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5/12/2018 Péndulo real sin rozamiento - slidepdf.com

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1

Comportamientodeunpéndulorealsinrozamiento

CarlosE.Solivérez*

Introducción

LospéndulostienenimportantesaplicacionesprácticasenMecánicayson,juntoconlosresortes,elprototipomatemáticodelossistemasfísicosperiódicos,elpuntodepar-tidaparasudiscusión.

Eneltratamientoelementaldelpéndulosehacen3suposicionescuyaúnicajustifica-ciónessimplificarlaresolucióndelaecuacióndiferencialquedescribesumovimiento:

• masa oscilante concentrada en un volumenmuy pequeño (aproximación demasapuntual);

• amplitudesdeoscilaciónpequeñas(pequeñasoscilaciones);

• movimientosinrozamiento(noamortiguado).

Lospéndulosrealesnoestánformadospormasaspuntuales,susoscilacionespuedenserdegranamplitudylasfuerzasderozamientosiemprecausanladetencióndelmovi-mientoenunlapsodetiempofinito.Enestanotasecalculaelperíododeunpéndulosinhacerlas2primerasaproximaciones,dejandolaeliminacióndela3ªparauntrabajoposterior.

LadiscusióndelospéndulosrealesnoamortiguadospuedehacerseconpocomásquelaaplicacióndelPrincipiodeConservacióndelaEnergía.Sepuedeobtenersuam-plituddeoscilación apartir delas condiciones iniciales, establecer las condicionesenquehayperiodicidad,calcularelperíodoysudependenciaconlaamplitud.Todoestopuedehacersesinque,aparentemente,sehayaresueltolaecuacióndiferencial.Enreali-dad,comoseverá,elPrincipiodeConservacióndelaEnergíaMecánicaconstituyelapri-merintegraciónrespectodelascoordenadasdelaecuacióndiferencialdesegundoor-den respectodel tiempo,cuandolas fuerzas intervinientesson funcionesdepunto.Laconstantedeintegración—laenergíatotal—eslamásimportanteconstantefísicadelmovimientoysuvalordeterminalaposibilidaddeaparicióndelrégimenoscilatorio.

Ecuacióndiferencial

Laecuacióndelmovimientodeuncuerporígidocapazderotarunángulo θ alrededordelpuntodesuspensiónS,conmomentodeinercia I ,bajolaaccióndelacuplagravitato-riaτ es

I ⋅d 2θ /dt 2=τ ,

dondeθ eselánguloenradianesyd θ /dt lavelocidadangularderotaciónω .ComoseveenlaFigura1,paraunpénduloreallacuplaes τ =-l ⋅P ⋅sen(θ),donde l esladistanciadelpuntodesuspensiónSalcentrodemasaC,P =m· geselpeso,mlamasa, glaaceleracióndelagravedadyθ elángulodeapartamientodelavertical(posicióndeequilibrioesta-ble)conelsentidopositivoindicadoporlaflecha.Entonces,laecuacióndiferencialdelmovimientoes

I ·d 2θ /dt 2+l ·P ·sen(θ )=0. (1)

Parapequeñosapartamientos(θ ≪1)ymasamuyconcentrada( I =m·l 2)laec.(1)pue-deaproximarsepor

* Véase esbozo biográfico en http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/index.php/Usuario:Csoliverez.



2

d 2θ /dt 2+k 2·θ =0,dondek =√( g /l ),

denominadaecuaciónarmónica.Comopuedeverificarseporderiva–ción,susolucióngeneral,correspondientealllamadopénduloideal,eslafunciónperiódica

θ (t )=c1·cos(k ·t )+c2·sen(k ·t ),quetambiénpuedeescribirse

θ (t )=θ m·cos(k ·t +ϕ ),

donde θ m es la amplitud de la oscilación, ϕ la fase y T =2π /k=2π√(l / g)elperíodo,queenestecasoesindependientedelamasaysudistribuciónespacial.

