aatthheemmaattiicc
iinndd
aappppiinngg
āđāļāļāļŠāļēāļĢāđāļāļāļŠāļēāļĢāļŠāļĢāļāļŠāļāļĢāļāļāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āļŠāļĢāļāļŠāļāļĢāļāļāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āļŠāļēāļŦāļĢāļāļāļāļāđāļāļŠāļēāļŦāļĢāļāļāļāļāđāļāļŠāļāļ āļŠāļāļ PPAATT 11++āļŠāļāļāļāļĢāļāļāļēāļāđāļŠāļāļāļāļĢāļāļāļēāļāđ
Created by Pâ1 Tel. 085-999-9449
āļāļēāļāļē
â Mathematic Mind Mapping â āđāļāļāļāļāļāļĢāļāļāļŠāļēāļāļāļĄāļēāļāđāļāļāļēāļĢāđāļĢāļĒāļāļāļāļĢāļŠāļāļ°āļĨāļĒāđāļāļāļĒāļ Pâ1 āļāļ°āļŠāļāļāđāļāļāļāđ āđāļāļāļĄ 2 āļāļāļāļ§āļēāļāļ°āļāļēāđāļŠāļĢāļ Pâ1 āļāļāļāđāļāđāļ§āļĨāļēāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļāļĄāļēāļāđ ( āļāļĄāļāđāļāļāļāļāļĄāļāļāļāļāļ§āļāļāļĐāļĢ āļāļāļāļāļāļēāđāļĄāļŠāļ§āļĒāļŦāļĢāļāļāļĄāļāļāļāļāļāļāļāļ āļĒāđāļ§āļĨāļ§āļāļŦāļāļē ) āđāļāļĒ Pâ1 āļŦāļ§āļāļ§āļēāļāļ°āļĄāļāļĢāļ°āđāļĒāļāļāđāļŦāđāļāļāļāđāļĢāļĒāļāļāļāļāđāļāļāļ°āļāļĢāļ°āļŠāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļēāđāļĢāļāđāļāļāļēāļĢāļŠāļāļ āļāļāđāļāļēāļĄāļŦāļēāļ§āļāļĒāļēāļĨāļĒ āļāļ admission āļāļĨāļēāļ āļŦāļĢāļ āļŠāļāļāļāļĢāļāļāļēāļāđ āļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāđāļĢāļĒāļāđāļāđāļāļāļŠāļēāļĢāļāļāļ Pâ1 āļāļāļĄāļāļāđāļāļ°āļāļēāļāļēāļāļāļĢāļ°āļāļēāļĢāļāļāļ°āđāļāļāđāļŦāļāļĢāļēāļāļāļāļ
â āļŠāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļĄāļāđāļāđāļāļāļŠāļēāļĢāļāļāļāđāļāļĒāļāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļŠāļāļ PAT 1 āđāļĨāļ°āļŠāļāļāļāļĢāļāļāļēāļāđ āđāļāļāļāļ āļāļ Pâ1 āļĒāļāđāļāļēāļŦāļĨāļāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļāļĢāļ§āļāļĻāļāļĐāļēāļāļāļēāļĢāļāļĢāļāļĨāļēāļŠāļ ( āļ āļ.āļĻ.2544 ) āđāļāļĒāļāļāđāļĢāļĒāļāļāļēāļāļāļāļāļēāļāđāļāļĒāļāļēāđāļāđāļĒāļāļ°āļāļ§āļēāļ āļāļāļāļĄāļāļāļāđāļāļāļāļēāļĢāļāļēāļāļĄāļēāļāđāļāļāđāļāļŠāļēāļŦāļĢāļāļāļēāļĢāļŠāļāļ PAT 1 āđāļĨāļ°āļŠāļāļāļāļĢāļāļāļēāļāđ āđāļāļāļāļ
â āļ āļēāļĐāļēāļāđāļāđāļāđāļāļāļŠāļēāļĢāđāļāļāļ āļēāļĐāļēāļŠāļ§āļāļāļ§āļ Pâ1 āđāļāđāļāļāļēāļĢāļŠāļāļāđāļāļŦāļāļāđāļĢāļĒāļ ( āļāļāđāļĢāļĒāļāļāđāļĄāđāļāļĒāđāļĢāļĒāļāļāļ Pâ1 āļāļēāļāļāļāļāļēāļāđāļĨāļāļāļāļĒ )
â āļāļēāļĢāļŠāļĢāļāļŠāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļ āļŦāļĢāļ āļāļēāļāļ§āļāļāļĢāļāļāđāļāļĨāļ°āļŠāļāļĢāđāļāļĒāļāļāļāļŠāļāļ Pâ1 āļĒāļāļāļēāļĄāļāļēāļāļāļāļĄāļĨ ( Data base ) āļāļāđāļāļ āļ.āļĻ. 2537 āļāļāļāļāļāļāļāļāļ
āļŠāļāļāļēāļĒāļāļŦāļēāļāđāļāļāļŠāļēāļĢāļāļāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāļĢāļ°āđāļĒāļāļāļāļāļāļāđāļĢāļĒāļāļāđāļāļāļēāļ āļŦāļĢāļāļāļ§āļĒāđāļāļāļēāļĢāļāļāļāļēāļāļāļŠāļāļāđāļāļē
( āļŠāļēāļāļāļĄāļēāļāđ ) āļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļŦāļĄāļāļāđāļāļāļāļ Pâ1 āļāļāļāļāļĻāđāļŦāļāļāļāđāđāļŦāļĨāļēāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļēāđāļĢāļāđāļāļāļēāļĢāļŠāļāļāđāļāļēāļĄāļŦāļēāļ§āļāļĒāļēāļĨāļĒāđāļāđāļāļēāđāļĢāļĒāļāđāļāļāļāļ° āđāļĨāļ°āļĄāļŦāļēāļ§āļāļĒāļēāļĨāļĒāļāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļ§āļĒāđāļāļāļ āļŠāļēāļ āļŠāļēāļ ....
āļāļ§āļĒāļāļ§āļēāļĄāļāļĢāļēāļĢāļāļāļēāļāļāļĒāļēāļāļāļĢāļāđāļ āļ§āļĢāļāļĨ āļāļāļāļēāļ§āļŠāļāļāļāļĨ ( Pâ1 )
āđāļāļēāđāļ§āļāļĢāđāļāļ āđāļāļĒāļāđāļāļāļāļ§āļĒ P(A) P(A) āļāļ āđāļāļāļāļāļāļŠāļāđāļāļ ( 4 āļāļĒāļēāļāļāļāļ°āļāļēāđāļŦāđāļĄāļ ) P(A) = { āļŠāļāđāļāļ1 , āļŠāļāđāļāļ2 , ... , āļŠāļāđāļāļ n2
}
P(A) = { , āļŠāļāđāļāļ2 , ... , A } ; = āļāļĢāļ°āđāļāļ , A = āļāļēāļāđāļāļ
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢ (1) āļāļē n(A) = m āļāļ°āđāļ n[P(A)] = 2m
(2) āļāļē A = āđāļĨāļ§ P(A) = { } (3) P(A)
(4) , A P(A) (5) P(A)P(B) P(AB)
(6)* P(A)P(B) = P(AB)
āđāļāļāļĒāļāļāļŦāļēāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļ§āļāļŠāļĄāļēāļāļāļāļāļāđāļāļāļāļēāļāļ
2 āđāļāļ n(AB) = n(A) + n(B) â n(AB)P)
3 āđāļāļ n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) â n(AB)
â āđāļāđāļĄāļāļĢ 7 āļāļēāļ 8 â â n (AC) â n(BC)+ n(ABC) āļŠāļāļĢ 3 āđāļāļāļāļāļāļ§āļē â āđāļāļ 1 â āđāļāļ 2 + āđāļāļ 3 â By āđāļĢāđāļāļāļĢ āđāļāļāđāļāļāđāļĢāļāļĢ
AâB BâA
AB
(AB)
āļāļāļ 1. āđāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āđāļĢāļāļāļāļ§āđāđāļāđāļāļĒāļ§āļāļāđāļāļāļāļāļ§āļĢāļĢ āđāļāļāđāļāļāļāļāļĒāļēāļĄāđāļāđāļāļāļāļĨāļĄāļāļ°āđāļĢāļāđāļāļāļāđāļāļāļēāļ°āđāļāļēāļ°āļāļāđāļ
āđāļāļ āđāļāļāđāļāļ§āļāđāļāļŦāļāļāļŠāļāļāļēāļŦ , āđāļāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļĄāļāļ§āļāļ 5 āļŦāļēāļĄāđāļ!! āđāļāļāļāļāļāļāļāļŦāļĨāļ , āđāļāļāļāļāļāļāļĨāđāļĄāļāļĢāļāļĒ āļāļēāļāļ§āļāļŠāļĄāļēāļāļāļāļāļāđāļāļ A āđāļāļāļāļ§āļĒ n(A)
āđāļāļĒāļāļŠāļĄāļēāļāļāļāļēāļāļāļāļāđāļāļāļāļ§āđāļāļĒāļ§āļāļ°āļāļĢāļ āđāļāļāļāļāļāļ āļāļ āđāļāļāļāđāļĄāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāļŠāļĄāļēāļāļāđāļ āđāļāļāļāļēāļāļ āļāļ āđāļāļāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāļŠāļĄāļēāļāļāđāļ
āđāļāļāļāđāļĄāļĄāļŠāļĄāļēāļāļ āđāļĢāļĒāļāļ§āļē āđāļāļāļ§āļēāļāđāļāļĒāļāđāļāļāļāļ§āļĒ , { } ( āđāļāļāļ§āļēāļāđāļāļāđāļāļāļāļēāļāļ āđāļĨāļ° āđāļāļāļ§āļēāļāđāļāļāļŠāļāđāļāļāļāļāļāļāļāđāļāļ )
āđāļāļāļŠāļĄāļēāļāļ ( āļāļāļāļāļāļ ) , āđāļāļāļŠāļāđāļāļ ( āļāļāļēāļāđāļ )
{ 1 , {1} } { 1 , {1} , { 1,{1} } }
{ 1 , {1} } { 1 , {1} , { 1,{1} } } āļāļēāļāļ§āļāļŠāļāđāļāļāļāļāļ A = 2n āđāļĄāļ n āļāļāļāļēāļāļ§āļāļŠāļĄāļēāļāļāļāļāļ A
āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāđāļāļ ( Operation of Set ) (1) āļŠāļĄāļāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ
āļŠāļĨāļāļ AB = BA , AB = BA
āļĄāļ§āļāļ§( āļŠāļĨāļāļ) A(BC) = (AB)C , A(BC) = (AB)C
āđāļāļāđāļāļ A(BC) = (AB)(AC) , A(BC) = (AB)(AC)
āļāļĢāļ°āļāļēāļāļāļāļ§āđāļāļ AA = A , A = , A U = A
AA = A , A = A , A U = U
SAâRUP āđāļĨāļāđāļŦāļ = āđāļĨāļ , āđāļĨāļāđāļŦāļ = āđāļŦāļāļ
āļāļāļāđāļĨāļĒāļāļāļāļĢāđāļāļāļ§āļē A(AB) = A , A(AB) = AB , âĶ āļŊāļĨāļŊ
āļāļāļĄāļāļĨāđāļĄāļāļ (A) = A , = U , U = , AA = , AA = U
āđāļāļâāļĄāļâāđāļāļāļ ( Deâ morgain ) (AB) = AB , (AB) = AB
āļāļĨāļāļēāļ ( āļŠāļēāļāļāļŠāļ ) A â B = AB āļāļēāļāļ§āļē â āļāļĒāđāļ A āđāļāđāļĄāļāļĒāđāļ BâP
(2) āđāļāļāļ āļēāļāđāļ§āļāļāļāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļāļ§āļĢāļĢ
āļāļĒāļēāļĨāļĄāļ§āļē āļāļ āļŦāļĢāļ
āļāļ āđāļĨāļ° (āđāļ)
(AB) (AB) AB
BA (AâB) (BâA)
AB AB
āļāļāļ 2. āļĢāļ°āļāļāļāļēāļāļ§āļāļāļĢāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
CO
RP iP
QP IDI QI
IFI QâII IP
I+ = NP I0P IâP
C ( Complex Nu. ) = āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ , i ( Imaginary Nu. ) = āļāļēāļāļ§āļāļāļāļāļ āļēāļ ( i = 1 , i2 = â1 ) R ( Real Nu. ) = āļāļēāļāļ§āļāļāļĢāļ āļāļ āļāļēāļāļ§āļāļāļāļāļ§āđāļ§āļ 1. āđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļ āļŠāļ§āļāđāļāļ 0 2. āđāļāļĢāļēāļāļāļāļāļĨāļ Q ( Rational Nu. ) = āļāļēāļāļ§āļāļāļĢāļĢāļāļĒāļ° = â āđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļĄ â
Q( Irrational Nu. ) = āļāļēāļāļ§āļāļāļāļĢāļĢāļāļĒāļ° = āļāļĻāļāļĒāļĄ 2 āđāļĄ ( āđāļĄāļĢāļāļāđāļāļāđāļĄāļāļē ) ( log , āļĢāļāļāđāļĄāļĨāļāļāļ§ , , e ,āļŊāļĨāļŊ ) QâI = āļāļēāļāļ§āļāļāļĢāļĢāļāļĒāļ°āļāđāļĄāđāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļĄ āļĄ 2 āļāļĢāļ°āđāļ āļ āļāļ āđāļĻāļĐāļŠāļ§āļ āđāļĨāļ° āļāļĻāļāļĒāļĄāļāļĢāļĢāļĄāļāļē
D ( Decimal ) = āļāļĻāļāļĒāļĄ
I ( Integer ) = āļāļēāļāļ§āļāđāļāļĄ , N ( Counting Nu. ) = āļāļēāļāļ§āļāļāļ ( N = I+ ) , F ( Fraction ) = āđāļĻāļĐāļŠāļ§āļ
āļāļĻāļāļĒāļĄāļāļāļ Q ( āļāļĢāļāļāļĒāļ° )
āļāļĻāļāļĒāļĄ 2 āđāļĄ Q( āļāļāļĢāļāļāļĒāļ° ) āļŠāļĢāļāļ§āļē!! â āļāļĻāļāļĒāļĄāđāļāļāđāļāļāļāļāļĢāļĢāļāļĒāļ°āđāļĨāļ°āļāļāļĢāļĢāļāļĒāļ°â
āļŠāļĄāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļēāļāļ§āļāļāļĢāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ (1) āļŠāļĄāļāļāļāļ â āļāļēāđāļĨāļ§āđāļāļāļ§āļāđāļāļĄ â
āđāļāļ I+ āļĄāļŠāļĄāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļ āđāļāļĢāļēāļ° I+ I+ I+
Iâ āđāļĄāļĄāļŠāļĄāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļ āđāļāļĢāļēāļ° Iâ Iâ I+ (2) āļŠāļĄāļāļāļāļēāļĢāļĄāđāļāļāļĨāļāļĐāļ â āļāļēāđāļĨāļ§āđāļāļāļ§āđāļāļĄ â āđāļāļ 0 āđāļāļāđāļāļāļĨāļāļĐāļāļāļēāļĢāļāļ§āļ āđāļāļĢāļēāļ° 0 + a = a
1 āđāļāļāđāļāļāļĨāļāļĐāļāļāļēāļĢāļāļ āđāļāļĢāļēāļ° 1 a = a
āļāļē e āđāļāļāđāļāļāļĨāļāļĐāļāļŠāļēāļŦāļĢāļ āļāļ°āđāļāļ§āļē a e = a = eaa
(3) āļŠāļĄāļāļāļāļēāļĢāļĄāļāļāđāļ§āļāļĢāļŠ â āļāļēāđāļĨāļ§āđāļāđāļāļāļĨāļāļĐāļ â āđāļāļ â2 āđāļāļāļāļāđāļ§āļāļĢāļŠāļāļēāļĢāļāļ§āļāļāļāļ 2 āđāļāļĢāļēāļ° â2 + 2 = 0
1/2 āđāļāļāļāļāđāļ§āļāļĢāļŠāļāļēāļĢāļāļāļāļāļ 2 āđāļāļĢāļēāļ° 1/22 = 1
āļāļĪāļĐāļāļāļāđāļĻāļĐāđāļŦāļĨāļ
â āļāļēāļŦāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄ P( x ) āļāļ§āļĒāļāļŦāļāļēāļĄ ( ax â b ) āđāļĨāļ§āđāļĻāļĐāļāđāļāļāļēāļ
āļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļāļāļāļĨāļēāļ§āļāļ°āđāļāļēāļāļ P( b/a ) āđāļĄāļ a,b R â
āļŦāļĢāļ Jum! āļāļēāļĒāđ āļāļāļ (1) āļāļāļāļ§āļŦāļēāļĢ = 0 āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē x (2) āļāļēāļāļē x āļāđāļāđāļāļāļĨāļāđāļāļāļ§āļāļ āļāļĨāļĨāļāļāļāđāļāļāļāđāļĻāļĐāļāđāļŦāļĨāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļĢ [ āđāļĻāļĐ = P(b/a ) ] āļāļēāļāđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļāļēāļāļ§āļĒāđāļ (3) āļāļēāļāļĨāļĨāļāļ = 0āđāļāļĨāļ§āļēāļŦāļēāļĢāļĨāļāļāļ§ , āļāļ§āļŦāļēāļĢāđāļāļāļāļ§āļāļĢāļ°āļāļāļāļāļāļāļāļ§āļāļ
āļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄāļāļ§āđāļāļĢāđāļāļĒāļ§ (1) āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĨāļ 1 āđāļāļ 2x+1 = 0 ( āļāļāļāļāļēāđāļāļāđāļ! )
(2) āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĨāļ 2 āđāļĒāļ factor , āđāļāļŠāļāļĢ x = a2
ac4bb 2
(3) āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĨāļ 2 āļāļāļāļāļāļāļ§āļĢāļ§āļĄ , āļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ Tip āļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ (1) āļāļēāļāļĨāļĢāļ§āļĄāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļ = 0 â 1 āđāļāđāļ â (2) āļāļēāļāļĨāļĢāļ§āļĄāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļŠāļĨāļāļāļāđāļāļēāļāļ â â1 āđāļāđāļ â
āļāļēāļĢāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄāļāļ§āđāļāļĢāđāļāļĒāļ§
(1) āļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĨāļ 1 â āļĢāļ°āļ§āļāđāļĄāļāļāļēāļāļēāļāļ§āļāļĨāļāđāļ , āļāļāļāļĢāļāļāļēāļĄāļāļāļāđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāļĢāļāļāļēāļĄ â
(2) āļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĨāļ 2 , āļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĨāļ 2 â āļāļēāļŦāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāđāļāđāļāļāļĨāļ āđāļŦāļāļē â1 āļāļāļāļĨāļāļ
āđāļĨāļ°āļāļĒāļēāļĨāļĄ ! āđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāļĢāļāļāļēāļĄ â āļāļāļāļ factor = 0 āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļ§āļāļĪāļ āđāļĨāļ§āļāļāļāļāđāļŠāļāļāļēāļāļ§āļ â āđāļŠāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒ + āđāļĨāļ° â āļŠāļĨāļāļāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ§āļ āđāļāļĒāđāļĢāļĄāļāļēāļāļāļēāļāļāļ§āļēāļĄāļ â āļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāļŠāļāļāļēāļĒāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ
āļāļē , āđāļāļēāļāļ§āļ + , āļāļē , āđ āļāļēāļāļ§āļ â
āđāļāļĒāļ , āđāļāļāļāļ§āļāđāļāļ ( āļ§āļāļāļĨāļ§āļ ) , , āđāļāļāļāļ§āļāļāļ ( āļ§āļāļāļ ) â āļāļēāđāļĒāļ factor āđāļĄāđāļāļāļĒāļēāļĒāļēāļĄāļāļāļĢāļāļāļēāļĨāļāļŠāļāļāļŠāļĄāļāļĢāļāđāļĨāļ§āļ§āļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļāļ (3) āļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļāļŦāļāļēāļĄ ( āđāļāļ āļŠāļāđ !!! āļĄāļāļ§āđāļāļĢāļŦāļēāļĄāļāļāđāļāļ§ ) â āļāļēāđāļŦāļāļ§āļēāļĄāļāđāļāļ 0 āđāļāļĒāļāļēāļĢāļĒāļēāļĒāļĄāļēāļĨāļāļāļāļāļēāļāļāļēāļĒāļĄāļ â āļāļāļĢāļāđāļĒāļāļāļ§āļāļĢāļ°āļāļāļāļāļāđāļĻāļĐāđāļĨāļ°āļŠāļ§āļ â āļāļēāļŦāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāđāļāđāļāļāļĨāļ āđāļŦāļāļē â1 āļāļāļāļĨāļāļ
