ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE (NEL VUOTO)
Abbiamo già descritto la propagazione di onde e. m. nelle linee di trasmissione
C
L
C
L
C
L
C
L
C
L
C
LV(t)
I(t)
trovando che la velocità di propagazione nel vuoto è
smcCx
Lxcw 100.31 8
00
×===∆∆
=µε
Linea bifilare
EB
Cavo coassiale
E B
L’energia è trasportata dai campi E e B
La densità di potenza (W/m2) è espressa dal vettore di Poynting definito da
Il vettore di Poynting è perpendicolare sia ad E e sia a Btanto per la linea bifilare che per il cavo coassiale, E e B sono sempre tra loro perpendicolari e perpendicolari alla direzione della lineaIl vettore di Poynting è diretto nella direzione e nelverso di propagazione dell’onda
µ= × = ×
BS E H E
Ricaviamo l’equazione delle onde per le onde e. m. direttamente dalle equazioni di Maxwell:
Le equazioni di Maxwell possono essere scritte facendo comparire gli integrali dei vettori del campo elettromagnetico oppure le derivate. Nel vuoto possono essere scritte:
in forma integrale
∫∫
∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
=⋅
=⋅
⋅+=⋅
⋅−=⋅
(4) 0
)3(
)2(
)1(
0
00
SdB
qSdE
SdEdtdildB
SdBdtdldE
rr
rr
rrrr
rrrr
ε
εµγ
γ
γ
γ
Dove Σγ è una superficie avente come contorno la linea chiusa γ e qΣ è la carica interna alla superficie chiusa Σ.
Le equazioni di Maxwell possono essere scritte in forma differenziale usando i seguenti due teoremi del calcolo vettoriale:
1. teorema della divergenza
2. teorema di Stokes
Applicando questi due teoremi alle equazioni integrali di Maxwell, si ottiene:
)( ττ
dFSdFrrr
∫∫ ∫∫∫Σ Σ
⋅∇=⋅
)( ∫∫∫ Σ⋅×∇=⋅
γγSdFldFrrrr
)1.4( 0
)1.3(
)1.2( )(
)1.1(
0
00
=⋅∇
=⋅∇
∂∂
+=×∇
∂∂
−=×∇
B
E
tEjB
tBE
r
r
rr
rr
ερ
εµ
kz
jy
ix
ˆˆˆ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇r
Operatore “nabla” o “del”
Proprietà:
• è scritto come un vettore
• opera come un vettore
• ma non è un vettore. Da solo è privo di senso. È un operatore, deve essere applicato
Come lavora:
Può agire su funzioni vettoriali e scalari
• azione su una funzione scalare � gradiente � (vettore)
• azione su una funzione vettoriale mediante prodotto scalare �divergenza � (vettore)
• azione su una funzione vettoriale mediante prodotto vettoriale �rotore � (vettore)
f∇r
vrr
⋅∇
vrr
×∇
Divergenza
Data una funzione vettoriale ),,( zyxvr
kvjvivzyxv zyxˆˆˆ),,( ++≡
r
zv
yv
xvv zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇rr
Definiamo la divergenza di come),,( zyxvr
Osservazioni:
è uno scalare
è una misura di come il campo vettoriale “fuoriesce” (diverge) da un punto. La divergenza di un campo vettoriale in un punto è il flusso uscente netto del campo vettoriale da un elemento di volume unitario centrato sul punto quando si fa tendere a zero il volume
Se ovunque � CAMPO SINUSOIDALE
ττ
τ ∆
⋅
=⋅∇∫∫Σ
→∆
Sdvv
rr
rr
0lim
0=⋅∇ vrr
Divergenza: interpretazione
kzjyixzyxv ˆˆˆ),,( ++=r kzyxv ˆ),,( =
r kzjyixzyxv ˆˆˆ),,( −−−=r
)( 3 pozzov −=⋅∇rr
)( 3 sorgentev =⋅∇rr
0=⋅∇ vrr
Rotore
Data una funzione vettoriale ),,( zyxvr
kvjvivzyxv zyxˆˆˆ),,( ++≡
r
Definiamo il rotore di come),,( zyxvr
zyx vvvzyx
kji
v∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
ˆˆˆrr
Osservazioni:
è un vettore
è una misura di quanto il campo vettoriale “ruota” attorno al punto considerato.