Laecuacióndiferencial (1) nocontiene funcionesque dependanexplícitamentedeltiempo,porloquesepuedehacerunaprimerain-tegraciónrespectodeθ delasiguientemanera.Comod θ /dt =ω ,

d 2θ /dt 2=d ω /dt =(d ω /d θ )·(d θ /dt )=ω ·d ω /d θ.Laec.(1)puedeentoncesreescribirse

I ⋅d 2θ /dt 2+l ·P ·sen(θ )= I ·ω ·d ω /d θ +l ·P ⋅sen(θ )=0,

ó I ·ω ·d ω +l ·P ·sen(θ )·d θ =0.

Evaluando la integraldefinidade cada término,donde los extremos debencorres-ponderse,seobtiene

I ·ω ·d ω ω (0)

ω (θ )

∫ + l ·P·sen(θ )·d θ 0

θ

∫ =1

2 I ·ω (θ )

2 − 1

2 I ·ω (0)

2 − [l ·P·cos(θ )− l ·P·cos(0)]= 0.

ReordenandotérminossepuedeverquelaecuaciónanteriornoessinoelPrincipiodeConservacióndelaEnergíaMecánica.Paraellosepasanalsegundomiembrolostérmi-

noscorrespondientesalextremoinferiordeintegración,obteniendo

1

2 I ·ω (θ )

2− l ·P·cos(θ ) = 1

2 I ·ω (0)

2− l ·P. (2)

Elprimertérminodecadamiembroeslaenergíacinéticaderotación,mientrasqueelsegundoeslaenergíapotencialgravitatoriaV (θ ).SielorigendeV (θ )eselpuntomásba-jodelatrayectoria(θ =0),consentidopositivohaciaarriba,

V (θ ) = − (−P)·dh0

h

∫ = P·h = P·[l − l ·cos(θ )]= l ·P·[1− cos(θ )].

Figura1.Pénduloreal.

Figura2.Energíapotencialdelpénduloreal.



3

Estaexpresiónesválidaparacualquiervalorde θ ysegraficaenlaFigura2.LasmarcassobreelcírculodetrazosdelaizquierdasonposicionesdelcentrodemasaCdelpéndu-lo,mientrasque lasmarcassobre lacurvadetrazocontinuode laderechasonlosco-rrespondientesvaloresdelaenergíapotencial.Esinteresantecompararestafiguraconlaqueseobtendríaparaelpénduloideal,dondelaenergíapotencialesunafuncióndi-

vergentedeθ .Sumandol ⋅P aambosmiembros,laec.(2)sepuedereformularasí:

I ⋅ω 2/2+l ⋅P ·[1-cos(θ )]=E c+V =E M,dondeE ceslaenergíacinéticaderotación,V laenergíapotencialgravitatoriayE Mlaenergíamecánicatotaldelsistema.Laexpresiónesválidaparatiempo t arbitrario.E Mesindependientede t ysiempreigualalasumadelaenergíacinéticaypotencial.Elcom-portamientodelsistemarotante,enparticularsucarácterperiódicooaperiódico,de–pendecríticamentedelvalordeE M,temaqueseanalizaacontinuación.

Análisisenergético

Adiferenciadelpénduloideal—quesiempreoscila—elrealpuedetener2comporta-mientostotalmentediferentessegúnlaenergíainicialqueseleproporcione,seaenfor-macinéticaopotencial.ElpéndulorecibeenergíaexclusivamentepotencialcuandoselevantasucentrodemasaChastaunaposiciónangularθ 0yseloliberadesdeallíconve-locidadinicialnula.Recibeenergíaexclusivamentecinéticacuandoenlaposicióndeequilibrioestableθ =0seleimprimevelocidadinicialv 0.Enelcasogeneralpuedepro-porcionarseambostiposdeenergíaliberándolodesdeunaposicióninicialθ 0≠0conve-locidadinicialv 0nonula.

