏ฟฝ
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1โฯ
๏ฟฝ0 + 0โ 0 โ ๏ฟฝโ43๐ก32๏ฟฝ๏ฟฝ
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +1โฯ
๏ฟฝ43๐ก32๏ฟฝ
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 + 4๐ก32
3โฯ (4.11)
Sehingga penyelesaian eksak dari ๐ท12๐ฅ(๐ก) = ๐ก adalah
29
๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 +4๐ก
32
3โฯ
Contoh 4.2 Terdapat persamaan diferensial fraksional dari suatu fungsi t
dengan order ยฝ yang didefinisikan dengan: ๐ท12๐ฅ(๐ก) = ๐ก + ๐ฅ(๐ก), ๐ฅ0 = 0 (4.12)
Akan didapatkan solusi dari fungsi t atau ๐ฅ(๐ก) dengan menggunakan solusi integral volterra.
Menggunakan solusi dari integral volterra maka didapat: ๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ0 + 1
ฮ๏ฟฝ12๏ฟฝโซ ๐ +๐ฅ(๐ )
(๐กโ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก0 (4.13)
Karena sesuai persamaan (4.10) yaitu ฮ ๏ฟฝ12๏ฟฝ = โฯ dan
๐ฅ0 = 0, diperoleh:
๐ฅ(๐ก) = 0 +1โฯ
๏ฟฝ๐ + ๐ฅ(๐ )
(๐ก โ ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก
0
๐ฅ(๐ก) =1โฯ
๏ฟฝ๐
(๐ก โ ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก
0+
1โฯ
๏ฟฝ๐ฅ(๐ )
(๐ก โ ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก
0
Dengan menggunakan penyelesaian dari contoh 4.1 didapat
๐ฅ(๐ก) = 4๐ก32
3โฯ+ 1
โฯโซ๐ฅ(๐ )
(๐กโ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก0 (4.14)
Untuk mendapatkan solusi dari persamaan tersebut, digunakan transformasi Laplace:
๐(๐ ) = โ ๏ฟฝ4๐ก
32
3โฯ+
1โฯ
๏ฟฝ๐ฅ(๐ )
(๐ก โ ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก
0๏ฟฝ
๐(๐ ) = โ ๏ฟฝ4๐ก
32
3โฯ๏ฟฝ + โ ๏ฟฝ
1โฯ
๏ฟฝ๐ฅ(๐ )
(๐ก โ ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก
0๏ฟฝ
๐(๐ ) = 43โฯ
โ ๏ฟฝ๐ก32๏ฟฝ + 1
โฯโ ๏ฟฝโซ ๐ฅ(๐ )
(๐กโ๐ )1/2 ๐๐ ๐ก0 ๏ฟฝ (4.15)
Dengan menggunakan transformasi Laplace yang terdapat pada tabel 2.1 dan teorema konvolusi didapat
30
๐(๐ ) = 43โฯ
32!
๐ 32+1
+ 1โฯโ ๏ฟฝ๐ฅ(๐ก). ๐กโ
12๏ฟฝ (4.16)
Karena 32
! = ฮ ๏ฟฝ32
+ 1๏ฟฝ, maka
๐(๐ ) =4
3โฯ
ฮ ๏ฟฝ32 + 1๏ฟฝ
๐ 32+1
+1โฯ
๐(๐ )๐
. ฮ ๏ฟฝโ12
+ 1๏ฟฝ
๐(๐ ) =4
3โฯ
34โฯ
๐ 32+1
+1โฯ
๐(๐ )๐
.โฯ
๐(๐ ) =1๐ 5/2 +
๐(๐ )๐
๐(๐ ) โ๐(๐ )๐
=1๐ 5/2
๐(๐ ) ๏ฟฝ1 โ1๐ ๏ฟฝ =
1๐ 5/2
๐(๐ ) =1๐ 5/2
๏ฟฝ1โ 1๐ ๏ฟฝ
๐(๐ ) =1๐ 5/2 .
1
๏ฟฝ1 โ 1๐ ๏ฟฝ
๐ฅ(๐ก) = โโ1 ๏ฟฝ1
๐ 52 ๏ฟฝ1 โ 1
๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ
๐ฅ(๐ก) = โโ1 ๏ฟฝ1
๐ 52 โ ๐
32๏ฟฝ
๐ฅ(๐ก) = โโ1 ๏ฟฝ1
๐ 32(๐ โ 1)
๏ฟฝ
Misalkan:
31
โโ1 ๏ฟฝ1
๐ 32๏ฟฝ =
๐ก1/2
1/2!
