Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Filtres linéaires
(1er ordre - 2ème ordre)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� I - Intérêt de l’étude ; définitions générales :
Système linéaire électrique ou mécanique
(réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes
excités par des ondes lumineuses, …
Contraintes extérieures
Réponse du système
ve(t)=Emcosωωωωt« Filtres »
mécaniques ou électriques
vs(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)
L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ωωωω.
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Filtre du 1er ordre : (vu en SI)
ve(t)=EmcosωωωωtFiltre du
1er ordrevs(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)
)(1
)()()( tvTj
KtvjHtv
ees ωω
+== (Filtre passe-bas)
Filtre du 2ème ordre : (vu en SI)
ve(t)=EmcosωωωωtFiltre du
2ème ordrevs(t)=Smcos(ωωωωt+ϕϕϕϕ)
)(
21
)()()(
020
2tv
j
KtvjHtv
ees
ω
ωξ
ω
ωω
+−
== (Filtre passe-bas)
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Notations et définitions générales :
tjjsms
tjeme
eeVtveVtvωϕω == )(;)(
ϕϕϕϕ est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée du filtre.
ϕω j
em
sm
e
s eV
V
v
vjH ==)(
H(jωωωω) est la fonction de transfert en tension du filtre :
em
sm
V
VjHG == )()( ωω G(ωωωω) est le gain réel
==
em
smdB
V
VGG log20)(log20)( ωω GdB(ωωωω) est le gain en décibels
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Diagramme de Bode :GdB
ϕϕϕϕ
Échelle logarithmique pour ωωωω
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� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
On pose :
1) Circuit (R,C) :
a) Aux bornes de C (filtre passe – bas) : étude qualitative
R
C
YA YB
ve vs(Sortie ouverte)
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
esv
jCR
jCv
ω
ω1
1
+
=
ωω
jRCv
vjH
e
s
+==
1
1)(
RC
10 =ω
0
1
1)(
ω
ωω
jv
vjH
e
s
+
==
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Le gain et le déphasage s’en déduisent :
2
0
1
1)(
+
=
ω
ω
ωG0
tanω
ωϕ −=
0cos >ϕ
−∈ 0,
2
πϕ
Etude asymptotique du gain :
dBGetG dB 01)(:)10
(1 0
0
≈≈<<< ωω
ωω
ω
−≈≈>>>
0
00
0
log20)(:)10(1ω
ω
ω
ωωωω
ω
ωdBGetG
( ) dBGetG dB 32log202
1)(: 00 −≈−=≈= ωωω
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Animations JavaDiagramme de Bode (voir cours de SI) :
GdB
log(ω / ω0)
ω0 / 100 ω0 / 10 ω0 10ω0 100ω0
Pente de -20 dB/décade
ωωωω0 est la pulsation de coupure (de cassure) à
– 3 dB
[0,ωωωω0000] est la bande passante du filtre
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Animations JavaDiagramme de Bode (voir cours de SI) :
ϕ
log(ω/ω0)
−π/2
Filtre passe-bas
esvvPour =<< :1
0ω
ω
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On pose :
1) Circuit (R,C) :
b) Aux bornes de R (filtre passe – haut) : étude qualitative
R
CYA YB
ve vs(Sortie ouverte)
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
esv
jCR
Rv
ω
1+
=
ω
ωω
jRC
jRC
v
vjH
e
s
+==
1)(
RC
10 =ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω0
0
0
1
1
1
)(
jj
j
v
vjH
e
s
−
=
+
==
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Le gain et le déphasage s’en déduisent :
2
01
1)(
+
=
ω
ωωG
ω
ωϕ 0tan =
0cos >ϕ
∈
2,0π
ϕ
Etude asymptotique du gain :
≈≈<<<
00
0
0
log20)(:)10
(1ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
ωdBGetG
dBGetG dB 01)(:)10(1 00
≈≈>>> ωωωω
ω
( ) dBGetG dB 32log202
1)(: 00 −≈−=≈= ωωω
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GdB
log(ω/ω0)
Animations JavaDiagramme de Bode (voir cours de SI) :
Pente de
20 dB/décade
ωωωω0 est la pulsation de coupure (de cassure) à
– 3 dB
[ωωωω0000,,,,∞] est la bande passante du filtre
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ϕ
π/2
log(ω/ω0)
Animations JavaDiagramme de Bode (voir cours de SI) :
Filtre passe-haut
esvvPour =>> :1
0ω
ω
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� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
On pose :
2) Circuit (R,L) :
a) Aux bornes de R (filtre passe – bas) : étude qualitative
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
esv
jLR
Rv
ω+=
ωω
R
Lj
v
vjH
e
s
+
==
1
1)(
L
R=0ω
0
1
1)(
ω
ωω
jv
vjH
e
s
+
==
R
LYA YB
ve vs(Sortie ouverte)
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� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
On pose :
esv
jLR
jLv
ω
ω
+=
ω
ωω
R
Lj
R
Lj
v
vjH
e
s
+
==
1
)(
L
R=0ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω0
0
0
1
1
1
)(
jj
j
v
vjH
e
s
−
=
+
==
L
RYA YB
ve vs(Sortie ouverte)
2) Circuit (R,L) :
b) Aux bornes de L (filtre passe – haut) : étude qualitative
En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension)
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� II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) :
éqéq
éq
e
s
yRRz
z
v
vjH
+=
+==
1
1)( ω
L
RYA
YB
ve vsRu
3) Cas d’une sortie « non ouverte » :
On reprend l’exemple du circuit (R,L) : la bobine est reliée à une résistance d’utilisation Ru.
