ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL-
BOLTZMANN
http://en.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg
ΑΘΗΜΑ
ΑΣΓΞΣΡΞΡ 2011
ΦΞΠΕΜΘΜΞΡ ΓΘΑΜΜΗΡ
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
Η ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηωλ ηαρπηήηωλ ηωλ κνξίωλ ελόο αεξίνπ, δίλεηαη από
ηε ζρέζε:
1 3 2
22 2( ) 4 ( ) exp( ). 2 2
dn m mf
n d kT kT
(1)
Η παξαπάλω ζρέζε καο παξέρεη ην θιάζκα ηωλ κνξίωλ –αλά κνλάδα όγθνπ-
ελόο αεξίνπ, πνπ νη ηαρύηεηέο ηνπο βξίζθνληαη ζε έλα κνλαδηαίν δηάζηεκα πνπ
εκπεξηέρεη κηα ζπγθεθξηκκέλε ηαρύηεηα.
Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο ηωλ Maxwell-Boltzmann
δίλεηαη παξαθάηω (ζρήκα 1):
Ρρήκα 1. Ιαηαλνκή Maxwell-Boltzmann
Όπωο ζα πεξίκελε θαλείο, ε ζπλάξηεζε κεδελίδεηαη γηα π=0 θαζώο θαη γηα
, θαζ΄όζνλ δελ ππάξρνπλ αθίλεηα κόξηα, νύηε κόξηα θηλνύκελα κε «άπεηξε»
dσ
f σ
σ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL BOLTZMANN
σmp
1 2 3 4 5
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
ηαρύηεηα. Οαξαηεξνύκε όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη κέγηζην γηα κηα ζπγθεθξηκ-
κέλε ηαρύηεηα (πmp= πηζαλόηεξε ηαρύηεηα(most probable)), θαζώο θαη όηη ην κεγα-
ιύηεξν θιάζκα ηωλ κνξίωλ ηνπ αεξίνπ θηλνύληαη κε ηαρύηεηεο θνληά ζηε πmp.
Ρην ζρήκα (2) δίλνληαη νη αληίζηνηρεο θαηαλνκέο γηα ηξεηο δηαθνξεηηθέο
ζεξκνθξαζίεο. (όζν απμάλεηαη ε ζεξκνθξαζία ηόζν ε θακπύιε κεηαηνπίδεηαη πξνο
ηα δεμηά –κεγαιύηεξεο ηαρύηεηεο- ην «εκβαδόλ» όκωο ηνπ ζρήκαηνο «θακπύιε- ρ
άμνλαο » παξακέλεη ζηαζεξό, αθνύ καο δίλεη ην ζπλνιηθό αξηζκό ηωλ κνξίωλ ηνπ
ζεωξνύκελνπ αεξίνπ).
Ρρήκα 2. Η θαηαλνκή ζε ηξεηο δηαθνξεηηθέο ζεξκνθξαζίεο.
Τξεζηκνπνηώληαο ηελ θαηαλνκή Maxwell-Boltzmann, κπνξνύκε λα
ππνινγίζνπκε έλα αξηζκό πνζνηήηωλ πνπ είλαη ζπνπδαίεο γηα ηε κνξηαθή θπζηθή.
Γηα παξάδεηγκα, ε κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ, ε ελεξγόο ηαρύηεηα 2
rms
θαη ε πηζαλόηεξε πmp ηαρύηεηα. Νεθηλάκε κε ηνλ ππνινγηζκό ηεο κέζεο ηαρύηεηαο
ηωλ κνξίωλ.
T
2 T
10 T
f σ
σ
2 4 6 8
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
ΛΕΡΗ ΑΤΣΗΑ ΩΜ ΛΞΠΘΩΜ
Η κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ ηζνύηαη εμ΄νξηζκνύ κε ην πειίθν ηνπ
αζξνίζκαηνο ηωλ ηαρπηήηωλ όιωλ ηωλ κνξίωλ πνπ ππάξρνπλ ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ
πξνο ηνλ αξηζκό ηωλ κνξίωλ ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ.