โโ1 ๏ฟฝ1
๐ 32๏ฟฝ =
๐ก1/2
โ๐
Sedangkan:
โโ1 ๏ฟฝ1
๐ โ 1๏ฟฝ = ๐๐ก
Menggunakan Teorema 2.1 untuk invers transformasi Laplace, didapatkan:
โโ1 ๏ฟฝ1
๐ 32(๐ โ 1)
๏ฟฝ = ๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)1/2
โ๐๐๐ข๐๐ข
๐ก
0
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ (๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๐๐ข๐ก
0
Menggunakan integral parsial, misal: ๐ฅ = (๐ก โ ๐ข)1/2
๐๐ฅ = 1/2(๐ก โ ๐ข)โ1/2๐๐ข
๐ฃ = ๏ฟฝ๐๐ข๐๐ข
๐ฃ = ๐๐ข Sehingga persamaan integral diperoleh:
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข โ ๏ฟฝ๐๐ข1/2(๐ก โ ๐ข)โ1/2๐๐ข๏ฟฝ ๐ก0
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข โ 1/2๏ฟฝ๐๐ข(๐ก โ ๐ข)โ1/2๐๐ข๏ฟฝ ๐ก0
Kembali menggunakan integral parsial, misal: ๐ฅ = ๐๐ข
๐๐ฅ = ๐๐ข๐๐ข
๐ฃ = ๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)โ1/2๐๐ข
๐ฃ = โ2(๐ก โ ๐ข)1/2 Sehingga persamaan menjadi:
32
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข
โ 1/2 ๏ฟฝโ๐๐ข2(๐ก โ ๐ข)1/2 + ๏ฟฝ2(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๐๐ข๏ฟฝ๏ฟฝ ๐ก0
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข + (๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๏ฟฝ๐ก0
โ1โ๐
๏ฟฝ (๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๐๐ข๐ก
0
Karena
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ (๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๐๐ข๐ก
0
maka
๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข + (๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๏ฟฝ๐ก0 โ ๐ฅ(๐ก)
2๐ฅ(๐ก) =1โ๐
๏ฟฝ2(๐ก โ ๐ข)1/2๐๐ข๏ฟฝ๐ก0
2๐ฅ(๐ก) =2โ๐กโ๐
๐ฅ(๐ก) = โ๐กโ๐
(4.17) Sehingga penyelesaian eksak dari ๐ท
12๐ฅ(๐ก) = ๐ก + ๐ฅ(๐ก), ๐ฅ0 =
0 adalah
๐ฅ(๐ก) =โ๐กโ๐
Persamaan diferensial fraksional linier dapat diselesaikan secara eksak dengan menggunakan penyelesaian dari integral volterra. Namun, jika persamaan diferensial fraksional tersebut merupakan persamaan nonlinier, maka tidak dapat diselesaikan secara eksak dengan menggunakan integral volterra. Namun, hanya bisa diselesaikan secara numerik dan akan memiliki hasil aproksimasi. Karena derajat nonlinier yang tinggi maka tidak
33 dapat diselesaikan menggunakan transformasi Laplace ataupun teorema konvolusi sehingga hanya bisa didekati menggunakan solusi numerik. 4.4 Penyelesaian Numerik Dari Proses Pendinginan Semi-Infinite Oleh Radiasi
Persamaan dari proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi didefinisikan sebagai persamaan diferensial fraksional nonlinier:
๐ท12๐(๐ก) โ ๐๏ฟฝ๐ข0 โ ๐(๐ก)๏ฟฝ4 = 0, ๐ก > 0 (4.18)
Dengan ๐(๐ก) = ๐ข0 โ ๐ข(0, ๐ก) dan ๐(0) = 0.
Pada sub bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa persamaan diferensial fraksional nonlinier tidak dapat diselesaikan secara eksak, melainkan secara numerik. Oleh karena itu, pada sub bab ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial fraksional tersebut menggunakan perluasan dari deret Taylor.
Menggunakan Definisi 2.7 serta definisi fraksional deret Taylor yaitu,
๐(๐ก) = โ (๐กโ๐)๐๐
ฮ(๐๐+1)๐๐=0 ๏ฟฝ๐ท๐๐๐๏ฟฝ(๐), 0 < ๐ < 1 (4.19)
