1CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
WALTER EINWOEGERER 05/05/2006
QUADRATURA GAUSSIANA
INTEGRAO NUMRICA COM PONTOS DESIGUALMENTE ESPAADOS
QUADRATURA DE GAUSSLEGENDRE
QUADRATURA DE GAUSS-LAGUERRE
QUADRATURA DE GAUSS-CHEBYSHEV
QUADRATURA DE GAUSS-HERMITE
OUTRAS FRMULAS DE QUADRATURA GAUSSIANA
2CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
INTEGRAO NUMRICA COM PONTOS DESIGUALMENTE ESPAADOS
INTEGRAO NUMRICA COM PONTOS DESIGUALMENTE ESPAADOS
As formulas de integrao desenvolvidas anteriormente foram dadas na forma
onde (n+1) valores wi so os pesos a serem dados para os (n+1) valores f(xi) eforam especificadas como igualmente espaadas. Nesta forma no existe opode escolha dos pontos.A Quadratura Gaussiana apresenta forma idntica atribuindo somas ponderadaswi de (n+1) valores a f(xi).Embora os pontos no sejam igualmente espaados, estes so escolhidos deforma que os n+1 valores apropriadamente ponderados resultem como integralexata quando f(x) um polinmio de grau 2n+1 ou menor.
),()(0
i
n
ii
b
a
xfwdxxf =
=
3CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
ORTOGONALIDADE POLINOMIAL
ORTOGONALIDADE POLINOMIAL
Duas funes gn(x) e gm(x) selecionadas de uma famlia de funes gk(x) so
ortogonais com respeito a funo peso w(x) no intervalo [a,b] se:
Normalmente, c depende de n. Se estas relaes so vlidas para todos os n ento a
famlia {gk(x)} constitui um conjunto de funes ortogonais.
,0)()()( = dxxgxgxwba
mn
=ba
n ncdxxgxw .0)()]()[(2
,mn
4CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
ORTOGONALIDADE POLINOMIAL
A ortogonalidade pode ser vista como a generalizao da propriedade de perpendicularidade entre dois vetores em n dimenses, onde n se torna muito grande e os elementos (coordenadas) dos vetores podem ser representados como funes contnuas de alguma varivel independente
Famlias de funes ortogonais so conjuntos de {sen kx} e cos {kx},
Funes no ortogonais : 1, x, x2, x3, ..... Xn
Diversas famlias de polinomiais bem conhecidos possuem a propriedade de ortogonalidade, sendo que o conjunto de interesse neste caso so os polinmios de Legendre, Laguerre, Chebyshev e Hermite.
5CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE LEGENDRE
POLINMIOS DE LEGENDRE: Pn(x)
Os polinmios de Legendre so ortogonais no intervalo [-1,1] em relao funo peso w(x) = 1, ou seja
,0)()(1
1
=+
dxxPxP mn ,mn
+
=1
1
2.0)()]([ ncdxxPn
6CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE LEGENDRE
Os primeiros polinmios de Legendre so:
Onde a relao recursiva geral da forma:
).33035(81)(
),35(21)(
),13(21)(
,)(,1)(
244
33
22
1
0
+=
=
===
xxxP
xxxP
xxP
xxPxP
)(1)(12)( 21 xPnnxxPn
nxP nnn =
7CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE LAGUERRE
POLINMIOS DE LAGUERRE: L n(x)
Os polinmios de Laguerre so ortogonais no intervalo [0, ] em relao funo peso w(x) = e-x, ou seja
,0(x)(x)0
= dxe mnx LL ,mn
=0
2.0)(](x)[ ncdxe n
xL
8CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE LAGUERRE
Os primeiros polinmios de Laguerre so:
Onde a relao recursiva geral da forma:
6189)(
24)(
1)(1)(
233
22
1
0
++=+=
+==
xxxx
xxx
xxx
L
L
LL
)()1()()12()( 22
1 xnxxnx nnn = LLL
9CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE CHEBYSHEV
POLINMIOS DE CHEBYSHEV: T n(x)
Os polinmios de Chebyshev so ortogonais no intervalo [-1,1 ] em relao