Ξ αξηζκόο ηωλ κνξίωλ –αλά κνλάδα όγθνπ- πνπ νη ηαρύηεηέο ηνπο βξίζθνληαη
ζην δηάζηεκα από π κέρξη π+dπ είλαη: . ( ).n f d θαη ην άζξνηζκα ηωλ ηαρπηήηωλ
όιωλ απηώλ ηωλ κνξίωλ είλαη ίζν κε: . . ( ).n f d . Γηα λα βξνύκε ην άζξνηζκα ηωλ
ηαρπηήηωλ όιωλ ηωλ κνξίωλ ζα πξέπεη λα νινθιεξώζνπκε ηελ παξαπάλω
ζπλάξηεζε ωο πξνο όιεο ηηο ηαρύηεηεο από κεδέλ κέρξη άπεηξν. Έηζη ινηπόλ
ηνάζξνηζκα όιωλ ηωλ ηαρπηήηωλ είλαη:
0
. . ( ).n f d
(2)
θαη ε κέζε ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ είλαη:
0 0
1. . ( ). . ( ).n f d f d
n
(3)
Τξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε (1), παίξλνπκε:
1 3 2
32 2
0
4 ( ) .exp( ).2 2
m md
kT kT
(4)
Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ νινθιεξώκαηνο , εθαξκόδνπκε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό:
2 2 2
3 2 2 21.exp( ). .exp( ). . .exp( ). ( )
2 2 2 2
m m md d d
kT kT kT
(5)
νπόηε:
1 3 2
2 22 2
0
14 ( ) . .exp( ). ( )
2 2 2
m md
kT kT
(6)
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
Ρηε ζπλέρεηα εηζάγνπκε ηε κεηαβιεηή:
2
2
mz
kT
(7)
θαη παίξλνπκε:
2
2 2 2
0 0
1 1 2.exp( ). ( ) ( ) . .
2 2 2
zm kTd z e dz
kT m
(8)
Λε νινθιήξωζε θαηά κεξε, έρνπκε:
0
. . 1zz e dz
(9)
Έηζη ινηπόλ γηα ην νινθιήξωκα ηεο εμίζωζεο (4) παίξλνπκε:
2
3 2
0
.exp( ). 2( )2
m kTd
kT m
(10)
Εηζάγνληαο ηελ ηηκή απηή ζηελ (4) έρνπκε:
1 3
22 28
4 ( ) .2( )2
m kT kT
kT m m
(11)
Ξπόηε ηειηθά έρνπκε:
8kT
m
(12)
ΕΜΕΠΓΞΡ ΑΤΣΗΑ (ΕΠΑΓΩΜΘΙΗ ΠΘΖΑ ΗΡ ΛΕΡΗΡ ΘΛΗΡ ΩΜ
ΕΠΑΓΩΜΩΜ ΩΜ ΑΤΣΗΩΜ).
Γηα λα βξνύκε ηελ ελεξγό ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ 2
rms , πξέπεη λα
ππνινγίζνπκε ην πειίθν ηνπ αζξνίζκαηνο ηωλ ηεηξαγώλωλ ηωλ ηαρπηήηωλ ηωλ
κνξίωλ ζ΄έλα κνλαδηαίν όγθν πξνο ην ζπλνιηθό αξηζκό ηωλ κνξίωλ ζηνλ όγθν απηό.
Ρύκθωλα ινηπόλ κε ηα πξνεγνύκελα ζα έρνπκε:
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
2 2
0
. ( ).f d
(13)
Αληηθαζηζηώληαο ηελ f(π) κε ηελ θαηαλνκή Maxwell-Boltzmann, παίξλνπκε:
1 3 2
2 42 2
0
4 ( ) . .exp( ).2 2
m md
kT kT
(14)
Ξινθιεξώλνληαο θαηά κέξε (ή θάλνληαο ρξήζε ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα) παίξλνπκε:
52
4 2
0
3 2.exp( ). ( )
2 8
m kTd
kT m
(15)
Έηζη ινηπόλ:
2 3kT
m (16)
Ξπόηε ηειηθά:
2 3rms
kT
m (17)
ΟΘΘΑΜΞΕΠΗ ΑΤΣΗΑ.