Untuk menghasilkan solusi numerik, maka persamaan (4.19) harus diubah ke dalam bentuk matriks. Oleh karena itu, didefinisikan:
๐ก๐ = ๐๐
, ๐ = 0,1,2, โฆ ,๐ (4.20)
[๐ฅ๐(๐ก)] = ๐๐0๐ด (4.21)
34
Dengan
๐ = [1(๐ก โ ๐)๐ผ(๐ก โ ๐)2๐ผ โฆ (๐ก โ ๐)๐๐ผ] (4.22)
๐0 =
โฃโขโขโขโขโก1
ฮ(1)0
0 1ฮ(๐+1)
0โฎ0
0โฎ0
0 โฏ 00 โฏ 01
ฮ(2๐+1)โฎ0
โฏ 0โฑ โฎ โฏ 1
ฮ(๐๐+1) โฆโฅโฅโฅโฅโค
(4.23)
๐ด =
โฃโขโขโขโขโก๏ฟฝ๐ท
0๐๐ฅ๏ฟฝ(๐)๏ฟฝ๐ท1๐๐ฅ๏ฟฝ(๐)
๏ฟฝ๐ท2๐๐ฅ๏ฟฝ(๐)โฎ
๏ฟฝ๐ท๐๐๐ฅ๏ฟฝ(๐)โฆโฅโฅโฅโฅโค
(4.24)
Jika kedua sisi dikalikan dengan ๐ท๐ maka didapat
๐ท๐๐ฅ๐(๐ก) = ๐ท๐๐๐0๐ด
๐ท๐๐ = ๐ท๐[1(๐ก โ ๐)๐(๐ก โ ๐)2๐ โฆ (๐ก โ ๐)๐๐]
= [๐ท๐1๐ท๐(๐ก โ ๐)๐๐ท๐(๐ก โ ๐)2๐ โฆ๐ท๐(๐ก โ ๐)๐๐]
๐ท๐๐ = ๏ฟฝ0 ฮ(๐+1)
ฮ(1)ฮ(2๐+1)ฮ(๐+1)
(๐ก โ ๐)๐ โฆ
โฆ ฮ(๐๐+1)ฮ((๐โ1)๐+1)
(๐ก โ ๐)(๐โ1)๐๏ฟฝ = ๐๐1 (4.25)
Dengan
35
๐1 =
โฃโขโขโขโขโก0
ฮ(๐+1)ฮ(1)
0
0 0 ฮ(2๐+1)ฮ(๐+1)
โฎ00
โฎ00
โฎ00
โฏ 0โฏ 0โฑโฏโฏ
โฎฮ(๐๐+1)
ฮ((๐โ1)๐+1)0 โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
(4.26)
Sehingga, matrik untuk turunan fraksional menjadi
๐ท๐[๐ฅ๐(๐ก)] = ๐๐1๐0๐ด (4.27)
Dengan kondisi awal
๐0 = ๐(0)๐0๐ด = [1 0 0 โฆ 0] = [0] (4.28)
Untuk ๐ = 1,๐ข0 = 0 maka persamaan diferensial dapat diubah menjadi:
(๐๐1๐0 โ (๐๐0)4)๐ด = [0]
(๐๐1๐0 โ (๐๐0)4)๐ด = ๐น (4.29)
Dengan
๐ =
โฃโขโขโขโก1 (๐ก0 โ ๐)๐ (๐ก0 โ ๐)2๐ โฏ (๐ก0 โ ๐)๐๐
1 (๐ก1 โ ๐)๐ (๐ก1 โ ๐)2๐ โฏ (๐ก1 โ ๐)๐๐
1โฎ1
(๐ก2 โ ๐)๐โฎ
(๐ก๐ โ ๐)๐
(๐ก2 โ ๐)2๐โฎ
(๐ก๐ โ ๐)2๐
โฏโฑโฏ
(๐ก2 โ ๐)๐๐โฎ
(๐ก๐ โ ๐)๐๐โฆโฅโฅโฅโค
(4.30)
๐น =
โฃโขโขโขโก000โฎ0โฆโฅโฅโฅโค (4.31)
36
Misal ๐๐ด = ๐นatau [๐;๐น],๐ = [๐๐๐], ๐๐ = 1,2, โฆ ,๐
Untuk ๐ = (๐๐1๐0 โ (๐๐0)4) dengan kondisi awal
๐0 = ๐(0)๐0๐ด = [1 0 0 โฆ 0] = [0], maka didapat matriks
[๐;๐น] =
โฃโขโขโขโก
1 0 โฏ 0; 0๐ค10 ๐ค11 โฏ ๐ค1๐; 0โฎ
๐ค๐โ10๐ค๐0
โฎ๐ค๐โ11๐ค๐1
โฑโฏโฏ
โฎ๐ค๐โ1๐;๐ค๐๐;
โฎ00โฆโฅโฅโฅโค (4.32)
Pada Tugas Akhir ini diambil contoh untuk c=0 dan N=5 maka solusi approksimasi yang diperoleh adalah
๐5(๐ก) = โ (๐ก)๐๐
ฮ(๐๐+1)5๐=0 ๏ฟฝ๐ท๐๐๐๏ฟฝ (4.33)
Dengan ๐ก๐ = ๐๐
maka diperoleh
๐ก0 = 0, ๐ก1 = 15
, ๐ก2 = 25
, ๐ก3 = 35
, ๐ก4 = 45
, ๐ก5 = 1
๐ =
โฃโขโขโขโขโขโก1 (๐ก0)1/2 (๐ก0)1 (๐ก0)3/2 (๐ก0)2 (๐ก0)5/2
1 (๐ก1)1/2 (๐ก1)1 (๐ก1)3/2 (๐ก1)2 (๐ก1)5/2
1111
(๐ก2)1/2
(๐ก3)1/2
(๐ก4)1/2
(๐ก5)1/2
(๐ก2)1
(๐ก3)1
(๐ก4)1
(๐ก5)1
(๐ก2)3/2
(๐ก3)3/2
(๐ก4)3/2
(๐ก5)3/2
(๐ก2)2 (๐ก2)5/2
(๐ก3)2 (๐ก3)5/2
(๐ก4)2 (๐ก4)5/2
(๐ก5)2 (๐ก5)5/2โฆโฅโฅโฅโฅโฅโค
37
๐ =
โฃโขโขโขโขโขโก1 (0)1/2 (0)1 (0)3/2 (0)2 (0)5/2
1 (1/5)1/2 (1/5)1 (1/5)3/2 (1/5)2 (1/5)5/2
1111
(2/5)1/2
(3/5)1/2
(4/5)1/2
(1)1/2
(2/5)1
(3/5)1
(4/5)1
(1)1
(2/5)3/2
(3/5)3/2
(4/5)3/2
(1)3/2
(2/5)2 (2/5)5/2
(3/5)2 (3/5)5/2
(4/5)2 (4/5)5/2
(1)2 (1)5/2 โฆโฅโฅโฅโฅโฅโค
๐ =
โฃโขโขโขโขโขโขโก1 0 0 0 0 01 ๏ฟฝ1/5 1/5 (1/5)3/2 1/25 (1/5)5/2
1111
๏ฟฝ2/5๏ฟฝ3/5๏ฟฝ4/5
1
2/53/54/5
1
(2/5)3/2
(3/5)3/2
(4/5)3/2
1
4/25 (2/5)5/2
9/25 (3/5)5/2
16/25 (4/5)5/2
1 1 โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
๐0
=
โฃโขโขโขโขโขโขโขโขโก
1ฮ(1)
0 0
01
ฮ(1/2 + 1)0
0000
0000
1ฮ(1 + 1)
000
0 0 00 0 001
ฮ(3/2 + 1)00
001
ฮ(2 + 1)0
0001
ฮ(5/2 + 1)โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
๐0 =
โฃโขโขโขโขโก1 0 00 2/โ๐ 00000
0000
1000
0 0 00 0 00
4/3โ๐00
00
1/20
000
8/15โ๐โฆโฅโฅโฅโฅโค
38
๐1 =
โฃโขโขโขโขโก0 โ๐/2 00 0 2/โ๐0000
0000
0000