funo peso , ou seja
,0)()(1
11
12
=
+
dxxTxT
xmn ,mn
.0)()]([1
11
1
2
2=
+
ncdxxT
xn
21
1)(x
xw
=
10
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE CHEBYSHEV
Os primeiros polinmios de Chebyshev so:
Onde a relao recursiva geral da forma:
xxxTxxT
xxTxT
34)(
12)(
)(1)(
33
22
1
0
==
==
)()(2)( 21 xTxxTxT nnn =
11
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE HERMITE
POLINMIOS DE HERMITE: H n(x)
Os polinmios de Hermite so ortogonais no intervalo [- , ] em relao
funo peso , ou seja
,0)()H(2 =+
dxxxHemn
x ,mn
.0)()]([ 22 =+
ncdxxHen
x
2
xe
12
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
POLINOMIOS DE HERMITE
Os primeiros polinmios de Hermite so:
Onde a relao recursiva geral da forma:
xxxH
xxH
xxHxH
128)(
24)(
2)(1)(
3
3
2
2
1
0
==
==
)()1(2)(2)( 21 xHnxxHxH nnn =
13
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
ORTOGONALIDADE POLINOMIAL
COMENTRIOS SOBRE POLINMIOS ORTOGONAIS
Os polinmios de Legendre, Laguerre, Chebyshev e Hermite que satisfazem as formulaes vistas so nicos.
Cada polinmio de grau n em x com coeficientes reais e n razes distintas internamente ao intervalo de integrao.
Um polinmio arbitrrio de grau n pode ser representado por uma funo linear por qualquer uma das famlias de polinmios ortogonais.
)(....)()()(1100
xZxZxZxpnnn
+++=
== ni iin xxp 0)(
=
=n
iii
xZ0
),(
14
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Quadratura de GAUSS-LEGENDRE
O valor da integral pode ser estimada aproximandoa funo por um polinmio interpolador pn(x) de grau ne ser integrado como segue:
Onde Rn(x) o erro para o n-simo termo do polinmio interpolador.
+= ba nba ba n dxxRdxxpdxxf )()()(
ba dxxf )()(xf
15
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Como os pontos xi ainda no so especificados, a forma Lagrangiana de umpolinmio interpolador, que permite pontos arbitrariamente espaados, serusada com seu termo de erro
onde
)()()( xRxpxf nn +=
( ) ( ) ,1)()()()(
)1(
0 0 !+
+=+
= = nfxxxfxLxf
nn
i
n
iiii
ba
16
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Para simplificar o desenvolvimento sem alterar o resultado, o intervalode integrao ser mudado de [a,b] para [-1,1] atravs de mudanaapropriada de varivel.Assumindo que todos os pontos xi esto compreendidos no intervalo:
Definimos uma nova varivel z, comocom
Definindo uma nova funo
bxxxa n ,...., 10,)(2
abbaxz
+=11 z
( )
++==2
)()()( bazabfxfzF
17
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
( ) ( )!+ +=+
= = 1 )()()()(
)1(
0 0 nFzzzFzLzF
nn
i
n
iiii
1 1
18
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Se f(x) assumindo como sendo um polinmio de grau (2n+1):
precisa ser de grau (n)
ser de grau (n+1)
de grau (n) na maioria dos casos
( ) )(1)()1( zq
nF
n
n
=!++
( )
=
n
iizz
0
=
n
iii
zFzL0
)()(
19
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Fazendo:
temos
Integrando entre [-1,1]
( ) )(1)()1( zq
nF
n
n
=!++
)()()()()(00
zqzzzFzLzF nn
ii
n
iii
+=
==
=
+=1
10)()( errodzzLzF
i
n
ii
dzzqzzdzzFzLdzzF nn
i
n
iiii )()()()()(
1
1
1
1 0
1
1 0 = =
+=
errozFwn
iii+=
=0)(
20
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
onde
A menos da parcela de erro, a integral acima recai nos casos anteriormenteestudados onde os (n+1) pesos so atribudos aos valores de F(zi), quandoos pontos tomados esto igualmente espaados.
