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M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY,
H. BEN HADID, F. ROUSSET*
Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique,
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Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux
Ecoulement à surface libre sur plan incliné
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Etude de stabilité
S.Millet et.al (2007)
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Plan
I. Stabilité d’écoulement de fluide newtonien en canal plan (Squire H.B 1933)
II. Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide newtonien sur plan incliné (Yih C.S 1955 et Chang-Demekhin)
III. Stabilité d’écoulement de fluide purement visqueux en canal plan (Nouar et.al 2007)
IV. Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide purement visqueux sur plan incliné
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Equation d’Orr-Sommerfeld
• 3 Equations de Navier-Stokes + continuité• [u,p] (x,y,z,t)=champ de base + [u’,p’] (x,y,z,t)
=> 4 Equations aux perturbations• On élimine p’, u’ et w’ => 1 équation d’ordre 4 en v’• Perturbations périodiques : • CL en canal plan : non glissement aux parois• CL à surface libre : non glissement au fond +
contraintes tangentielles et normales à la SL + condition cinématique
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Fluide newtonien en canal plan
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Fluide newtonien en canal plan Squire H.B. 1933
• Perturbations (Orr-Sommerfeld) :
• Relations de Squire :
• Théorème de Squire :
– Pour étudier les instabilités 3D, il suffit d’étudier les instabilités 2D.– Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.
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Fluide newtonien sur plan incliné
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Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S.
• Champ de base :
• Nombres adimensionnels :
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Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S.
• Eq d’Orr-Sommerfeld identique
• CL différentes :
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Fluide purement visqueux en canal plan
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Fluide purement visqueux en canal plan• Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée
3D
Avec θ tenant compte de la perturbation de viscosité fluide purement visqueux • Les relations de Squire sont-elles applicables ?
– Terme en Dw : pas de relation de Squire ! – Introduire une équation supplémentaire ?– Nouar et.al (2007) :
• Etude numérique 3D • En forçant θ=η...• La viscosité perturbée n’intervient qu’au niveau des contraintes de
cisaillement dans le plan (x,y)•
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Fluide purement visqueux sur plan incliné
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Fluide purement visqueux sur plan incliné
• Champ de base Avec
• Nombres adimensionnels :
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Fluide purement visqueux sur plan incliné
• Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée
• CLs avec des perturbations 3D :
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Merci de votre attention
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Équations aux perturbations :
Interprétation de :
où
x
v
y
u
y
U
y
U
x
v
y
u
y
Uxy
'''
'''
'xy
19/40
x
v
y
uxy
'''
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Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et al
• Modèle de Carreau
• Perturbation de contrainte
• Equations aux perturbations 3D
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Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et.al 2007
• Sous quelles conditions le théorème de Squire est-il applicable ?
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Seuil de stabilité (approche Orr-Sommerfeld)
Seuils de stabilité selon l’angle d’inclinaison
(Millet et al. 2007)
–L = 0 dans le cas d’un fluide newtonien–L = 0.5 dans le cas d’un fluide de
Carreauet I = 10-3, n = 0.5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
angle d'inclinaison
Re cr
approche numérique - fluide newtonienapproche numérique - fluide rhéofluidifiantapproche asymptotique - fluide newtonienapproche asymptotique - fluide rhéofluidifiant
Recr
Angle d’inclinaison
cot6
5Re cr
)(cot)1)(1(3.28
71cot
6
5Re 42
3/1LOLnIcr
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Prise en compte de la perturbation de viscosité.
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On peut écrire :
avec :Pente de la loi constitutive en
échelles log y
ud
'y
U
1
y
U
y
ud
'
d