0 0 00 0 0
3โ๐/4000
0 02/โ๐ 0
0 15โ๐/160 0 โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
๐น =
โฃโขโขโขโก00000โฆโฅโฅโฅโค
Mencari nilai ๐๐1๐0
๐๐1๐0 =
โฃโขโขโขโขโขโขโขโก
1 0 0 0 0 0
1 (1/5)12 1/5 (1/5)
32 1/25 (1/5)
52
1
1
11
(2/5)12
(3/5)12
(4/5)12
1
2/5
3/5
4/51
(2/5)32
(3/5)32
(4/5)32
1
4/25 (2/5)52
9/25 (3/5)52
16/25 (4/5)52
1 1 โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก0 โ๐/2 00 0 2/โ๐0000
0000
0000
0 0 00 0 0
3โ๐/4000
0 02/โ๐ 0
0 15โ๐/160 0 โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโขโก1 0 0
02
โ๐0
0000
0000
1000
0 0 00 0 004
3โ๐00
00120
0008
15โ๐โฆโฅโฅโฅโฅโฅโค
39 =
โฃโขโขโขโขโก
0 0.8860 0 0 0 00 0.8860 0.5048 0.2658 0.0060 0.06650 0.8860 0.7138 0.5316 0.0482 0.26580 0.8860 0.8743 0.7974 0.1625 0.59810 0.8860 1.0095 1.0632 0.3853 1.06320 0.8860 1.1287 1.3290 1.5049 1.6613โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก1 0 00 2
โ๐0
0000
0000
1000
0 0 00 0 004
3โ๐00
00120
0008
15โ๐โฆโฅโฅโฅโฅโค
๐๐1๐0 =
โฃโขโขโขโขโก
0 1.0000 0 0 0 00 1.0000 0.5048 0.2000 0.0030 0.02000 1.0000 0.7138 0.4000 0.0241 0.08000 1.0000 0.8743 0.6000 0.0813 0.18000 1.0000 1.0095 0.8000 0.1926 0.32000 1.0000 1.1287 1.0000 0.7524 0.5000โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
Mencari nilai (๐๐0)4
๐๐0 =
โฃโขโขโขโขโขโขโขโก
1 0 0 0 0 0
1 (1/5)12 1/5 (1/5)
32 1/25 (1/5)
52
1
1
11
(2/5)12
(3/5)12
(4/5)12
1
2/5
3/5
4/51
(2/5)32
(3/5)32
(4/5)32
1
4/25 (2/5)52
9/25 (3/5)52
16/25 (4/5)52
1 1 โฆโฅโฅโฅโฅโฅโฅโฅโค
โฃโขโขโขโขโก1 0 00 2/โ๐ 00000
0000
1000
0 0 00 0 00
4/3โ๐00
00
1/20
000
8/15โ๐โฆโฅโฅโฅโฅโค
40 ๐๐0
=
โฃโขโขโขโขโขโก1 0 01 2/โ5๐ 1/5
1111
2โ2/โ5๐2โ3/โ5๐
4/โ5๐2/โ๐
2/53/54/5
1
0 0 04/15โ5๐ 1/50 8/375โ5๐
8โ2/15โ5๐12โ3/15โ5๐
32/15โ5๐4/3โ๐
4/509/50
16/501/2
32โ2/375โ5๐72โ3/375โ5๐256/375โ5๐
8/15โ๐ โฆโฅโฅโฅโฅโฅโค
(๐๐0)4 =
โฃโขโขโขโขโก
1.0000 0 0 0 0 0 3.0421 0.3952 0.1998 0.0162 0.0396 0.00314.7316 0.7765 0.3963 0.0342 0.0805 0.00686.8193 1.2913 0.6652 0.0607 0.1380 0.01259.6409 2.0415 1.0617 0.1025 0.2252 0.0219
17.0098 4.2138 2.2298 0.2374 0.4919 0.0537โฆโฅโฅโฅโฅโค
\
(๐๐1๐0 โ (๐๐0)4)๐ด = ๐น
Didapat
โฃโขโขโขโขโก
โ1.0000 1.0000 0 0 0 0โ3.0421 0.6048 0.3050 0.1838 โ 0.0366 0.0169โ4.7316 0.2235 0.3175 0.3658 โ 0.0564 0.0732โ6.8193 โ 0.2913 0.2091 0.5393 โ 0.0568 0.1675โ9.6409 โ 1.0415 โ 0.0522 0.6975 โ 0.0326 0.2981โ17.0098 โ 3.2138 โ 1.1011 0.7626 0.2606 0.4463 โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
A=[0]
Karena terdapat syarat awal
๐0 = ๐(0)๐0๐ด = [1 0 0 โฆ 0] = [0] Maka matriks menjadi
41
โฃโขโขโขโขโก
1 0 0 0 0 0โ3.0421 0.6048 0.3050 0.1838 โ 0.0366 0.0169โ4.7316 0.2235 0.3175 0.3658 โ 0.0564 0.0732โ6.8193 โ 0.2913 0.2091 0.5393 โ 0.0568 0.1675โ9.6409 โ 1.0415 โ 0.0522 0.6975 โ 0.0326 0.2981โ17.0098 โ 3.2138 โ 1.1011 0.7626 0.2606 0.4463 โฆ
โฅโฅโฅโฅโค
A=[0]
A=[0 1 -0.3179 0.2637 0.0690 0.1483] (4.34) Subtitusi persamaan (4.34) ke persamaan (4.33), Sehingga
diperoleh solusi dari persamaan (4.33), yaitu:
๐(๐ก) =2โ๐กโ๐
โโ0.3179t +0.3516t
32
โ๐+ 0.0345t2 + 0.079093t
52
Untuk mendapatkan penyelesaian numerik, maka t didekati dari 0,1 sampai 1.