LamínimaenergíaE Mnecesariaparallevarelcentrodemasaalaposiciónmásalta(aaltural sobreelpuntodesuspensión)es2l ⋅P .CuandoE M≤2l ·P elcuerponopuededarmásdeunarevolucióncompleta.Enesecaso:

1. elcentrodemasaalcanzasuposiciónangularextrema ±θ mcuandolaenergíacinética(lavelocidad)esnulaylaenergíapotencialesmáxima;

2. elcentrodemasaalcanzasuvelocidadextrema±v m(energíacinéticamáxima)cuan-dolaenergíapotencialesmínima(queconeleccióndeorigenhechaesV =0).

Sepuedeentoncescalcularlaamplitudθ mylavelocidadmáximav m=l ⋅ω menfuncióndeE Mapartirdelaexpresióndelaenergíamecánicatotal

E M= I ⋅ω 2/2+l ⋅P ·[1-cos(θ )]=E c+V = I ω m2/2=l ⋅P ·[1-cos(θ m)]. (3)

Figura3.

Péndulorealenelespaciodelasfasesθ —ω .

Apesardequelaenergíapotencialessiempreperiódicaen θ ,elmovimientodelpénduloesperiódicosóloenelrangoE M<2l ⋅P .Estoseveclaramenteeneldiagramadetrayectoriasenelespaciodelasfases θ — ω .Estatrayectoriaseobtienedespejandoω delaec.(3):

ω = ±2

I E M − l ·P· 1− cos(θ

m)[ ]( ). (4)

Lasramasquecorrespondenalsentidopositivoderotaciónsonlascurvasdelsemipla-nosuperiordelaFigura3;lasdelnegativosonlasdelsemiplanoinferior.

Lascurvascerradas,identificatoriasdelcomportamientoperiódico,correspondena



4

E M<2l ⋅P .Lascurvasondulantescorrespondenalcasonoperiódico E M>2l ⋅P ,dondeelpéndulonooscilasinorotaconvelocidadvariable,máximaenlapartemásbaja,mínimaenlapartemásaltadelrecorrido.Estecomportamientoessimilaraldelcarritodeunamontañarusa:sinoseleproporcionalaenergíacinéticamínimanecesariapararemon-tarlaprimeracuesta,vuelveallugardepartida;siselaenergíaessuficiente,lasuperará

continuandosumovimiento.Conelpéndulosucedeexactamentelomismo.Lascurvasdetrazodiscontinuocorrespondenalcasolímite,EM=2l ⋅P ,queseparala

regióndecomportamientoperiódicodelanoperiódica.Elcomportamientoenestecaso,quepuederesolversedemaneraexacta,sediscuteacontinuación.

CasolímiteE M=2l ·P

Laprimeraideaqueacudealamenteesqueestecasoessólounomásdecomporta-mientoperiódicoyqueelpéndulooscilaráalcanzandolaalturamáxima,conelperíodoquecorresponda.Estahipótesisnopuedesercorrectaporquetantolavelocidadcomolacuplasonnulasenelpuntosuperior,demaneraqueunavezalcanzadoéstenohayim-

pulsonifuerzaderestituciónquetiendaasacarlodeallí.Estáclaroque,porserelequi-librioinestable,cualquierperturbacióntenderáahacerlo,perolaecuaciónnoincluyeta-lesperturbaciones.Unapreguntainteresantees¿cuantotiempodemoraelcuerpoenlle-garalacúspide?Pararesponderlahayqueresolverlaecuacióndiferencialparaesteva-lorlímitedeenergía,resoluciónqueescasitrivialcomparadaconladelcasoE M<2l ·P .

Setieneentonces

I ·ω 2/2+l ⋅P ·[1-cos(θ )]=E M=2l ⋅P ,

quepermitedespejarω paraobtener

ω =2l ·P

I 1+ cos θ ( )( ).

Como1+cos(θ )=1+cos2(θ /2)-sen2(θ /2)=2cos2(θ /2),laexpresióndeω resultaser

ω = ±d θ

dt = ±2

l ·P

I cos

θ

2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ .

Eldoblesignocorrespondealosdosposiblessentidosquepuedetenerlavelocidadan-gularparaunmismovalordeθ ,segúnelpénduloesté"deida"o"devuelta".Laecuacióndiferencialpuederesolverseparat enfuncióndeθ ,separandovariablesdelasiguientemanera:

d θ

cos θ / 2( )

= ±2l ·P

I

dt .

Integración sobre t en el intervalo [0;t ] y sobre θ en el intervalo correspondiente[θ 0;θ (t )],dondeθ 0=θ (0)seobtiene

d θ

cos θ / 2( )θ 0

θ

∫ = ±l ·P

I t . (5)

Laprimeraintegral,quepuedeencuentrarseencualquierbuenatabladeprimitivas1,es

1 Véase, por ejemplo, G. Korn y T. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers,

McGraw-Hill Book Company, EEUU-Canadá-Inglaterra-Australia, 1968 (2ª edición). Apéndice E, In-tegrales, pp. 925-980. En esta tabla la primitiva buscada es la Nº 325.



5

dθ

cos(θ /2)∫ = 2ln tgθ

4+π

4

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

,

resultadoquepuedeverificarseporderivación.Reemplazandoenlaec.(5)seobtiene

ln

tg (θ / 4 + π / 4( )tg θ 0 / 4 + π / 4( )

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = ±

l ·P

I t = ±k ·t ,

dondek =√(l ·P / I ),constantequesereducealadelpénduloidealcuandoelmomentodeinerciapuedeaproximarseporeldeunamasapuntual.Lasdossolucionesdeestecasolímitesonentonces

tg(θ /4+π /4)=tg(θ 0/4+π /4)e±k ·t .

Cuando el origen del tiempo se elige enθ 0=0,lasfuncionesθ ±(t )sonlasqueserepre-sentanenlaFigura4,dondelacurvadetrazo

continuocorrespondeae+k ·t

,yelrecorridosehacedeθ =0aθ =π .Parae-k ·t (líneadetrazodiscontinuo) el recorrido se hace en sentidocontrario,deθ =0aθ =-π .Seveasíquesielpéndulopartedelaposicióndeequilibrioesta-ble, necesita un lapso de tiempo infinito paraarribaralacúspide.Estocorrespondeallímiteen que el período tiende a infinito, es decir,cuandolafuncióndejadeserperiódica.

Cálculodelperíodo.

La discusión previa dejó bien establecido que sólo hay comportamiento periódicocuandoE M<2l ⋅P .Enestecasoesconvenienteescribir(véaseec.(3))

E M=l ⋅P ⋅[1-cos(θ m)]

quereemplazadaenlaec.(4)da

ω =d θ

dt = ±

2

I E

M −V (θ )( ) = ±2l ·P

I cos(θ )− cos(θ

m)( ), θ ≤θ

m.

Estaecuaciónpuedeintegrarseigualqueenelcasolímiteparaobtener

dt = ±I

2l ·P

d θ

cos(θ )− cos(θ m

), θ ≤θ

m. (5)

Ellapsodetiempotranscurridoentreelinstante θ =0yaquélenelcualθ =θ mesuncuartodelperíodoT .Entonces,

T

4= dt

0

t m

∫ =

I

2l ·P

d θ

cos(θ )− cos(θ m)0

θ m

∫ .

Cuandoθ m=π laintegraleslacalculadaenlaec.(5)yesfácilverificarqueelperíodore-sultainfinito.Cuandoθ m≠π laintegralnopuedeexpresarseentérminodefuncionesele-mentales,debiendocalcularsemediantedesarrollosenserieométodosnuméricosapro-piados.Debidoaqueestaintegralaparececonfrecuenciaenaplicacionestécnicas,la

Figura4.

Comportamientolímitedelpénduloreal.