Rotore
circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa γγ
Interpretazione fisica:lavoro compiuto muovendo un punto lungo il percorso γcontro la forza vr∫ ⋅
γlrr dv
nS
dvv
Sˆlim
0 ∆
⋅=×∇
∫→∆
γlrr
rr
0=×∇ vse ovunque � CAMPO CONSERVATIVOrr
Rotore: interpretazione
k
xyzyx
kji
v
jxiyyxv
ˆ2
0
ˆˆˆ
ˆˆ),(
=
−∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
+−=
rr
r
Campo vettoriale con rotore zero e divergenza diversa da zero e costante
2=⋅∇ vrr
jyixyxv ˆˆ),( +=r
Campo vettoriale con divergenza zero e rotore diverso da zero e costante
kv ˆ2=×∇rr
jxiyyxv ˆˆ),( +−=r
Campo vettoriale con divergenza e rotore diversi da zero, costanti
kv
vˆ2
2
=×∇
=⋅∇rr
rr
jyxiyxyxv ˆ)(ˆ)(),( ++−=r
Campo vettoriale con divergenza non costante e rotore costante, entrambi diversi da zero.
kv
yxvˆ2
)(2
=×∇
+=⋅∇rr
rr
jyxiyxyxv ˆ)(ˆ)(),( 22 ++−=r
Nello spazio privo di cariche ( e di correnti) le equazioni di Maxwell diventano:
)3.4( 0
)3.3( 0
)3.2(
)3.1(
00
=⋅∇
=⋅∇∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
B
EtEB
tBE
r
r
rr
rr
εµ
ZE
yE
xEE
EEEzyx
kji
E
zyx
zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
r
rrr
r
∫∫∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
Σ
Σ
Σ
Σ
=⋅
=⋅
⋅=⋅
⋅−=⋅
(4.2) 0
)2.3( 0
)2.2(
)2.1(
00
SdB
SdE
SdEdtdldB
SdBdtdldE
rr
rr
rrrr
rrrr
γ
γ
γ
γ
εµ
Le equazioni, a parte un fattore scalare, sono simmetriche rispetto ad E e B
Campi magnetici dipendenti dal tempo generano campi elettrici; campi elettrici dipendenti dal tempi generano campi magnetici
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
00
00
00
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂∂
=∂
∂−
∂
∂∂
∂=
∂∂
−∂
∂
∂∂
=∂
∂−
∂∂
∂∂
−=∂
∂−
∂
∂∂
∂−=
∂∂
−∂
∂
∂∂
−=∂
∂−
∂∂
zB
yB
xB
zE
yE
xE
iiit
Ey
Bx
B
iit
Ex
Bz
B
it
Ez
By
B
iiit
By
Ex
E
iit
Bx
Ez
E
it
Bz
Ey
E
zyx
zyx
zxy
yzx
xyz
zxy
yzx
xyz
εµ
εµ
εµ
conseguenze
Ricaviamo l’equazione delle onde:Applichiamo l’operatore rotore ad ambo i membri dell’equazione 1.3
)3.1( tBE
∂∂
−=×∇r
r
tBB
tEE
tESHR
EEESHL
Bt
E
Eq
Eq
2
2
002
2
2
002
2
2
00)2.3.(
2)3.3.(2
2.3 dalla partendo te,analogamen ed
ottiene si
..
)(..
