İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine
etkiyen kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından
geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden
ölçülmektedir ve A’ dan A′’ ne diferansiyel yer
değiştirmedir. Bu yer değiştirme boyunca kuvvetin yaptığı iş
Fr
rdr
rr
yörünge
rdFdUrr
⋅=olarak tanımlanır.
Skaler (nokta) çarpımın şiddeti dU=Fdscosαααα olupburada ds ‘nin şiddetidir. Bu ifade yer değiştirme
doğrultusundaki Ft=Fcos αααα kuvvet bileşeni ile yerdeğiştirmenin çarpımı şeklinde de yorumlanabilir.
rdr
İşin bu tanımı ile, yer değiştirmeye dik olan Fn=Fsinαnormal kuvvet bileşeninin iş yapmadığı görülmektedir.
SI birim sisteminde işinbirimleri kuvvetin birimi(N) ile yer değiştirmeninbiriminin (m) çarpımıolan N.m’dir. Bu birimjoule (J) olarakverilmektedir.
İşin Hesaplanması
Bir kuvvetin uygulama noktasının sonlu bir hareketi süresince, kuvvetin yaptığı iş
( )∫ ∫ ++=⋅= dzFdyFdxFrdFU zyx
rr
veya
Bu integrasyonu belirlemek için, kuvvet bileşenleri ile ilgilikoordinatların veya Ft ve s arasındaki bağıntının bilinmesigereklidir.
veya
∫= dsFU t
F kuvvetinin etkisi altında eğrisel bir yörünge izleyen m kütleli parçacık üzerineyapılan işi inceleyelim. Burada F parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetlerinbileşkesidir.
Parçacığın 1’den 2’ye sonlu bir hareketi için F kuvvetinin işi
∫∫ =⋅=−
22
21dsFrdFU t
rr
∫∫ =⋅=−
11
21dsFrdFU t
Newton’un ikinci yasası yerine yazılırsa,
∫∫ ⋅=⋅=−
2
1
2
1
21rdamrdFUrrrr
burada at ivmenin teğetsel bileşenidir. Hız cinsinden atds=vdv olur. Böylece iş
ifadesi aşağıdaki gibi olmaktadır.
dsarda t=⋅rr
( )∫∫22
1v
rr ( )∫∫ −==⋅=−
2
1
2
1
2
2
2
1
212
1
v
vvmmvdvrdFUrr
Kinetik enerji T aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
2
2
1mvT =
Hareketsiz parçacığı v hızına getirmek için yapılması gerek iş olarak tanımlanabilir. Kinetik enerji skaler bir büyüklük olup SI birim sisteminde birimi Nm veya Joule(J)’dir. Kinetik enerji, hızın yönüne bakılmaksızın her zaman pozitiftir.
İş ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir:
TTTU ∆=−=− 1221
Bu ifade iş-enerji eşitli olarak adlandırılır. 1’den 2’ye hareketederken tüm kuvvetlerin bir parçacık üzerine yaptığı toplam iş,parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşittir. T her zaman pozitifolmasına karşın ∆T değişimi negatif, pozitif veya sıfır olabilir.
İlk olarak, dünya yüzeyine yakın bir bölgede bulunan m kütleli bir parçacığınhareketini, yerçekimi ivmesinin sabit olduğu durum için göz önüne alalım.Parçacığın yer çekimi potansiyel enerjisi Vg aşağıdaki gibi tanımlanır:
mghVg =
( ) hmghhmgVg ∆=−=∆12
Potansiyel enerjideki değişim
Potansiyel enerjini ikinci örneği, yay gibi elastik bir cismin deformasyonu ileoluşur. Bu durumda potansiyel enerji
2
02
1kxkxdxV
x
e == ∫
( )21
2
22
1xxkVe −=∆
Potansiyel enerjideki değişim
Elastik eleman içeren bir sistemin iş-enerji denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
22221111 egeg VVTUVVT ++=+++ −
veya
eg VVTU ∆+∆+∆=−21
Alternatif olarak,Alternatif olarak,
( )eg VVTU ++∆=−21
Burada E=T+Vg+Ve parçacığın toplam mekanik enerjisidir. U1-2 teriminin sıfırolduğu problemler için enerji denklemi
0=∆E veya E=sabit
olur. Bu ifade “dinamik enerjinin korunumu yasası” nı ifade eder.
Bir makinanın kapasitesi, iş görme hızı veya enerji iletme
hızı ile ölçülür. Sadece toplam iş veya enerji çıktısı
kapasite ölçüsü için yeterli değildir. Çünkü, örneğin bir
GÜÇ (Power)
kapasite ölçüsü için yeterli değildir. Çünkü, örneğin bir
motor küçük de olsa yeterince uzun süre çalıştırılırsa
büyük miktarda enerji üretebilir. Bu nedenle; güç, iş
yapma hızı olarak adlandırılır.