6

funciónquedefine(queespartedeunafamiliamayordefuncionesvinculadas)hamere-cidotenerunnombre,eldeIntegralElípticaCompletadePrimeraEspecie,2

K(sen(α )) =

1

2

d θ

cos(θ )− cos(2α )0

2α

∫ =

d ϕ

1− sen2(α ) sen

2(ϕ )0

π /2

∫ .

ElvalordelafunciónK(sen(α ))puedeobte-nersedetablas3ocalcularseusandoprogra-masdecomputadoracomoMathematica®omedianteelalgoritmoquesedarámásade-lante.Sudependenciade α ,quesemuestraenlaFigura5,hacequeelperíododelpén-dulorealseaunafuncióncrecientedelaam-plitud.Paraamplitudespequeñaslacurvaescasihorizontal,constante,convalorcercanoaπ /2.Sepuedeverificarfácilmentequeen

laaproximacióndemasapuntualelvalordelperíodo coincide con el calculado para elpénduloidealalcomienzodeestedocumento.

Cuandosehacenprácticasdelaboratorio,frecuentementesecalculaelperíodo

T = 4I

l ·PK sen θ

m/ 2( )( ) (6)

haciendoundesarrolloenseriedelaintegralelípticaparacorregirladependenciadelperíodoconlaamplitud.Ésto,ademásdeserimprecisoyengorroso,noesnecesarioyaquehayunmétodosimpleyderápidaconvergenciaparacalcularelvalordelaintegralelípticaK:eldelamediaaritmética-geométrica. 4Lamediaaritmética-geométricadedosnúmerosa0,b0,eselnúmeroobtenidomedianteelalgoritmoderecurrenciaconsistenteenremplazarelprimernúmerodelparporlamediaaritméticadelparyelsegundonú-meroporlamediageométricayasísucesivamenteapartirdecadanuevoparobtenido.Losdosprimerospasosdeestarelaciónderecurrenciason:

a1=(a0+b0)/2(mediaaritmética),b1=√(a0b0)(mediageométrica),

a2=(a1+b1)/2,b2=√(a1b1).

Secontinúahastaencontrarelparenésimoparaelcuallosvaloresdeanybncoincidenentresíconlaprecisióndeseada.ParacalcularlafunciónK(sen(α ))conestemétodoseusanlosvaloresinicialesa0=1yb0=cos(α ).Sian=bndentrodelaprecisióndeseada,en-

tonceselvalorbuscadoesK(sen(α ))=π /2an.Latablainferiorilustralarapidezconqueconvergeelparinicialalvalordeseadoconunaprecisióndetresdígitos(errormenorqueel1%)para θ m=π /2,osea,α =π /4.Elvalorinicialesb0=cos(π /4)=1/√2=0,70711yloscálculossehicieronconunacalcula-doradebolsillo.

2

La reducción de la integral original a la forma canónica del último miembro, mediante sucesivoscambios de la variable de integración, se da en el Apéndice.

3

Véase, por ejemplo, M. Abramowitz e I. A. Stegun (compiladores), Handbook of Mathematical Func-tions, Dover, New York (EEUU), 1965, p. 590.

4Abramowitz, p. 599.

Figura5.

Períodoenfuncióndelaamplitud.



7

La3ªiteraciónsedasóloatítuloilustrativoyaquelaprecisióndeseadaselogróenla2ª.ElvalorresultantedelaintegralelípticaesK=1,85entotalconcordanciaconlosvalo-restabulados.Nohacerlacorrecciónporamplitud,comoenelpénduloideal,equivaleausarelvalorK=π/2=1,57cometiendounnadadespreciableerrorrelativodel18%.

Solucióncompletadelaecuacióndelmovimiento

Lasolucióndelaecuacióndiferencialdelpén-dulorealseobtieneintegrandolaec.(6).Lainte-gralresultantenodefinelafunción θ =f(t )sinosuinversa, t =g(θ )=f -1(θ ). Como f(t )esunafunciónperiódicadeperíodoT dadopor(7),suinversaes

unafunciónmultivaluadaqueestáunívocamentedefinidasóloenunintervalodelongitudT /2,porejemplo[θ 1;θ 1+T /2].Larazóndeestalimitaciónsecomprende analizando, por ejemplo, la funciontrigonométricainversaarcosen(t )delaFigura6.Eltramocentraldetrazocontinuodefine,enelin-

tervalo deordenadasdel semiperíodo [-π /2;π /2], una función uniforme (univaluada)perohayinfinitosintervalosporencimaodebajodeéstedondelafuncióntambiéntomavalores.

