1Laboratoire d’Acoustiquede l’Université du Maine UMR CNRS 6613
Nicolas [email protected]
3ème Colloque du GDR "Thermoacoustique" 5 – 5 octobre 2009, Le Mans
Généralités sur la modélisation numérique(pour des applications en thermoacoustique)
Modélisation par éléments finis et maillage adaptatif anisotrpe
de l’acoustique en fluide thermovisqueux
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Généralités sur la modélisation numérique(pour des applications en thermoacoustique)
Phénomènes physiques à prendre en compte en thermoacoustiqueMéthodes numériques disponiblesModèles de mécanique des fluides
à quoi sert de modéliser l’acoustique linéaire en fluide thermovisqueux, pour des applications en thermoacoustique ?
Modélisation par éléments finis et maillage adaptatif anisotrpe de l’acoustique en fluide thermovisqueuxFormulation de baseImplémentation en éléments finisPourquoi du maillage adaptatif anisotrope ?Exemples d’applications
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Acoustique en milieu non dissipatifpropagation Acoustique
célérité
fluide parfait : non visqueux, non conducteur de la chaleur
Énergie cinétique Énergie interne
mouvement particulaire compression /détente
conditions adiabatiques isentropes
λ
Tpv~
,~,~,~ ρ
0~ =s
compressibilité
masse ) du fluideconditions adiabatiques
∂∂=
ρp
c0
4
Acoustique en milieu non dissipatifpropagation Acoustique
célérité
fluide parfait : non visqueux, non conducteur de la chaleur
masse volumique ρ0 , célérité acoustique c0
Thermoacoustiqueeffet non linéaire
transferts thermiquesconditions non adiabatiques, non isentropes : phénomènes irréversibles
transferts par conduction, convection,
couplages forts avec le mouvement du fluide(mouvement acoustique, écoulements, …)
conductivité thermique λ0 , capacité thermique Cp0 = γ Cv0 , viscosité µ0
λ compressibilité
masse ) du fluideconditions adiabatiques
∂∂=
ρp
c0
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Thermoacoustique effet non linéaireacoustique linéaire… ?
ρ0 , c0 Acoustique à forts niveauxcouches limites acoustiques en fluide thermovisqueux
(combustion) (écoulements redressés)
effets vitesse(p,T) compression Thermoacoustique convectifs partivulaire
/détente V.grad V
ThermodynamiqueLoi d’état du fluide f(p,T,ρ) = 0 (convection Mécanique des fluidesdépendance (p,T) des propriétés du fluide naturelle) (écoulements)transformation thermodynamique
d’énergie (thermique, mécanique) transferts de Qté de mouvement, de masse
conduction thermique λ0 , Cp0 ρ0 , µ0 détachements __changement de phase, milieux diphasiques turbulence tourbillonnaires
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Comportement non linéaire
Conditions de démarrage (moteur thermoacoustique)
seuil de déclenchement, étude de stabilité
Conditions de fonctionnement
phénomènes de saturation
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Système multi-physique
Acoustique, en fluide thermovisqueux
propagation, diffusion (thermique, Qté de mouvement par viscosité)
dissipation
Mécanique des fluides dissipation
convection, transport, turbulence____diffusion (Qté de mouvement par viscosité)
Thermodynamique
dépendance (p,T) des propriétés physiques du fluidediffusion (thermique) irréversibilité
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Couplages forts sur le volume fluide,
compression/détente(ρρρρ, p,T)_
propriétés du fluide déplacementdépendantes de (p,T) particulaire V
gradients effets convectifs
V.grad… en particulier dans des couches limites,
dans le stack
thermoacoustique
9
Système complexe,
Modélisation complexe…
pour rendre compte- des effets non linéaires,- des différents phénomènes physiques,- des couplages,
…
l’apport des outils numériques est le bienvenu,
… mais complexe !