āđāļĨāļ°āļāļĒāļēāļĨāļĄ ! āđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāļĢāļāļāļēāļĄ â āļāļāļāļ factor = 0 āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļ§āļāļĪāļ āđāļāļĒāļāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļ āļāļēāļĄāļ§āļāđāļĨāļāļāļēāļāļāļĢāļ āļāļ 2 āļāļ āļāļēāļĄāļ§āļāđāļĨāļāļāļēāļāļāļĢāļ āļāļ 1 āļāļ āļĢāļ°āļ§āļ !! āļāļēāļ§āļāļĪāļāļāļāļēāđāļŦāļŠāļ§āļāđāļāļ 0 ( āļāļĒāļēāļĨāļĄāļĒāļāđāļ§āļāļāļ°āļāļ° ) â āļāļāļēāļĢāļāļēāļāļ§āļāļāļēāļāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŦāļĄāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄāļāļēāļĄāļāļāļ
āļāļĒāļēāļĄāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ , āļāļēāļĢāļāļāļāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ ( āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāđāļāļāļēāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ )
a =
0a,a
0a,a
(1) xy = ? āļāļē x 0 , y 0 āļāļāļ âxy ( āđāļāļĢāļēāļ°āļāļēāļāđāļāđāļāļ â )
(2) 4ây2 = ? āļāļē y 2 āļāļāļ â( 4ây2 ) ( āđāļāļĢāļēāļ°āļāļēāļāđāļāđāļāļ â )
(3) xâ(y+2z) = ? āļāļē x y+2Z āļāļāļ xâ(y+2z) ( āđāļāļĢāļēāļ°āļāļēāļāđāļāđāļāļ + )
â āļāļēāļāļēāļāđāļāđāļāļāđāļāļāļāļ§āļ āļāļāļāđāļāđāļĨāļĒ , āđāļ āļāļēāļāļēāļāđāļāđāļāļāđāļāļāļĨāļ āļāļāļāđāļāļĨāļāļāļāļāļāļ§āļāļēāļāđāļ â
āļŠāļĄāļāļāļāļāļāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ (1) a 0 (2) a = âa( āđāļāļ 4âx = xâ4)
(3) ab= a b (4) ba
= ba
, b 0
(5) a+ba+b(6)aâbaâb
(7) 2a = a , ( a )2 = a ( āđāļāļ 2)2y( = yâ2)
(8) a2 = a2 āđāļāļ 23x = (xâ3)2 âāđāļāļāļāļēāļĨāļāļŠāļāļāđāļŦāļĄāļāļāļ§āļāđāļĨāļāļāļēāļĨāļāļŠāļāļâ
āđāļāļāđāļāļ , āđāļ āđāļāđāļāļ +, â āđāļĄāđāļ
āļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ (1) āļĢāļāđāļāļāļāļāļ
a = b
a = b
Ex1 xâ2 = 3x+2 Ex2 2xâ5 = 4âx xâ2 = 3x+2 or xâ2 = â(3x+2) 2xâ5 = 4âx or 2xâ5 = â(4âx) â4 = 2x or xâ2 = â3xâ2 3x = 9 or 2xâ5 = â4+x x = â2 or x = 0 x = 3 or x = 1 ( āđāļ!! x = â2 āđāļāđāļĄāđāļāđāļāļĢāļēāļ° ( āđāļāđāļāļāļāļŠāļāļāļāļ§ āđāļĄāļāļāļāļāļĢāļ§āļ āļāļēāđāļŦ 3xâ2 < 0 ) āļāļēāļāļāļāđāļāļĢāļēāļ°āđāļāļ + āļāļāļŠāļāļāļāļ )
(2) āļĢāļāđāļāļāđāļĒāļāļāļĢāļ ( āđāļāđāļĄāļāļāļāļĢāļāđāļĨāļ§āđāļĄāđāļāļāļĢāļāđāļāļāļāļāļ )
â āļāļāļĢāļāđāļŦāļŦāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāđāļāļāļāļ§āļ ( 2âx = xâ2 ) â āļāļāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļ§ = 0 āđāļāļāļŦāļēāļāļē x ( āļāļēāļ§āļāļĪāļ )
āđāļĨāļ§āļāļāļāļāđāļŠāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāđāļĒāļāļāļĢāļāļāļ â āļāļēāļŦāļāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļāļēāļĢāļāļāļāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļāļāļāļ
2 āļāļĢāļ 3 āļāļĢāļ
āļŦāļēāļāļēāļāļāļāļāļĨāļ°āļāļĢāļāđāļĨāļ§āļāļēāļĄāļēāļĢāļ§āļĄ ( ) āļāļ ( āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāđāļāļāđāļĒāļāļāļĢāļ āļāļēāđāļāļāļŠāļ§āļāđāļŦāļāļāļ°āđāļāļ 3 āļāļĢāļ )
a = b ( a = b or a = âb )
āļāļāļāļāļĢāļ§āļāļāļēāļāļāļāļ§āļē b 0
āđāļĄāļāļāļāļāļĢāļ§āļāļāļēāļāļāļ
+ â
(+)(+) (+)(â) (â)(â)
āļāļēāļĢāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ (1) āļĢāļāđāļāļāļāļāļ āļĄ 3 āļĢāļāđāļāļ āļāļāļ
1.1 āļŠāļāļĢāļāļāļĒāļāļ§āļē āļāļē a b āļāļ°āđāļāļ§āļē â b a bb
āđāļāļ 2xâ1 x+2 āļāļ°āđāļāļ§āļē â(x+2) 2xâ1 x+2
â (x+2) 2xâ1 2x+1 x+2
( āđāļĒāļāļāļē 2 āļŠāļ§āļāđāļĨāļ§āđāļāļēāļāļēāļāļāļāđāļāļĨāļ°āļŠāļ§āļāļĄāļē āļāļ )
1.2 āļŠāļāļĢāļĄāļēāļāļāļ§āļē āļāļē a b āļāļ°āđāļāļ§āļē a b āļŦāļĢāļ a âbL
āđāļāļ x+2 3xâ1 āļāļ°āđāļāļ§āļē x+2 3xâ1 x+2 â( 3xâ1)
( āđāļĒāļāļāļē 2 āļŠāļ§āļāđāļĨāļ§āđāļāļēāļāļēāļāļāļāđāļāļĨāļ°āļŠāļ§āļāļĄāļē āļāļ )
1.3 āļŠāļāļĢāđāļāļ 2 āļāļ a , b āđāļāļāļēāļĢāļĒāļāļāļēāļĨāļāļŠāļāļ 2 āļāļāļ
āđāļĨāļ§āđāļāļŠāļĄāļāļāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļāļāļ§āļē a 2 = a2
āđāļāļ xâ1 2xâ1 xâ1 2 2xâ1 2
( āđāļāļāļāļēāļĨāļ 2 āđāļŦāļĄāļāļāļ§āļāđāļĨāļāļāļēāļĨāļ 2 ) (xâ1) 2 (2xâ1) 2
(xâ1)2 â (2xâ1)2 0 âāļāļĒāļēāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļāļāļāļĄāļēāļāļ°āļĒāļēāļ āđāļāļŠāļāļĢ
[(xâ1)â(2xâ1)] [(xâ1)+(2xâ1)] 0 āļāļĨāļāļēāļāļāļēāļĨāļāļŠāļāļāļāļāļ§āļēâ
( xâ1â2x+1 )( xâ1+2xâ1 ) 0 ( âx )( 3xâ2 ) 0
( x )( 3xâ2 ) 0 âāļāļĒāļēāļĨāļĄāļāļēāļŦāļāļē x āđāļŦāđāļāļ + āļāļāļāļāļāļāļāđāļŠāļāļāļēāļāļ§āļâ (2) āļĢāļāđāļāļāđāļĒāļāļāļĢāļ
â āđāļāđāļĄāļāļāļĒāļēāļĒāļēāļĄāļāļāļĢāļāđāļāļāđāļāļāļĒāđāļĨāļ§āđāļĄāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļē Pattern āļĢāļāđāļāļāļāļāļāđāļ āļāļĨ. āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ Pâ1 āđāļĄāļĄ āļ.āļĒ. āđāļŦāļāļ
āļāļĨāļēāļĒ āļāļĒ. āļ āļāļ āļāļēāļāļĨāļ°āļāļĢāļāđāļĨāļ§āļāļāļĒāļāļēāļāļēāļāļāļāļĄāļē ( ) āļāļ â
āļ.āļĒ. āđāļāļ xâ1+2x+3 5
āļāļĢāļāļ 1. U = x â3/2 āļāļĢāļāļ 2. U = â3/2 x 1
[â(xâ1)]+[â(2x+3)] 5 [â(xâ1)]+(2x+3) 5
âx+1â2xâ3 5 âx+1+2x+3 5
x â7/3 x â3/2 x 1 â3/2 x 1
āļāļ°āđāļ x â7/3 āļāļ°āđāļ
āļāļĢāļāļ 3. U = x 1 āđāļĨāļ§āļāļēāļāļēāļāļāļāļāļ 3 āļāļĢāļāļĄāļēāļĢāļ§āļĄāļāļ
(xâ1)+(2x+3) 5 āļŦāļĢāļāļāļāļāļāļēāļĄāļē āļāļāļāļāđāļāļ
3x+2 5 āđāļĨāļ§āļāļ°āđāļāļāļēāļāļāļāļŠāļāļāļēāļĒ āļāļ
x 1 x 1 ( â,â7/3 )( 1, )
āļāļ°āđāļ x 1
āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļāļĒāļēāļĨāļĄāļāļĒāļēāļĄāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ ( āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāđāļāļāļēāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ )
a =
0a,a
0a,a
āļāļāļāļāļāļ§āļāļāļēāļĢāļŦāļēāļĢ ( Division Algorithm )
āļāļ§āļāļ = āļāļ§āļŦāļēāļĢ ( āļāļĨāļĨāļāļ ) + āđāļĻāļĐāļ
5 = 2 ( 2 ) + 1 āļāļāļāļāļāļāļ°āļāļĢāļēāļ
5 = 2 ( 1 ) + 3 āļāļāđāļāļĢāļēāļ°āđāļĻāļĐ āļāļ§āļŦāļēāļĢ
5 = 2 ( 3 ) + (â1) āļāļāđāļāļĢāļēāļ°āđāļĻāļĐāļāļāļ 0
āļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāļāļēāļāđāļāļĢāļ°āļāļāļāļ§āđāļĨāļ ( āļĒāļāđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ PAT ) (1) āļāļēāļ 10 āļāļēāļāđāļāđ â āļāļāļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļĨāļ§āđāļĨāđāļāļĒāļāļāļēāļāļĨāļēāļāļāļāļāļ â (2) āļāļēāļāđāļāđ āļāļēāļāļŠāļ â āđāļāļĒāļāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļāļāļāļ§āļĒāļāļēāļāļĢāļ°āļāļēāļŦāļĨāļ
āļŦāļĢāļ āđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ â
āļāļ§āļŦāļēāļĢāļĢāļ§āļĄāļĄāļēāļ ( The Greatest common divisor : G.C.D )
(1) āļŦ.āļĢ.āļĄ. I+ (2) āļŦ.āļĢ.āļĄ. āļāļāļ a , b = d āđāļāļĒāļāđāļāļāļāļ§āļĒ ( a,b ) = d (3) ( a,b ) = ( âa,b ) = ( a,âb ) = ( âa,âb )
(4) āļāļē a 0 āđāļĨāļ§ ( 0,a ) = a
āļ§āļāļŦāļē āļŦ.āļĢ.āļĄ. (1) āļāļāļŦāļēāļĢāļŠāļ (2) āđāļāļ§āļāļĒāļāļĨāļāļ
āđāļāļ āļāļāļŦāļē āļŦ.āļĢ.āļĄ. 595 āļāļ â252 āļāļēāļ āļāļ§āļāļ = āļāļ§āļŦāļēāļĢ ( āļāļĨāļĨāļāļ ) + āđāļĻāļĐāļ 595 = 252 ( 2 ) + 91 252 = 91 ( 2 ) + 70 91 = 70 ( 1 ) + 21 70 = 21 ( 3 ) + 7 21 = 7 (3 ) + 0
āļāļ§āļāļāļĢāļ§āļĄāļāļāļĒ ( The Least common multiple : L.C.M )
(1) āļ.āļĢ.āļ. I+ (2) āļ.āļĢ.āļ. āļāļāļ a , b = k āđāļāļĒāļāđāļāļāļāļ§āļĒ [ a,b ] = k (3) [ a,b ] = [ âa,b ] = [ a,âb ] = [ âa,âb ]
(4) [ 0,a ] āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ
āļ§āļāļŦāļē āļ.āļĢ.āļ. (1) āļāļāļŦāļēāļĢāļŠāļ (2) āđāļāļŠāļāļĢ ab = dk ; a,b I+vv
āļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļĨāļāļāļ§ ( Exact Division ) āļāļēāļāļ§āļē â a āļŦāļēāļĢ b āļĨāļāļāļ§ â
āļŦāļĄāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļ§āļē âabāļĨāļāļāļ§â ,
ab
= k , b = ka , kI â {0}â a b
āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļŠāļĄāļāļāļ ( Relatively prime numbers )
â a , b āđāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļŠāļĄāļāļāļ āļāļāļāđāļĄāļ ( a,b ) = 1 âa
āđāļāļ 2 āļāļ 7 āđāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļŠāļĄāļāļāļ āđāļāļĢāļēāļ° ( 2,7 ) = 1 18 āļāļ 27 āđāļĄāđāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļŠāļĄāļāļāļ āđāļāļĢāļēāļ° ( 18,27 ) = 9 4 āļāļ 9 āđāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļŠāļĄāļāļāļ āđāļāļĢāļēāļ° ( 4,9 ) = 1
JUM!! āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļŠāļĄāļāļāļāđāļĄāđāļāļĒāļ§āļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļēāļ°āļāļ°āļāļĢāļ
â3/2 1
āļŦ.āļĢ.āļĄ. = āļāļ§āļŦāļēāļĢāļāļ§āļŠāļāļāļēāļĒ (Z ( 595,â252 ) = 7 7 āļĒāļāđāļāļ āļŦāļĢāļĄ. āļāļāļāļāļāļāļŦāļāļēāļāļāļāļ§āļĒ ( 595,252 ) = ( 252,91 ) = ( 91,70 ) = ( 70,21 ) = ( 21,7 ) = 7
O
O
â āļāļēāļāļēāļāđāļāđāļāļāđāļāļāļāļ§āļ āļāļāļāđāļāđāļĨāļĒ , āđāļ āļāļēāļāļēāļāđāļāđāļāļāđāļāļāļĨāļ āļāļāļāđāļāļĨāļāļāļāļāļāļ§āļāļēāļāđāļ â
x y
x y
x y
x y
(2) āļāļ â āđāļŠāļ
d = 2211
BA
CByAx
(3) āđāļŠāļ â āđāļŠāļ
d = 2221
BA
CC
P
āļāļāļ 4. āđāļĢāļāļēāļāļāļāļ§āđāļāļĢāļēāļ°āļŦ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085â999â9449>
āļŠāļāļĢāļāļāļāļēāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ ( āļāļāļāđāļāļēāļāđāļāļĒāļāļēāļĄāļēāļĄāļēāļāļāļ§āļēāļ āđāļāđāļāļ Pâ1 āđāļāļāļ° āđāļāļāļāļŦāļĢāđāļĨāļ§ )
(1) āļāļ â āļāļ (x1,y1)
(x2,y2) d
d = 212
212 )yy()xx(
(x1,y1) d
Ax+By+C = 0
d
Ax+By+C1 = 0 Ax+By+C2 = 0
(x1,y1)
(x2,y2) A
A =
2yy
,2
xx 2121 b
(4) āļāļāļāļāļāļĨāļēāļ
āļāļāļ 3. āļāļĢāļĢāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āļāļēāļĢāļēāļāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļāļĢāļāļāļāļ pq , pq , pq , pq p q ~p p q p q p q p q
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T
pq F āļāļ§āđāļāļĒāļ§ F āļāļāļ , pq T āļāļ§āđāļāļĒāļ§ T āļāļāļ
pq āļŦāļāļē T āļŦāļĨāļ F āļāļāļ F āļāđāļŦāļĨāļāļāļĢāļāļŦāļĄāļ
pq āđāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļāļ T āļāļēāļāļāļāļāļāļ F āļŠāļĄāļĄāļĨāļāļāļ§āļĢāļāļē ( āļāļĢ.āļāļēāļāđāļāļĒāļāļēāļĄāļēāđāļĒāļāļ°āļāļ§āļēāļāđāļāđāļāļāļāļ!! )
(1) āļŠāļĄāļāļāļāļēāļĢāļŠāļĨāļāļ ( āđāļĄāļĄāļŠāļĄāļāļāļŠāļĨāļāļ āļāļ°āļāļĢāļ ) p q q p , p q q p , p q q p
(2) āļŠāļĄāļāļāļāļēāļĢ â āļĄāļ§āļāļ§ â ( āļāđāļĄāļĄāļŠāļĄāļāļāļĄāļ§āļāļ§ āļāļ°āļāļĢāļ ) p (q r) (p q) r p q r p (q r) (p q) r p q r p (q r) (pq) r pq r (3) āļŠāļĄāļāļāļāļēāļĢāđāļāļāđāļāļ ( āļāļāļāļāļēāļĒāļāļāļāļĨāļ (āļāļāļāļ§āļĢāļ§āļĄ) āđāļŦāđāļāļāļ§āļĒ ) p (q r) (p q) (p r) , p (q r) (p q) (p r) (4) āđāļāļâāļĄāļâāđāļāļāļ ( Deâ morgain ) ~(p q) ~p ~q , ~(p q) ~p ~q (5)* āļāļē ... āđāļĨāļ§..... āļĄ 2 āļŠāļĄāļĄāļĨāļāļ°āļāļĢāļ ( āđāļāļāļāļĒāļŠāļāđ ) p q ~p q ~q ~p (6) ...... āļāļāļāđāļĄāļ .... āļāļĄ 2 āļŠāļāļĢāļāļ°āļāļĢāļ pq (p q) (q p) , ~(p q) ~p q p~q (7) āļŠāļĄāļāļāļāļēāļĢāļāļĄ ( āļāļĄāļŦāļāļēāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĄ,āļāļĄāļŦāļĨāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĨāļĒāļ ) p (q r) (p q) (p r) , p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r) , (p q) r (p r) (q r)
āļŠāļāļāļāļĢāļāļāļĢ ( Tautology ) āļāļ āļāļĢāļ°āļāļāļāļāđāļāļ T āļāļāļāļĢāļ āđāļāļĒāļĄāļ§āļāļāļēāļĢāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļ§āļēāđāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļāļĢāļŦāļĢāļāđāļĄāļāļāļ â āļŠāļĄāļĄāļāđāļŦāļāļĢāļ°āļāļāļāļāļāļ°āļāļēāļĄāļēāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāļĄāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļāļĢāļāđāļāļ âāđāļāļâ â āđāļĢāļĄāļŦāļēāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļĒāļāļĒāļāļēāļāļāđāļĒāļ āđāļāļ Tautology
â āđāļāļāļēāļāļ§āđāļāļāļĄāļŦāļĨāļāđāļāļ āđāļŦāđāļāļŠāļĄāļĄāļĨāđāļāļēāļāļ§āļĒ āļāļĨāļēāļ§āļāļ
āļāļē āļāļāđāļāļ Tau , āļāļē āđāļĄ āļāđāļĄāđāļāļ tau u
āļāļēāļĢāļāļēāļāđāļŦāļāļāļĨ ( Argument )
āļāļ Tau āļŠāļĄ āđāļĄāļāļ āđāļĄ tau āđāļĄāļŠāļĄāļĄāļĄ
āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļāļĢāļ°āđāļĒāļāđāļāļāļāļĄāļāļ§āļāļāļāļĢāļĄāļēāļ (Quantifier)