Lasdosramas(lapositivaylanegativa)queseobtienenporintegracióndelaec.(6)

permitenconstruirunsemiperíododeg(θ )comenzando(oterminando)concualquiervalordeθ .Bastaconstruirlafunciónparaelsemiperíodomásfácildecalcular,yaquetodossoniguales,porloqueseintegralaecuacióndiferencial(6)sobre t enelintervalo[t ;T /4]y,demaneracorrespondiente,sobreθ en[θ ;θ m].Seobtieneasí

T

4− t =

I

2l ·P

d θ

cos(θ )− cos(θ m )θ

θ m

∫ =

I

l ·P

d ϕ

1− sen2(α )·sen2

(ϕ )ϕ

π /2

∫ , −θ m ≤θ ≤θ m ,

dondelasegundaintegralseobtienedelamismamaneraqueenelanteriorcálculodelperíodo.Nóteseque(omitiendo,porsimplicidad,laescrituradelintegrando)

ϕ

π /2

∫ =

0

π /2

∫ −

0

ϕ

∫ .

Setieneentoncesque

T

4− t =

I

l ·P

d ϕ

1− sen2(α ) sen

2(ϕ )

−I

l ·P

d ϕ

1− sen2(α )·sen

2(ϕ )0

ϕ

∫ 0

π /2

∫ =

T

4− F ϕ \ sen(α )( ).

Seusóaquílaec.(7)yladefinicióndelaIntegralElípticadePrimeraEspecie5

F ϕ \ sen(α )( ) =d ϕ

1− sen2(α )·sen

2(ϕ )0

ϕ

∫ ,

delacualKeselcasoespecialϕ =π /2.

5

Abramowitz, p. 589.

Orden 0 1 2 3

a 1 0,85355 0,84722 0,84721

b 0,70711 0,84090 0,84720 0,84721

Figura6.

Funciónmultivaluadaarcoseno.



8

Resultaentoncesque

t = I

l ·PF ϕ \ sen(θ m / 2)( ), −θ m ≤θ ≤θ m .

EnlaFigura7segraficaladependenciadeFcon θ

paraθ m=π /2.Laslíneasdetrazosidentificanlostra-mos adicionales que fue necesario incorporar pararepresentarunperíodocompleto(véaseladiscusióninicialdelasección).Paracomparaciónsehagrafica-do también, en trazo gris, la función sinusoidal delmismoperíodoyamplitud,delaquedifierepoco.

Comparaciónconelpénduloideal

Lasprincipalesdiferenciasentreelpénduloideal—masaconcentradaqueoscilaconpequeñaamplitud—yelpéndulorealsinrozamientosonlassiguientes:

•

Mientrasqueelperíododelpénduloideal2π√(l / g)esindependientedelamasayfor-madelcuerpo,elperíododelpéndulorealdependedeladistribuciónespacial(yde

homogeneidad)delamasaatravésdelvalorde√[I /(l ·m· g)].Porejemplo,paraunaesferahomogéneaderadior ,I =m·l 2+2m·r 2/5.

• Aligualqueenelpénduloideal,elperíododelpénduloesaproximadamenteconstan–teparapequeñasoscilacionesperoaumentaconlaamplitudytiendeahacerseinfini-to(movimientonoperiódico)cuandolaamplitudtiendeaπ .

• Lavariacióntemporaldelángulodeoscilaciónθ (t )difierepocodelasinusoidecorrespondientealpénduloideal.