Misal untuk t=0.1 diperoleh
๐(0.1) =2โ0.1โ๐
โ โ0.3179(0.1) +0.3516(0.1)
32
โ๐+ 0.0345(0.1)2 + 0.079093(0.1)
52
๐(0.1) = 0.3258
Untuk t=0.2
๐(0.2) =2โ0.2โ๐
โ 0.3179(0.2) +0.3516(0.2)
32
โ๐+ 0.0345(0.2)2
+ 0.079093(0.2)52
๐(0.2) = 0.4451
Sampai dengan t=1, diperoleh:
42
๐(1) =2โ1โ๐
โ โ0.3179(1) +0.3516(1)
32
โ๐+ 0.0345(1)2
+ 0.079093(1)52
๐(1) = 1.2269
Tabel 4.1 Hasil numerik untuk N=5
t T(t) 0.1 0.3258 0.2 0.4451 0.3 0.5345 0.4 0.6128 0.5 0.6889 0.6 0.7687 0.7 0.8573 0.8 0.9597 0.9 1.0811 1 1.2269
Dapat dilihat dari Tabel 4.1 bahwa semakin besar waktu
maka hasil fungsi juga akan semakin besar. Proses pendinginan semi-infinite oleh radiasi merupakan
masalah nilai batas satu dimensi untuk persamaan diferensial fraksional serta merupakan persamaan diferensial fraksional nonlinier yang dapat diketahui dengan bentuk persamaannnya yang berderajat empat. Oleh karena itu model tersebut hanya dapat diselesaikan dengan pendekatan numerik yang mana pada penelitian ini diambil contoh N=3, N=4, N=5 dan N=7.
43
Gambar 4.1 Grafik solusi numerik untuk N=5
Berdasarkan Grafik 4.1, sumbu x menyatakan besaran dari t
atau besaran dari waktu, sedangkang sumbu y menunjukkan besaran dari fungsi t atau T(t). Pada saat N=5 maka T(t) hanya bergerak dari N=1 sampai N=5. Grafik 4.1 juga menunjukkan bahwa semakin besar t, maka fungsi T(t) juga semakin besar.
Fungsi T(t) merupakan pengurangan dari ๐ข0 dengan ๐ข(0, ๐ก) dimana ๐ข(0, ๐ก) adalah suhu permukaan dan ๐ข0 adalah nilai awal. Karena ๐ข0 = 0, berakibat ๐(๐ก) = โ ๐ข(0, ๐ก) sehingga semakin besar nilai T(t), maka suhu permukaan semakin turun.
44
Gambar 4.2 Grafik solusi numerik untuk N=3
Berdasarkan Grafik 4.2, sumbu x menyatakan besaran dari t
atau besaran dari waktu, sedangkang sumbu y menunjukkan besaran dari fungsi t atau T(t). Pada saat N=3 maka T(t) hanya bergerak dari N=1 sampai N=3. Grafik 4.2 juga menunjukkan bahwa semakin besar t, maka fungsi T(t) juga semakin besar.
Fungsi T(t) merupakan pengurangan dari ๐ข0 dengan ๐ข(0, ๐ก) dimana ๐ข(0, ๐ก) adalah suhu permukaan dan ๐ข0 adalah nilai awal. Karena ๐ข0 = 0, berakibat ๐(๐ก) = โ ๐ข(0, ๐ก) sehingga semakin besar nilai T(t), maka suhu permukaan semakin turun.
Gambar 4.3 Grafik solusi numerik untuk N=4
45
Berdasarkan Grafik 4.3, sumbu x menyatakan besaran dari t atau besaran dari waktu, sedangkang sumbu y menunjukkan besaran dari fungsi t atau T(t). Pada saat N=4 maka T(t) hanya bergerak dari N=1 sampai N=4. Grafik 4.3 juga menunjukkan bahwa semakin besar t, maka fungsi T(t) juga semakin besar.