(1) x[P(x)] T āđāļĄāļāđāļāđāļāļāļ x , F āđāļĄāļāļĄāļāļēāļ x āđāļāđāļĄāđāļ
(2) x[P(x)] T āđāļĄāļāļĄāļāļēāļ x āđāļāđāļ , F āđāļĄāļāđāļāđāļĄāđāļāđāļĨāļĒāļāļāļāļ° x
(3) xy[P(x,y)] T ( āļŠāļ§āļāļĄāļēāļāļāļ°āđāļāļ ) â āļāļ x āļāļāļāđāļāđāļāļāļ y â.y , āļāļāļāđāļāļāļāļāļĢāļāđāļāļēāļāļāļāļ T
(4) xy[P(x,y)] T ( āļŠāļ§āļāļĄāļēāļāļāļ°āļāļĢāļ )
ââ āļāđāļāļĒāļ§āļāļŦāļĢāđāļĨāļ§ ââ , āļĄāļāļēāļ x āđāļāđāļāļāļēāļ y
(5) xy[P(x,y)] T ( āļĄāļāļēāļ x āđāļāđāļāļāļ y ) â x āļāļāđāļŦāļĨ âP , āļāļēāļāđāļāļ x āļāļāđāļĄāđāļŦāļĄāļāļāļāļāļĢāļāļāđāļ
(6) xy[P(x,y)] T ( āļāļ x āļāļāļāļĄāļāļēāļ y āđāļāđāļ ) â āļāļ x āļāļ§āļāļāļāļĄāļ â x āļāļāļāļ§āļāļ°āļĢāļĄ y āļāļ§āđāļāļĒāļ§āļāļāļāđāļ
āļāđāļŠāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļĄāļĨāļāļāļ āļāļĢāļ°āđāļĒāļāđāļāļ āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļēāđāļāđāļŦāļĄāļāļāļāļāļāđāļŠāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļĄāļĨāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļ
āđāļāļ P(x)Q(x) ~P(x)Q(x) ~Q(x)~P(x) āļāđāļŠāļāļāļāļāļāļĢāļ°āđāļĒāļāđāļāļāļāļĄāļāļ§āļāļāļāļĢāļĄāļēāļ ( āļāļāļāļāļĢāļ°āļāļēāļĒ 2 āļāļāļ°āļāļ° )
~x[P(x)] x[~P(x)]O , ~x[~P(x)] x[P(x)]]]
āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŠāļāļāļĢāļ (1) āļĢāļāļ ( āļĢāļāļāļāļāļ 1 āļāļāļāđāļŠāļāļāļĢāļāļāļēāļ ) (2) āļĢāļāļ§āļēāļĄāļāļ ( āļĢāļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļāļāđāļŠāļāļāļĢāļāļāļēāļ 3 āļ§āļ ) (3) āđāļāļēāļŠāļāļĢ ( yây1 = m( xâx1) , (x1,y1) āļāļāļāļāļāđāļŠāļāļāļĢāļāļāļēāļ )
āļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļĢāļ āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ Ax+By+C = 0A āļāļ§āļēāļĄāļāļ (m) = BA
, āļŦāļāļēyāļŦāļāļēx
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ y = mx+cA āļāļ§āļēāļĄāļāļ (m) āļĄ 3 āļŠāļāļĢ āļāļ 12
12
xxyy
, f(x) , tan ( āļāļāļĄāļĄāļāđāļŠāļāļāļĢāļāļāļēāļāļāđāļāļ x āđāļāļāļĻāļāļ§āļāđāļāļĄ )
â āđāļŠāļāļāļĢāļ 2 āđāļŠāļāļāļāļēāļāļāļ āđāļĄāļāļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļāļēāļāļ ( m1 = m2 ) â
â āđāļŠāļāļāļĢāļ 2 āđāļŠāļāļāļāļāļēāļāļāļāđāļĄāļāļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļāļāļāđāļāļ â1 ( m1m2 = â1 ) â
āļāļĢāļēāļāļ§āļāļĢ ( āđāļāđāļāļāđāļŦāļāļĄāļēāļāļāļ§āļēāļĢāļāļēāļĄāđāļāļāļāļ )
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ
2
2
2
2
b)ky(
a)hx(
= 1 2
2
2
2
b)hx(
a)ky(
= 11
(1) āļāļĒāļēāļĄ PF1+PF2 = 2a ( āđāļāļāđāļāļ )
(2) āđāļāļāđāļ = 2b āđāļĨāļ° a b āđāļŠāļĄāļ (3) āļāļāļĻāļāļĒāļāļĨāļēāļāļāļĒāļāļāļ ( h,k ) āđāļŠāļĄāļ
(3) c āļāļ āļĢāļ°āļĒāļ°āļāļēāļāļāļĻāļ. āļāļ āļāļāđāļāļāļŠ = 22 ba (4) āļāļĻāļ. , āļāļāļĒāļāļ , āļāļāđāļāļāļŠ āļāļĒāļāļāđāļāļāđāļāļāđāļŠāļĄāļ (5) āļāļ§āļēāļĄāđāļĒāļāļāļĻāļāļĒāļāļĨāļēāļ ( e ) = c/a ( āļĒāļāđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ Ent )
(6) āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāļ§āļāļĢ āļ āđāļāļāļŠ ( āļĨāļēāļāļŠāđāļĢāļāļāļĄ ) = 2b2/a
āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāļ§āļāļĢ (1) āļĢāļāļāļĻāļāļĒāļāļĨāļēāļ ( h,k ) (2) āļĢ a , b ( āļāļĢāļāđāļāļāđāļāļ , āļāļĢāļāđāļāļāđāļ ) (3) āđāļāļēāļŠāļāļĢ ( āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ , āļāđāļŦāļāļ§āļēāļĢāļāļēāļĄāđāļāļāļāļ°āđāļĢ )
(h,k)
(h,k)
(h+a,k)
(h,k+a)
(hâa,k)
(h,kâa)
(h,kâb)
(h,k+b)
(h+b,k) (hâb,k)
(h+c,k) (hâc,k) (h,k+c)
(h,kâc)
āļāļĢāļēāļāđāļŪāđāļāļāļĢāđāļāļĨāļē ( āđāļāļāđāļŦāļāļĄāļēāļāļāļ hyper āļāļĢāļāļāđāļāļāļāļ )
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ
2
2
2
2
b)ky(
a)hx(
= 1
(1) āļāļĒāļēāļĄ PF1âPF2 = 2a ( āđāļāļāļāļēāļĄāļāļ§āļēāļ )
(2) āđāļāļāļŠāļāļĒāļ = 2b āđāļ a , b āļāđāļ !! (3) āļāļāļĻāļāļĒāļāļĨāļēāļāļāļĒāļāļāļ ( h,k ) āđāļŠāļĄāļ
(3) c āļāļ āļĢāļ°āļĒāļ°āļāļēāļāļāļĻāļ. āļāļ āļāļāđāļāļāļŠ = 22 ba (4) āļāļĻāļ. , āļāļāļĒāļāļ , āļāļāđāļāļāļŠ āļāļĒāļāļāđāļāļāđāļāļāđāļŠāļĄāļ (5) āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŠāļāļāļēāļāļāļāļĢāļēāļ = āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŠāļāļāļĢāļ ( āļāļĒāļēāļāļēāļŠāļāļĢāļĨāļ !! )
(6) āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāđāļŪāđāļāļāļĢ āļ āđāļāļāļŠ ( āļĨāļēāļāļŠāđāļĢāļāļāļĄ ) = 2b2/a
āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŪāđāļāļāļĢāđāļāļĨāļē (1) āļĢāļāļāļĻāļāļĒāļāļĨāļēāļ ( h,k ) (2) āļĢ a , b ( āļāļĢāļāđāļāļāļāļēāļĄāļāļ§āļēāļ , āļāļĢāļāđāļāļāļŠāļāļĒāļ ) (3) āđāļāļēāļŠāļāļĢ ( āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ , āļāđāļŦāļāļ§āļēāļāļĢāļāļāđāļāļāļāļ°āđāļĢ )
2
2
2
2
b)hx(
a)ky(
= 11
āļāļĢāļēāļāļ§āļāļāļĨāļĄ
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ x2+y2+ax+by+c = 0 ( āđāļāđāļĄāļāļāļēāļ 3 āļāļ )
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ ( xâh )2+( yâk )2 = r2A
āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāļ§āļāļāļĨāļĄ (1) āļĢāļāļāļĻāļāļĒāļāļĨāļēāļ ( h,k ) , (2) āļĢ r ( āļĢāļĻāļĄ ) (3) āđāļāļēāļŠāļāļĢ ( āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ )
m āđāļāļ + m āđāļāļ â m āđāļāļ 0 m āđāļāļ
x = k y = k
( h,k) = āļāļĻāļ. r = āļĢāļĻāļĄ
(h,k) r
āļāļĢāļēāļāļāļēāļĢāļēāđāļāļĨāļē ( āļāļēāļĢāļēāđāļāļĨāļēāļāļ°āļāļĢāļāļāđāļāļāļāļēāļĨāļāļŦāļāļāđāļŠāļĄāļ )
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ x2+ax+by+c = 0 , y2+ay+bx+c = 0 ( āđāļāđāļĄāļāļāļēāļ 3 āļāļ )
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ ( xâh )2 = 4c( yâk ) ( yâk )2 = 4c( xâh )A
C 0 C 0 C 0 C 0
(1) * āļāļĒāļēāļĄ âāļŦāļēāļāļāļ ( āđāļāļāļŠ ) = āļŦāļēāļāđāļŠāļ ( āđāļāđāļĢāļāļāļĢāļāļ ) â
(2) āļāļāļĒāļāļāļāļĒāļāļāļāļ ( h,k ) āđāļĨāļ° āļāļāđāļāļāļŠāļāļ°āļŦāļēāļāļāļēāļāļāļāļĒāļāļ c āđāļŠāļĄāļ
(3) āđāļŠāļāđāļāđāļĢāļāļāļĢāļāļ ( āđāļŠāļāļāļāļāļ ) āļāļāļ°āļŦāļēāļāļāļēāļāļāļāļĒāļāļ c āđāļŠāļĄāļ
(4) āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāļāļēāļĢāļēāđāļāļĨāļē āļ āđāļāļāļŠ ( āļĨāļēāļāļŠāđāļĢāļāļāļĄ ) = 4c
āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĢāļēāđāļāļĨāļē (1) āļĢāļāļāļĒāļāļ ( h,k ) (2) āļĢ C ( āļāļāļĒāļāļ āļāļ āļāļāđāļāļāļŠ āļŦāļĢāļ āļāļāļĒāļāļ āļāļ āđāļŠāļāđāļāđāļĢāļāļāļĢāļāļ ) (3) āđāļāļēāļŠāļāļĢ ( āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ , āļāđāļŦāļāļ§āļēāļāļĢāļāļāđāļāļāļāļ°āđāļĢ )
F F
F F
āļāļēāļĢāļŦāļēāđāļāđāļĄāļ ( Dr ) āđāļĨāļ° āđāļĢāļāļ ( Rr ) āļ§āļāļāļēāļĢāļŦāļēāđāļāđāļĄāļ ( Dr ) (1) āđāļŦāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļ r āđāļĨāļ§āļ projection āļāļāļāļāļĢāļēāļāļāļāđāļāļ x (2) āđāļŦāļāļ y āđāļāđāļāļāļĄ x āđāļĨāļ§āļāļāļē x āļāļāļēāđāļŦ y āđāļāļāļāļĢāļ
āļ§āļāļāļēāļĢāļŦāļēāđāļĢāļāļ ( Rr ) (1) āđāļŦāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļ r āđāļĨāļ§āļ projection āļāļāļāļāļĢāļēāļāļāļāđāļāļ y (2) āđāļŦāļāļ x āđāļāđāļāļāļĄ y āđāļĨāļ§āļāļāļē y āļāļāļēāđāļŦ x āđāļāļāļāļĢāļ
āļāļāđāļ§āļāļĢāļŠāļāļ§āļēāļĄāļŠāļĄāļāļāļ ( râ1 ) āļĄāļŠāļāļāļāļāļāđāļāļāļāļĢāļāļāļ (1) râ1 āđāļāļĒāļāđāļ 3 āđāļāļ 1. āļŠāļĨāļāļŦāļāļē , 2. āļŠāļĨāļāļŦāļĨāļ , 3. āļŠāļĨāļāļŦāļĨāļāđāļĨāļ§āļāļ y āđāļāđāļāļāļĄ x
āđāļāļ r = { (x,y)AB y = 1x }
āđāļāļāļ 1. râ1 = { (y,x)BA y = 1x }
āđāļāļāļ 2. râ1 = { (x,y)AB x = 1y } āđāļāļāļ 3. āđāļāļēāđāļāļāļ 2. āļĄāļēāļāļēāļāļ ( āļĄāļēāļāļ y āđāļāđāļāļāļĄ x )
āļāļēāļ x = 1y x2 = y â 1 , x 0 y = x2+1 , x 0
râ1 = { (x,y)AB y = x2+1 , x 0 }
(2) 1rD = rR āđāļĨāļ° 1r
R = rD āļ
(3) āļāļēāļāļāļāļĢāļēāļ r āļāļēāļĄāđāļāļ§āđāļŠāļāļāļĢāļ y = x āļāļ°āđāļāļāļĢāļēāļ râ1
āļāļēāļĢāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļ r āļ§āļēāđāļāļ f āļŦāļĢāļāđāļĄ ( āđāļĄāđāļāļāđāļāļĒāļāļāļāđāļ 1 āļāļĢāļ !! )
(1) āđāļāļāļĒāļēāļĄ â āļāļē ( x,y1 ) f āđāļĨāļ° ( x,y2 ) f āđāļĨāļ§ y1 = y2 â (2) āđāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļ â f āļāļ r āļ Dr āđāļĄāļāļē â (3) āđāļāļāļĢāļēāļ âāļāļēāļĨāļēāļāđāļŠāļāļāļĢāļāļāļāļēāļāđāļāļ y āļāļāļāļĢāļēāļāđāļāļ 1 āļāļ āļāļ°āđāļĄāđāļāļ f â
āļ§āļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļāļāļāļ f(x) (1) āđāļŦ f(x) āļĄāļē āļāļēāļĒāđ āļāļēāļĄāļ āļ āđāļāļāļāļ
āđāļāļ f(x) = 2x+1 āđāļĨāļ§āļāļ°āđāļāļ§āļē f( ) = 2 + 1 (2) āđāļĄāđāļŦ f(x) āļĄāļē āđāļŦāđāļāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāļāļ§āđāļāļĢ ( āļāļāļ.) āđāļāļ f( 3xâ1 ) = 2âx āļāļāļŦāļē f(x) āđāļŦ 3xâ1 = k āļāļ°āđāļāļ§āļē x = ( k+1)/3 f(k) = 2â( k+1)/3 = ( 6âkâ1 ) / 3
f( ) = ( 5â ) / 3 āļāļāļŠāļĢāļāđāļāļ§āļē f(x) = ( 5âx )/3 āļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ ( Algebra of function ) ( f+g )(x) = f(x) + g(x) ( fâg )(x) = f(x) â g(x)
( fg )(x) = f(x)g(x)
( f/g )(x) = f(x) / g(x) ; g(x) 0
āđāļāđāļĄāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ ( āļŠāļĄāļĒāļāļāļāļāļāļāļāļāļĒ āđāļ PAT āļĒāļāđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ )
Df+g = Dfâg = Dfg = DfDgP P
Df/g =. DfDgâ { xg(x) = 0 }PPP
â āđāļāđāļĄāļāđāļāļēāļāļ§āļāđāļŦāļĄāļāļāļāļ āđāļĨāļ§āđāļĢāļāļāļāļēāļāļāļāļēāļĄāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒ ( āļĒāļāđāļ§āļ f/g āđāļāđāļĄāļāđāļāļēāļāļ§āļāđāļŦāļĄāļāļāļāļ āđāļĨāļ°āļĢāļ°āļ§āļāļāļĒāļēāđāļŦāļŠāļ§āļāđāļāļ 0 â
āļāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļ ( Composite function ) g f fog āļāļēāļāļ§āļē āđāļāđāļĄāļ g āļĒāļāđāļŠāđāļĢāļāļ fP fog = { (a,4),(b,5),(c,6) }
fog āļāļ°āļŦāļēāļāļēāđāļāđāļĄāļ RgDf fog(x) = f(g(x))P
f g gof āļāļēāļāļ§āļē āđāļāđāļĄāļ f āļĒāļāđāļŠāđāļĢāļāļ gP gof = { (1,4),(2,5),(3,5) }
gof āļāļ°āļŦāļēāļāļēāđāļāđāļĄāļ RfDg
gof(x) = g(f(x))P
āđāļāđāļĄāļāđāļĨāļ°āđāļĢāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļ
Dfog = Dfog āļāļŦāļēāđāļ Dg , Rfog = Rfog āļāļŦāļēāđāļ Rf
Dgof = DgofāļāļŦāļēāđāļ Df , Rgof = Rgof āļāļŦāļēāđāļ Rg
a
b
c
1
2
3
4
5
6
a
b
c
1
2
3
4
5
6
āļāļāļāļāļāļāļāđāļ§āļāļĢāļŠ ( āļāļāļāļāļāļāļāļāļ ) ( Inverse function ) (1) āļ§āļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļāļāļāļ fâ1(x) ( āđāļāļāļĒāļāļ°āļĄāđāļ 2 āđāļāļ āļāļ )
āđāļŦ f(x) āļĄāļē â āļŠāļĨāļ x āļāļ y āđāļĨāļ§āļāļ y āđāļāđāļāļāļĄ x âP
āđāļĄāđāļŦ f(x) āļĄāļē â āļāļē f( ) = āđāļĨāļ§ fâ1( ) = âP (2) āļ§āļāļāļēāļĢāđāļāļĒāļ fâ1 â āļāļēāđāļŦāļĄāļāļāļāļēāļĢāđāļāļĒāļ râ1 â
āđāļāđāļĄāļāđāļĨāļ°āđāļĢāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāđāļ§āļāļĢāļŠ
1fD = fR āđāļĨāļ° 1f
R = fD
āļāļĨāļāļāļāļēāļĢāļāđāļāļĒāļ ( AB ) āļāļ āđāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ āļāļāļ§āļŦāļāļēāļĄāļēāļāļēāļ A āđāļĨāļ°āļāļ§āļŦāļĨāļāļĄāļēāļāļēāļ B
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļĄāļāļāļ ( r : AB ) āļāļ āļŠāļāđāļāļāļāļāļāļāļĨāļāļāļāļēāļĢāļāđāļāļĒāļ
āļāļāļ 5. āļāļāļāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
n(A) = mL n(B) = nL
n(AB) = mnL
AB āļĄ 2mn āļŠāļāđāļāļāļŊ
n( r : AB ) = 2mnL
f r L
f : AB Df = A , Rf B
f : AB Df = A , Rf = B
r : AB r AB â1 āļŠāļāđāļāļ = 1 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļĄāļāļāļâ
onto
f āļāļ r āļāđāļāđāļĄāļāđāļĄāļāļē
â āđāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĒ x āđāļāļēāđāļāđāļāļ§āļāđāļĨāļāđāļāđāļĨāļĒāđāļĄāļ§āļēāļāļ°
āđāļāļ + , â , , ( āļāļāļāļĢāļ°āļ§āļāļāļĒāļēāđāļŦāļŠāļ§āļāđāļāļ 0 )â
++
+
Q 1
+ +
â
Q 2
+Q 3
â
â
+
+ â Q 4
āļŠāļāļĢāļĄāļĄāļāļĢāļāđāļāļēāļāļ°āđāļ + āļŦāļĢāļ â āļāļāļāļāļ§āļē
2A
āļāļĒāļāļ§āļāļāļĢāļāļāđāļ
āļ§āļāļāļĨāļĄ 1 āļŦāļāļ§āļĒ ( The Unit Circle ) āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ (1) x = cos , y = sin (2) cos2+sin2 = 1
(3) â1 sin,cos 1
(4) â tan
(5) 180 = rad
(6) = RS
( āļāļāļāļāļŠ/āļĢāļĻāļĄ )
0, 0 30,/6 45,/4 60,/3 90,/2 sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 tan 0 1/ 3 1 3 āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ
āļāļēāļĢāļĒāļāļĄāļĄ
(1) āļĒāļāđāļāļĒāļ x āđāļāļĄāđ āļŦāļēāļāļ§āļāļāļĢāļāļ āļĒāļāđāļ f āđāļāļĄ