dzzzzz
dzzLwn
ji
ji
ijj
i
=
==
1
1
1
1 0
)(
=
=n
iii zFwdzzF
0
1
1
)()(
21
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
A parcela de erro o termo de erro da integrao ou da equao de quadratura.
O objetivo selecionar zi de forma a eliminar o erro da equao acima. Apropriedade da ortogonalidade dos polinmios de Legendre ser ento usadapara estabelecer tais valores para ziExpandindo os dois polinmios na forma de Legendre
( ) dzzqzzn
n
ii
)(1
1 0 =
=
=+++=n
iiinnn zPczPczPczPczq
01100 )()(...)()()(
( ) +=
++=
=++++=1
0111100
0
)()()(...)()(n
iiinnnn
n
ii zPbzPbzPbzPbzPbzz
22
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Ento o produto pode ser escrito como:
A integral assume ento a forma
( )=
n
iin zzzq
0
)(
)()()()( 10
10 0
zPzPcbzPzPcb nin
iinj
n
i
n
jiji +
=+
= = +
dzzPzPcbzPzPcb nin
iinj
n
i
n
jiji
+
=+
= =
+1
11
01
0 0)()()()(
23
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Devido propriedade de ortogonalidade de Lagrange, todos os termos daIntegral na forma
Se anulam. Desta forma o termo de erro dado por
,)()(1
1
dzzPzPcb jiii
,ji
( ) [ ] dzzPcbdzzqzz iini
in
n
ii
21
1 0
1
1 0
)()( = =
=
[ ] dzzPcb iini
i
21
10)(
==
24
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Da equao anterior so obtidas (n+1) razes zi, i = 0,1,2,.....n
faltando determinar o coeficiente bn+1. Contudo desde que bn+1Pn+1(z) o mesmo polinomial, zi necessariamente ser a raiz de bn+1Pn+1(z) , ou equivalentemente de P n+1.
Desta forma, os (n+1) pontos base a serem usados na integrao de
)()(1
1 0i
n
ii zFwdzzF
==
So as (n+1) razes do apropriado polinmio de Legendre de grau (n+1).
Os pesos associados a cada a cada valor de F(zi) so calculados por:
dzzzzz
wn
ji
j
ijj
i
=
=
1
1 0
25
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Valores para razes apropriadas e seus fatores de ponderao (peso) para n = 1,2,3,4 e 5, correspondendo a 2,3,4,5,6 point-formula respectivamente so tabelados.
A frmula de integrao com os valores dos pontos-base que so dados pelas razes zi e fatores-peso wi so denominados de FRMULA DE QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE.