uéq
éq RjLy
z
111+==
ω
On se ramène à la règle du diviseur de tension :
ω
ω
L
Rj
R
RjH
u
−
+
=
1
1)(
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Soit l’expression de la fonction de transfert :
ω
ω1
)(1
1)(
LRR
RRj
RR
RjH
u
uu
u
+−
+=
u
u
u
u
RR
RA
LRR
RR
+=
+= ;
)(0ω
On pose :
ω
ωω
01
1)(
j
AjH
−
=Fonction de transfert « normalisée »
d’un filtre passe – haut, de gain maximum A et de pulsation de
coupure ωωωω0.
Remarque : 1)(
, 0 →→+
=∞→ AetL
R
LRR
RRRsi
u
uu ω
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :1) Circuit (R,L,C) série :
a) Aux bornes de C en sortie ouverte (filtre passe – bas) :
étude qualitative
C
i
ve
L
R
vs ωωω
ω
ωω
jRCLC
jCjLR
jCjH
+−=
++
=21
1
1
1
)(
La règle du diviseur de tension donne :
020
2
21
)(
ω
ωσ
ω
ωω
j
KjH
+−
=
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :
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Par identification :
020
2
21
1)(
ω
ωσ
ω
ωω
j
jH
+−
=
1;2;1
0
20 === KjjRC
LC ω
ωσωω
D’où :
1;22
1;
100 ==== K
L
CRRC
LCωσω
2
0
2
20
2
21
1)(
+
−
=
ω
ωσ
ω
ω
ωG
[ ])0,,0(sin
1
2
tan
20
2
0 πϕϕ
ω
ω
ω
ωσ
ϕ −∈<
−
−=
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Il y a « résonance de tension aux bornes de C (« Résonance de charge »), c’est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation ωωωωr du GBF telle que :
<
2
1σavec2
0 21 σωω −=r
Et la tension maximale aux bornes de C à la « résonance de charge » est :
merms VV ,2
,
12
1)(
σσω
−=
En se référant à l’étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation), on obtient :
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Les formules précédentes deviennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d’amortissement σσσσ (Q = 1/2σσσσ, et noter que σσσσ s’identifie au coefficient ξξξξ utilisé en SI) :
2
1
2
11
20 >−= QavecQ
r ωω
merms V
Q
QV ,
2
,
4
11
)(
−
=ω
Remarque : pour de faibles amortissements (σσσσ «faible» et Q «grand»), alors :
merms QVV ,, )( ≈ω
Ainsi, si Q=10, l’amplitude lors de la résonance vaut 10 fois celle de l’excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant.
0ωω ≈r et
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Comportement asymptotique du gain :
Dans ce dernier cas, on obtient une droite de pente -40 dB/décade.
Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,ωωωω0/10] et [10ωωωω0,∞].
Dans l’intervalle [ωωωω0/10,10ωωωω0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de σσσσ (existence ou non d’une résonance).