Conclusiones

Elpéndulorealilustraimportantespropiedadesfísicasdesistemasmecánicososcila-torios,alavezquemétodosgeneralesderesolucióndeecuacionesdiferencialesbasadosenprincipioscrucialescomoeldeconservacióndelaenergía.Apesardequeeltrata-mientonorequiereotrossaberesdeAnálisisMatemáticoquelosdadosenunprimercursodeltema,esmuydifícilencontrarlodetalladamentediscutidoenlostratadosdeMecánica,razónporlaquesehellevadoacaboestetrabajo.Lascomplicacionesquein-troduceelrozamientosonsignificativas,razónporlaquenosehatratadoaquíeltema.Sutratamientopuedeserunabuenaintroducciónalestudiodesistemasdisipativos,pe-rorequiereconocimientosmásavanzadosdeAnálisisMatemático.

Figura7.Gráficodeθ (t )paraθ m=π /2.



9

Apéndice

Reduccióndelaintegralelípticaaformanormal

Sedemuestraacontinuaciónlaigualdaddelosdosúltimosmiembrosdelasiguienteecuación,mencionadaenlapágina6:

K sen(α )( ) =1

2

d θ

cos(θ ) − cos(θ m

)0

θ m

∫ =

d ϕ

1− sen2(α )·sen

2(ϕ )0

π /2

∫ .

Lasegundaintegral,salvouneventualreemplazodesen( α )porunavariabletalcomom,eslaformaestándarocanónicadelaIntegralElípticaCompletadeSegundaEspecie.Pa-rareducirlaprimeraintegralalasegundahayquehacersucesivoscambiosdelavaria-bledeintegración.

Nótese,enprimerlugar,que

cos(θ )=cos2(θ /2)-sen2(θ /2)=1-2sen2(θ /2),

cos(θ )-cos(θ m)=2[sen2(θ m/2)-sen2(θ /2)].

Sehaceluegouncambiodevariabletalquemantengaelextremoinferiordeintegración(0)ytransformeelsegundo,θ m,enπ /2.Unreemplazoapropiadoes

sen(θ /2)=sen(θ m/2)sen(ϕ ),

yaqueentoncesaθ =0correspondeϕ =0;yaθ =θ mcorrespondeϕ =π /2.Derivandolaecuaciónanteriorseobtienelarelaciónentrediferenciales

cos(θ /2)·dθ /2=sen(θ m/2)·cos(ϕ )·dϕ ,

dθ =2sen(θ m/2)·cos(ϕ )·dϕ /cos(θ/2).

Sepuedeescribircos(θ /2)=√[1-sen2(θ /2)]=√[1-sen2(θ m/2)sen2(ϕ )]

usandoelsignopositivodelaraíz,yaqueθ /2estáacotadoalintervalo[-π /2;π /2]dondeelcosenonuncaesnegativo.Asimismo,conanálogasconsideracionesdesigno,

cos ϕ ( ) = 1− sen2 ϕ ( ) = 1−

sen2 θ / 2( )

sen2 θ

m/ 2( )

=

sen2 θ

m/ 2( )− sen

2 θ / 2( )

sen θ m/ 2( )

=

cos θ ( )− cos θ m( )

2 sen θ m/ 2( )

,

dondesehausadolatransformaciónquedefineϕ yelprimerdesarrollodeldenomina-dor.Elintegrandosetransformaentoncesasí:

d θ

cos θ ( )− cos θ m( )

=2sen θ m / 2( ) cos θ ( )− cos θ m( )·d ϕ

2 sen θ m

/ 2( )·cos θ / 2( )· cos θ ( )− cos θ m( )

= 2d ϕ

cos θ / 2( )= 2

d ϕ

1− sen2 θ

m/ 2( )·sen

2 ϕ ( ).

Reemplazandoenlaprimeraintegralalcomienzodelasección,yteniendoencuentalodichoinicialmentesobrelosnuevoslímitesdeintegración,seobtienelasegundainte-gral.Sevetambiénqueresulta

α =θ m/2.