26
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
0.46791 39345 726910.36076 15730 481390.1713244923 79170
Six-Point Formulasn = 5
0.23861 91860 831970.66120 93864 662650.93246 95142 03152
0.56888 88888 888890.47862 86704 993660.23692 68850 56189
Five-Point Formulasn = 4
0.00000 00000 000000.53846 93101 056830.90617 98459 38664
0.65214 51548 625460.34785 48451 37454
Four-Point Formulasn = 3
0.33998 10435 848560.86113 63115 94053
0.88888 88888 888890.55555 55555 55555
Three-Point Formulasn = 2
0.00000 00000 000000.77459 66692 41483
1.00000 00000 00000Two-Point Formulasn = 1
0.57735 02691 89626
Fatores de ponderao (wi)
Razes (zi)
RAZES DO POLINMIO DE LEGENDRE Pn+1(z) e FATORES DE PONDERAO PARA A QUADRATURA GAUSS-LEGENDRE
)()(1
1 0i
n
ii zFwdzzF
==
27
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Exemplo 1: Use quadratura Gauss-Legendre com 2 pontos para
=+++=1
1
1
1
23
322)1()( dzzzzdzzF
R1 0.5773502692R2 -0.5773502692P1 1.0000000000P2 1.0000000000
z3 z2 z 1 F(z) = z3 +z2 +z+1R1 0.192450 0.333333 0.577350 1 2.103134R2 -0.192450 0.333333 -0.577350 1 0.563533Soma 2.666667
...)57735.0(x1...)57735.0(x1)()(1
1
1
0 =
+==i
ii FFzFwdzzF
28
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Exemplo 2: Utilizando da Quadratura de Gauss-Legendre com 5 pontos
estime ln2
Transformando a varivel de 1 x 2 para -1 z 1, temos69314718.02ln
2
1
== xdx
,3212
122)(2 ==
+= xxab
abxz2dzdx =
xxf 1)( =
32)( += zzF
dzz
dzzx
dx
+=+=
1
1
1
1
2
1 31
232
29
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Exemplo 2 - continuao
R1 0.00000000R2 0.53846931R3 -0.53846931R4 0.90617985R5 -0.90617985P1 0.56888889P2 0.47862867P3 0.47862867P4 0.23692689P5 0.23692689
=
=
+
4
0
1
1
)(3
1i
izFdzz
ln2 (Excel) (2) 0.69314718Diferena (2-1) 0.00000002
z z+3 F(Zi ) = 1/(zi+3) Pi*(1/(z+3)R1 (i = 0) 0.00000000 3.00000000 0.33333333 0.18962963R2 (i = 1) 0.53846931 3.53846931 0.28260807 0.13526433R3 (i = 2) -0.53846931 2.46153069 0.40625128 0.19444351R4 (i = 3) 0.90617985 3.90617985 0.25600460 0.06065437R5 (i = 4 ) -0.90617985 2.09382015 0.47759594 0.11315532
Somatoria (1) 0.69314716
30
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Normalmente os limites de integrao no esto entre os intervalos 1 e 1como requerido pelas frmulas de quadratura de Gauss-Legendre.
Uma forma de obter a equao onde a e b so arbitrrios,
porm finitos, fazer a transformao ento
E pela Quadratura de Gauss-Legendre a integral pode ser aproximada por
ba
dxxf )(
2)( ababzx ++=
dzababzfabdxxfb
a
++=1
1 2)(
2)()(
=
++=n
i
ii
b
a
ababzfwabdxxf0 2
)(2
)()(
31
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Exemplo 3 Use a frmula da quadratura de Gauss-Legendre de dois pontospara estimar:
= f(1.4226497309) + f(2.5773502691)
= 7.32592866 + 27.34073801 = 34.66666667
O resultado obtido exato pois um polinmio de grau 2n+1.
( ) =+++31
23
32341dxxxx
+++
++= 2 13)13(5773503.00.12 13)13(5773503.00.12 )13()(3
1
ffdxxf
)(xf
32
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE
Os exemplos anteriores mostram porque a Quadratura de Gauss-Legendre foi bem pouco usada no passado.
A determinao dos fatores-peso e pontos base inconveniente quando determinados manualmente, porm, de fcil resoluo em processamento digital.
Grande nfase foi dada quando F(z) polinmio de ordem 2n+1 ou menor. Em situaes reais, F(z) normalmente no polinomial.