2
0
2
20
2
21
1)(
+
−
=
ω
ωσ
ω
ω
ωG
dBGetGPour dB 01)(),10
(1 0
0
≈≈<<< ωω
ωω
ω
−≈
≈>>>
0
2
00
0
log40)(),10(1ω
ω
ω
ωωωω
ω
ωdBGetGPour
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GdB
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 0,05
σ = 0,2
σ = 0,6
σ = 1
σ = 3
σ = 5
Pente de -40 dB/décade
Tracé du diagramme de Bode :
Animation Cabri
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ϕ
−π
−π/2
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 0,05
σ = 0,1
σ = 0,2
σ = 0,6
σ = 1
σ = 3
σ = 5
Tracé du diagramme de Bode :
Animation Cabri
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :1) Circuit (R,L,C) série :
b) Aux bornes de R en sortie ouverte (filtre passe – bande) :
étude qualitative
−+
=
++
=
ωω
ωω
ω
CL
R
j
jCjLR
RjH
11
1
1)(
La règle du diviseur de tension donne :
Kj
K
j
j
jH
−+
=
+−
=
ω
ω
ω
ω
σω
ωσ
ω
ω
ω
ωσ
ω0
0020
2
0
21
1
21
2
)(
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :C
ve(t) R vs
L
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Par identification :
1;2
;12
0 === KL
CR
LCσω
D’où (rapport membres à membres) :
1;2
1;
2
1 0
0
=== KRCR
L
σ
ω
σω
−+
=
+−
=
ω
ω
ω
ω
σω
ωσ
ω
ω
ω
ωσ
ω0
0020
2
0
21
1
21
2
)(j
j
j
jH
)2
,2
,0(cos2
1tan 0
0
−∈>
−−=
ππϕϕ
ω
ω
ω
ω
σϕ
2
0
024
11
1)(
−+
=
ω
ω
ω
ω
σ
ωG
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Il y a « résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité »), correspondant à une tension aux bornes de R maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre ωωωω0000 du circuit (RLC) série :
LC
10 =ω
Et la tension maximale aux bornes de R à la « résonance d’intensité » est :
Résonance de tension aux bornes de R (« résonance d’intensité ») :
mems VV ,, =
Bande passante : (voir définition et calcul en mécanique)
QL
Rcc
002;
12
ωσωωωωω ==∆=−=∆
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Comportement asymptotique du gain :
Dans les 2 cas, on obtient des droites de pente ±20 dB/décade.
Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les intervalles [0,ωωωω0/10] et [10ωωωω0,∞], en tenant compte de la valeur de σσσσ.
Dans l’intervalle [ωωωω0/10,10ωωωω0], on trace le diagramme à « main levée », en tenant compte de la valeur de σ.σ.σ.σ.
)2log(20log202)(),10
(100
0
0
σω
ω
ω
ωσω
ωω
ω
ω+
≈≈<<< dBGetGPour
2
0
02
4
11
1)(
−+
=
ω
ω
ω
ω
σ
ωG
)2log(20log202)(),10(10
00
0
σω
ω
ω
ωσωωω
ω
ω+
−≈≈>>> dBGetGPour
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GdB
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 0,05
σ = 0,1
σ = 0,2
σ = 0,6
σ = 1
σ = 3 20 dB/décade
Tracé du diagramme de Bode :
Animation Cabri
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ϕ
−π/2
+π/2
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 0,3
Tracé du diagramme de Bode :
Animation Cabri
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :1) Circuit (R,L,C) série :
c) Aux bornes de L en sortie ouverte (filtre passe – haut) :
étude qualitative
ωω
ω
ωω
ωω
jRCLC
LC
jCjLR
jLjH
+−
−=
++
=2
2
11)(
La règle du diviseur de tension donne :
K
j
jH
020
2
20
2
21
)(
ω
ωσ
ω
ω
ω
ω
ω
+−
−
=
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :
C
ve(t)
R
vsL
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :
1;22
1;
100 ==== K
L
CRRC
LCωσω
020
2
20
2
21
)(
ω
ωσ
ω
ω
ω
ω
ω
j
jH
+−
−
=
πϕϕ += −− baspassehautpasse
2
0
2
2
20
2
20
2
41
)(
+
−
=
ω
ωσ
ω
ω
ω
ω
ωG
Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bas
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GdB
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 3
Tracé du diagramme de Bode :
Animation Cabri
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ϕ π/2
π
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 3
Tracé du diagramme de Bode :
Animation Cabri
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :1) Circuit (R,L,C) série :
d) Aux bornes de (C + L) en sortie ouverte (filtre réjecteur ou coupe - bande) :
étude qualitative
ve ωω
ω
ωω
ωω
ωjRCLC
LC
jCjLR
jLjC
jH+−
−=
++
+
=2
2
1
1
1
1
)(
La règle du diviseur de tension donne :
K
j
jH
020
2
20
2
21
1
)(
ω
ωσ
ω
ω
ω
ω
ω
+−
−
=
On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée :
C
L
R
vs
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Par identification, on retrouve les mêmes caractéristiques :
1;22
1;
100 ==== K
L
CRRC
LCωσω
−
+
=
+−
−
=
ω
ω
ω
ω
σω
ω
ωσ
ω
ω
ω
ω
ω
0
020
2
20
2
21
1)(
21
1
)(
jjH
j
jH
πϕϕ ±= −baspasseréjecteur
Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bande
2
0
241
1)(
−
+
=
ω
ω
ω
ω
σωG
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GdB
log(ω/ω0) σ = 0,02
σ = 3
Tracé du diagramme de Bode :
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ϕ
−π/2
π/2
log(ω/ω0)
σ = 0,02
σ = 3
Tracé du diagramme de Bode :
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :2) Conclusion sur les filtres du 2nd ordre :
K
Q
jK
j
jH
020
2
020
2
121
)(
ω
ω
ω
ω
ω
ωσ
ω
ωω
+−
=
+−
=
2
0
2
000
11
21
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωσ jjj
Qj
PASSE - BAS
PASSE - BANDEPASSE - HAUT
REJECTEUR
ωωωω0 : pulsation propre du filtre ; Q : facteur de qualité et σσσσ : facteur d’amortissement (σσσσ = 1/2Q).