Θα ππνινγίζνπκε ηώξα ηελ πην πηζαλή ηαρύηεηα ηωλ κνξίωλ, πνπ αληηζηνηρεί
(πξνθαλώο) ζην κέγηζην ηεο θαηαλνκήο Maxwell-Boltzmann. Γηα λα ηε βξνύκε ινη-
πόλ ζα πξέπεη λα παξαγωγίζνπκε ηελ ζπλάξηεζε θαηαλνκήο f(π) θαη αθνινύζωο λα
εμηζώζνπκε ηελ παξάγωγν κε ην κεδέλ. Έρνπκε ινηπόλ:
1 3 222 2( ) [4 ( ) exp( )]
2 2
d d m mf
d d kT kT
(18)
Ξπόηε απαηηνύκε:
2
2[ exp( )] 02
d m
d kT
(19)
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
Οαξαγωγίδνληαο νδεγνύκαζηε ζηε ζρέζε:
2 2
2 .exp( )(1 ) 02 2
m m
kT kT
(20)
Η παξαπάλω εμίζωζε επαιεζεύεηαη είηε όηαλ π=0, είηε όηαλ , είηε όηαλ
έρνπκε: 2
1 02
m
kT
. Είλαη θαλεξό όηη νη δύν πξώηεο ζπλζήθεο δελ αληηζηνηρνύλ ζην
κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο θαηαλνκήο. Έηζη ε ηηκή ηεο πην πηζαλήο ηαρύηεηαο,
πξνζδηνξίδεηαη από ηε ζρέζε:
2
1 02
mpm
kT
(21)
απ΄’νπνπ πξνθύπηεη:
2
mp
kT
m (22)
Έρνπκε ινηπόλ ην παξαθάηω ζρήκα:
Ρρήκα 3. Οηζαλόηεξε, κέζε θαη ελεξγόο ηαρύηεηα.
σ1
σ2
σ3
f σ
σ
σ1 πιθανότερη τατύτητα
σ2 μέση τατήτητα
σ3 ενεργός τατύτητα.
1 2 3 4 5
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
ΟΑΠΑΗΠΗΡΕΘΡ
Ρύκθωλα ινηπόλ κε ηα παξαπάλω, (3) έρνπκε (βιέπε θαη ζρήκα 3):
1
2mp
kT
m
, πην πηζαλή ηαρύηεηα. (23)
2
8kT
m
, κέζε ηαρύηεηα (24)
2
3
3rms
kT
m , ελεξγόο ηαρύηεηα (25)
Οαξαηεξνύκε ινηπόλ όηη ηζρύεη:
mp rms (26)
Οην ζπγθεθξηκκέλα:
3
1,09.8
rms
, (27)
3
. 1,22.2
rms mp mp (28)
Οαξαηεξνύκε ινηπόλ όηη νη δηαθνξέο κεηαμύ ηωλ ηξηωλ απηώλ ηηκώλ ηαρύηεηαο
δελ είλαη πνιύ κεγάιεο. Ιαη ε ελεξγόο θαη ε κέζε ηαρύηεηα είλαη αξθεηά θνληά ζηελ
πην πηζαλή ηαρύηεηα.
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
ΛΑΘΗΛΑΘΙΞ ΡΣΛΟΚΗΠΩΛΑ
Η ΡΣΜΑΠΗΡΗ ΓΑΛΛΑ
Η (εμαηξεηηθά ρξήζηκε ζηε Φπζηθή) ζπλάξηεζε Γάκκα (Gamma function) , πνπ
ζπκβνιίδεηαη ζαλ Γ(n),νξίδεηαη από ηνλ ηύπν:
1
0
( ) n xn x e dx
(1)
ν νινθιήξωκα ζηελ (1) ζπγθιίλεη γηα ηηκέο 0n .
Λέζω αλαδξνκηθνύ ηύπνπ, ε ζπλάξηεζε Γάκκα δίλεηαη από ηε ζρέζε:
( 1) . ( )n n n (2)
κε Γ(1)=1. (απνδεηθλύεηαη παξαθάηω).
Αλ ν αξηζκόο ε είλαη ζεηηθόο αθέξαηνο, ηόηε:
( 1) !n n , 1,2,3,...n (3)
Όκωο όπωο βιέπνπκε ζηε ζρέζε (2), ε ζπλάξηεζε κπνξεί λα νξηζζεί γηα όια ηα
0n , αλ νη ηηκέο ηεο ζην δηάζηεκα:1 2n (ή ζε νηνδήπνηε άιιν κνλαδηαίν
δηάζηεκα).
Η ζπλάξηεζε Γάκκα, νλνκάδεηαη θαη παραγοντική συνάρτηση.
Οαξαδείγκαηα:
(2) 1! 1
(6) 5! 120
(7) 6!30
(5) 4!
Οαξαθάηω ζα απνδείμνπκε επίζεο όηη ηζρύεη:
1( )2
Η αλαδξνκηθή ζρέζε (2) είλαη κηα εμίζωζε δηαθνξώλ πνπ επηδέρεηαη ηελ (1) ζαλ
ιύζε. Οαίξλνληαο ηελ (1) ζαλ νξηζκό ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα, όηαλ ε>0, κπνξνύκε
λα γεληθεύζνπκε ηε Γάκκα ζπλάξηεζε γηα ε<0, αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ αλαδξν-
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
κηθή ζρέζε: ( 1)
( )n
nn
. Η δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη αναλυτική συνέχιση.
Θα δείμνπκε ηώξα, όηη ε ζπλάξηεζε Γάκκα, όπωο νξίδεηαη ζηελ (1) ηθαλνπνηεί
πξάγκαηη ηελ αλαδξνκηθή ζρέζε: ( 1) . ( )n n n , ε>0.
Έρνπκε ινηπόλ:
0 0
( 1) lim
M
n x n x
Mn x e dx x e dx
1
00
lim{( ) ( ) ( )( . ) }
MM
n x x n
Mx e e n x dx
1
0
lim{ ( ) } . ( )
M
n M n x
MM e n x e dx n n
, 0n
Ρηε ζπλέρεηα ζα δείμνπκε όηη πξάγκαηη Γ(1)=1.
Έρνπκε ινηπόλ:
0 0
(1) lim lim (1 ) 1
M
x x M
M Me dx e dx e
Οαξνπζηάδεη πξάγκαηη ηδηαίηεξν ελδηαθέξνλ λα δείμνπκε όηη: 1
( )2
.
Γξάθνπκε ινηπόλ:
1
2
0
1( )2
xx e dx
. Θέηνληαο 2u x , έρνπκε:
2
0
1( ) 22
ue du
, ή
2 2 2 22 ( )
0 0 0 0
1[ ( )] [2 ].[2 ] 4 .
2
u ue du e d e du d
Αιιάδνληαο ζε πολικές συντετεγμένες (ξ,θ), όπνπ:
cos( )u θαη sin( ) , ην νινθιήξωκα γίλεηαη:
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
2 2
2 22
00 0 0
1 1[ ( )] 4 . . 4
2 2e d d e d
.
Επνκέλωο:
21[ ( )]
2
1( )2
.
Αο δνύκε ζηε ζπλέρεηα πωο κε ηε βνήζεηα ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα κπνξνύκε
λα ππνινγίζνπκε ηα νινθιεξώκαηα (9) θαη (15) .
Ρην νινθιήξωκα (9) έρνπκε:
0
. .zI z e dz
Βιέπνπκε ινηπόλ ακέζωο όηη είλαη:
(2) 1! 1I
Ρην νινθιήξωκα ηεο ζρέζεο (15) έρνπκε:
24
1
0
.exp( ).2
mI d
kT
Θεωξνύκε ην κεηαζρεκαηηζκό:
2
2
mz
kT
όηε ζα είλαη επίζεο:
2 2kT
zm
θαη:
1 1
1/2 1/22 22 1 2
( ) ( )2
kT kTz d z dz
m m
νπόηε ην νινθιήξωκα γξάθεηαη:
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
12 2
4 2 2 1/2 21
0 0
2 1 2.exp( ). ( ) .exp( ). ( )
2 2 2
m kT m kTI d z z dz
kT m kT m
ή
5 3
2 21
0
1 2( ) .exp( )
2
kTI z z dz
m
ή
5
21
1 2 5( ) . ( )
2 2
kTI
m
ή
5
21
3 2( ) .
8
kTI
m
Γίλεηαη ινηπόλ νινθάλεξε ε ρξεζηκόηεηα ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα.
Γηα κηα πιήξε αλαθνξά ζηε ζπλάξηεζε Γάκκα θαη ηηο ηδηόηεηέο ηεο, δείηε ην
άξζξν από ην Wolfram MathWorld:
Gamma Function
Γηα έλα on line ππνινγηζκό ηωλ ηηκώλ ηεο Γάκκα:
Gamma function finder
Οεξηζζόηεξα γηα ηηο ηδηόηεηεο ηεο Γάκκα:
Elementary properties of the gamma function
Gamma function
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
Γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα ζην δηάζηεκα: -5<ε<5
Οίλαθαο ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο Γάκκα ζην δηάζηεκα [1,2]:
Table of Gamma Values
4 2 2 4
10
5
5
10
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
James Clerk Maxwell
ΙΑΑΜΞΛΗ MAXWELL-BOLTZMANN
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΗΣ
Ludwig Boltzmann