Nestes casos necessrio determinar o erro cometido. Para estes casos, o termo de erro para a Formula da Quadratura de Gauss-Legendre dada por:
em( )[ ]
( )[ ] ),()!22(32!12 )22(
3
432
++
+++= n
n
n FnnnE )1,1(
33
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA DE GAUSS-LAGUERRE
=
=n
iii
zzFwdzzFe
00
)()(
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
Os polinmios de Laguerre podem ser usados para gerar uma frmula de
Quadratura Gaussiana para avaliar as integrais na forma:
( ) ( ) ,1 )()()()()1(
0 0 !+
+=+
= = nfzzzFxLzF
nn
i
n
iiii
que conhecida como Quadratura Gauss-Laguerre e muito similar
Quadratura de Gauss-Legendre, onde:
34
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
Com =
=
n
ji
ji
ijj
zzzz
zL0
)(
Assumindo que F(z) um polinmio de grau 2n+1, ento
precisa ser um polinmio de grau n.
)!1/()()1( ++ nF n
( ) )()()()(0 0
zqzzzFxLzF nn
i
n
iiii
= =
+=
( ) )(1)()1( zq
nF
n
n
=!++
35
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
Para obter, dzzFez
)(0 Multiplica-se cada termo por e integra-se
ambos os lados obtendo:
ze
dzzqzzedzzLezFdzzFe nn
ii
zn
ii
z
i
z)()()()()(
000 0 0
+= =
=
Pela ortogonalidade dos polinmios de Laguerre, se um mltiplo constante deste, L n+1(z) o termo direita desaparece, poisexpandindo qn(z) em termos dos Polinmios de Laguerre de ordem n ou menortemos que:
= (-1)n+1 L n+1(z) Os pontos zi a serem usados para n+1 pontos so os m-pontos da quadraturaGauss-Laguerre que so as razes do polinmio (n+1) de Laguerre L n+1(z)
= ni izz0 )(
= ni izz0 )(
36
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
Os fatores peso correspondentes so dados por:
dzzzzz
edzzLewn
ji
jz
i
z
i
ijj
=
==
000
)(
Sendo o erro para a Quadratura Gauss-Laguerre dado por:
[ ] ),()!22( )!1()22(2 ++
+= nn FnnE em (0, )
37
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
Razes (Z i) Fatores peso (W i )
0.58578 64376 27 Two-Point Formula 0.85355 33905 933.41421 35623 73 n = 1 0.14644 66094 07
0.41577 45567 83 Tree-Point Formula 0.71109 30099 292.29428 03602 79 n=2 0.27851 77335 696.28994 50829 37 0.010389 25650 16
=
=n
iii
zzFwdzzFe
00
)()(
Razes dos polinmios de Laguerre L n+1(z) e fatores peso para Quadratura Gauss-Laguerre
38
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
A Quadratura de Gauss-Laguerre pode ser usada para avaliar integrais na forma:
,)( a
xdxxfe onde a arbitrrio e finito atravs da transformao linear x=z+a
+ +=+=a
zaazxdzazfeedzazfedxxfe
0 0
)()()()(
E a formulao geral da Quadratura Gauss-Laguerre para limites inferiores de
integrao com a arbitrrio dada por:
=
+=n
iii
a
a
xazfwedxxfe
0)()( Onde wi e zi esto tabulados
39
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE
Exemplo: Use a formulao anterior para avaliar a integral:
Cuja soluo analtica : 5/e 1
2dxxe
x
=
+=n
iii zwe
0
21)1(
=
+=n
iii
a
a
xazfwedxxfe
0)()(
++= = ==
n
i
n
iiiii
n
ii wzwzwe
0 1
2
0
12
,220
==
i
n
ii zw ,1
0=
=i
n
ii zw 1
1=
=
n
iiw
Dos valores de razes e respectivos pesos tabulados, temos:
40
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-CHEBYSHEV
QUADRATURA GAUSS-CHEBYSHEV
Outra frmula de quadratura gaussiana pode ser obtida usando-se da propriedade de ortogonalidade dos polinmios de Chebyshev. O desenvolvimento anlogo ao das quadraturas Gauss-Legendre e Gauss-Laguerre
A frmula de quadratura de Gauss-Chebyshev dada por:
)()(1
10
1
12
+
=
n
iii zFwdzzF
zNovamente, a integrao exata se F(z) um polinmio de grau (2n+1) ou menor. Os (n+1) valores de zi so as razes do (n+1)grau do polinmio de Chebyshev Tn+1(z) de forma que:
)22()12(cos +
+= nizi
i=0,1,2,....n
41
CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I
QUADRATURA GAUSS-CHEBYSHEV
Neste caso os valores de wi so iguais e tem o valor de
resultando
1+n
)(1)(1
10
1
12
+
+=
n
iizFndzzF
z
),()!22(2
2 )22(22
++ +
= nnn Fn
E
O termo do erro dado por:
Podemos ainda mudar os limites de integrao entre dois valores a e b finitos, atravs de uma transformao de variveis apropriada.