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Système multi-échelle
Temps court longpériode acoustique transferts thermiques,
turbulence, … tourbillons, … streaming(vitesse particulaire)
Espace petit grandépaisseur inter-empilement, stack (géométrie) résonateurépaisseurs de couches limites (acoustique) longueur d’ondeturbulence, … tourbillons, … streaming
(vitesse particulaire)
Coût de calcul (fortement) croissant avec la finesse de la discrétisation
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(principales)
Méthodes numériquesutilisées en acoustique
et en mécanique des fluides
- Éléments de frontière
- Éléments finis
- Différences finies, volumes finis
( + réseaux de Botlzmann, +… ) Ω Γ
domaine fluide Ω, de frontières Γ
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Éléments de frontièreBoundary Element Method
Discrétisation de l’équation intégrale de frontière, représentation intégrale du champ Γ
(superposition de contributions élémentaires)à partir d’une solution (analytique)
élémentaire en milieu infini(méthode de collocation)
Avantages Limitations
discrétisation des seules frontières Γ assez délicat à mettre en œuvre(relativement peu de ddl) matrices pleines non symétriques
précis (pas de dispersion ni de dissipation)adapté aux milieux ouverts adapté aux seuls phénomènes
linéairesinadapté à la prise en compte de
couplages sur le volumeprincipaux domaines d’applications : propagation d’ondes (électromagnétique, acoustique)
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Éléments finisFinite Element Method
Discrétisation d’une forme intégrale à fort contenu physique sur le volume,
prise en compte ‘naturelle’ des conditions aux limites
Application de la méthode de Galerkin Ω(variante : éléments finis spectraux)
Avantages Limitations
maillage déstructuré précision limitéeadapté à la prise en compte adapté seulement pour certaines
de couplages sur le volume équationsmatrices creuses symétriques introduit de la dispersion
introduit de la dissipation
principaux domaines d’applications : statique et dynamique des structures, thermo-élasticité, conduction thermique, mécanique des fluides à faibles Re , équations de conservation, …
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Différences finies, Volumes finisFinite Difference Method
Discrétisation directe des EDP, équation de bilan sur chaque cellule
(permet de discrétiser n’importe quelle EDP) Ω
Avantages Limitationsadapté à la discrétisation d’équations maillage structuré
de forme quelconquesmatrices creuses symétriques précision limitée
adapté à la prise en compte introduit de la dispersionde couplages sur le volume introduit de la dissipation
(peut être limité en utilisant certaines précautions, schémas d’ordres élevés)
principaux domaines d’applications : mécanique des fluides, systèmes complexes, phénomènes non linéaires
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Modélisation numérique en thermoacoustique
Acoustique : - compressibilité du fluide,- propagation de l’énergie à ‘longue’ distance avec peu de pertes
recherche de méthodes numériques peu dissipatives- relations de phase importantes
recherche de méthodes numériques peu dispersives
Navier - Stokes compressible
Équations de conservation :masse, Qté de mouvement, énergie(+ irréversibilités : non conservation de l’entropie)
Équation d’état pour le fluide,dépendance (p,T ) des propriétés du fluide
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Computational Fluid Dynamics (CFD)0 Stokes écoulement fortement Re
laminaire turbulent turbulent
Coût de calcul : faible + DNS, LES, RANS -
Niveau faible + -de description modèles de turbulence
Navier - Stokes compressible <-> acoustique
Équations de conservation :masse, Qté de mouvement, énergie(+ irréversibilités : non conservation de l’entropie)
Équation d’état pour le fluide,dépendance (p,T ) des propriétés du fluide
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Reynolds Averaged Navier – Stokes (RANS)0 Stokes écoulement fortement Re
laminaire turbulent turbulent
Coût de calcul : faible + DNS, LES, RANS -
Niveau faible + -de description modèles de turbulence
Conditions du calcul :Filtre statistique avant résolution, prise de moyenne,approximations sur les propriétés de la turbulence
Résultats : champs de moments statistiques
principal domaine d’application :
écoulement industriel incompressible et stationnaire, fort Re
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Large Eddy Simulation (LES)0 Stokes écoulement fortement Re
laminaire turbulent turbulent
Coût de calcul : moyen + DNS, LES, RANS -
Niveau moyen + -de description modèles de turbulence
‘’Simulation aux grandes échelles’’
Conditions du calcul :Filtre d’échelle avant résolutionmodèle de turbulence (k-ε)
Résultats : Description des structures aux grandes échelles,statistique après résolution
principal domaine d’application : écoulement industriels, turbomachines,
écoulements stationnaires et instationnaires
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Direct Numerical Simulation (DNS)0 Stokes écoulement fortement Re
laminaire turbulent turbulent
Coût de calcul : fort + DNS, LES, RANS -
Niveau fort + -de description modèles de turbulence
Conditions du calcul :Résolution de Navier-Stokes sans modèle de turbulence
Résultats : Description détaillée à toutes les échelles,statistique après résolution
principal domaine d’application : description fine des écoulements aux Remoyens et faibles
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Computational Fluid Dynamics (CFD)0 Stokes écoulement fortement Re
laminaire turbulent turbulent
Coût de calcul : + DNS, LES, RANS -
Niveau + -de description modèles de turbulence
appliquée à la thermoacoustique :- Combiner différentes techniques suivant le degré de précision
souhaité / le sous système étudié(DNS à l’intérieur du stack, LES à l’échelle du résonateur ?)
- Fort ‘drive ratio’ validité de modèles ‘faiblement compressibles’proposés par les codes commerciaux ?
- Prise en compte d’écoulements induits ?(écoulement redressé par l’acoustique, convection naturelle par la thermique)
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Modélisation numériqueappliquée à la thermoacoustique : évolution temporelle
Intégration temporelle à partir de C.I. (moteur ou réfrigérateur)étude des régimes transitoire, observation des phénomènes de déclenchement, de saturation, …
nécessite une intégration sur de nombreux cycles !
