Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis de Joukowski
Momento de Picada em torno do centro do perfily=η
CC é o centro do perfil
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x=ξ
CC é o centro do perfil
[ ]απρπ
ρ i
0 2i2
−∞Μ−ℜ+
Γ−= eU
QM
• Para um perfil de Joukowski Q=0
[ ]απρ i
0 2i −∞Μ−ℜ= eUM
Aerodinâmica I
• Μ é o coeficiente do termo z-2 da velocidade
complexa a grandes distâncias do perfil
Momento de Picada em torno do centro do perfil
Perfis SustentadoresPerfis de Joukowski
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
donde
( )απρ 2sen22
2
∞−= VbM c
�
αα i2i2eVaeVb ∞
−∞ −=Μ
��
Aerodinâmica I
Momento de Picada em torno do centro do perfil
• Para pequenos valores de α tem-se ( ) αα 22sen ≅
απρ2
24−≅ VbM�
Perfis SustentadoresPerfis de Joukowski
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Admitindo que um perfil de Joukowski tem
uma corda , o coeficiente de momento em torno do
centro do perfil é dado por
απρ2
24 ∞−≅ VbM c
�
απ
ρ 22
1 22
−≅=
∞ cV
MC c
M c �
bc 4≅
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
• O expoente k está relacionado com o ângulo
( ) ( )( ) ( )
k
kk
kk
b
b
kbz
kbz
bb
bbkbz
+
−=
+
−⇔
−−+
−++=
ζ
ζ
ζζ
ζζ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• O expoente k está relacionado com o ângulodo bordo de fuga, τ, através de
• k=2 corresponde à transformação de Joukowski
( )π
τπτ −=⇔−= 22 kk
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
• k=2 corresponde a uma linha de corrente
( ) ( )( ) ( )
k
kk
kk
b
b
kbz
kbz
bb
bbkbz
+
−=
+
−⇔
−−+
−++=
ζ
ζ
ζζ
ζζ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• k=2 corresponde a uma linha de corrente divisória que sai com continuidade tangencial.
O bordo de fuga não é um ponto de estagnação
0=τ
Aerodinâmica I
• k=1,95 corresponde a uma linha de corrente
( ) ( )( ) ( )
k
kk
kk
b
b
kbz
kbz
bb
bbkbz
+
−=
+
−⇔
−−+
−++=
ζ
ζ
ζζ
ζζ
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• k=1,95 corresponde a uma linha de corrente divisória que faz um ângulo inferior a π.
O bordo de fuga é um ponto de estagnação
o9=τ
Aerodinâmica I
y
1. Cilindro centrado na origem do referencial
η
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x
kb-kb
ξb
bck 9,3,95,1 ==
( ) ( )bb −−+ ζζ
Aerodinâmica I
y
2. Cilindro centrado no eixo imaginário
η
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x
kb-kb
ξb
bck 9,3,95,1 ==
( ) ( )bb −−+ ζζ
Aerodinâmica I
yη
3. Cilindro centrado no eixo real negativo
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x
kb-kb-∆
ξb
∆+== bck 9,3,95,1
( ) kk
k
kbεε
ε
−+=∆
1
2
( ) ( )bb −−+ ζζ
Aerodinâmica I
y
4. Cilindro centrado no 2º quadrante
η
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x
kb-kb-∆
ξb
∆+== bck 9,3,95,1
( ) kk
k
kbεε
ε
−+=∆
1
2
( ) ( )bb −−+ ζζ
Aerodinâmica I
1
Extradorso, α=3o
1. Cilindro centrado na origem do referencial
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75Extradorso, α=3Intradorso, α=3
o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
2
21
∞
∞−=
V
ppC p �
ρ
Aerodinâmica I
3
Extradorso, α=0o
2. Cilindro centrado no eixo imaginário
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Extradorso, α=0Intradorso, α=0
o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
Extradorso, α=-10o
Intradorso, α=-10o
2
21
∞
∞−=
V
ppC p �
ρ
Aerodinâmica I
3.5
4
Extradorso, α=0o
3. Cilindro centrado no eixo real negativo
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Extradorso, α=0Intradorso, α=0
o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
2
21
∞
∞−=
V
ppC p �
ρ
Aerodinâmica I
4
4.5
Extradorso, α=0o
4. Cilindro centrado no 2º quadrante
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4 Extradorso, α=0Intradorso, α=0
o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
Extradorso, α=-10o
Intradorso, α=-10o
2
21
∞
∞−=
V
ppC p �
ρ
Aerodinâmica I
• A transformação de Joukowski pode ser considerada
como um caso particular da transformação
∑+= naz ζ
Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Na transformação de Joukowski temos:
∑=
+=1n
n
naz
ζζ
2para02
1 ≥=∧= naba n
Aerodinâmica I
∑=
+=1n
n
naz
ζζ
Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• No caso geral os coeficientes an são complexos
• A transformação generalizada permite obter qualquer
perfil sustentador a partir de um cilindro circular
Aerodinâmica I
• O coeficiente de sustentação, Cl, de um perfilsustentador em escoamento irrotacional e
∑=
+=1n
n
naz
ζζ
Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
sustentador em escoamento irrotacional e incompressível a pequenos ângulos de ataque é dado
por
• Para um perfil de Joukowski
( )βαπ +
+=
c
daC tl 12
77,0≅ta
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresMomento de Picada em torno do centro do perfil
[ ]απρπ
ρ i
0 2i2
−∞Μ−ℜ+
Γ−= eU
QM
• Para um perfil sustentador Q=0
[ ]απρ i2i −Μ−ℜ= eUM
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
[ ]απρ i
0 2i −∞Μ−ℜ= eUM
• Μ é o coeficiente do termo z-2 da velocidade
complexa a grandes distâncias do perfil
• Admitindo que o coeficiente a1 é dado por
αα i2i
1 eVaeVa ∞−
∞ −=Μ��
λ2i2
1
−= eba
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresMomento de Picada em torno do centro do perfil
• Para pequenos valores de α tem-se
( )λαπρ +−≅2
2�
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Admitindo uma corda
( )λαπ
ρ+−≅=
∞2
21 2
2
cV
MC c
M c �
bc 4≅
( )λαπρ +−≅ ∞
224 VbM c
�
Aerodinâmica I
• Os perfis NACA foram desenvolvidos a partir de 1933
pelo National Advisory Committee for Aeronautics (NACA),
hoje em dia denominado National Aeronautics and Space
Administration (NASA).
Perfis SustentadoresPerfis NACA
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Administration (NASA).
• Os perfis NACA são construídos adicionando uma
distribuição de espessura na direcção normal ao esqueleto
e encontram-se divididos em várias séries.
Aerodinâmica I
• Série de 4 dígitos, NACA ABCD
A → Flecha relativa em percentagem, f/c
Perfis SustentadoresPerfis NACA
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
B → Coordenada da flecha máxima, xm,
dada por 10xm/c
CD → Espessura relativa em percentagem, d/c
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos, NACA ABCD
- Distribuição de espessura
( )d
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Esqueleto
2 arcos de parábola concordantes no ponto
de flecha máxima, cuja abcissa é xm
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos, NACA ABCD
- Distribuição de espessura
( )d
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Esqueleto
( )
( )( )( )
=>⇐−+−−
=≤⇐−
=
10211
1
1002
2
2
Bxxxxxx
x
f
Afxxxxx
x
f
y
mmmm
m
mm
m
m
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos
- NACA 0012
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Perfil simétrico com 12% de espessura relativa
Aerodinâmica I
• Série de 4 dígitos
- NACA 4412
Perfil com uma flecha relativa de 4% localizada em
Perfis SustentadoresPerfis NACA
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Perfil com uma flecha relativa de 4% localizada emxm=0.4c (40% do bordo de ataque) e com 12% de
espessura relativa
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
A → Valor aproximado de ( )projlC10
3
2×
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
BC → Coordenada da flecha máxima, xm,
dada por 200xm/c
DE → Espessura relativa em percentagem, d/c
é o coeficiente de sustentação de projecto( )projlC
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
- Distribuição de espessura idêntica à série 4
( )d
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Esqueleto
2 polinómios que definem uma curvatura
decrescente desde o bordo de ataque, sendo
uma recta a partir dum ponto ligeiramente à
direita do ponto de flecha máxima, cuja abcissa é xm
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
- Distribuição de espessura
( )d
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Esqueleto
( )( )
( )
>⇐−
≤⇐−+−
=
mxxmk
mxxmmmxxk
y
m
m
16
1
336
1
3
1
223
1
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