Ces grandeurs dépendent de la nature du filtre (voir exemples à suivre).
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :3) Quelques exemples de filtres du 2nd ordre :
Animation Cabri
(Pont de Wien)
Animation Java
(Wien, Colpitts, …)
Voir également feuilles de TD
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� III – Filtres du 2ème ordre (passifs) :4) Circuit parallèle (RLC) en sortie « non ouverte » :
Cve(t)
R
vsL Ru
uéq R
jCjL
y11
++= ωω
éqe
s
yRv
vjH
+==
1
1)( ω
−+
+
=
ωω
ω
LCjR
R
RjH
u
11
1)(
Etude qualitative
u
u
u
u
u
RR
RR
CC
L
RR
RR
RK
LC
+==∆
+=
+==
12;
11
2
1
;1
0
0
σωωσ
ω
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� IV – Exemples de filtres actifs (du 1er ou du 2ème ordre) :
Animation Java
(Structure de Rauch)
Animation Java
(Filtre de Sallen-Kay)
1) Structure de Rauch :
2) Filtre de Sallen - Kay :
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� IV – Exemples de filtres actifs (du 1er ou du 2ème ordre) :
3) Mise en cascade de deux filtres du 1er ordre :
∞ -
+ R1
R2 vs
ve
C2
C1
Sortie
ouverte
Montage suiveur
Filtre passe-bas du
1er ordre (ωωωω1=1/R1C1)Filtre passe-haut du
1er ordre (ωωωω2=1/R2C2)
2
22
1
1
1
)(;
1
1)(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
j
j
jH
j
jH
+
=
+
=
Le montage suiveur permet de multiplier les deux fonctions de transfert (valables en sortie ouverte) :
+
+
==
2
2
1
21
11
1
ω
ω
ω
ω
ω
ωj
j
j
HHH
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� IV – Exemples de filtres actifs (du 1er ou du 2ème ordre) :
3) Mise en cascade de deux filtres du 1er ordre :
∞ -
+ R1
R2 vs
ve
C2
C1
Sortie
ouverte
12
21
2
21
21
210
21
1
2
00
0
>+
=
=
+=
−+
=
ωω
ωωσ
ωωω
ωω
ω
ω
ω
ω
ωσ
ω
ωσ
K
K
j
j
H
Filtre passe-bande du 2nd ordre peu sélectif (σ σ σ σ > 1)
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Tracé du diagramme de Bode :
On choisit :
21,2,1 ϕϕϕ +=+= etGGG dBdBdB
12
11 .300;.500
−− == sradsrad ωω
dBG ,1 dBG ,2
dBdBdB GGG ,2,1 +=
2102 ωωσωω +==∆
59,2
)log(log 210
=
= ωωω
dB4log2021
1 −=+ ωω
ω
dB3−
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
� V – Etude du régime transitoire à partir de la fonction de transfert :
-
∞
+
(1-k)R
kR
R2 R1
e vs
C1
C2
A
Exercice n°8 : (stabilité d'un montage)
L'AOP est idéal. On posera :
10;
/1;/1
21
222111
<<=
==
k
CRCR
c ωωω
ωω
evjH s /)( =ω
a) Dans l'hypothèse de la stabilité d'un tel montage, déterminer la fonction de transfert d'un tel montage :
b) Montrer qu'il existe une valeur critique kc de k telle que le système est instable pour 0 < k < kc et stable pour kc < k < 1.