)()(
∂∂
=∇
∂∂
=∇
∂∂
− →
−∇ →∇−⋅∇∇=
×∇∂∂
−=×∇×∇
rr
rr
r
rrr
rr
εµ
εµ
εµ
Il Laplaciano, , opera su ogni componente di e , così che alle due equazionivettoriali corrispondono 6 equazioni scalari. Una di queste espressioni, in coordinate Cartesiane, è
2∇ Er
Br
2
2
002
2
2
2
2
2
tE
zE
yE
xE xxxx
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂ µε
Ogni componente del campo elettromagnetico ( ) obbediscequindi all’equazione differenziale scalare zyxzyx BBBEEE ,,,,,
2
2
22
2
2
2
2
2 1tczyx w ∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂ ψψψψ
con
00
1µε
=wc
Consideriamo un’onda piana che si propaga in direzione x
y
xz (out)
1 m
B (out)
E in funzione di x
E (x) E (x+∆x)
x x+∆x
Applichiamo la legge di Faraday al rettangolo
• il flusso è
• la circuitazione di E è
• e di conseguenza
∂∂
∆−=∂Φ∂
−
⋅∆=Φ
tBx
t
xxB
B
zB 1)(
x
y
z
λ
E0sinkx
B0sinkx
c,S
xEx
xExxEdlE
∂∂
∆≅
⋅−⋅∆+=⋅∫
1)(1)(
tB
xE
∂∂
=∂∂
−
z
xy (out)
1 m
E (out)
B in funzione di x
B (x) B (x+∆x)
x x+∆xAnalogamente, applicando l’equazione di Ampère-Maxwell:
1)( ⋅∆=Φ xxEyE
tEx
t
xxBxBdlB
E
∂∂
∆≅∂Φ∂
=
⋅∆+−⋅=⋅∫0000
1)(1)(
µεµε
tE
xB
∂∂
=∂∂
− 00µε
2
2
002
2 1xE
tE
∂∂
=∂∂
µε2
2
00
22
2
2
e tE
xtB
txB
xE
∂∂
=∂∂
∂−
∂∂∂
=∂∂
− µε
2
2
002
2 1xB
tB
∂∂
=∂∂
µε
Nel caso di onda piana, che si propaga lungo x:
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
00
00
00
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂∂
=∂
∂−
∂
∂∂
∂=
∂∂
−∂
∂
∂∂
=∂
∂−
∂∂
∂∂
−=∂
∂−
∂
∂∂
∂−=
∂∂
−∂
∂
∂∂
−=∂
∂−
∂∂
zB
yB
xB
zE
yE
xE
iiit
Ey
Bx
B
iit
Ex
Bz
B
it
Ez
ByB
iiit
By
Ex
E
iit
Bx
Ez
E
it
Bz
Ey
E
zyx
zyx
zxy
yzx
xyz
zxy
yzx
xyz
εµ
εµ
εµ Sono nulle tutte le derivate parziali rispetto ad y e z
0
0
1
1
0
0
00
00
=∂
∂
=∂
∂∂
∂=
∂∂
∂∂
−=∂
∂
=∂
∂∂
∂−=
∂∂
∂∂
=∂
∂
=∂
∂
xBx
Ex
Bt
Ex
Bt
Et
Ex
Et
Bx
Et
Bt
B
x
x
yz
zy
x
yz
zy
x
εµ
εµ
x
y
E
Bv
z
ttxEx cos),( =
0=∂
∂x
Ex ed escludendo il campo prodotto da una distribuzione di cariche stazionarie
0),( =txEx
Per un’onda progressiva il campo E deve essere perpendicolare alla direzione di propagazione, x. Orientiamo gli assi in mode che E sia parallelo all’asse y.
Avremo:
E poichè
j ),(rr
txEE y=
tB
xE zy
∂∂
−=∂
∂
)(),( tcxEtxE wyy −=
Il campo B avrà componenti dipendenti daltempo solo lungo z.
costante1+=
∂
∂=
∂
∂−=
∂∂
∂
∂−=
∂
∂−=
∫
∫∫∫
w
yy
w
yyyz
cE
duu
Ec
dtu
Edt
xu
uE
dtx
EB
wctu
xu
−=∂∂
=∂∂ e 1
k̂ ),( txBB z=r
Detto u=(x-cwt) avremo
)(1)(),( tcxEc
tcxBtxB wyw
wzz −=−=
Più in generale:
ktcxEjtcxEBc
ktcxEjtcxEE
wywzw
wzwy
ˆ)(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(
−+−−=
−+−=r
r
Proprietà per la propagazione di un’onda elettromagnetica piana:
1.
w
wyz
wzy
cBE
cEEE
cBBB
=⇒
=+=+=
)(12
222
2222
ktcxEjtcxEBc
ktcxEjtcxEE
wywzw
wzwy
ˆ)(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(
−+−−=
−+−=r
r
2 dal prodotto scalare si ottiene:
loro tralariperpendico sempre sono vettoridue i 0
)(1
=⋅⇒
+−=+=⋅
BE
EEEEc
BEBEBE yzzyw
zzyy
rr
rr
ktcxEjtcxEBc
ktcxEjtcxEE
wywzw
wzwy
ˆ)(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(
−+−−=
−+−=r
r
3 dal prodotto vettoriale si ottiene:
iEBiBcicEBE
iEEc
cE
cE
EEkji
BE
ww
zyw
w
y
w
z
zy
ˆˆˆ
ˆ)(1
0
0
ˆˆˆ
22
22
===×⇒
+=
−
=×
rr
rr
Riassumendo le proprietà per la propagazione di un’onda elettromagnetica piana:
1. E e B si propagano con la stessa velocità, che nel vuoto è c=1/(ε0µ0)=3x108 m/s
2. i moduli di E e B sono legati da B=E/cw
3. E e B sono perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione. Le onde e. m. sono onde trasversali e per esse è significativo il fenomeno della polarizzazione.