- EsqueletoValores de ( ) 3,0parae,1 =
projlm Cxmk
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Valores de
Designação
210 0,05 0,0580 361,4
220 0,10 0,1260 51,64
230 0,15 0,2025 15,957
240 0,20 0.2900 6,643
250 0,25 0,3910 3,230
m1kmx
( ) 3,0parae,1 =projlm Cxmk
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos
- NACA 23015
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Perfil com , uma flecha máxima
localizada em xm=0.15c (15% do bordo de ataque)
e com 15% de espessura relativa
( ) 3,0=projlC
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao
A → Valor de . é a abcissa do pontocxp 10 px
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
A → Valor de . é a abcissa do pontode pressão mínima para o correspondente
perfil simétrico com ângulo de ataque
nulo. está realcionado com a
distribuição de espessura do perfil
cxp 10 px
px
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao
B → Gama de valores de Cl (multiplicado
por 10) acima e abaixo do valor de Cl
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
por 10) acima e abaixo do valor de Cl
de projecto em que existem gradinetes de
pressão favoráveis ou quase nulos no
intradorso e extradorso do perfil
C → . é o coeficiente de
sustentação de projecto
( )projlC10 ( )
projlC
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao
DE → Espessura relativa em percentagem
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
NACA 66-209 (a=1)
ao → Abcissa até à qual a carga (diferença de
pressão entre o extradorso e o intradorso)
é aproximadamente constante. Para x>ao
a carga decresce linearmente. ao está
relacionado com o esqueleto do perfil
Aerodinâmica I
-
∞V�
BAM
cM
L
α
α
x
y
Perfis SustentadoresMomento de Picada em Torno do
Bordo de Ataque
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
• Propagação de momentos
( )
( ) lMlMM
ccBA
CCCCC
Lc
Mc
LMM
ccBA 2
1
2
1cos
22cos
+≅+=
+≅+=
α
α
Aerodinâmica I
-
∞V�
BAM
cM
L
α
α
x
y
Perfis SustentadoresMomento de Picada em Torno do
Bordo de Ataque
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Para um perfil sustentador a pequenos α temos
donde
α
( ) ( )
λβγγπ
βαπ
λβπ
−=+≅
++−≅
com42
22
lM
M
CC
C
BA
BA
( ) ( )λαπ
βαπ +−≅+≅2
2cMl CC
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞V�
L
α
α
x
y
cM
xM
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
• Centro aerodinâmico é o ponto relativamente
ao qual o momento de picada é independente
do ângulo de ataque, α
• Coeficiente de momento em torno do ponto x
lMM Cc
xCC
cx−≅
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞V�
L
α
α
x
y
cM
xM
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
• Centro aerodinâmico obtem-se da condição
donde
00 =⇔=l
MM
dC
dC
d
dCxx
α
αα
d
dCd
dC
dC
dC
c
x
c
x
dC
dC
l
M
l
Mcaca
l
M ccc1
0 ==⇔=−
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞V�
L
α
α
x
y
cM
xM
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
4
1
2
1
2−=−≅
π
π
c
xca
• Para um perfil sustentador a pequenos α temos
donde
πα
π
α2
2≅−≅
d
dC
d
dClM c
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞V�
L
α
α
x
y
cM
xM
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
( ) γπ
γα
βλα 2
≅−=−=d
dC
d
dCC cc
ca
MM
M
• O centro aerodinâmico encontra-se
aproximadamente a 25% da corda
• O coeficiente de momento em torno do
centro aerodinâmico é dado por
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresCentro de Pressão
-
∞V�
L
α
α
x
y
cM
xM
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
• Centro de pressão é o ponto da linha que contém
a corda relativamente ao qual o momento de
picada é nulo. Ou seja, o ponto de intersecção da
linha de acção da força de sustentação e da linha
que contém a corda
0=−≅ lMM Cc
xCC
cx
Aerodinâmica I
Perfis SustentadoresCentro de Pressão
-
∞V�
L
α
α
x
y
cM
xM
Cxx
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
α
• Para um perfil sustentador a pequenos α temos
donde
( ) ( )λαπ
βαπ +−≅+≅2
2cMl CC
l
M
l
cp
C
C
Cc
xca+−=+−=
++−=
4
1
24
1
4
1
4
1 πγ
βα
γ
l
Mcp
lMMC
C
c
xC
c
xCC c
cx=⇔=−≅ 0