(2) āļĒāļāđāļāļĒāļ y āļāļĢāļāđ āļŦāļēāļāļ§āļāļāļĢāļāļ āļĒāļāđāļ Coâf (3) āļĒāļāđāļĄāļāļĄāļĄāļāļāļĨāļ ( āļāļēāļāđāļĄāļāļāļāļāļēāļāđāļ )
sin(â) = âsin , cos(â) = cos , tan(â) = âtanP
āļŠāļāļĢāļĄāļĄāļāļĢāļ°āļāļāļ ( Compound Angle ) sin( AB ) = sinA cosB cosA sinB
( sin , cos , cos , sin āđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĄ )
cos( AB ) = cosA cosB sinA sinB ( cos , cos , sin , sin āđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĨāļĒāļ )
tan( AB ) = BtanAtan1BtanAtan
( āļāļēāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĄ,āļāļēāļāļĨāļēāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĨāļĒāļ )
āļāļāļ 6. āļāļāļāļāļāļāļĢāđāļāļāļĄāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085â999â9449>
(1,0) (â1,0)
(0,1)
(0,â1)
90, /2
180,
270, 3/2
0,0
Sin All
Tan Cos (+,â) (â,â)
(+,+) (â,+)
āļāļ§āļāđāļāļĄ āļĄāļĄāđāļāļ +
āļāļēāļĄāđāļāļĄ āļĄāļĄāđāļāļ â
āļāļ 1 āđāļāļĄ 5
(1) āļŦāļēāļāļ§āļāļāļĢāļāļāļāļāļāļĄāļĄāļāļāļāļēāļĢāļāļē (2) āļ§āļēāļāļĄāļĄāļāļēāļāļāļēāļĄāļāļ§āļāļāļĢāļāļ
āļŠāļāļĢāļĄāļĄ 2 āđāļāļē ( Double Angle ) sin 2A = 2sin A cos A
cos 2A = cos2A â sin2A ( mix ) = 2cos2A â 1 (pure cos) = 1 â 2sin2A (pure sin)
tan2A = Atan1
Atan22
āļŠāļāļĢāļĄāļĄ 1/2 āđāļāļē ( Half Angle )
sin2A
= 2
Acos1 cos
2A
= 2
Acos1 tan
2A
= Acos1Acos1
āļŠāļāļĢāļĄāļĄ 3 āđāļāļē ( Treble Angle ) sin3A = 3sinA â 4sin3A
cos3A = 4cos3A â 3cosA
tan3A = Atan31
AtanAtan32
3
āļŠāļāļĢāļāļĨāļāļ āļāļĨāļāļ§āļ , āļāļĨāļāļēāļ ( 8 āđāļāļāļāļŠāļĢ ) sinA + sinB = 2sin (A+B)/2 cos(AâB)/2 2sinAcosB = sin( A+B ) + sin( AâB )
sinA â sinB = 2cos(A+B)/2 sin(AâB)/2 2cosAsinB = sin( A+B ) â sin( AâB )
cosA + cosB= 2cos(A+B)/2 cos(AâB)/2 2cosAcosB = cos( A+B ) + cos( AâB )
cosA â cosB = â2sin(A+B)/2 sin(AâB)/2 â2sinAsinB = cos( A+B ) â cos( AâB )
āļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĢāđāļāļāļĄāļ (1) āļŦāļēāļĄāļĄāļāļāļēāđāļŦāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāļĢāļ āđāļāļĒāđāļĄāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒ (2) āļāļāļāļĄāļĄāļāļēāļĄāļāļ§āļāļāļĢāļāļāđāļāļĒāļ
Sin All
Tan Cos
â
+ 2â āļāļāđāļ§āļāļĢāļŠāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļĢāđāļāļāļĄāļ ( arc ) (1) āđāļāļ arc āđāļŦāļĄāļāļāđāļāļāļĄāļĄ āļŠāļĄāļĄāļāļĄāļĄ āļ§āļēāļāļŠāļēāļĄāđāļŦāļĨāļĒāļĄ
āđāļāļĒ arcsin(1/2) āļāļēāļāļ§āļē sin āļāļ°āđāļĢāđāļ 1/2 [ a â r = āļāļ°āđāļĢ ] (2) āļŠāļāļĢ arc āļĄāļĄāļāļāļĨāļ ( āļŦāļēāļĄāđāļāļāļĢāļāļĄāļāļēāļĢāđāļāļēāļŦāļĨāļēāļĒāļĄāļĄāļĄāļēāļĢāļ§āļĄāļāļ āļāļāļāđāļāļāđāļāđāļĄāļāļāļ§āļĒ )
arcsin(âx) = âarcsinx , arccos(âx) = âarccosx , arctan(âx) = âarctanx
y = arcsinx , y = arccosx , y = arctanx
[â/2,/2] [â1,1] [0,] [â1,1] (â/2,/2) R
(3) āļŠāļāļĢāļĒāļ arctan actan x+ actan y =
xy1yx
arctan
Law of sin , Law of cosine Law of cosine a2 = b2+c2 â 2bccosA b2 = a2+c2 â 2accosB c2 = a2+b2 â 2abcosC â āđāļāđāļĄāļ āļĢ 2 āļāļēāļ 1 āļĄāļĄ ( āļĄāļĄāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļēāļ )â āļŦāļĢāļ â āļĢ 3 āļāļēāļ â â āđāļāđāļĄāļāđāļĄāđāļ Law of cosine â
c a
A C
B
b
Law of sine
aAsin
= b
Bsin =
cCsin
āļŦāļĢāļ
Asina
= Bsin
b =
Csinc
āļŦāļĢāļ
sinA : sinB : sinC = a : b : c
āļŠāļāļĢ āļāļāļ āđāļāđ = 21
absinC , = 21
acsinB = 21
bcsinA
āļŦāļĨāļāļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĢāļ āđāļāļŦāļĨāļāļāļēāļĢāļĒāļāļāļēāļĨāļ 2 āļŠāļāļāļāļ āđāļāļāļŦāļĨāļ āļāļĢāļ°āļāļāļāļāļ
āđāļāļāļāļāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāļāļ§āđāļāļĢ ( āļāļāļ. ) āđāļāļēāļāļ§āļĒ
āļĢāļēāļāļāļŠāļāļāļāļāļ x 2 y , y2x ( āđāļĄāđāļāļ )
y2x = a b āđāļĄāļ ab = y , a+b = xP
āļĢāļēāļāļāļŠāļāļāļāļāļ x 2 y = ( a b ) P
JUM ! â āļāļāļāļāđāļāļāļ§āđāļ āļāļ§āļāļāļāđāļāļāļ§āļāļāļ â
Ex1. 1528 = 5 + 3
āđāļ āļĢāļēāļāļāļŠāļāļāļāļāļ 8 + 2 15 = ( 5 + 3 )
Ex2. 247 = 627 = 6 â 1
āđāļ āļĢāļēāļāļāļŠāļāļāļāļāļ 7â 24 = ( 6 â 1 )
Ex3. 215 = 2
2125 =
221210
= ( 7 â 3 ) / 2
āļāļāļ 7. āļāļāļāļāļāđāļāļāļāđāļāđāļāļāđāļāļĒāļĨ āđāļĨāļ° āļāļāļāļāļāļĨāļāļāļēāļĢāļāļĄ
(0,1) (0,1)
Exponential Function
f = { (x,y)RR+y = ax , a0 , a1 }P JUM Expo āļāļ°āđāļāļĄāļŦāļĢāļ āļĨāļāļāļāļāļēāļ
āļāļāļāļāļāđāļāļĄ (a1 ) āļāļāļāļāļāļĨāļ ( 0a1 ) 0 1 āļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ Exponential
āļĄ 2 āļāļāļ āļāļē am = an āđāļĨāļ§ m = n âāđāļāđāļĄāļāļāļēāļāđāļāļēāļāļ â āļāļē am = bn āđāļĨāļ§ m = n = 0 âāđāļāđāļĄāļāļāļēāļāđāļĄāđāļāļēāļāļ â
āļāļē am = bn āđāļĨāļ° m n 0 â āļāļāļ take log â āļĄ 3 āļāļāļ ( āđāļāļāļŠāļāđāļāļāļāļāļāļĒ )
â āļāļāļĢāļāđāļĨāļāļāļāļēāļĨāļāļāļāļāļāļĨāļēāļāđāļāļāļāļĢāļāļŦāļāļāļāļāļāļāļāļāļŦāļāļē āđāļĨāļ§āđāļĒāļ factor ( āļāļēāļāđāļāđāļāļāļāļ āļāļāļ. āđāļāļēāļāļ§āļĒ ) â
āļĄ 3 āļāļāļ â āđāļāļāļēāļĢāļāļāļāļāļāļāļ§āļĢāļ§āļĄ + āļāļāļāļēāļĢāđāļĒāļ factor â āļāļēāļĢāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ Exponential āđāļāļŦāļĨāļāļāļēāļĢ f āđāļāļĄ , f āļĨāļ āđāļāļēāļāļ§āļĒ āļāļĨāļēāļ§āļāļ
f āđāļāļĄ ( a 1 ) f āļĨāļ ( 0 a 1 )
āļāļē am an āđāļĨāļ§ m n āļāļē am an āđāļĨāļ§ m n
āļāļē am an āđāļĨāļ§ m n āļāļē am an āđāļĨāļ§ m n
â āđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĄ â â āđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļĨāļĒāļ â
āļŠāļĄāļāļ log ( āļŠāļāļĢ log ) (1)* āļāļē logaM = N āđāļĨāļ§ M = aN ( āļāļāļāļēāļĢāļāļĨāļ log , āļāļāļāļŠ ) (2) loga1 = 0 (3) logaa = 1 (4) log10x = logx
(5) lnx = logex , e 2.7183âĶ (6) logaMN = logaM + logaN ( log āļāļĨāļāļ = āļāļĨāļāļ§āļāļāļāļ log ) (7) logaM/N = logaM â logaN ( log āļāļĨāļŦāļēāļĢ = āļāļĨāļāļēāļāļāļāļ log ) āđāļāļ log5 = log(10/2) = log10 â log2 = 1 â log2
(8) logaM = alogMlog
N
N = alogMlog
= alog
1
M ( āļāļāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāļāļēāļ log )
(9)** pa
Mlog q = qp
logaM ( āļāļāļāļāļāļ , āļĨāļēāļāļāļāļĨāļēāļ )
(10)** Mlogaa = M ( āļāļēāļāđāļāļēāļāļ , āļāļāļāđāļĨāļāļŦāļĨāļ log )
āļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ log (1) log āļāļāđāļāļĒāļ§ āđāļāļāļāļāļēāļĢāļāļĨāļ log , āļāļāļāļŠ
āļāļĨāļēāļ§āļāļ â āļāļē logaM = N āđāļĨāļ§ M = aN â (2) log 2 āļāļ āļāļēāļāļēāļāđāļŦāđāļāļēāļāļ āđāļĨāļ§ āļāļĨāļ log āļāļāļāļ 2 āļāļ āļāļĨāļēāļ§āļāļ â āļāļē logaM = logaN āđāļĨāļ§āļāļ°āđāļāļ§āļē M = N (3)* āļāļĢāļ§āļāļāļēāļāļāļ 2 āļāļāļāļāļĢāļ
1. āļŦāļĨāļ log āļāļāļ 0 2. āļāļēāļ log āļāļāļ 0 āđāļĨāļ° 1 āļāļēāļĢāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ log (1) log āļāļāđāļāļĒāļ§ āđāļāļāļāļāļēāļĢāļāļĨāļ log , āļāļāļāļŠ
f āđāļāļĄ ( a 1 ) f āļĨāļ ( 0 a 1 )
āļāļē logaM N āđāļĨāļ§ M aN āļāļē logaM N āđāļĨāļ§ M aN
āļāļē logaM N āđāļĨāļ§ M aN āļāļē logaM N āđāļĨāļ§ M aN (2) log 2 āļāļ āļāļēāļāļēāļāđāļŦāđāļāļēāļāļ āđāļĨāļ§ āļāļĨāļ log āļāļāļāļ 2 āļāļ
f āđāļāļĄ ( a 1 ) f āļĨāļ ( 0 a 1 )
āļāļē logaM logaN āđāļĨāļ§ M N āļāļē logaM logaN āđāļĨāļ§ M N
āļāļē logaM logaN āđāļĨāļ§ M N āļāļē logaM logaN āđāļĨāļ§ M N SA-RUP â f āđāļāļĄ āļāļĨāļāđāļāđāļĨāļĒ f āļĨāļ āđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāđāļāļāļāļĢāļāļāļēāļĄ âP (3) āļāļĢāļ§āļāļāļēāļāļāļ 2 āļāļāļāļāļĢāļ ( āđāļŦāļĄāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ log )
āļāļāļāļāļāđāļāļĄ (a1 )
(1,0) (1,0)
Logarithmic Function
f = { (x,y)R+Ry = logax , a0 , a1 }P
JUM ! log āļāļ°āđāļāļĄāļŦāļĢāļāļĨāļ āļāļāļāļāļēāļ
āļāļāļāļāļāļĨāļ ( 0a1 ) 0 1
(0,1) (0,1)
y = x y = x expo expo
log
log
1 01
1
000
00
1 03
1
-20-1
24
1 03
1
-20-1
24
1 03-124
3+0+4 = 7
-24+0+0 = -24
a1 b1 c1
a2 b2 c2a3 b3 c3
k1 b1 c1
k2 b2 c2k3 b3 c3
a1 b1 c1
a2 b2 c2a3 b3 c3
k1 c1
k2 c2k3 c3
a1
a2a3
a1 b1 c1
a2 b2 c2a3 b3 c3
k1
k2k3
a1
a2a3
b1
b2b3
āđāļĢāļāļāļāļāļāļēāļāđāļāļĒāļ§āļāļāđāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ
āļĄāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļāļ ( āđāļāļ§āļŦāļĨāļ ) â āđāļāļĒāļŦāļĨāļ â āļāļāļĨāļāļāļ â
A = 32322221
131211
aaa
aaa
āļāļēāļĢāļāļāđāļĄāļāļĢāļāļ āđāļāļŦāļĨāļ â āđāļāļ§āļāļ§āļŦāļāļēāļŦāļĨāļāļāļ§āļŦāļĨāļ â āđāļāļāļāđāļāđāļĄāļāļĢāļāļ āļāļāļ°āļāļāļāļāđāļ āļĄāļāļāļ
āļāļĢāļēāļāļŠāđāļāļŠāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļāļ ( At ) â āļŠāļĨāļāđāļāļ§āļŠāļĨāļāļŦāļĨāļ â
āđāļĄāļāļĢāļāļāđāļāļāļĨāļāļĐāļāļāļēāļĢāļāļ ( I )
I =
10
01 , I = JUM IA = AI = AP
āļāļāđāļ§āļāļĢāļŠāļāļēāļĢāļāļ ( Aâ1 ) JUM Aâ1A = AAâ1 = IP
āļāļē A =
dc
ba āđāļĨāļ§ Aâ1 =
ac
bd
Adet1
āđāļĄāļāļĢāļāļāđāļāļāļāļēāļ det = 0 āļŦāļē Aâ1 āđāļĄāđāļ
āđāļĄāļāļĢāļāļāđāļĄāđāļāļāļāļēāļ det 0 āļŦāļē Aâ1 āđāļ
āļāļāļ 8. āļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāđāļŠāļ āđāļĨāļ° āđāļĄāļāļĢāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor
āļŠāļĄāļāļāļāļāļāļēāļāđāļāļĒāļ§āļāļāđāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ 1. AB āđāļĄāļāļēāđāļāļāļāļāļāđāļāļēāļāļ BA ( āđāļĄāļĄāļŠāļĄāļāļāļŠāļĨāļāļāļāļēāļĢāļāļ )
2. (AB)t = At Bt 3. (AB)â1 Aâ1Bâ1 4. (AB)t = BtAt 5. (AB)â1 = Bâ1Aâ1
6. ( kA )â1 = (1/k)Aâ1 7. (kA)t = kAt
8. ( At )t = A 9. ( Aâ1 )â1 = A 10. ( Aâ1 )t = ( At )â1 11. A(B+C) = AB+AC
āļŠāļāļĢ det āļāļāļāļāļĢ 1. āļāļē A = B āđāļĨāļ§ detA = detB 2. detAB = detAdetB
3. det ( An ) = ( det A )n 4. det(AB) detAdetB 5. det At = det A 6. det Aâ1 = 1 / detA
7. āļāļē A āļĄāļĄāļ nn āļāļ°āđāļ det( kA ) = kndetA 8. āļāļēāđāļāļ§ āļŦāļĢāļ āļŦāļĨāļāđāļāđāļāļāļĻāļāļĒāļŦāļĄāļāļāļāļāļ§ det = 0 9. āļāļēāļŠāļĨāļāđāļāļ§ āļŦāļĢāļ āļŠāļĨāļāļŦāļĨāļāļāļ det āđāļŦāļĄ = â det āđāļāļĄ 10. āļāļēāļāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļāļāļāļ§ , āļāļēāļāļāļāļāļ det āļāļāđāļāđāļāļ§āļŦāļĢāļāļŦāļĨāļāđāļāļĒāļ§
āļāđāļāļāļĢāļĄāļāļāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļāļ ( Det )
22 āđāļāļŦāļĨāļāļāļēāļĢ â āļāļāļĨāļ â āļāļāļāļ â
A =
dc
ba , detA = A =
dc
ba = ad â bc
33 āđāļŦāļāļāđāļāļāļ 2 āļŦāļĨāļ āđāļĨāļ§āļ â āļāļāļĨāļ â āļāļāļāļ â A = detA =
det A = â āļāļāļĨāļ â āļāļāļāļ â = 7â(â24) = 31 nn det A = aijcijP ( āđāļāļĒāļāļāļ 1 āļāļĢāļ ) ;
aij = āļŠāļĄāļēāļāļāđāļāļ§ i āļŦāļĨāļ j , cij = āđāļāđāļāļāđāļāļāļĢāļāļāļāļŠāļĄāļēāļāļāđāļāļ§ i āļŦāļĨāļ j
āđāļĄāđāļāļāļĢ Mij(A) , āđāļāđāļāļāđāļāļāļĢ Cij(A) , adj(A) , Aâ1
Aâ1 = Adet
adjAP
adjA = [ cof A ]tP
cofA =
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
Cij(A) = (â1)i+jMij(A)P
Mij(A) = det āđāļĄāļāļāļāđāļāļ§āļ i āļŦāļĨāļāļ j āļāļāļ
Aâ1 = āđāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļāļ adjA = āđāļĄāļāļĢāļāļāļāļāļāļ
JUM adjA āļāļāļāļŠāļāļāđāļ 3 āļŠāļāļĢ āļŠāļāļĢāļ 1. adjA = [ cof A ]tP
āļŠāļāļĢāļ 2. adjA = Aâ1detAO
āļŠāļāļĢāļ 3. det(adjA) = (detA)nâ1 P
cofA = āđāļĄāļāļĢāļāļāļāļĄāļŠāļĄāļēāļāļāđāļāļ cij(A)
Cramerâs Rule ( āļāļāļāļāļāļāļĢāļēāđāļĄāļāļĢ ) a1x+b1y+c1 = k1 JUM (1) āļŦāļē det 4 āļāļĢāļ a2x+b2y+c2 = k2 (2) āļŠāļ§āļ āļāļ det āļāļāļāđāļĄāļāļĢāļāļ āļŠāļāļŠ. a3x+b3y+c3 = k3 (3) āđāļāļēāļāļēāļāļāļāđāļāļāļĨāļāļŦāļĨāļ 1,2,3 āđāļāļāļŦāļē x,y,z āļāļēāļĄāļĨāļēāļāļ
x = , y = , z =
āđāļāļĨ = āđāļāļĨ
āđāļāļĨāđāļāļĨ
āđāļāļ§ āļŦāļĨāļ
A B C mn pq mq
Rowâoperation ( āļāļēāļĢāļāļēāđāļāļāļāļēāļĢāļāļēāļĄāđāļāļ§ āđāļāļĒāļāļāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļēāđāļ 3 āļāļĒāļēāļ )
(1) Rij āļāļāļāļēāļĢāļŠāļĨāļāđāļāļ§ i āļāļ j (2) kRi (3) Ri kRj ; k RP
āđāļāļĒ Row â operation āļĄāļāļĢāļ°āđāļĒāļāļāļāļāļ (1) āđāļ§āļāļēāđāļŦāļŦāļē det āđāļāļāļēāļĒāļāļ āđāļāļĒ R.O. āļāļ°āļāļēāđāļŦāļĄ 0 āđāļĒāļāļ°āđ ( āđāļāđāļāļāļ (3) )
1.1 āļāļĒāļēāļāđāļāļĨāļĒāļāđāļāļ§āđāļŦāļāđāļāļĒāļ Ri āđāļ§āļāļēāļĒāđāļāļ§
1.2 āļāļĨāļĒāļāđāļāļĒ Ri kRj ; k R
(2) āđāļ§āđāļāļŦāļē Aâ1 [ A I ] ~ [ I Aâ1]P
(3) āđāļ§āđāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ [ A k ] ~ [ I X ]P
â āļāļāļāđāļāļāļ 3 āļāļ āļāļāļ Rowâoperation āđāļĨāļ°āļāļĒāļēāļĨāļĄāđāļāļĨāļāļāļēāļĄāļ Pâ1 āļŠāļāļāđāļĄāļāļāļāļēāļĒāđāļĢāļāđāļāļāļēāļāđāļāđ â
ab
abc