Eğer U, ‘in yaptığı işi simgelerse, bu kuvvet tarafından
geliştirilen güç P,
vv
vvvv
⋅=
=⋅
==
vFP
vdt
rd
dt
rdF
dt
dUP
Fv
Güç skaler bir büyüklüktür.
SI birim sisteminde birimi N·m/s=Joule/s=Watt (W).
ωrr
vv
⋅=
⋅=
MP
vFP
veya
1. 7 kg kütleli A bileziği sürtünmesiz sabit düşey şaft üzerinde kaymaktadır.
Şekilde görülen en alt konumda hareketsiz iken, kabloya uygulanan sabit
F=200 N değerindeki kuvvet etkisi altında şaft üzerinde yukarı doğru hareket
etmektedir. Yayın maksimum sıkışma miktarı 75 mm ile sınırlandırılmış ise yay
sabiti k’yı hesaplayınız. B’deki küçük makaranın yeri sabittir.
2. 2 kg bilezik A’dan serbest bırakılmakta ve düşey düzlemde eğimli sabit
çubuk üzerinde aşağı doğru kaymaktadır. Kinetik sürtünme katsayısı 0.4’tür.
(a) Yaya tam çarptığı anda bileziğin v hızını ve (b) yayın maksimum kısalması x’i
hesaplayınız.
3. Küçük metal bloklar üstteki konveyör bandı ile 0.45 m/s hızla rampaya
aktarılmaktadır. Bloklar ve rampa arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise
0.15 m/s hızla hareket eden alttaki banda kaymadan aktarılmaları için
rampanın yatayla yapması gereken θ açısı ne olmalıdır?
4. 1.2 kg kayar eleman A konumunda hareketsizdir ve düşey düzlemdeki
sürtünmesiz kılavuz boyunca kaymaktadır. (a) B noktasından geçerken vB hıznı
ve (b) yayın maksimum δ deformasyonunu hesaplayınız.
5. Hafif çubuk O noktası etrafında dönmekte ve 2 kg ve 4 kg’lık kütleleri
taşımaktadır. θ=60o iken serbest bırakılıyor ve düşey düzlemde salınım
hareketi yapıyorlarsa (a) 2 kg kütleli parçacığın kesikli çizgi ile gösterilen
konumda yaya çarpmadan hemen önceki hızını ve (b) yayın maksimum
kısalmasını hesaplayınız. Yay kısaldığında çubuğun konumunun yatay kalacak
kadar x deformasyon miktarının küçük olduğunu kabul ediniz.
6. Mekanizma, 4 kg kütleli burcun alt kısmı yay sabiti k=900 N/m ve serbest
konumda olan yaya değmekte olduğu θ=180o iken serbest bırakılmaktadır.
Yayın maksimum kısalmasına karşılık gelen θ açısını belirleyiniz. Hareket düşey
düzlemde yer almakta ve bağlantı elemanlarının (link) kütlesi ihmal
edilmektedir.
7. 0.6-kg kayar eleman A noktasından serbest bırakılmakta ve düşey
düzlemde yer alan sürtünmesiz parabolik kılavuz üzerinde kendi ağırlığı ve 120
N/m sabitli yayın etkisi ile aşağı doğru kaymaktadır. B’den geçerken hızını ve
kılavuzdan etkiyen normal kuvveti hesaplayınız. Yayın serbest boyu 200
mm’dir.
8. Şekildeki sistem φ=0 iken dengededir. Başlangıçta φ=90o konumunda
durmakta iken C bloğu hafifçe itiliyor. φ=37o konumundan geçerken C bloğunun
hızını hesaplayınız. Çubuğun kütlesini ihmal ediniz.
9. İnce dairesel bir çubuk düşey düzlemde A noktasından mesnetlenmiştir.
Mesnete bağlanmış ve çubuğa gevşek biçinde sarılmış olan k=45 N/m yay sabitine
sahip yayın uzamamış boyu AB dairesel yayına eşittir. Yaya bağlı olmayan 220
gram’lık C bileziği çubuk üzerinde sürtünmesiz kayabilmektedir. Bileziğin,
θ=30o’de duruştan harekete bırakıldığı bilindiğine göre (a) bileziğin B noktasının
yukarısında erişebileceği maksimum yüksekliği, (b) bileziğin maksimum hızını
belirleyiniz.belirleyiniz.
10. 25 kg’lık kayar blok görülen konumda eğimli ray üzerinde 0.6 m/s’lik
başlangıç hızına sahip olup yer çekimi ve sürtünmenin etkisi altında
kaymaktadır. Blok ile ray arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.5’dir. yayın
x=100 mm sıkışmasına karşılık gelen konumu geçerken bloğun hızını
hesaplayınız.