em (-1,1)
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QUADRATURA GAUSS-HERMITE
QUADRATURA GAUSS-HERMITE
Baseando-se na propriedade de ortogonalidade dos polinmios de Hermite, podemos escrever a Quadratura Gauss-Hermite como:
=
=n
iii
xxfwdxxfe
0),()(
2
Onde xi so as razes do polinmio de Hermite de grau (n+1)
com o correspondente termo do erro dado por:
),()!22(2
)!1( )22(12
++ ++= nnn F
n
nE
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QUADRATURA GAUSS-HERMITE
RAZES DOS POLINMIOS DE HERMITE H n+1 E FATORES PESO PARA A QUADRATURA GAUSS-HERMITE
Razes (Z i) Fatores peso (W i )
Two-Point Formula 0.7071067811 n = 1 0.8862269255
Tree-Point Formula 1.2247448714 n=2 0.2954089752
0.00000000000 1.1816359006
Four-Point Formula 1.6506801239 n=3 0.0813128354 0.5246476233 0.8049140900
=
=n
iii
xxfwdxxfe
0
),()(2
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OUTRAS FORMULAS DE QUADRATURA GAUSSIANA
OUTRAS FORMULAS DE QUADRATURA GAUSSIANA
Atravs da transformao apropriada das variveis de integrao ou da funo a ser integrada, as quatro quadraturas Gaussianas anteriores permitem a avaliao numrica de diversas integrais sobre intervalos de integrao finita, semi-finita ou infinita.
Podemos ainda escrever: =ba
b
a
dxxwxfxwdxxf )()()()(
= ba
dxxgxw )()(
E ento usar a quadratura apropriada para integrais na forma acima. til no caso do integrando possuir singularidades, relegando o termo singular para a funo peso.
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OUTRAS FORMULAS DE QUADRATURA GAUSSIANA
Uma grande variedade de formulas do tipo Gaussiana pode ser gerada para particulares funes peso, limites de integrao e conjuntos de polinmios ortogonais.
Quando a Quadratura Gaussiana possui os dois limites de integrao como pontos base (razes) x0 = a e xn =b, os pontos remanescentes x1,...x n-1 so as razes de Pn(x).Esta Frmula denominada de QUADRATURA LOBATTO e a integral de f(x) exata se f(x) um polinmio de grau 2n-1.
Quando apenas um dos limites de integrao especificado como ponto base a frmula chamada de QUADRATURA RADAU e a integral exata quando f(x) um polinmio de grau 2n ou menor.
Existem ainda extensas tabelas de pontos base e fatores peso para uma variedade de QUADRATURAS.
As mais completas so as das QUADRATURAS vistas anteriormente.
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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
BIBLIOGRAFIA:
1) Applied Numerical Methods,
Carnahan, Brice; Luther, H.A.; Wilkes, J.O.
John Wiley & Sons, New York, 1969
Paginas 100 a 127
2) Quadratura de Gauss
Azevedo, lvaro F. M.
Captulo 5
3) http://www.profwillian.com/calcnum/index_calcnum.html