4. Il verso del prodotto vettoriale di ExB definisce il verso di propagazione dell’onda
LA POLARIZZAZIONE
1809 → Malus e Young indagano le indicazioni di trasversalitàdella luce riflessa dal vetro
E
B
k
Il campo elettromagnetico è trasversale: i vettori E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione k
Una antenna di un trasmettitore a microonde (cellulare) trasmette onde polarizzate aventi campo elettrico che oscilla nella direzione dell’asse dell’antenna
POLARIZZAZIONE DELLA LUCE
Schema di un’onda elettromagnetica piana. Il campo elettrico E e magnetico B sono perpendicolari fra loro e sono entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione;c è la velocità di propagazione.
La polarizzazione di un'onda elettromagnetica si riferisce alla modalità con cui il campo elettrico oscilla. Ad esempio, l'onda in figura è polarizzata linearmente, in quanto il campo elettrico oscilla sempre nella stessa direzione mantenendosi nello stesso piano. Se abbiamo due onde elettromagnetiche, la loro sovrapposizione può produrre stati di polarizzazione più complesse come la polarizzazione circolare o ellittica. In genere non si fa riferimento esplicito al campo magnetico associato, in quanto la sua intensità è sempre determinabile mediante la relazione:
B=E/c
Luce non polarizzata
Una sorgente di luce, come una comune lampadina a incandescenza o un tubo a gas, si deve pensare come l'insieme di un gran numero di atomi i cui elettroni vengono eccitati e si diseccitano continuamente emettendo ciascuno una perturbazione elettromagnetica in un tempo dell'ordine di 10- 8 s. Queste onde, di lunghezza finita, vengono chiamate treni d'onda e un fascio di luce naturale si può pensare come l'insieme e la sovrapposizione di un gran numero di treni d'onda.
Tutte le direzioni di vibrazione sono possibili: l’onda elettromagnetica risultante è una sovrapposizione di onde generate dalle singole sorgenti atomiche. Il risultato è un’onda luminosa non polarizzata.
LINEARLY POLARIZED LIGHTLINEARLY POLARIZED LIGHT
CIRCULARLY POLARIZED LIGHTCIRCULARLY POLARIZED LIGHT
ELLIPTICALLY POLARIZED ELLIPTICALLY POLARIZED LIGHTLIGHT
Onde luminose: la sorgente emette sempre campi trasversali, cioè i vettori E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione k, tuttavia normalmente non sono polarizzati, cioè il vettore E è diretto in una direzione qualunque
filtro polarizzante
E
E
E
E
E
dopo avere attraversato la lamina polarizzante, il campo E è diretto nella direzione di polarizzazione del filtro e l’intensità I della luce è ridotta alla metà
StrII-spettr2-11
l’intensità del campo che attraversa il filtro vale quindi: ϑcosEE y =
legge di Malus
attraversando la lamina polarizzante, il campo E viene scomposto nella componente Ey parallela alla direzione del filtro e nella componente Ez perpendicolare alla direzione del filtro: solo la componente Ey passa, la componente Ey viene assorbita.
l’intensità del flusso luminoso è proporzionale al quadrato del campo, quindi campo che attraversa il filtro vale: ϑ2cosoII =
legge di Malus
oo III21cos2 >=<= ϑSe il fascio incidente non è polarizzato, occorre
mediare su tutte le direzioni del vettore E, quindi:
polarizzatore e analizzatore
E1
P2
θP1 E1
E2
dopo avere attraversato la lamina polarizzante P1, il campo E1 è diretto nella direzione di polarizzazione del filtro 1; dopo l’analizzatore P2 emerge solo la componente E2 = E1 cos θ e quindi l’intensità vale:
I2 = I1 cos2θ
come previsto dalla legge di Malus
L’intensità luminosa I (energia per unità di tempo e di superficie) proveniente da una sorgente di luce polarizzata linearmente dopo aver attraversato una lamina analizzatrice è data dalla legge di Malus:
I(θ) = I0 cos2θ
dove I0 è l’intensità massima e θ è l’angolo tra il piano di vibrazione della luce e l’asse ottico della lamina.