Fungsi T(t) merupakan pengurangan dari ๐ข0 dengan ๐ข(0, ๐ก) dimana ๐ข(0, ๐ก) adalah suhu permukaan dan ๐ข0 adalah nilai awal. Karena ๐ข0 = 0, berakibat ๐(๐ก) = โ ๐ข(0, ๐ก) sehingga semakin besar nilai T(t), maka suhu permukaan semakin turun. Grafik 4.3 m emiliki kemiripan dengan Grafik 4.2. sehingga penurunan suhu permukaan pada saat N=3 dan N=4 akan memiliki laju yang sama meskipun dengan besaran yang berbeda.
Gambar 4.4 Grafik solusi numerik untuk N=7
Berdasarkan Grafik 4.4, sumbu x menyatakan besaran dari t
atau besaran dari waktu, sedangkang sumbu y menunjukkan besaran dari fungsi t atau T(t). Pada saat N=7 maka T(t) hanya bergerak dari N=1 sampai N=7. Grafik 4.4 juga menunjukkan bahwa semakin besar t, maka fungsi T(t) juga semakin besar.
Fungsi T(t) merupakan pengurangan dari ๐ข0 dengan ๐ข(0, ๐ก) dimana ๐ข(0, ๐ก) adalah suhu permukaan dan ๐ข0 adalah nilai awal. Karena ๐ข0 = 0, berakibat ๐(๐ก) = โ ๐ข(0, ๐ก) sehingga semakin besar nilai T(t), maka suhu permukaan semakin turun.
46 Grafik 4.4 m emiliki kemiripan dengan Grafik 4.1. sehingga penurunan suhu permukaan pada saat N=5 dan N=7 akan memiliki laju yang sama meskipun dengan besaran yang berbeda.
47
BAB VKESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini diberikan kesimpulan sebagai hasil darianalisa model yang telah diperoleh dan saran sebagaipertimbangan dalam pengembangan atau penelitian lebih lanjut.
5.1 Kesimpulan1. Setiap solusi dari persamaan diferensial fraksional
merupakan solusi dari integral volterra begitu pulasebaliknya. Solusi dari persamaaan diferensial fraksionallinier dapat didapartkan dari solusi integral volterra. Namun,untuk persamaan diferensial fraksional nonlinier dapatdiselesaikan dengan cara numerik menggunakan perluasandari deret Taylor.
2. Pada persamaan diferensial fraksional linier:( ) =solusi eksak yang diperoleh adalah ( ) = + โSedangakan untuk persamaan:( ) = + ( ), = 0solusi eksak yang diperoleh ( ) = โโ .
Solusi tersebut diperoleh dari solusi integral volterra jeniskedua.
3. Model pada proses pendinginan semi-infinite yang manamerupakan masalah nilai batas satu dimensi untukpersamaan diferensial fraksional dapat diselesaikan denganmenggunakan metode fraksional deret Taylor danmenghasilkan sousi aproksimasi numerik serta grafik dengannilai N=3, N=4, N=-5 dan N=7.
48
Fungsi T(t) merupakan pengurangan dari dengan(0, ) dimana (0, ) adalah suhu permukaan dan adalahnilai awal. Karena = 0 , berakibat ( ) =โ (0, ) sehingga semakin besar nilai T(t), maka suhupermukaan semakin turun.
5.2 SaranPada penelitian ini tidak dibahas metode-metode yang dapat
dilakukan untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferensialfraksional tersebut juga tidak dibahas membahas tentang prosespendinginan tubuh semi-infinite jika fungsi x atau X(x) โ 0. .Oleh karena itu, penulis menyarankan kepada pembaca yangtertarik dengan masalah ini agar pada penelitian berikutnyamembahas tentang metode yang berbeda untuk menyelesaikanpersamaan diferensial fraksional serta bagaimana solusi dariproses pendinginan tubuh semi-infinite jika X(x) โ 0.