B(â1,2,0) A(â1,2)
B(3,â1 )
A(2,â2,5 )
4-3
3-45
U
V
VU
VU
U
V
U
V
u =
= a i +b j
u =
= a i +b j +c k
āļāļāļēāļ vector
u = 22 ba u = 222 cba
Vector 1 āļŦāļāļ§āļĒ
āļāļĄāļāļĻāđāļāļĒāļ§ āļāļ u
uu
= 22 ba
jbia
uu
= 222 cba
kcjbia
āļāļāļ 9. āđāļ§āļāđāļāļāļĢāđāļāļŠāļēāļĄāļĄāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āđāļĢāļāļāļāļāļāļēāļāđāļāļĒāļ§āļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāđāļāļŠāļēāļĄāļĄāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ 1. āļāļēāļĢāļāļāļāļāļēāđāļŦāļāļ āļ§āļāļāļēāļāļāļĻāđāļŦāļāļāđāļāļāļŦāļĨāļāđāļāļāļĻāļāļēāļĄāđāļāļĄ 2. āļāļēāļĢ + , â vector āļāļ§āļĒāļĢāļāļ āļēāļ â āđāļŦāļāļē vector āļāļāļ°āļāļēāļĄāļēāļāļ§āļāļāļāđāļāļĒāļāļāļāļāļāđāļāļāļŦāļēāļâāļāļâāļŦāļ§ āļĨāļēāļāļāļēāļāļŦāļēāļāļāļ§āđāļĢāļāđāļāļŦāļ§āļāļ§āļŠāļāļāļēāļĒāđāļāļāļāļĨāļāļ§āļ vector āļāļāļŦāļĄāļ â 3. āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĻ ( āđāļĢāļĒāļāļāļ ) vector āđāļāļĢāļ°āļāļāđāļāļāļĄāļĄāļāļēāļ
āļāļĒāļēāļāļāļĢāļ°āļāļēāļĻ vector āļāļāļāđāļ§ âāļāļĨāļēāļĒ â āļāļ â AB = ( 3â(â1) ) i +( (â1)â2 ) j
AB = 4 i â3 j = BA = ( 2â(â1) ) i +( (â2)â2 ) j +( 5â0 ) k
BA = 3 i â4 j +5 k =
4. āļāļēāļ u = k v āļāļ°āđāļāļ§āļē (1) u / / v (2) u = k v (3) k 0 , u āļŠāļ§āļāļāļēāļ v āđāļ āļāļē k 0 , u āļāļĻāđāļāļĒāļ§āļāļ v
5. āļāļēāļ a u = b v āđāļāļĒāļ u āđāļĄāļāļāļēāļ v āđāļĨāļ° u , v 0
āļāļ°āđāļāļ§āļē a = b = 0 ( āļāļāļĢāļ u = vab āđāļĄāđāļ āđāļāļĢāļēāļ°āļĄāļāđāļĄāļāļāļēāļāļāļ )
āļāļēāļĢāļŠāļĢāļēāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ
āļāļĨāļāļāđāļāļāļŠāđāļāļĨāļēāļĢ ( Scalar Product or Dot product )
2 āļĄāļ ( 2âD ) āļāļē u = a i +b j , v = c i +d j
u v = ac+bd âāļŦāļāļē i āļāļāļāļ + āļŦāļāļē j āļāļāļāļ â
u v = u v cos â āđāļāđāļĄāļāļĢāļĄāļĄāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ u āļāļ v â
3 āļĄāļ ( 3âD ) āļāļē u = a i +b j +c k , v = d i +e j +f k
u v = ad+be+cf âāļŦāļāļē i āļāļāļāļ +āļŦāļāļē j āļāļāļāļ +āļŦāļāļē k āļāļāļāļâ
u v = u v cos â āđāļāđāļĄāļāļĢāļĄāļĄāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ u āļāļ v â
āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļĄāļĄāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ () āļāļāļāļāļĒāđāļāļāļ§āļ 0â180 āđāļāļēāļāļ āđāļĨāļ°āļāļāļāļĄāļĄāđāļāļĨāļāļĐāļāļ°āļŦāļēāļāļāļāļāļ
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĄāđāļāļĄāđāļāļĒāļ§āļāļ āļāļĨāļāļāđāļāļāļŠāđāļāļĨāļēāļĢ
1. āļāļē u v āđāļĨāļ§āļāļ°āđāļāļ§āļē u v = 0 ( cos90 = 0 ) āļāļāļāđāļ§āđāļĨāļĒāļāļ°āļ§āļē â āļāļāļāļēāļāļāļ dot āļāļ = 0 ( āļāļāļāļŠāļāļāļāļāļĒāļĄāļēāļ ) â
2. u v = v u ( āļāļēāļĢ dot āļŠāļĨāļāļāļāļēāļĢāļāļāđāļāđāļ cross āļŠāļĨāļāđāļĄāđāļāļāļ° ) 3. āļāļēāļĢ dot āļāļēāđāļāđāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļāļāļŦāļāļēāļĄ ( āļāļāļāļāļāļāļĒāļĄāļēāļ )
u u = u 2 â āļāļ§āđāļāļ dot āļāļ§āđāļāļāđāļāļāļāļēāļāļāļ§āđāļāļāļāļēāļĨāļāļŠāļāļ â
( u + v )( u + v ) = u + v 2 = u 2 +2 u v + v 2 (2 u â v )(2 u â v ) = 2 u â v 2 = 4u 2 â4 u v + v 2
4. â āļāļĒāļēāļāļĢāļĄāļĄāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļāđāļ āđāļŦāļāļāļĄāļ dot āļāļ â
āļāļēāļ u v = u v cos
āļāļ°āđāļāļ§āļē cos = vuvu
āļŦāļĢāļ = arccos vuvu
P
āļāļĨāļāļāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ ( Cross Product or Vector product ) 3 āļĄāļ ( 3âD ) āļāļē u = a i +b j +c k , v = d i +e j +f k
u v =
fed
cba
kji
â āļāļēāđāļŦāļĄāļāļ det 33 āļāļāļĨāļ â āļāļāļāļ â
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĄāđāļāļĄāđāļāļĒāļ§āļāļāļāļĨāļāļāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ
1. u v āļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļāļāļāļāļēāļāļāļ u āđāļĨāļ° v
2. u v = â( v u ) [u v = v uāļāļāļēāļāđāļāļēāđāļāļāļĻāļāļĢāļāļāļēāļĄ ] 3.* āļāļēāļāļāļ 1. āđāļĨāļ° āļāļ 2. āļāļ°āđāļāļ§āļē
āđāļ§āļāđāļāļāļĢ 1 āļŦāļāļ§āļĒāļāļāļāļāļēāļāļāļāļāļ u , v = vu)vu(
P
4. uu = 0 ( āđāļĄāļāļĢāļāļāļ 2 āđāļāļ§(āļŦāļĨāļ) āđāļāļāļēāļāļ det = 0 )
5. u v = āļāļāļ āļāļēāļāļāļāļēāļāļāļĄ u , v āđāļāļāļāļēāļāļāļĢāļ°āļāļ
6. u ( v w ) = āļāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļāļāļāļĢāļ āļāļēāļāļāļāļēāļ ( āļāļĢāļāļāļ ) āļāļĄ u , v , w āđāļāļāļāļēāļāļĢāļ°āļāļāļ
āļ§āļāļĨāļ* āļāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļĢāļāļāļ = det āļŠāļēāļĄāļāļ§ P ( āđāļ§āļĨāļēāļāļāļāļĢāļĄāļēāļāļĢāļāļĢāļāļāļāļāļ°āđāļĢāļĒāļāļĨāļēāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļāļĒāļēāļāđāļĢāļāđāļ )
V
U
U
V
W
āļāļāļ 10. āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āđāļĢāļāļāļāļāļāļēāļāđāļāļĒāļ§āļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ 1. in = i , â1 , âi , 1 āđāļāļĒāļāļē n āļŦāļēāļĢ 4 āđāļĨāļ§āļāđāļĻāļĐāļāđāļŦāļĨāļ āđāļāļĒ āđāļŦāļĨāļāđāļĻāļĐ 1 āļāļāļ i , āđāļŦāļĨāļāđāļĻāļĐ 2 āļāļāļ â1 āđāļŦāļĨāļāđāļĻāļĐ 3 āļāļāļ â i , āđāļŦāļĨāļāđāļĻāļĐ 0 ( āļŦāļēāļĢāļĨāļāļāļ§ ) āļāļāļ 1 2. z = a+bi , āļŠāļ§āļāļāļĢāļ Re(z)= a , āļŠāļ§āļāļāļāļāļ āļēāļ Im(z) = b
āđāļāļ z = 2â3i , Re(z) = 2 , Im(z) = â3 3. āļŠāļāļĒāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ â āļāļĨāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒāļŦāļāļē i â āļāļē z = a+bi āđāļĨāļ§ z = aâbi āđāļāļ z = 2â3i , z = 2+3i
21 zz = 1z 2z , 21 zz = 1z 2z , 21 z/z = 1z / 2z
āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļāļāļāļāļāđāļāļāļāļ§ ( Polar Form )
z = a+bi z ( cos +isin ) z cisP
1. āļŦāļē z āļāļēāļāļŠāļāļĢ z = 22 ba
2. āļŦāļē āļāļēāļāļŠāļāļĢ tan = b/a ( āđāļĄāļāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒ )
3. āļāļāļ āļāļēāļĄāļāļ§āļāļāļĢāļāļ ( All â Sin â Tan â Cos )
( āđāļāļāļĢāļ z āļĄāđāļ a , b āļāļĒāļēāļāđāļāļĒāļ§ āļāļāļ āļāļēāļĄāļĄāļĄāļāļĢāļ°āļāļēāđāļāļ x, y ) āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļāļēāļĢāļāļ§āđāļĄāļāļ āļāļ āļĄāļĄāļāļāļēāļĄāļŦāļĨāļ cis āļŦāļĢāļ āļāļāđāļāļ
āļāļĢāļēāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ ( āļŠāļ§āļāđāļŦāļāđāļāļāļāļĢāļēāļāļ§āļāļāļĨāļĄ ) â āđāļāļ z āđāļŦāđāļāļĨāļĒāļāđāļāļ x+yi āđāļĨāļ§āļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļŦāļĄāļāļāļ āļēāļāļāļāļāļĢāļ§āļĒ â
āļāļēāļĢ +, â , , āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ z1 = 2â3i āđāļĨāļ° z2 = â1+2i z1+z2 = [ 2+(â1) ]+[ (â3)+2 ]i = 1 â i z1âz2 = [ 2â(â1) ]+[ (â3)â2 ]i = 3 â 5i
z1z2 ( āļāļēāđāļŦāļĄāļāļāļāļēāļĢāļāļāļāļŦāļāļēāļĄ ) = ( 2â3i )( â1+2i ) = â2 + 4i + 3i â 6i2 = â2+7i+6 = 4 + 7i
z1 / z2 (āļāļēāļāļāļāļāđāļāļāļāļāļāļŠāļ§āļāļāļāđāļāļāļāđāļĨāļ°āļĨāļēāļ āļāļē z z = a2+b2)
= i21
i32
i21i21
= 22 2)1(i8
= 58
â51
i
āļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļ āđāļĨāļ° āļŠāļĄāļāļāļāļēāļŠāļĄāļāļĢāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ
āļāļē z = a+bi āđāļĨāļ§ z = 22 ba
āđāļāļ z = 2â3i , z = 22 )3(2 = 13
z1z2 = z1z2 , 2
1
zz
= 2
1
z
z , z1z2 z1z2
zn = zn , z = z , z z = a2+b2 = z2 P
āđāļāļ z = 2â3i z z = 22+(â3)2 = 13
āļĢāļ°āļ§āļāđāļĄāđāļŦāļĄāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ 221 zz 2
2212
1 zzz2z 2
21 zz = ( z1+z2 )( 21 zz ) = ( z1+z2 )( 21 zz )
= 221221
21 zzzzzz
āļāļēāļāļ§āļāļāļāļāļ āļēāļāđāļ āļāļ āļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļāļāļŠāļ§āļāļāļĢāļ = 0 āđāļāļ 2i
āļāļāđāļ§āļāļĢāļŠāļāļēāļĢāļāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ (zâ1)
āļŠāļĄāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļāļāļāļāļāđāļāļāļāļ§
āļāļē z1 = z1 cis1 , z2 = z2 cis2
z1z2 = z1z2 cis( 1+2) â āđāļāļāļāļ§āļāļāļāļāļāļāļēāļāļāļāļāļāļĄāļĄāļāļ§āļāļāļ â
z1 / z2 = 2
1
z
z cis( 1â2) â āđāļāļāļāļ§āļŦāļēāļĢāļāļāļāļāļēāļāļŦāļēāļĢāļāļāļĄāļĄāļĨāļāļāļ â
zn = zn cisn , n I âāļāļĪāļĐāļāļāļāļāļāļāđāļāļāļĄāļ§āļ âP āļĢāļ°āļ§āļ !!! āļāļē n āđāļāļāđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļāļ°āđāļāļāđāļĢāļāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļēāļāļ n
āļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļēāļāļ n āļāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļāļāļāļ āđāļāļāļ 1. āđāļĄāļĄ i āđāļāļāļēāļĢāđāļĒāļ factor āđāļāļāļŦāļĨāļ
āđāļāļāļ 2. āļĄ i āļĢāļēāļāļāļŠāļāļ z1/2 = z =
i2
az2
az
āļĢāļēāļāļ 2 āđāļāļāļēāļĢāđāļĒāļ factor ( āļāļēāđāļĒāļāđāļ ?!? )
āļāļēāđāļĒāļāđāļĄāđāļ z1/n = z1/ncis
nk2 ÏÎļ
, k 0,1,2,âĶ,nâ1P
Tip â āļĢāļēāļāđāļĢāļāđāļŦāļĄāļāļāđāļāļāļĄāļ§āļ (Z0 = z1/ncisnÎļ
) āļĢāļēāļāļāļāđāļāļĄāļ§āđ +āļāļ§āļĒn
2Ïâ
āļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄ ( Polynomial equation )
āļāļēāļĨāļ 2 āđāļĒāļ factor , āļāļēāđāļĒāļāđāļĄāđāļāđāļāļŠāļāļĢ x = a2
ac4bb 2
āļāļēāļĨāļ 3 āļāļāļāļāļāļāļ§āļĢāļ§āļĄ āļŦāļĢāļ āļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ ( Synthetic Division ) Tip āļŦāļēāļĢāļŠāļāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ (1) āļāļēāļāļĨāļĢāļ§āļĄāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļ = 0 â 1 āđāļāđāļ â (2) āļāļēāļāļĨāļĢāļ§āļĄāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļŠāļĨāļāļāļāđāļāļēāļāļ â â1 āđāļāđāļ â
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĒāļ§āļāļāļ āļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄ 1. āļāļĪāļĐāļāļāļāļ z āļāļ z āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļāļēāļĄāļāļ āļŠāļāļŠ.āļāļāļāļ§ R
āļāļē z = a + bi āđāļāļāļāļēāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ z = a â bi āđāļāļāļāļēāļāļāļāļāļ§āļĒāļ
āđāļāļ āļāļēāđāļāļāļĒāļāļāļāļ§āļē 2âi āđāļĨāļ° 3i āđāļāļāļāļēāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ f(x) = 0 āđāļāļĨāļ§āļē f(x) = a [ xâ( 2âi ) ] [ xâ( 2+i ) ] [ xâ( 3i ) ] [ xâ(â3i ) ] = a [ ( xâ2) âi ] [ ( xâ2)+i )] ( xâ3i ) ( x+3i ) āļĢāļ°āļ§āļ!! āļŠāļāļŠ. āļŦāļāļēāļŠāļāļāļēāđāļāļāļĒāđāļĄāļāļāļāļĄāļēāļŦāļēāļĄāļāļāļ§āļē = 1
( āđāļāđāļāļāļĒāļāļ°āļĄāđāļāļāļāđāļāđāļŦāļĨāļāđāļŦāļŦāļē āļŠāļāļŠ.āļāļ§āļŦāļāļēāđāļāļ ) 2. āļāļāļāļāļāļ§āļ xn+axnâ1+bxnâ 2+ ... + z = 0 ( āļŦāļāļēāļŠāļāļāļāļāđāļāļ 1 āļāļ° ) āļāļ°āđāļ āļāļĨāļāļ§āļāļāļēāļāļāļāļāļāļŦāļĄāļ = âa
āļāļĨāļāļāļāļēāļāļāļāļāļāļŦāļĄāļ = z , n āđāļāļāļāļēāļāļ§āļāļ = âz , n āđāļāļāļāļēāļāļ§āļāļ
z1
z 1
āļāļāļ 11. āļĨāļēāļāļ āđāļĨāļ° āļāļāļāļĢāļĄ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āļĨāļēāļāļāđāļĨāļ°āļāļāļāļĢāļĄāđāļĨāļāļāļāļ â āļāļ§āļē â āļāļēāļĒ = āļāļēāļāļāļ (d ) â an = a1 + (nâ1)dd
Sn = 2n
( a1+an ) = 2n
[ 2a1+(nâ1)d ]P
āļĨāļēāļāļāđāļĨāļ°āļāļāļāļĢāļĄāđāļĢāļāļēāļāļāļ â āļāļ§āļē āļāļēāļĒ = āļāļēāļāļāļ ( r ) â
an = a1rnâ1 , Sn =
r1)r1(a n
1
, S = r1
a1
, r 1P
āļŠāļĄāļāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ
(1)
N
1ic = Nc âāļāļēāļāļāļāđāļāļāļēāļāļāļāļāļ Nâ ,
6
1i5 =5(6) = 30
(2)
N
1iikx =
N
1iixk â āļāļēāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāđāļ â , 5x = 5x
(3)
N
1iii )yx( =
N
1ii
N
1ii yx â āđāļāļāđāļāđāļāđāļāļ, āđāļĄāđāļ â
āļŠāļāļĨāļāļĐāļ āļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒ āļĢāļāļĒāļ āļŠāļāļĢ
n
1ii 1+2+ âĶ +n n
2)1n(n
n
1i
2i 12+22+âĶ+n2 2n 6
)1n2)(1n(n
n
1i
3i 13+23+âĶ+n3 3n 22 ]2
)1n(n[]n[
āļĨāļĄāļāļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļāļāļ nn
alim
1. āđāļŦāđāļāļāļāļē n = āļĨāļāđāļ an āđāļāļāļēāđāļāļēāđāļĢāļāļāļāļāđāļāļēāļāļ āđāļāļĒāļ
0k
= , k
= 0 , k
= , k0
= 0
2. āļāļēāđāļāļāđāļĨāļ§āđāļāļāļēāđāļāļ 00
,
, â āļŦāļēāļĄāļŠāļĢāļ! āđāļŦāļĢāļāļāļēāļāļāđāļāļĒ
2.1 āļāļāļāļ§āļĢāļ§āļĄ 2.2 āđāļĒāļāđāļāļāđāļāļāļĢ 2.3 āļāļāļāļ§āļĒāļāļāļāļāđāļāļ 3. āđāļāļāļĢāļāļ an āļāļĒāđāļāļĢāļāļāļāļāļāļāļāļĢāļĢāļāļĒāļ° āđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļ
3.1 āļāļēāļāļāļĢāļŠāļāļŠāļāļāļāļāđāļĻāļĐ āļŠāļ§āļ āļāļāļ āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ ( ,â ) 3.2 āļāļēāļāļāļĢāļŠāļāļŠāļāļāļāļāđāļĻāļĐ = āļŠāļ§āļ āļāļāļ āļŠāļāļŠ. / āļŠāļāļŠ.