Un fascio di luce incide su una prima lastra polarizzatrice chiamata POLARIZZATORE, dove l’asse di trasmissione è in una certa direzione. La luce che attraversa questa lastra è polarizzata verticalmente e il vettore campo elettrico trasmesso è E0. Una seconda lastra polarizzatrice, chiamata analizzatore, intercetta il fascio con il suo asse di trasmissione che forma un angolo θcon l’asse di trasmissione del polarizzatore. La componente di E0 che è perpendicolare all’asse dell’analizzatore viene completamente assorbita, e la componente parallela all’asse è E0 cosθ.
021 II =
Intensità emergente per luce non polarizzata in ingresso
Intensità emergente per luce polarizzata linearmente in ingresso
Immagini in luce polarizzata
Polarizzazione per riflessione
polarizzazione perpendicolare al piano di incidenza
polarizzazione nel piano di incidenza
angolo di Brewster:
θ p + θr = 90o
per questo particolare valore dell’angolo di incidenza
- la luce riflessa è totalmente polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza
- la luce rifratta ha entrambe le componenti, ma è meno ricca della componente perpendicolare
Polarization through reflectionPolarization through reflection
Polarizzazione per riflessioni
multiple
attraverso riflessioni multiple da più strati di vetro si elimina dalla luce rifratta la componente perpendicolare al piano di incidenza
Double RefractionDouble RefractionBirefringenceBirefringence
birifrangenza
In un cristallo birifrangente viaggiano due raggi:
- il raggio ordinario che segue la legge di Snell ed è sempre polarizzato nella direzione perpendicolare al piano che contiene il raggio incidente e l’asse ottico
- il raggio straordinario che non segue la legge di Snell, è polarizzato in direzione perpendicolare al raggio ordinario ed ha indice di rifrazione ns variabile a seconda della direzione; le variazioni di ns vanno dal valore dell’indice no del raggio ordinario a un valore estremo ne
lamina a “quarto d’onda”: è una lamina di spessore tale che un raggio ordinario e straordinario che si propagano nella lamina abbiano all’uscita uno sfasamento pari a 1/4 di lunghezza d’onda, cioè quando un’onda è massima, l’altra è nulla.
Es. per la calcite:
λ = 589 nm (nell’aria)
λo = 589/1658=355 nm (raggio ordinario)
λe = 589/1486=396 nm (raggio straordinario)
dordinario
straordinario
birifrangenza
birifrangenza
asse otticofronte d’onda del raggio ordinario
fronte d’onda del raggio straordinario
polarizzazione perpendicolarepolarizzazione nel
piano
birifrangenza
birifrangenza
POLARIZED HOW?POLARIZED HOW?
La polarizzazione è un fenomeno si cui si basano vari strumenti e tecniche.
Alcuni esempi:
1) I vetri nei parabrezza delle automobili o nelle lenti per i telescopi, sviluppano degli stress interni che possono essere messi in evidenza analizzando lo stato di polarizzazione della luce che li attraversa.
2) Si possono fare mappe di stress superficiali di oggetti opachi sottoposti a sollecitazioni esterne ricoprendoli con film di sostanze otticamente attive.
3) L'ellissometria è una tecnica che si basa sulla variazione dello stato di polarizzazione della luce incidente su un campione e che permette di misurare i parametri ottici dei materiali di cui è composto oltre che gli spessori di eventuali strati.
4) È possibile identificare la presenza di certe sostanze organiche in una soluzione e stimarne la concentrazione tramite una misura della dispersione rotatoria che è un fenomeno legato alla polarizzazione.
5) Le lenti antiriflesso sfruttano la proprietà di certi materiali opportunamente trattati di eliminare la luce polarizzata che si produce per riflessione della luce naturale.
6) I film polaroid, o più semplicemente, i polaroid sono impiegati in ottica per trasformare la luce naturale in luce polarizzata.