51
LAMPIRAN
Listing program numerik untuk N=3
โข M-File dengan judul menghitungmatriksN=3.m phi=3.14; X=[1 0 0 0 ; 1 sqrt(1/3) 1/3 (1/3)^3/2; 1 sqrt(2/3) 2/3 (2/3)^3/2; 1 1 1 1 ]; M1=[0 sqrt(phi)/2 0 0; 0 0 2/sqrt(phi) 0; 0 0 0 3*sqrt(phi)/4; 0 0 0 0]; M0=[1 0 0 0; 0 2/sqrt(phi) 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 4/(3*sqrt(phi))]; Y=(X*M1*M0-(X*M0)^4);
โข M-File dengan judul menghitungAN=3.m N=[ -0.1804 0.1741; -0.7383 0.3244; -2.8020 0.0700]; A=[0.3088;1.5880;5.0183]; Y= A\N;
โข M-File dengan judul menghitungXN=3.m phi=3.14; for t=0.1:0.1:1 t x=2*sqrt(t)/sqrt(phi)-0.5500*t+0.0331*4*(t^3/2)/3*sqrt(phi) end;
โข M-File dengan judul plotN=3.m
t=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1];
52
x=[0.3020 0.3951 0.4543 0.4963 0.5280 0.5527 0.5727 0.5895 0.6043 0.6178]; plot(t,x)
Listing program numerik untuk N=4
โข M-File dengan judul menghitungmatriksN=4.m phi=3.14; X=[1 0 0 0 0 ; 1 sqrt(1/4) 1/4 (1/4)^3/2 1/16; 1 sqrt(2/4) 2/4 (2/4)^3/2 4/16; 1 sqrt(3/4) 3/4 (3/4)^3/2 9/16; 1 1 1 1 1]; M1=[0 sqrt(phi)/2 0 0 0; 0 0 2/sqrt(phi) 0 0; 0 0 0 3*sqrt(phi)/4 0; 0 0 0 0 8/(3*sqrt(phi)); 0 0 0 0 0]; M0=[1 0 0 0 0; 0 2/sqrt(phi) 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 4/(3*sqrt(phi)) 0; 0 0 0 0 1/2]; Y=(X*M1*M0-(X*M0)^4);
โข M-File dengan judul menghitungAN=4.m
N=[ 0.0492 0.1414 -0.1337; -0.3201 0.2543 -0.2627; -0.9889 0.3064 -0.3935; -2.5310 0.1581 -0.2866]; A=[-0.1297;0.8682;2.2614;5.0348]; Y= A\N;
โข M-File dengan judul menghitungXN=4.m phi=3.14; for t=0.1:0.1:1 t
53
x=2*sqrt(t)/sqrt(phi)-0.4887*t+0.0542*4*(t^3/2)/3*sqrt(phi)+-0.0814*(t^2)/2 end;
โข M-File dengan judul plotN=4.m
t=[0.1:0.1:1]; x=[0.3077 0.4059 0.4697 0.5159 0.5516 0.5802 0.6042 0.6253 0.6446 0.6633]; plot(t,x);
Listing program numerik untuk N=5
โข M-File dengan judul menghitungmatriksN=5.m phi=3.14; X=[1 0 0 0 0 0; 1 sqrt(1/5) 1/5 (1/5)^3/2 1/25 (1/5)^5/2; 1 sqrt(2/5) 2/5 (2/5)^3/2 4/25 (2/5)^5/2; 1 sqrt(3/5) 3/5 (3/5)^3/2 9/25 (3/5)^5/2; 1 sqrt(4/5) 4/5 (4/5)^3/2 16/25 (4/5)^5/2; 1 1 1 1 1 1]; M1=[0 sqrt(phi)/2 0 0 0 0; 0 0 2/sqrt(phi) 0 0 0; 0 0 0 3*sqrt(phi)/4 0 0; 0 0 0 0 8/(3*sqrt(phi)) 0; 0 0 0 0 0 15*sqrt(phi)/16; 0 0 0 0 0 0]; M0=[1 0 0 0 0 0; 0 2/sqrt(phi) 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 4/(3*sqrt(phi)) 0 0; 0 0 0 0 1/2 0; 0 0 0 0 0 8/(15*sqrt(phi))];
54
Y=(X*M1*M0-(X*M0)^4);
โข M-File dengan judul menghitungAN=5.m
N=[ 0.3050 0.1838 -0.0366 0.0169; 0.3175 0.3658 -0.0564 0.0732; 0.2091 0.5393 -0.0568 0.1675; -0.0522 0.6975 -0.0326 0.2981; -1.1011 0.7626 0.2606 0.4463]; A=[-0.6048;-0.2235;0.2913;1.0415;3.2138]; Y= A\N;
โข M-File dengan judul menghitungXN=5.m phi=3.14;
for t=0.1:0.1:1 t x=2*sqrt(t)/sqrt(phi)-0.3179*t+0.2637*4*(t^3/2)/3*sqrt(phi)+0.0690*(t^2)/2+0.1483*8*(t^5/2)/15*sqrt(phi) end;
โข M-File dengan judul plotN=5.m t=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1]; x=[0.3258 0.4451 0.5345 0.6128 0.6889 0.7687 0.8573 0.9597 1.0811 1.2269]; plot(t,x);
Listing program numerik untuk N=7
โข M-File dengan judul menghitungmatriksN=7.m phi=3.14; n=7; X=[1 0 0 0 0 0 0 0;
55
1 sqrt(1/n) 1/n (1/n)^3/2 1/(n^2) (1/n)^5/2 (1/n)^3 (1/n)^7/2; 1 sqrt(2/n) 2/n (2/n)^3/2 4/(n^2) (2/n)^5/2 (2/n)^3 (2/n)^7/2; 1 sqrt(3/n) 3/n (3/n)^3/2 9/(n^2) (3/n)^5/2 (3/n)^3 (3/n)^7/2; 1 sqrt(4/n) 4/n (4/n)^3/2 16/(n^2) (4/n)^5/2 (4/n)^3 (4/n)^7/2; 1 sqrt(5/n) 5/n (5/n)^3/2 5^2/(n^2) (5/n)^5/2 (5/n)^3 (5/n)^7/2; 1 sqrt(6/n) 6/n (6/n)^3/2 6^2/(n^2) (6/n)^5/2 (6/n)^3 (6/n)^7/2 1 1 1 1 1 1 1 1]; M1=[0 sqrt(phi)/2 0 0 0 0 0 0; 0 0 2/sqrt(phi) 0 0 0 0 0; 0 0 0 3*sqrt(phi)/4 0 0 0 0; 0 0 0 0 8/(3*sqrt(phi)) 0 0 0; 0 0 0 0 0 15*sqrt(phi)/16 0 0; 0 0 0 0 0 0 48/(15*sqrt(phi)) 0; 0 0 0 0 0 0 0 35*sqrt(phi)/32; 0 0 0 0 0 0 0 0]; M0=[1 0 0 0 0 0 0 0; 0 2/sqrt(phi) 0 0 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0 0; 0 0 0 4/(3*sqrt(phi)) 0 0 0 0; 0 0 0 0 1/2 0 0 0; 0 0 0 0 0 8/(15*sqrt(phi)) 0 0; 0 0 0 0 0 0 1/6 0; 0 0 0 0 0 0 0 16/(105*sqrt(phi))]; Y=(X*M1*M0-(X*M0)^4);