3.3 āļāļēāļāļāļĢāļŠāļāļŠāļāļāļāļāđāļĻāļĐ āļŠāļ§āļ āļāļāļ 0 4. āđāļāļāļĢāļāļ an āļāļĒāđāļāļĢāļāđāļĻāļĐāļŠāļ§āļ expo āđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļ
4.1 āļāļēāļāļēāļāļŠāļāļŠāļāļāļāļāđāļĻāļĐ āļŠāļ§āļ āļāļāļ āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ ( ,â ) 4.2 āļāļēāļāļēāļāļŠāļāļŠāļāļāļāļāđāļĻāļĐ = āļŠāļ§āļ āļāļāļ āļŠāļāļŠ. / āļŠāļāļŠ.
4.3 āļāļēāļāļēāļāļŠāļāļŠāļāļāļāļāđāļĻāļĐ āļŠāļ§āļ āļāļāļ 0
āļāļāļāļĢāļĄāļāļēāļāļ ( āļāļĨāļāļ§āļ n āļāļāļāļĒāļāļĒ , Sn )
1. āļāļāļāļĢāļĄāļāļēāļāļāļāđāļāļāļāļēāļāļāļēāļĢ take ( Sn = an )
āļāļēāļāļāļĒāļēāļĄāļ§āļē Sn = a1+a2+âĶan āļāļāļŠāļĢāļāđāļāļ§āļē Sn = anP
âāļāļāđāļĢāļāļŦāļē an āļāļāļ , take ,āđāļāļŠāļāļĢ n , 2n , 3n āđāļāļēāļāļ§āļĒâ 2. āļāļāļāļĢāļĄāđāļĨāļāļāļāļāļāļēāļāļ
Sn = 2n
( a1+an ) , āđāļāđāļĄāļāļĢ an , Sn = 2n
[ 2a1+(nâ1)d ] , āđāļāđāļĄāļāļĢ dP
3. āļāļāļāļĢāļĄāđāļĢāļāļēāļāļāļāļāļēāļāļ Sn = r1
)r1(a n1
, r 1P
4. āļāļāļāļĢāļĄāđāļĒāļāđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļĒāļāļĒ ( āđāļāļāļ n āļāļĒāļāļŠāļ§āļ ) āđāļāļ
Sn = 53
1
+75
1
+ âĶ ( 2 āļāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļ āļāļ āļāļāļ āļāļēāļĒ )
Sn = 51
1
+73
1
+ âĶ ( 2 āļāļāļāđāļāļāļāļāļāļēāļĄāļāļāļ āļĒāļēāļāļŦāļāļāļĒ )
Sn = 432
1
+543
1
+ âĶ ( 3 āļāļāļ āļāļāļāļĒāļēāđāļāļāļāļāļāļēāļĄāļāļāļ! )
āđāļŦāļāļ an=
āļāļ§āļŦāļĨāļ1
āļāļ§āļŦāļāļē1
d1
, an=
āļāļ§āļŦāļĨāļ21
āļāļ§āļŦāļāļē21
d1
āļĄāļāļāļ°āđāļāļāđāļĨāļāļāļāļ āļāļāļāđāļāļāđāļĢāļāļēāļāļāļ
āļāļāļāļĢāļĄāļāļāļāļ ( āļāļĨāļāļ§āļāļāļāļāļĢāļĄāļāļāļāļ , nn
Slim
, S )
1. āļāļāļāļĢāļĄāļāļāļāļāļāđāļāļāļāļēāļāļāļēāļĢ take
an an = Sn nn
Slim
= S
āļāļē nn
Slim
, S āļŦāļēāļāļēāđāļ āļāļ°āđāļĢāļĒāļāļ§āļē â āļāļāļāļĢāļĄāļāļāļāđāļ§āļāļĢāđāļāļāļ â
āļāļē nn
Slim
, S āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ āļāļ°āđāļĢāļĒāļāļ§āļē â āļāļāļāļĢāļĄāđāļāđāļ§āļāļĢāđāļāļāļ â
āļāļē nn
alim
āļŦāļēāļāļēāđāļ āļāļ°āđāļĢāļĒāļāļ§āļē â āļĨāļēāļāļāļāļāļāđāļ§āļāļĢāđāļāļāļ â
āļāļē nn
alim
āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ āļāļ°āđāļĢāļĒāļāļ§āļē â āļĨāļēāļāļāđāļāđāļ§āļāļĢāđāļāļāļ â
2. āļāļāļāļĢāļĄāđāļĨāļāļāļāļāļāļāļāļ ( āļāļāļāļāļāļĢāļĄāđāļāļāđāļāđāļ§āļāļĢāđāļāļāļāļŦāļĄāļ āļĒāļāđāļ§āļ 0+0+ .... āļāļāđāļāļāļāļāļāđāļ§āļāļĢāđāļāļāļ āđāļĨāļ°āļĄ āļĨāļĄāļ = 0 )
3. āļāļāļāļĢāļĄāđāļĢāļāļēāļāļāļāļāļāļāļ S = r1
a1
, r 1P
4. āļāļāļāļĢāļĄāđāļĒāļāđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļĒāļāļĒāļāļāļāļ , Teleâscropic āļāļ āļāļēāļĢāļāļēāļāļāļāļĢāļĄāđāļĒāļāđāļĻāļĐāļŠāļ§āļāļĒāļāļĒ ( āļāļēāļāļ ) āļĄāļē take
nlim
( āđāļāļāđāļāļāļāļĄāļēāļāđ āļāļŦāļĨāļāđāļāļāļāļāļāļĒ !! ) 5. āļāļāļāļĢāļĄāļāļŠāļĄāđāļĨāļ â āđāļĢāļāļēāļāļāļ ( A.G.S ) ( āļāļāļāļāđāļāļ )
an = āļŠāļ§āļāđāļĻāļĐ
āđāļ§āļĨāļēāļāļēāđāļŦāđāļāļē 1/r āļāļāļāļĨāļāļ ( āļĨāļāļāļāļ§āļāļāļēāđāļāļĒāļĨāļ°āđāļāļĒāļāđāļāļāļāļāļāļ )
Take Take lim
āļāļāļ 12. āđāļāļĨāļāļĨāļŠāđāļāļāļāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āļ§āļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē )x(flimax
1. āđāļŦāđāļāļ x = a āļĨāļāđāļ f(x) āđāļāļāļēāđāļāļēāđāļĢāļāļāļāđāļāļēāļāļ āđāļāļĒāļ
0k
= , k
= 0 , k
= , k0
= 0
2. āļāļēāđāļāļāđāļĨāļ§āđāļ 00
,
, â āļŦāļēāļĄāļŠāļĢāļ! āđāļŦāļĢāļāļāļēāļāļāđāļāļĒāļāļēāļĢ
2.1 āļāļāļāļ§āļĢāļ§āļĄ 2.2 āđāļĒāļ factor 2.3 āļāļāļāļ§āļĒāļāļāļāļāđāļāļ2.4 āđāļāļāļāļāļāļāđāļĨāļāļāļēāļĨ ( LâHopitalâs Rule ) ( āđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ )
āļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ 1. )x(flim
ax f(x) āļĄāļāļēāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāđāļāļēāđāļĢ āļāļē x āļĄāļāļēāđāļāļĨāđ a
āļāļ°āļŦāļēāļāļēāđāļāļāļāļāđāļĄāļ ( āļĨāļĄāļāļāļēāļĒ = āļĨāļĄāļāļāļ§āļē )
2. )x(flimax
f(x) āļĄāļāļēāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāđāļāļēāđāļĢ āļāļē x a āļāļĒāļāļāđ
3. )x(flimax
f(x) āļĄāļāļēāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāđāļāļēāđāļĢ āļāļē x a āļāļĒāļŦāļāļāļĒāđ
4. f(a) f(x) āļĄāļāļēāđāļāļēāļāļāđāļāļēāđāļĢ āļāļē x = a āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ )x(flim
ax = āļĨāļĄāļāļāļ§āļē , )x(flim
ax = āļĨāļĄāļāļāļēāļĒ
āļāļĒāļēāļĄ f āļāļ°āļāļāđāļāļāļāļāļāļ x = a āļāļāļāđāļĄāļ āļ§āļāļ 1. āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāļāļēāļāļāļ x = a āđāļāđāļāļĒāđāļĄāļĒāļāļāļēāļāļāļē āļ§āļāļ 2. (1) f(a) āļŦāļēāļāļēāđāļ (2) )x(flim
ax āļŦāļēāļāļēāđāļ
(3) (1) = (2) āļāļāļĢāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĨāļāļāļāļāļāļāļāļāļ ( āļāļāļāļāļ.) āļĄ 2 āđāļāļ
1. āđāļāļĒāđāļāļĨāļĒ = 12
12
xx)x(f)x(f
2. āļāļāļ° x āļĄāļāļēāđāļāđ = h
)x(f)hx(flim
0h
āļŦāļĢāļ
( āļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ 1 , āļāļāļāļĢāļāļ 1 , y , f(x) , dxdy
) āđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļāļāļāļ ( āļŠāļāļĢ diff ) 1. āļāļē f(x) = c āđāļĨāļ§ f(x) = 0
2. āļāļē f(x) = xn āđāļĨāļ§ f(x) = nxnâ1 [ f(x) = x ,f(x) = 1 ]
3. āļāļē f(x) = cg(x) āđāļĨāļ§ f(x) = c[ g(x) ]
4. āļāļē f(x) = g(x) + h(x) āđāļĨāļ§ f(x) = g(x) + h(x)
5. āļāļē f(x) = g(x)h(x) āđāļĨāļ§ f(x) = g(x)h(x) + h(x)g(x)
6. āļāļē f(x) = )x(h)x(g
āđāļĨāļ§ f(x) = 2)]x(h[)x(h)x(g)x(g)x(h
7. āļāļē f(x) = [g(x)]n āđāļĨāļ§ f(x) = n[g(x)]n â 1 [g(x)]
8. āļāļē y = fog(x) = f[g(x)] āđāļĨāļ§ y = f[g(x)][g(x)]
āļāļē y = gof(x) = g[f(x)] āđāļĨāļ§ y = g[f(x)][f(x)]
āļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļŠāļāđāļāļ [ f(x) = āļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļŠāļāđāļāļāļ x āđāļāđ ]
māđāļāļ = māļāļŠāļ
āļāļ°āđāļāļ§āļē f(a) = k1
f(b) = k2 x = b x = a
m = k2
m = k1
āļāļēāļŠāļāļŠāļāļŠāļĄāļāļāļ āđāļĨāļ° āļāļēāļāļēāļŠāļāļŠāļĄāļāļāļ āļāļāļ 1. āļŦāļēāļāļēāļ§āļāļĪāļāļāļāļ āđāļāļĒāļāļēāļ§āļāļĪāļāļĄ 2 āļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒ āļāļĨāļēāļ§āļāļ
â āļāļē x āļāļāļēāđāļŦ f(x) = 0 , f(c) = 0
â āļāļē x āļāļāļēāđāļŦ f(x) āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ , f(c) = āļŦāļēāļāļēāđāļĄāđāļ āļāļāļ 2. āđāļĢāļĒāļāļāļēāļ§āļāļĪāļāļāđāļāļāļēāļāļāļāļĒāđāļāļĄāļēāļ āđāļĨāļ§āļāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļ
â āļāļēāļŦāļāļē f(x) āđāļāļ + āļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļāđāļāļāļāļāļāļēāļŠāļāđāļĨāļ§āļŠāļĨāļāđāļāđāļĢāļāļĒāđ
â āļāļēāļŦāļāļē f(x) āđāļāļ â āļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļāđāļāļāļāļāļŠāļāļŠāļāđāļĨāļ§āļŠāļĨāļāđāļāđāļĢāļāļĒāđ â āđāļāļāļĢāļāļāļāļēāļ§āļāļĪāļāļāļēāļāļāđāļāļāļāļēāļāļ§āļāļ āļāļēāļāļāļ°āđāļāļāļāļāđāļāļĨāļĒāļāđāļ§āļē â āđāļāļāļĢāļāļāļāļēāļ§āļāļĪāļāļāļēāļāļāđāļāļāļāļēāļāļ§āļāļ āđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļēāļāļēāļĄāļāļāļ āļāļēāļŠāļāļŠāļāļŠāļĄāļāļĢāļ āđāļĨāļ° āļāļēāļāļēāļŠāļāļŠāļĄāļāļĢāļ āļāļēāļŠāļāļŠāļāļŠāļĄāļāļĢāļ āļāļ āļāļēāļāļŠāļāļāļŠāļāđāļāļāļĢāļĢāļāļēāļāļēāļŠāļāļŠāļāļŠāļĄāļāļāļ
āļāļ āļāļē y āļāļāļāļāļ§āļ āđāļĨāļ° āļāļĨāļēāļĒāļāļ§āļ āļāļēāļāļēāļŠāļāļŠāļĄāļāļĢāļ āļāļ āļāļēāļāļāļēāļāļŠāļāđāļāļāļĢāļĢāļāļēāļāļēāļāļēāļŠāļāļŠāļĄāļāļāļ
āļāļ āļāļē y āļāļāļāļāļ§āļ āđāļĨāļ° āļāļĨāļēāļĒāļāļ§āļ
āđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļāļāđāļāļĢāļ ( āļŠāļāļĢāļāļāļāđāļāļĢāļ )
1. ckxkdx
2. dxxfkdxxkf )()(
3. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
4. cn
xdxx
nn
1
1
āđāļĄāļ n â1
āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļ s(t) , āļāļ§āļēāļĄāđāļĢāļ§ v(t) , āļāļ§āļēāļĄāđāļĢāļ a(t) ( āđāļĄāđāļāļ )
āļāļ§āļēāļĄāđāļĢāļ§ v(t) āđāļāļĒāđāļāļĨāļĒ = 12
12
tt)t(s)t(s
āļāļāļ° t āđāļāđ = s(t) = v(t)
āļāļ§āļēāļĄāđāļĢāļ a(t) āđāļāļĒāđāļāļĨāļĒ = 12
12
tt)t(v)t(v
āļāļāļ° t āđāļāđ = v(t) = a(t) SAâRUP s(t) v(t) a(t)
v(t) = s(t) a(t) = v(t) = s(t)
āļāļēāļĢāđāļĢāļĒāļāļāļāļāļāļāļāļ , āļāļāļāđāļĒāļāļāļ , āļāļāļāļāļē āļāļāļāļāļāļāļ â āļāļĒāļēāļāđāļŦāļāļ°āđāļĢāļāļāļāļāđāļāļēāļĄāļēāļĄāļ â āļāļāļāđāļĒāļāļāļ â āļāļĒāļēāļāđāļŦāļāļ°āđāļĢāđāļĄāļāļāļāļāđāļāļēāļĄāļāđāļāđāļāļĢāļ â āļāļāļāļāļē = ( āļāļēāļ! )/ ( āļāļē! )
āđāļāļ AAABBC āđāļĢāļĒāļāđāļāļāļāļŦāļĄāļ ( 6! ) / ( 3!2! ) āļ§āļ
2
2
dxyd
āđāļāļāļĒāļāļāļŦāļēāļāđāļāļĒāļ§āļāļāļāļāļāļāļāļāđāļāļĢāļ
b
a
)x(f dx f(x) f(x) f(x)PPPPP
â āļ.āļ.āļāļāļāļĨāļāļĄāļāļ§āļĒāđāļŠāļāđāļāļ â āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŠāļāđāļāļ â āļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļŠāļāđāļāļ â āļāļāļĢāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĨāļāļāļ§āļēāļĄāļāļ
y = f(x) āļāļāđāļāļ x â āļŠāļĄāļāļēāļĢ xxx â āļāļ§āļēāļĄāļāļāđāļŠāļāļŠāļĄāļāļŠ â y , , āļāļāļāļāļāļāļāļāļ 2 āļāļāđāļ x = a āļāļ x = b â y â āļāļāļĢāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĒāļāđāļāļĨāļ xxx
â y , dxdy
, āļāļāļāļāļāļāļāļāļ 1
āļāļāļāļāļĢāļĨ( āļāļĢāļāļāļ )āļāļēāļāļāđāļāļ āļāļ āļāļāļāđāļāļĢāļāđāļŠāļĢāļāđāļĨāļ§āđāļĄāļāļāļāļāļ§āļāļāļē c b
a
)x(f dx = F(b) â F(a) , F(x) = dx)x(f
āļāļāļ 13. āļāļ§āļēāļĄāļāļēāļāļ°āđāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āļāļāđāļāļāļāđāļāļāļāļāļāđāļāļĒāļ§āļāļāļāļēāļĢāļāļ ( āļāļāļāļēāļĢāļāļ ) 1. āļāļēāļāļāļāļāļ°āđāļĢ ( āļāļĒāļēāļĒāļēāļĄāļŠāļĄāļĄāļāļāļ§āđāļāļāđāļŦāļāļĒāđāļāđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļāļ ) 2. āļāļēāļāļāļāđāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļāļ ( āļāļ§āļē move āļāļāļĢāļ ) 3. āđāļāļĨāļ°āļāļāļāļāļāļāļēāđāļāļāļ§āļ āđāļāļĒāļ 3.1 āđāļĒāļāļāļāļāļāļāđāļāļāļāļāļēāļĢāļāļ 3.2 āđāļĒāļāļāļĢāļāđāļāļāļāļāļēāļĢāļāļ§āļ ( āļāļēāļāļēāļāļĄāļŦāļĨāļēāļĒāļāļāļāļāļāđāļŦāļāļēāļāļāļāļāļāļāļĄāļāļāļŦāļēāļĄāļēāļāļŠāļāļāļāļāđāļŠāļĄāļ )
āđāļāļāļāļāđāļĢāļĒāļĨ ( Factorial , n! ) , n I+ , I0
n! = n(nâ1)(nâ2)âĶ321P ; 0! = 1! = 1
āļāļēāļĢāđāļĢāļĒāļāļŠāļāđāļāļĨāļĒāļ , nPr nPr =
)!rn(!n
āļ 5P3 = 543 ( āđāļĢāļĄāļ 5 āļāļāļĒ 3 āļāļĢāļ ) 6P2 = 65 ( āđāļĢāļĄāļ 6 āļāļāļĒ 2 āļāļĢāļ )
nPr āļāļ āļāļēāļāļ§āļāļ§āļāđāļāļāļēāļĢāđāļĨāļāļāļāļāļ n āļŠāļāļĄāļēāļāļāđāļĢāļĒāļāļāļāļāļĢāļēāļ§
āļĨāļ° r āļŠāļ āđāļāļĒāđāļĢāļēāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļāļāļāļēāļĢāļāļāđāļāļ nPr āđāļ
āļāļēāļĄāļāļāļ n āļŠāļāļāļēāļĄāļēāđāļĢāļĒāļ ( āđāļŠāļāļāļĢāļ ) āļāļ n āļŠāļāļāļēāđāļ n! āļ§āļ
āļāļāļāļāļāļāļĨāļāļĄāļāļ§āļĒāđāļŠāļāđāļāļ y = f(x)
a b
a c b
y = f(x) a b
y = f(x)
y = f(x)
A = b
a
)x(f dx A = b
a
)x(f dx A b
a
)x(f dx āđāļ A = c
a
)x(f dx + b
c
)x(f dx
āļāļ
āļāļāļāđāļāļĢāļ
āļāļ
āļāļāļāđāļāļĢāļ
āļāļ
āļāļāļāđāļāļĢāļ
āļāļēāļĢāđāļĢāļĒāļāļāļāļāđāļāļāļ§āļāļāļĨāļĄ â fix āđāļ§ 1 āļāļ āđāļĨāļ§āļāđāļŦāļĨāļāļāļāđāļŦāļĄāļāļāđāļĢāļāļāđāļŠāļāļāļĢāļ â
āļāļēāļĄāļāļāļ n āļŠāļāļāļēāļĄāļēāđāļĢāļĒāļ ( āļ§āļāļāļĨāļĄ ) āļāļ n āļŠāļāļāļēāđāļ (nâ1)! āļ§āļ āļāļēāđāļāļāļ§āļāļāļĨāļĄ 3 āļĄāļāļāļēāļāļ§āļāļ§āļ = āļāļĢāļāļŦāļāļāļāļāļāļ§āļāļāļĨāļĄāļāļāļ
āļāļēāļĢāļāļāļŦāļĄ , nCr
nCr = )!rn(!r
!n
10C8 = 10C2 = 12910
8C5 = 8C3 = 123678
nCr āļāļ āļāļēāļāļ§āļāļ§āļāđāļāļāļēāļĢāđāļĨāļāļāļāļāļ n āļŠāļāļĄāļēāļāļāļāļĨāļĄāļāļāļāļĢāļēāļ§āļĨāļ° r āļŠāļ
āđāļāļāļĒāļāļēāļĢāļāļāļŦāļĄāļĨāļēāļāļāļāļāļāđāļĄāļŠāļēāļāļ ( āļĨāļēāļāļāļŠāļēāļāļāđāļāļāļāļāļēāļĢāļāļ )
â āļĄāļāļāļ 5 āļŠāļāļāļēāļĄāļēāđāļĢāļĒāļ 3 āļŠāļāļāļēāđāļ 543 = 60 āļ§āļ
â āļĄāļāļāļ 5 āļŠāļāļāļēāļĄāļēāļāļāļāļĨāļĄ 3 āļŠāļāļāļēāđāļ 5C3 = 1245
= 10 āļ§āļ
āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļ§āļāļāļāļāļāļ
āļāļĒāļēāļĄ āļāļāļāļāļāļāļēāļ A āđāļ B ( f : AB )
Df = A , Rf B ( āđāļāđāļĄāļāļāļāļāđāļāļŦāļĄāļ , āđāļĢāļāļāđāļāđāļĄāļŦāļĄāļ )
āļāļāļāļāļāļāļēāļ A āđāļāļāļ§āļāļ B ( f : AB ) Df = A , Rf = B ( āđāļāđāļĄāļāļāļāļāđāļāļŦāļĄāļ , āđāļĢāļāļāļāļāļāļāđāļāļŦāļĄāļ )
āļāļāļāļāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļ§āļāļāļāļāļāļāļĄāļāļāļ 1. āļāļĢāļāļāđāļāđāļĄāļāđāļŦāļāļĢāļ ( āđāļāđāļĄāļāļāļāļāđāļāļŦāļĄāļ , Df = A ) 2. āđāļĨāļāļāđāļĢāļāļāļāļēāļĄāđāļāļāļāđāļ
onto
āļāļĪāļĐāļāļāļāļāļ§āļāļēāļĄ āļāļēāļāļĨāļĄ !