Résolution harmonique / décomposition de Fourier (réfrigérateur)pour l’acoustique & les tourbillons associéssuppose un régime établi, périodique,
donc réducteur, mais moins coûteux en calcul (surtout si peu d’harmoniques…)
Résolution numérique de problèmes de stabilité (moteur, réfrigérateur ?)étude des conditions de stabilité (conditions de -1er, 2nd ?- déclenchement
modèle spécifique à chaque instabilité – déclenchement thermoacoustique, mode de circulation de streaming, type de convection naturelle ?
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Généralités sur la modélisation numérique(pour des applications en thermoacoustique)
Phénomènes physiques à prendre en compte en thermoacoustiqueMéthodes numériques disponiblesModèles de mécanique des fluides
à quoi sert de modéliser l’acoustique linéaire en fluide thermovisqueux, pour des applications en thermoacoustique ?
Modélisation par éléments finis et maillage adaptatif anisotrpe de l’acoustique en fluide thermovisqueuxFormulation de baseImplémentation en éléments finisPourquoi du maillage adaptatif anisotrope ?Exemples d’applications
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Résolution harmonique / décomposition de Fourier (réfrigérateur)pour l’acoustique & les tourbillons associéssuppose un régime établi, périodique,
donc réducteur, mais moins coûteux en calcul (surtout si peu d’harmoniques…)
à quoi sert de modéliser l’acoustique linéaire en fluide thermovisqueux, pour des applications en thermoacoustique ?
temps temps ‘court’ (période acoustique)
‘long’ phémomèmes non linéaires
phénomènes lents fondamental harmoniques supérieurs(transferts thermiques,
convection naturelle, streaming,
… ) fréquence
0 f0 2f0 3f0 …séparation d’échelle de temps
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Acoustique propagation Acoustique
célérité
fluide parfait : non visqueux, non conducteur de la chaleur
en fluide thermovisqueuxgaz réel : Visqueux conducteur de la chaleur
(diffusion de Qté de mouvement) (diffusion thermique)
couches limites visqueuse, thermique
∂∂
=ρp
ccompressibilité
masse ) du fluideconditions adiabatiques
λ
δhδv
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Fundamental Conservation equations
Small acoustical perturbation, linearized equations, constant physical properties of the fluid
State equations
Basic formulation
0)(div =+∂∂
vρρt
disETst
sT =−
⋅+∂∂
)(div gradgrad λρ v
+
∂∂
vvv
gradt
ρ 0vv =++−+ curlcurlgradgrad µµη div)3/4(p
Mass
Momentum
Energy
( )Tpc
m
m
m ~ˆ~~ βγρ −=20
vc
t
T
t
p
m
mm
rm
r
~div~
ˆ~ 2
0
γρβ −
∂∂=
∂∂
( ) smrmm
m
rmp T
t
p
t
TC 0)
~grad(div
~
ˆ1
~=−
∂∂−−
∂∂ λ
γβγρ
t∂∂ /
Ttt
lct
lcc
t rm
m
rvmm
rvmm
m
m
r
~ˆ~~div~
0
'00
20
2
2
gradcurlcurlgrad∂∂+
∂∂+
∂∂+−
∂∂
ρβ
γvv
v0=
Substitution for :
- density- entropy- pressure
~ρ
s~
=−
+−∂∂
v~divˆ1~
div~
200 mm
mm
mmhmm
r
cTclt
T ρβγ
γγ grad
(p~
grad
−−= pT
T
Cs
mm
m
m
pm&&&
γβγˆ
1~~sTvp ~,~,
~,~,~ ρ
0=
(p~ −
26
Basic formulation (τ,v)
vc
t
T
t
p
m
mm
rm
r
~div~
ˆ~ 2
0
γρβ −
∂∂=
∂∂
Ttt
lct
lcc
t rm
m
rvmm
rvmm
m
m
r
~ˆ~~div~
0
'00
20
2
2
gradcurlcurlgrad∂∂+
∂∂+
∂∂+−
∂∂
ρβ
γvv
v
=−
+−∂∂
v~divˆ1~
div~
200 mm
mm
mmhmm
r
cTclt
T ρβγ
γγ grad
0=
0=
Harmonic Solution )Re(~ tieT ω=)Re(~ tiev ω= ωit =∂∂ /τ v
vc
t
T
t
p
m
mm
rm
r
~div~
ˆ~ 2
0
γρβ −
∂∂=
∂∂
27
Basic formulation (τ,v)
vc
t
T
t
p
m
mm
rm
r
~div~
ˆ~ 2
0
γρβ −
∂∂=
∂∂
Harmonic Solution
Acoustic pressure obtained in post-processing
)Re(~ tieT ω=)Re(~ tiev ω= ωit =∂∂ /τ v
vc
t
T
t
p
m
mm
rm
r
~div~
ˆ~ 2
0
γρβ −
∂∂=
∂∂
divˆ200
γωρβi
cm −=p τ v
0ˆ
vvdiv '00
202 =++
+−− τ
ρβωωω
γω gradcurlcurlgrad
mvv
ilcilci
cv
0vdivˆ1
div 200 =−+− ccli mh ρ
βγγτγτω grad
vvv
vττ
τ
p )Re(~ tiep ω=
28
Basic formulation (τ,v)
Harmonic Solution )Re(~ tieT ω=)Re(~ tiev ω= ωit =∂∂ /τ v
0ˆ
vvdiv '00
202 =++
+−− τ
ρβωωω
γω gradcurlcurlgrad
mvv
ilcilci
cv
0vdivˆ1
div 200 =−+− ccli mh ρ
βγγτγτω grad
vvv
vττ
τFluiddomain
Ω
Boundaryconditions
Γ
0v =v0=ττDirichlet
Neumann
vv =
0=∂∂n
τ
Thermal boundarycondition
Mechanical boundarycondition
isothermal
adiabatic
Rigid
Prescribedvelocity
v
τ
29
Basic formulation (τ,v)
Finite Element Model : unsymmetric complex matrix,
sparse band
Harmonic Solution )Re(~ tieT ω=)Re(~ tiev ω= ωit =∂∂ /τ v
0ˆ
vvdiv '00
202 =++
+−− τ
ρβωωω
γω gradcurlcurlgrad
mvv
ilcilci
cv
0vdivˆ1
div 200 =−+− ccli mh ρ
βγγτγτω grad
vvv
vττ
τ
=
sv
v
div
y
x
τ
___grad
v
τ
0
0
O(v)
O(τ)
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- propagation
- diffusion
thermal
viscous
Acoustics in thermo-viscous Fluids : a multiscale model
δh
δv
λ
1e-006
1e-005
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
10 100 1000 10000 100000
len
gth
(m)
f (Hz)
Air
Acoustical wavelength
boundary layer thicknesses
viscous
thermal
λ
δ v
δ h
air (105 Pa)
31
multiscale FE model adaptive meshing
boundary layers anisotropic mesh
FEM
computation
mesh
adapting[Bidimensional .Anisotropic.Mesh.Generator,
.F. Hecht, 1997]
Mesh/
solution (τ,v)
32
axisymmetrical axis
0/ =∂∂ rτvr = 0
0/ =∂∂ rvz
adiabatic 0/ =∂∂ zτprescribed velocityvr = 0 vz = 1
isothermal
rigid boundaryτ = 0
vr = 0 vz = 0
adiabatic 0/ =∂∂ zτprescribed velocityvr = 0 vz = 4 i
z
r
r = 2.5 mm
R= 5 mm
Application # 1 : propagative wave in a cylindrical duct
at a sudden doubling radius
Axisymetrical model
z = +4.5 cm
z = -4 cm
λλλλ/4
1kHz
T=1 ms
33
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
detailed mesh near the
discontinuity
Convergence of the mesh adapting procedure
Mesh iteration number
initial coarse mesh final refined mesh
35
Temperaturevariation
(mK)
Particle velocity
(modulus mm/s)
(orientation)
Detailed field near the discontinuity of
the waveguide
45
36
Detailed field near the corner
Temperaturevariation
(mK)
Particlevelocity
(modulusmm/s)
(orientation)46
38
Application # 2 : standing wave in a thermoacoustic resonator Bidimensional model
rigid stack
rigid walls
∞
moving plane pistonrigid v=0 & isothermal τ=0 conditions
axisymetrical
axis
prescribed velocity v=visothermal τ=0 conditions
10 cm
cm 6 1 3
15 mm = 7 rigid plates, 1 mm
+ 8 fluid plate spacing, 1mm
500 Hz
39
Convergence of the mesh adapting procedure
rigid v=0 & isothermal τ=0 conditions
axisymetrical
axis
prescribed velocity v=visothermal τ=0 conditions
iterations
refined anisotropicmesh inside the boundary layers
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Conclusion
- la formulation (écart de temperature τ , vitesse particulairev) est adaptée à la modélisation de l’acoustique en fluide thermovisqueux (modèles analytiques + modèles éléments finis en régime harmonique),- modèle multi-physique & multi-échelle : besoin de maillage adaptatifet anisotrope.
Applications- Modélisation fine de systèmes métrologiques basés sur des mesures acoustiques (transducteurs, MEMS),- première étape pour la modélisation de phénomènes non-linéaires lents induits par l’acoustique (thermoacoustique, streaming)