โข M-File dengan judul menghitungAN=7.m N=[ 0.3676 0.1408 -0.0065 0.0100 -0.0009 0.0005; 0.4949 0.2818 -0.0055 0.0404 -0.0014 0.0038; 0.5697 0.4222 0.0068 0.0911 -0.0006 0.0130;
56
0.6045 0.5616 0.0360 0.1620 0.0049 0.0309; 0.5975 0.6995 0.0871 0.2532 0.0215 0.0604; 0.5376 0.8351 0.1642 0.3644 0.0600 0.1045; 0.1925 0.9559 0.6135 0.4937 0.2819 0.1656]; A=[-0.8557;-0.7367;-0.5920;-0.4047;-0.1530; 0.1966;1.1792]; Z= A\N;
โข M-File dengan judul menghitungXN=7.m phi=3.14; for t=0.1:0.1:1 t x=2*sqrt(t)/sqrt(phi)-0.3146*t+0.1169*4*(t^3/2)/3*sqrt(phi)+0.2262*(t^2)/2+0.1411*8*(t^5/2)/15*sqrt(phi)+0.1052*(t^3)/6+0.0565*(t^5/2)*6/(105*sqrt(phi)) end;
โข M-File dengan judul plotN=7.m
t=[0.1:0.1:1]; x=[0.3267 0.4476 0.5384 0.6167 0.6906 0.7651 0.8442 0.9320 1.0326 1.1504]; plot(t,x);
49
DAFTAR PUSTAKA
[1] E. Demirci, N. Ozalp (2012). โA method for solvingdifferential equations of fractional orderโ.Computational and applied mathematics Vol. 236, Hal.2754-2762
[2] Lakshmikantham, A.S. Vatsala (2007). โTheory offractional differential inequalities and applicationsโ.Communications in Applied Analysis Vol. 11, Hal. 395โ402.
[3] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo (2006). โTheoryand Applications of Fractional Differential Equationsโ.Elsevier Vol. 204
[4] Burner, H. (2010). โTheory and numerical solution ofvolterra function integral equationsโ. HIT SummerSeminar
[5] Kisela, T. (2008). Fractional Differential Equations andTheir Applications. Thesis Faculty Of MechanicalEngineering, Institute Of Mathematics, BRNO UniversityOf Technology
[6] Santoso, Widiarti. (1998). Persamaan Diferensial BiasaDengan Penerapan Modern edisi 2. Jakarta: Erlangga
[7] K. Diethelm (2010). โThe analysis of fractional differentialequations: an application-oriented exposition usingdifferential operators of Caputo typeโ. Lecture Notes inMathematics, Springer-Verlag
[8] E.W. Adams, H. Spreuer (1967).โTheoretical Solution ofThe Nonlinear Problem of Transient Cooling of An OpaqueSphere In Spaceโ. Nasa Technical Note D-4046.
[9] L. Adam. (2004).โ Fractional Calculus: History, definitions,and Apllications for Engineerโ. University of NotreDame.
50
[10] โAppendix: Function of One Variableโ URL:http://www.math.ucdavis.edu// (diakses tanggal 1Desember 2015)
[11] Kurniawan, I.(2013).โTransformasi laplaceโ. URL:http://irwankurniawanblog.files.wordpress.com//(diakses tanggal 1 Desember 2015)
[12] Sinoem, I.(2011).โDeret Taylor dan Analisis GalatโURL: http://simponi.mdp.ac.id///(diakses tanggal 20Nopember 2015)
BIODATA PENULIS
Penulis dilahirkan di Lamongan pada tanggal 13 Juni 1994, merupakan anak kedua dari dua bersaudara. Penulis telah menempuh pendidikan formal dari TK ABA Kendal, MI Muhammadiyah 02 Kendal, SMP Negeri 1 Babat, hingga SMA Negeri 1 Babat.
Penulis kemudian melanjutkan pendidikan
S1 di Jurusan Matematika melalui jalur SNMPTN Tulis pada tahun 2011 dan terdaftar dengan NRP 1211 100 068. Di Jurusan Matematika ini, penulis mengambil bidang minat Pemodelan dan Simulasi Sistem. Penulis juga aktif di dalam organisasi intra kampus yakni pada Lembaga Dakwah Jurusan Ibnu Muqlah sebagai staff Kaderisasi pada periode 2012-2013 dan menjabat sebagai Bendahara Umum pada periode 2013-2014.
Untuk kritik, saran, dan pertanyaan mengenai Tugas Akhir ini dapat dikirimkan melalui e-mail ke [email protected].