(a+b)n = nC0anb0 + nC1a
nâ1b1 + nC2anâ2b2 + ..+nCna
0bnP
āļāļēāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĒ ( a+b)n āļāļ°āđāļāļāļāļŠāļāđāļāļāļāļāļ 1. āļāļĢāļ°āļāļēāļĒāđāļ n+1 āļāļāļ 2. āļāļāļĢāļāļ§āļŦāļāļē ( a ) āļāļ°āļĨāļāļĨāļāļāļĨāļ° 1 āļāļēāļ an āļāļāļāļ a0 3. āļāļāļĢāļāļ§āļŦāļĨāļ ( b ) āļāļ°āđāļāļĄāļāļāļāļĨāļ° 1 āļāļēāļ b0 āļāļāļāļ bn
4. āđāļĢāļēāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļŦāļēāļāļāļāļ r+1 āļāļēāļāļŠāļāļĢ Tr+1 = nCran â rbrPP
āļāļēāļĢāđāļāļāļāļĨāļĄāļŠāļāļāļāļ ( āđāļāļ āđāļāļāļĒāļāļēāļĢāļāļāļāļāđāļāļēāļŦāļāļ ) 1. āļāļāļāļĨāļĄāļĄāļāļēāļāļ§āļāļŠāļāļāļāļāđāļĄāđāļāļēāļāļ = āļāļēāļ ! / āļāļē ! 2. āļāļēāļāļāļĨāļĄāļĄāļāļēāļāļ§āļāļŠāļāļāļāļāđāļāļēāļāļ = āļāļēāļ ! / ( āļāļē! )( āļāļēāļāļĨāļĄ! )
= 5! / 3!2! = 6!/ 3!3!(2!)
āļāļ§āļēāļĄāļāļēāļāļ°āđāļāļ ( Probability , P(E) )
P(E) = )S(n)E(n
= āļāļāļŦāļĄāļāļŠāļāđāļ
P
n(E) = āļāļēāļāļ§āļāđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļāđāļĢāļēāļŠāļāđāļ ( E S ) n(S) = āļāļēāļāļ§āļāđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļāđāļāļāļāļŦāļĄāļ ( āđāļāļāđāļāļāđāļĄāļĄāđāļāļāļāđāļ )
āļŠāļĄāļāļāļāļāļ§āļĢāļāļĢāļēāļ
(1) P(E) = 1 â P(E) (2) 0 P(E) 1 , 0% P(E) 100% āļāļ§āļēāļĄāļāļēāļāļ°āđāļāļ 2 āđāļŦāļāļāļēāļĢāļ āļĄ 2 āđāļāļ (1) 2 āđāļŦāļāļāļēāļĢāļāđāļāļĒāļ§āļāļāļāļāļ āđāļāđāļāļāļ āļēāļāđāļ§āļāļ â āļāļāļĒāđāļĨāļāļĢ
āđāļ P(AB) = P(A)+P(B)âP(AB)
(2) 2 āđāļŦāļāļāļēāļĢāļāļāļŠāļĢāļ°āļāļ āđāļ P(AB) = P(A)P(B) ( āļĄāļāļāļ°āđāļāļāļāļāđāļāļāļāļāļ )
â āđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē P(E) āđāļŦāđāļĢāļĄāļāļēāļāļāļēāļĢāļŦāļē n(S) āļāļāļāđāļŠāļĄāļ āđāļĨāļ§āļāļāļŦāļē n(E) âP
āļāļēāļĢāļēāļāđāļāļāđāļāļāļāļ§āļēāļĄāļ
āļāļ°āđāļāļ āļāļēāļāļ§āļ āļāļāļ āļĨāļēāļ
āļāļāļ āļāļ
āļāļāļāļ āļāļĨāļēāļ
āļāļ§āļēāļĄāļ āļŠāļ°āļŠāļĄ
āļāļ§āļēāļĄāļ āļŠāļĄāļāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļ āļŠāļ°āļŠāļĄ āļŠāļĄāļāļāļ
5 â 9 4 4.5 9.5 7 4 4/20 4/20
10 â 14 8 9.5 14.5 12 12 8/20 12/20
15 â 19 5 14.5 19.5 17 17 5/20 17/20
20 â 24 3 19.5 24.5 22 20 3/20 20/20
āļŠāļāļĢāļāđāļāđāļāļāļēāļ°āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļāļēāļāļ§āļāđāļāļĄ āđāļĨāļ°āļāļāļāļāļāļ§āļēāļāđāļāļēāļāļ â āļāļāļāļĨāļēāļ = min â 0.5 â āļāļāļāļāļ = max + 0.5 â āļāļāļāļāļāļĨāļēāļ = ( max+min ) / 2 â āļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļ°āļŠāļĄ = āļāļĨāļĢāļ§āļĄāļāļ§āļēāļĄāļāđāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ°āđāļāļāļāļēāļāļ§āļē â āļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļĄāļāļāļ = āļāļ§āļēāļĄāļāđāļāļāļāļāļ / āļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļŦāļĄāļ â āļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļ°āļŠāļĄāļŠāļĄāļāļāļ = āļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļ°āļŠāļĄāđāļāļāļāļāļ / āļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļŦāļĄāļ â āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāļāļāļāļĢāļ āļēāļāļāļ = max â min + 1
āļāļēāļāļĨāļēāļāļāļāļāļāļāļĄāļĨ ( āļĄ 6 āļāļ§ āđāļāđāļāļĒāļāļāļāļŠāļāļāđāļ 3 āļāļ§ )
(1) āļāļēāđāļāļĨāļĒāđāļĨāļāļāļāļ ( , x )
1.1 āļāļāļĄāļĨāļāļ āļāļ = x āļāļ = N
xi
1.2 āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ āļāļēāļĢāļēāļ = x āļāļēāļĢāļēāļ = N
xf ii
āđāļĄāļ fi āļāļ āļāļ§āļēāļĄāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ , xi āļāļ āļāļāļāļāļāļĨāļēāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ
1.3 āļĨāļāļāļāļāļāļāļĄāļĨ āļĨāļāļāļāļ = x āļĨāļāļāļāļ = a + d I = a +
Ndf ii I
āđāļāļĒāļ a āļāļ āļāļāļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļāļĢāļ āļēāļāļāļāļ d = 0 di āļāļ āļāļāļāļāļāļĨāļēāļāļŠāļĄāļĄāļ , I āļāļ āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāļāļāļāļĢāļ āļēāļāļāļ
1.4 āļāļāļĄāļĨāļāļ§āļāļāļēāļŦāļāļ āļāļ§āļ = x āļāļ§āļ =
i
ii
wxw
āđāļĄāļ wi āļāļ āļāļ§āļēāļĄāļŠāļēāļāļāđāļāļāļ°āđāļāļāđāļāļĨāļ°āļāļ§ , xi āļāļ āļāļ°āđāļāļāđāļāļĨāļ°āļāļ§
1.5 āļāļāļĄāļĨ 2 āļāļĨāļĄ āļĢāļ§āļĄ = x āļĢāļ§āļĄ = ...NN
...xNxN
21
21
(2) āļĄāļāļĒāļāļēāļ ( Median,Me )
2.1 āļāļāļĄāļĨāļāļ āļĄāļāļāļāļāļāļāļāļ 1. āđāļĢāļĒāļāļāļāļĄāļĨāļāļēāļāļāļāļĒāđāļāļĄāļēāļ
2. āļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļ Me = 2
1N āđāļĄāļ N āļāļāļāļēāļāļ§āļāļāļāļĄāļĨāļāļāļŦāļĄāļ
3. āļāļēāļāļēāđāļŦāļāļāđāļĄāļĨāļāļāļ§āđāļŦāļāļēāļāļēāļāļāļĄāļĨāļāļ§āļāļāļāļŦāļēāļĢ 2 2.2 āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ āļĄāļāļāļāļāļāļāļāļ
1. āļŦāļēāļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļ Me āļāļēāļ āļŠāļāļĢ 2N
( āļāļāļāļāļēāļāļāļāļāļāļāđāļŠāļĄāļ )
2. āļŦāļēāļ§āļēāļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļāļĒāļāļāđāļŦāļāđāļāļĒāļāļāļēāļāļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļ°āļŠāļĄ ( āļāļāļāļ F )
3. āđāļāļŠāļāļĢ If
f2N
LMem
L
āđāļāļĒ L = āļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļ Me āļāļĒ Lf = āļāļĨāļĢāļ§āļĄāļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļāļāļ°āđāļāļāļāļēāļāļ§āļē I = āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāļāļāļāļāļāļāļĢāļ āļēāļāļāļ fm = āļāļ§āļēāļĄāļāđāļāļāļāļ Me āļāļĒ
(3) āļāļēāļāļāļĒāļĄ ( Mode,Mo ) āļāļ āļāļēāļāļāļāļāļāļĄāļĨāļāļĄāļāļ§āļēāļĄāļāļĄāļēāļāļāļŠāļ ( āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļāļēāļāļāļĒāļĄāļāļēāļāļāļ°āļĄ 1 āļāļē , āļŦāļĨāļēāļĒāļāļē , āļŦāļĢāļāđāļĄāļĄāđāļĨāļĒāļāđāļ ) 3.1 āļāļāļĄāļĨāļāļ Mo = āļāļāļĄāļĨāļāļĄāļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļāļŠāļ 3.2 āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ Mo = āļāļāļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļāļĄāļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļāļŠāļ
63
35
3
2
āļāļāļ 14. āļŠāļāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āļŠāļĄāļāļāļāļāļ , x , Me āļāļāļ§āļĢāļĢ 1. )x( i Ξ , )xx( i = 0
2. āļāļē 2i )Mx( āļĄāļāļēāļāļāļĒāļāļŠāļāļāļ°āđāļāļ§āļē M = , x
3. āļāļē Mxi āļĄāļāļēāļāļāļĒāļāļŠāļāļāļ°āđāļāļ§āļē M = Me
10%10%10%10% âĶâĶ.. 10%
D1 D2 D3 D4 D9
āļāļēāļĢāļ§āļāļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļāļāļāļĄāļĨ āļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒāļāļāļāļāļ§āļāđāļāļĨ(Qr) , āđāļāđāļāļĨ (Dr) , āđāļāļāļĢāđāļāļāļāđāļāļĨ (Pr)
â JUM āļāļ§āđāļĨāļāļāļŦāļāļĒ ( r ) āļāļ āļāļ§āđāļĨāļāđāļŦāļāļāļ§āļēāļĄāļāļēāļĒāđāļ âP
Qr āļāļē Pâ1 āļŠāļāļāđāļāļāļ°āđāļāļāļāļĢāļāļāļ Q3 āļŦāļĄāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļ§āļē āļāļēāļĄāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĄ
Pâ1 x āļāļ āļāļ°āđāļ Pâ1 43
x āļāļ 25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
Dr
āļāļē PâāđāļāļĄ āļŠāļāļāđāļāļāļ°āđāļāļāļāļĢāļāļāļ D4 āļŦāļĄāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļ§āļē āļāļēāļĄāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĄ
PâāđāļāļĄ x āļāļ āļāļ°āđāļ PâāđāļāļĄ104
x āļāļ Pr āļāļē Pâāđāļāļ āļŠāļāļāđāļāļāļ°āđāļāļāļāļĢāļāļāļ P15
āļŦāļĄāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļ§āļē āļāļēāļĄāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĄ
Pāđāļāļ x āļāļ āļāļ°āđāļ Pâāđāļāļ 10015
x āļāļ āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē Qr , Dr , Pr āļāļāļĄāļĨāļāļ āļĄāļāļāļāļāļāļāļāļ (1) āđāļĢāļĒāļāļāļāļĄāļĨāļāļāļĒ āļĄāļēāļāđāļĨāļ§āļŦāļēāļāļēāđāļŦāļāļ Qr , Dr , Pr āļāļēāļāļŠāļāļĢ
āļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļ Qr = 4
r)1N(
āļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļ Dr = 10
r)1N(
āļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļ Pr = 100
r)1N(
(2) āļāļēāļāļēāđāļŦāļāļāļĨāļāļāļ§āđāļŦāļāļāļāļāļēāļāļāļĄāļĨāļāļāļēāđāļŦāļāļāļāļ
(3) āļāļēāļāļēāđāļŦāļāļāđāļĄāļĨāļāļāļ§āđāļŦāđāļāļŠāļāļĢ â āļāļĻāļāļĒāļĄ āļāļĨāļāļēāļ â āđāļĨāļ§āļāļāļāļēāļāļēāļāđāļāļāļ§āļāļāļāļāļēāđāļŦāļāļāļāļāļāļ
āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ āļĄāļāļāļāļāļāļāļāļ
If
f4
Nr
LQrQ
Lr
If
f10Nr
LDrD
Lr
If
f100Nr
LPrP
Lr
(1) āļŦāļēāļāļēāđāļŦāļāļ Qr , Dr , Pr āļāļēāļāļŠāļāļĢ
4Nr
, 10Nr
, 100Nr
( āļāļāļāļāļāļ§āļēāļĄāļāļŠāļ°āļŠāļĄ F )
(2) āļŦāļēāļāļēāļāļāļ Qr , Dr , Pr āļāļēāļāļŠāļāļĢāļāļēāļāļāļēāļĒ L = āļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļāļāļāļ Qr , Dr , Pr āļāļĒ r = āļĨāļēāļāļāļāļāļ Qr , Dr , Pr
rrr PDQ f,f,f = āļāļ§āļēāļĄāļāđāļāļāļāļ Qr , Dr , Pr āļāļĒ
N = āļāļēāļāļ§āļāļāļāļĄāļĨāļāļāļŦāļĄāļ
Lf = āļāļĨāļĢāļ§āļĄāļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļāļāļ°āđāļāļāļāļēāļāļ§āļē I = āļāļ§āļēāļĄāļāļ§āļēāļāļāļāļāļāļāļāļĢāļ āļēāļāļāļ
āļāļēāļĢāļ§āļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļāļāļĄāļĨ āđāļāļāđāļāļ 2 āļāļāļ āļāļ (1) āļāļēāļĢāļ§āļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļŠāļĄāļāļĢāļ ( āļŦāļēāļĄāđāļāđāļāļāļēāļĢāđāļāļĢāļĒāļāđāļāļĒāļ ) â āļāļŠāļĒ ( Range ) āļāļāļĄāļĨāļāļ = xmaxâ xmin āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = āļāļāļāļāļmax â āļāļāļāļĨāļēāļmin â āļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāļāļ§āļāļĢāđāļāļĨ āļŦāļĢāļ āļāļāļāļ§āļāļāļ§āļāļĢāđāļāļĨ ( Q.D. )
āļāļāļĄāļĨāļāļ ,āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = 2
QQ 13
âāļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāđāļāļĨāļĒ ( M.D.)
āļāļāļĄāļĨāļāļ = N
xxi =
N
xi Ξ
āđāļĄāļ ix āļāļ āļāļāļĄāļĨāļāļ§āļ i ( āļāļāļĄāļĨāđāļāļĨāļ°āļāļ§ )
āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ =N
xxf ii =
N
xf ii Ξ
āđāļĄāļ ix āļāļ āļāļāļāļāļāļĨāļēāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ , if āļāļ āļāļ§āļēāļĄāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ.
â āļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ ( S.D. , S , ) ( āļāļāļŠāļ )
āļāļāļĄāļĨāļāļ = N
)x( 2i Ξ
= 22i
Nx
Ξ
S = 1N
)xx( 2i =
22i
1NxNx
āđāļĄāļ ix āļāļ āļāļāļĄāļĨāļāļ§āļ i ( āļāļāļĄāļĨāđāļāļĨāļ°āļāļ§ )
āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = N
)x(f 2ii Ξ
= 22i
Nfx
Ξ
S = 1N
)xx(f 2ii =
1NxNxf
22ii
āđāļĄāļ ix āļāļ āļāļāļāļāļāļĨāļēāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ , if āļāļ āļāļ§āļēāļĄāļāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļ.
āļāļ§āļēāļĄāđāļāļĢāļāļĢāļ§āļ ( Variance )
āļāļ§āļēāļĄāđāļāļĢāļāļĢāļ§āļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļĢ ( 2 )
āļāļāļĄāļĨāļāļ N
)x( 2i Ξ
= 22i
N
xΞ
āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ N
)x(f 2ii Ξ
= 22i
N
fxΞ
āļāļ§āļēāļĄāđāļāļĢāļāļĢāļ§āļāļāļāļāļāļ§āļāļĒāļēāļ ( S2 )
āļāļāļĄāļĨāļāļ 1N
)xx( 2i =
22i
1N
xNx
āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ 1N
)xx(f 2ii =
1N
xNxf22
ii
āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāđāļāļĢāļāļĢāļ§āļ āļāļāļāļāļĨāļĄāļāļ§āļāļĒāļēāļāļĒāļāđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ Ent āđāļāļĢāļ°āļ§āļāļāļēāļāļāļ
P1 P2 P3 P4 âĶâĶ.. P99
1%1%1%1%1% . . .. 1%
Tip āļāļēāļāļēāđāļŦāļāļ Me , Qr , Dr , Pr ( 2N
,4
Nr,10Nr
,100Nr
) āļāļĢāļāļāļāļāļāļŠāļāļāļēāļĒāļāļāđāļŦāļāđāļŦāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļ JUM â āļāļāļāļāļ â āļāļāļŠāļāļāļēāļĒ âP
āļāļ§āļēāļĄāđāļāļĢāļāļĢāļ§āļāļĢāļ§āļĄ
(1) āļāļē 1=2 , 2āļĢāļ§āļĄ =
....NN....NN
21
222
211
ÏÏ
(2) āļāļē 12 , 2āļĢāļ§āļĄ = āļŠāļāļĢāļĒāļēāļ§āļĄāļēāļāļāļāļāļ§āļĢāđāļāļ§āļ
x2āļĢāļ§āļĄ = x1
2+ x22 āđāļĨāļ§āļāļāđāļāļŦāļē 2
āļĢāļ§āļĄ
āļāļ§āļēāļĄāļŦāļ§āļāđāļŦāļ§āļāļāļ ( x ) , Me , Mo , Range , Q.D. , M.D. , ( S.D.) , 2(S2) x1 , x2 , .., xN A B C D E F G G2
x1k , x2k , âĶ, xNk Ak Bk Ck D E F G G2
kx1 , kx2 , âĶ, kxN kA kB kC kD kE kF kG k2G2
â 3 āļāļ§āđāļĢāļ +,â,, āļāļāļŦāļĄāļ , 4 āļāļ§āļŦāļĨāļ +,â āđāļĄāļāļ āļāļāđāļ , āđāļĨāļ° āļāļāļāđāļāļāļāļ§āļāđāļŠāļĄāļ â
(2) āļāļēāļĢāļ§āļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļŠāļĄāļāļāļ (āđāļ§āđāļāđāļāļĢāļĒāļāđāļāļĒāļ) ( JUM! āļāļāļŠāļĄāļāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļāļāļāļĄāļāļ§āļ§āļ 4 āļāļ§āđāļŦāļĄāļāļāļāļ ) âāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļāļāļŠāļĒ
āļāļāļĄāļĨāļāļ = minmax
minmax
xxxx
āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = minmax
minmax
āļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļĨāļēāļāļāļāļāļāļ
âāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļ āļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāļāļ§āļāđāļāļĨ
āļāļāļĄāļĨāļāļ , āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = 13
13QQQQ
âāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļāļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāđāļāļĨāļĒ
āļāļāļĄāļĨāļāļ , āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = Ξ
.D.M ,
x.D.M
âāļŠāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļāļāļēāļĢāđāļāļĢāļāļ ( C.V. )
āļāļāļĄāļĨāļāļ , āļāļāļĄāļĨāđāļāļāļēāļĢāļēāļ = Ξ
Ï ,
x.D.S
āļāļ§āļĒāļēāļāđāļāļ
āļāļāļĄāļĨāļāļāļ 2 āļāļĢāļ°āļāļēāļĒ āļāļāļĄāļĨāļāļāļ 1.
āđāļāļĢāļēāļ° CV2 CV1 ( āļŦāļĢāļ S.D. āđāļĄāđāļāļŦāļĄāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļ§āļēāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļĄāļēāļāļāļ§āļē )
āļāļēāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ ( āļāļ°āđāļāļāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ,z ) āļāļ āļāļēāļāđāļ§āđāļāđāļāļĢāļĒāļāđāļāļĒāļāļāļ°āđāļāļāļāļāļāļēāļāļāļāļĄāļĨ 2 āļāļĨāļĄāļāļāđāļāļ§āļēāļāļ°āđāļāļāļāļāļāļ§āđāļāļĄāļāļēāļĄāļēāļāļāļ§āļē
Zi = Ï
ΞixP āļŦāļĢāļ Zi =
sxxi P
āđāļāļĒāļ (1) Z = 0 â āļāļĨāļĢāļ§āļĄāļāļē Z āļāļāļāļāļāļĄāļĨāļāļāļāļ§āļĄāļāļēāđāļāļēāļāļ 0 āđāļŠāļĄāļ â
(2) Z2 = N â āļāļĨāļĢāļ§āļĄāļāļēāļĨāļāļŠāļāļāļāļāļāļāļē Z āļĄāļāļēāđāļāļēāļāļāļāļēāļāļ§āļāļāļāļĄāļĨāđāļŠāļĄāļ â
(3) Z ( SDZ ) = 1 â āļŠāļ§āļāđāļāļĒāļāđāļāļāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļāļāļāļāļāļē Z āļĄāļāļēāđāļāļēāļāļ 1 āđāļŠāļĄāļ â āļāļāļāđāļāđāļāļāļāļāļ ( āđāļāļāļŠāļāđ āļāļāļāļŠāļāļāļāļāļ )
āļāļ°āđāļāļāļāļ ( xi )P āļāļēāļĄāļēāļāļĢāļāļēāļ ( Z )P āļāļāļāđāļāđāļāļāļāļāļ ( A )P āđāļāļāļĢāđāļāļāļāđāļāļĨ ( Pr )P
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĒāļ§āļāļ xi āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĒāļ§āļāļ Z āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĒāļ§āļāļ A āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢāđāļāļĒāļ§āļāļ Pr
1. )x( i Ξ , )xx( i = 0 1. Zi = Ï
Ξix , 1. āļāļāļāđāļāđāļāļāļāļāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļāļēāļāļ°āđāļāļ 1. r āļāļ āļāļ§āđāļĨāļāđāļŦāļāļāļ§āļēāļĄāļāļēāļĒāđāļ
2. āļāļē 2i )Mx( āļĄāļāļē Min Zi =
sxxi 2. āļāļāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļēāļāļ§āļāļāļēāļāđāļāļāļāļĨāļēāļāđāļŠāļĄāļ 2. āļāļē Z 0 āđāļĨāļ§ Pr āļāļ° 50
āļāļ°āđāļāļ§āļē M = , x 2. Z = 0 āđāļāļ z = 1 , A = 0.3413
3. āļāļē Mxi āļĄāļāļē Min 3. Z2 = N
āļāļ°āđāļāļ§āļē M = Me 4. Z = 1
( SDZ = 1 ) 3. āļāļāļ 2 āļāļ āļŠāļĄāļĄāļēāļāļĢāļāļ 3. āļāļē Z 0 āđāļĨāļ§ Pr āļāļ° 50
āđāļāļ z = 1 āļāļĢāļāļāļ Pr āļ 84.13
āđāļāļ z = 1 , A = 0.3413
āđāļāļ z = â1 , A = 0.3413
A = 0.5
āđāļāļ z = â1 āļāļĢāļāļāļ Pr āļ 50 â 34.13 = 15.87
āļāļāļĄāļĨāļāļāļ 1.
( S.D.) = 3
( x ) = 2
āļāļāļĄāļĨāļāļāļ 2.
( S.D.) = 2
( x ) = 1
āļāļēāļĢāđāļāļāđāļāļāļāļ§āļēāļĄāļāļāļāļāļāļāļĄāļĨ
āļāļēāđāļāļĨāļĒāđāļĨāļāļāļāļ āļĄāļāļĒāļāļēāļ
āļāļēāļāļāļĒāļĄ
āļāļēāļāļāļĒāļĄ < āļĄāļāļĒāļāļēāļ < āļāļēāđāļāļĨāļĒāđāļĨāļāļāļāļ āļāļēāđāļāļĨāļĒāđāļĨāļāļāļāļ < āļĄāļāļĒāļāļēāļ < āļāļēāļāļāļĒāļĄ
āļāļāļĄāļĨāļŠāļ§āļāđāļŦāļāļĄāļāļēāļāļāļĒ āđāļāļ āļāļ°āđāļāļāļŠāļāļāļāļāļāļāļāđāļĢāļĒāļ āđāļĄāļāļāļāļŠāļāļāļĒāļēāļ
āļ
āļāļāļĄāļĨāļŠāļ§āļāđāļŦāļāļĄāļāļēāļĄāļēāļ āđāļāļ āļāļ°āđāļāļāļŠāļāļāļāļāļāļāļāđāļĢāļĒāļ āđāļĄāļāļāļāļŠāļāļāļāļēāļĒ āļāļēāđāļāļĨāļĒāđāļĨāļāļāļāļ = āļĄāļāļĒāļāļēāļ = āļāļēāļāļāļĒāļĄ
āđāļāļāđāļāļāļāļāļ āđāļāļāļ§āļē āđāļāļāļēāļĒ ( āđāļāļēāļĄāļ ( āđāļāļēāļĄāļāļāļ§āļēāļāļ ) āļāļēāļĒāļāļ )
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļĄāļāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļāļĄāļĨ āļāļ āļāļēāļĢāļāļĒāļēāļāļĢāļāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāļāļēāļĄ āđāļĄāļāļāļĢāļēāļāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāļāļ ( āļāļ§āđāļāļĢāļāļŠāļĢāļ° ) āđāļāļāļ 1. āļŠāļĄāļāļāļāļāļāđāļāļāļĢāļāđāļŠāļāļāļĢāļ āļĢāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ : Y = mX + c
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ :
n
1iiy =
n
1iixm + cN ----- â JUM Take â A
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢ
n
1iiiyx =
n
1i
2ixm +
n
1iixc ----- â JUM Take x â A
(1) āļāļ§āđāļāļĢāļāļāļāļĒāļĄāđāļāļāļāļ§āļĒ x āļāļ§āđāļāļĢāļāļēāļĄāļāļĒāļĄāđāļāļāļāļ§āļĒ y ( āđāļāđāļāļāļēāļāļāļĢāļāļāļ°āļāļāļāļĒāļāļāđāļāļāļĒ ) āđāļĨāļ°āļāļāļāđāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāļāļāļāļēāļāļēāļĒāļāļ§āđāļāļĢ āļāļēāļĄ āļŦāļēāļĄāđāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāļāļēāļĄāļĄāļēāļāļēāļāļēāļĒāļāļ§āđāļāļĢāļāļāļĒāļāļāļāļĨāļ
(2) āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŠāļāļāļĢāļāļāđāļāļāļ°āļāļēāļāļāļ ( x , y ) āđāļŠāļĄāļ (3) āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē m , c āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļēāđāļ 2 āļ§āļ
. . . .
. . .
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3.1 āđāļāļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ 2 āļŠāļĄāļāļēāļĢ 2 āļāļ§āđāļāļĢ
3.2 āđāļāļŠāļāļĢ m =
22 xnxyxnxy
,, cc == xmy
āļāļĢāļāļāļĨāļēāļ āļāļāđāļŦāļĄāļāļ§āļē āļāļāđāļāļēāļāļ§āļē
āļāļāļĄāļĨāļāļāļĒāđāļāļĢāļāļāļāļāļĢāļĄāđāļ§āļĨāļē āļāļ āļāļēāļĢāļāļĒāļēāļāļĢāļāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāļāļēāļĄ āđāļĄāļāļāļ§āđāļāļĢāļāļāđāļāļāļāļāļĄāļĨāđāļāļāļāļāļ āļēāļ ( āđāļāļ āļ , āđāļāļāļ ) āđāļāļĒāđāļĢāļēāļāļēāđāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļĄāļāļāļ§āđāļĨāļāļāļāļĄāļēāđāļāļāļāļēāļāļ§āđāļāļĢāļāļāđāļŦāļĨāļēāļāļ āļāļāļ āđāļĨāļ§āļāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāļāļāļāļāļēāļĄāļāļāļāļāļēāļĢ ( āđāļŦāļĄāļāļāļāļāļĄāļĨāļāļāļ )
(1) āļāļēāđāļāļāļĒāđāļŦāļāļēāļāļ§āļāļāļ§āđāļāļĢāļāļāļĄāļēāđāļāļāļāļēāļāļ§āļāļ ..... , â3 , â2 , â1 , 0 , 1 , 2 , 3 , âĶâĶ â āđāļ§āļāļāļāļāđāļāļāļĨāļ° 1 â (2) āļāļēāđāļāļāļĒāđāļŦāļāļēāļāļ§āļāļāļ§āđāļāļĢāļāļāļĄāļēāđāļāļāļāļēāļāļ§āļāļ ..... , â5 , â3 , â1 , 1 , 3 , 5 , âĶâĶ â āđāļ§āļāļāļāļāđāļāļāļĨāļ° 2 â
āđāļāļāļ 2. āļŠāļĄāļāļāļāļāļāđāļāļāļĢāļāļāļēāļĢāļēāđāļāļĨ āļē ( āļĒāļāđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ ent āđāļĄāđāļāļ ) āļĢāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ : Y = aX2 + bX + c
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ :
n
1iiy =
n
1i
2ixa +
n
1iixb + cN ----â JUM Take â
n
1iiiyx =
n
1i
3ixa +
n
1i
2ixb +
n
1iixc ----â JUM Takex â
n
1ii
2i yx =
n
1i
4ixa +
n
1i
3ixb +
n
1i
2ixc ----â JUM Takex2 â
. . . .
. . .
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āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢ (1) āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļĢāļēāđāļāļĨāļēāļāđāļāļāļ°āđāļĄāļāļēāļāļāļ ( x , y ) (2) āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē a , b āđāļĨāļ° c āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļēāđāļ 2 āļ§āļ āļāļĨāļēāļ§āļāļ 2.1 āđāļāļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ 3 āļŠāļĄāļāļēāļĢ 3 āļāļ§āđāļāļĢ ( āļāļĒāļēāļĒāļēāļĄāļāļāļĢāļāļāļ§āđāļāļĢāđāļāļāļ§āđāļāļĢāļŦāļāļ āđāļŦāļāļĒāđāļāļĢāļāļāļāļŠāļāļāļāļ§āđāļāļĢ āđāļāļ
a = k1b+k2c āđāļĨāļ§āđāļāļāļĒāļāļāļāļĨāļāđāļĄāđāļ 2 āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāđāļŦāļĨāļ āđāļāļāļāļ°āđāļ 2 āļŠāļĄāļāļēāļĢ 2 āļāļ§āđāļāļĢ āđāļĨāļ§āļāļāļĒāđāļĢāļĄāđāļ )
āđāļĨāļ° āļāļēāđāļāļāļĒāļāļĢāļēāļ!! āļāļ°āļāļāđāļāđāļŦ x = 0 ( āļāļ°āļŠāļāļāļĨāđāļŦ x3 = 0 āļāļēāļĄāđāļāļāļ§āļĒ ) 2.2 āđāļāđāļĄāļāļĢāļāļāđāļāļēāļāļ§āļĒ ( Row â Operation ) āđāļāļāļ 3. āļŠāļāļāļāļāļāļāđāļāļāļĢāļāđāļ āļāļāđāļāđāļāļāđāļāļĒāļĨ ( āļĒāļāđāļĄāđāļāļĒāļāļāļ ent āđāļĄāđāļāļ )
āļĢāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ : Y = abX āļŦāļĢāļ Take log āđāļĨāļ§āļāļāļĢāļ logy = loga + xlogb
āļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ :
n
1iiylog = Nloga+ ( logb)
n
1iix ----â JUM Take â
n
1iii ylogx = ( loga )
n
1iix +
n
1i
2ix)b(log ----â JUM Takex â
āļŠāļāļāļāļ§āļĢāļĢ (1) āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļē loga , logb āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļēāđāļ 2 āļ§āļ āļāļĨāļēāļ§āļāļ 1.1 āđāļāļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ 2 āļŠāļĄāļāļēāļĢ 2 āļāļ§āđāļāļĢ
1.2 āđāļāļŠāļāļĢāļĨāļ logb = 22 xnxylogxnylogx
, loga = ylog â x logb
āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļŠāļāļĢāļĨāļāļāļ°āđāļāđāļāđāļāļāļēāļ°āđāļĄāļāļĢāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ§āđāļ āđāļāļ Y = abX āļāļēāđāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļāđāļāļ§āļ take
āļāļāļ 15. āļāļēāļŦāļāļāļāļēāļĢāđāļāļāđāļŠāļ Created by Pâ1 Nisit tutor <Tel. 085 â 999 â 9449>
āđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŠāļāļāļĢāļ (1) āļ§āļēāļāđāļŠāļāļāļĢāļāļāļēāļĄāļāļāļ ( āļŦāļēāļāļāļ. x , āļāļāļ. y , āļĨāļēāļāđāļāļāļĄ ) (2) āļāļ y āļāļĒāļāļēāļĒāļĄāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ ( āļŦāļāļē y āļāļāļāđāļāļāļāļ§āļ )
(3) āļāļēāđāļāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒ , āđāļŦāđāļĢāđāļāļēāļĨāļ (4) āļāļēāđāļāļāđāļāļĢāļāļāļŦāļĄāļēāļĒ , āđāļŦāđāļĢāđāļāļēāļāļ ( 5 ) , āđāļŠāļāļāļĢāļ° , āđāļŠāļāļāļ
āļāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļēāđāļāļāļĒāļāļāļŦāļē (1) āļāļēāļŦāļāļāđāļŦāđāļāđāļŠāļĒāļāļāļāļ§āļēāļāļ°āđāļŦ x , y āđāļāļāļāļ°āđāļĢ (2) āļŠāļĢāļēāļāļāļāļāļāļāļ§āļāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāđāļāļĒāļāļāļēāļāļŠāļāļāđāļāļāļĒāļāļēāļĄ
(3) āļŠāļĢāļēāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāđāļ (4) āļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāđāļ (5) āļŦāļēāļāļēāļāļēāļāļĢāđāļ§āļāļāđāļāļāđāļāđāļ ( āļŠāļ§āļāļāļāļāđāļāļāļĢāđāļāļ ( ) āļāļ ) (6) āļāļēāļāļāļĄāļĄāļāļāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļēāļāļēāļāļĢāđāļ§āļāļāđāļāļāđāļāđāļāđāļāļāļĨāļāļāļāļāļāļāļ§āļāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāđāļāļāļŦāļēāļāļēāļŠāļāļŠāļāļŦāļĢāļāļāļēāļŠāļāļāļēāļĄāļāđāļāļāļĒāļāļēāļĄ āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļ āļāļāļŠāļāļ PAT āļĄāļāļāļ°āđāļŦāļāļ (1) , (2) , (3) āļĄāļēāļāļāļāļāļēāđāļŦāđāļĢāļēāđāļĢāļĄāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāđāļāđāļāđāļĨāļĒ