8/18/2019 Metodos Matematicos Problemas Práticos
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Problemas e exercícios propostos parte 3 Problemas
práticos e métodos numéricos
Alunos: Filipe Rocha Guedes
Professor: Paulo Marcelo V. Ribeiro
RECIFE
MAIO, 2014
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1. Problema com EDO com ordem maior que 2 – família de soluções repetidas emparticular e homogênea
Considerando para o exemplo a EDO:
yV + y = 1 x ² e− 1.1 Como sendo a EDO de ordem 4 não homogênea do nosso problema. A solução
geral y(x) se dará pela soma da solução homogênea com a particular. Neste caso a
homogênea associada terá raízes repetidas na equação característica, implicando em
dependência linear. Assim na prática tem-se uma sequência de soluções multiplicadas
por potências da variável independente x para garantir a independência linear, ou
seja:
yH = C + Cx + Cx ² + Ce− 1.2 Isso devido ao fato de que as raízes da equação característica são m1 = 0 com
multiplicidade 3 (ou seja m1=m2=m3=0) e m4 = - 1.
Para a parte não homogênea, ou seja o lado direito da equação, que chamaremos de
g(x), e, utilizando a tabela prática para determinação da solução particular a partir dos
métodos dos coeficientes a determinar temos:
y = A + Bx + C x + De− 1.3 E a solução particular tem dois termos repetidos em relação à homogênea (1.2). Um
artifício é necessário para eliminar a repetição de soluções em (1.3) e (1.2),
multiplicando as soluções repetidas por potências de x. Porém o que se fará agora é
aplicar a solução (1.3) e utilizar o método dos coeficientes a determinar para ver se
ainda assim é possível encontrar a mesma solução.
Nota-se que, ao substituir (1.3) na EDO de origem (1.1) chegamos à:
C 6 B + 2 B xe− = 1 x ² e− 1.4 Onde assim podemos determinar os coeficientes C e B. Porém os outros coeficientes, Ae D, terminam que tendo seus termos cancelados após a substituição, fazendo com que
não seja possível determinar seus valores por este método. Nota-se que A e D
correspondem, justamente, às duas famílias de soluções repetidas na homogênea
(1.2). Ou seja, A e C1, e D e C4 produzem, na homogênea e na particular,
respectivamente, as mesmas famílias de soluções. Conclui-se então que o método dos
coeficientes a determinar sem ser aplicado nenhum artifício recai nesta indeterminação
neste caso
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2. Análise de uma viga em base elástica por meio de modelos analíticos e com a
utilização do F-Tool. Verificar casos com carga uniforme e concentrada.
2.1) Modelo analítico da viga em base elástica
A EDO que corresponde ao modelo matemático da viga em base elástica é não
homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes. Assim:
EIνx + kνx=q 2.1 Onde ks representa o coeficiente de mola (apoio elástico à translação) do modelo
representado pelo terreno.
Para o caso de uma viga infinita, temos como solução dessa EDO:
νx = eAcosβx+Bsenβx + e−Ccosβx+Dsenβx 2.2 β = √ k4EI 2.3
E os coeficientes A, B, C e D a determinar em função das condições de contorno.
Caso 1
– carga concentrada
aplicada na viga “infinita”
Admitindo que o deslocamento vertical e as curvaturas, em pontos infinitamente
distantes da força P são iguais a zero, temos A = C = 0, resultando apenas em:
νx = e−Ccosβx+Dsenβx 2.4 Considerando a origem no ponto de aplicação da carga (O), já que deve ser levado emconta o efeito da simetria.
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No ponto x = 0, a linha elástica deve ter tangente horizontal, assim temos que:
ν′0 =0 2.5 É uma condição de contorno.
Outra condição de contorno é a de que no ponto x = 0 (origem), o valor do cortante éigual a –P/2, ou seja: EIν 0 = 2 2.6 É outra condição de contorno.
Assim aplicando (2.5) em (2.4) resulta em:
βe−
Ccosβx+Dsenβx+CsenβxDcosβx = 0
C=D 2.7 E aplicando (2.6) e (2.7) em (2.4) resulta em:
C = D = P8β³EI 2.8 Assim substituindo (2.8) em (2.4) temos a equação da linha elástica para a viga:
νx = ³ e−cosβx+senβx 2.9 E a equação dos momentos fletores é obtida com a segunda derivada:
EIvx = Mx = P4β e−senβx cosβx 2.10 Para um exemplo prático, será realizada uma modelagem no ftool com uma
comparação analítica com os seguintes dados:
{ P=100kNE=25000MPak=1000kN/mI=0.0027m A solução analítica apresentou os seguintes resultados:
ν0 =12.335mm M0 =101.34kNm analítica 2.11 Contra praticamente os mesmos resultados da modelagem no ftool:
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ν0 =12.3352mm M0 =100.31kNm ftool 2.12 Caso 2 – carregamento distribuído
Neste caso tem-se para o ponto A:
ν = q2k ( 2 e−cosβae−cosβb) 2.13 e para o momento fletor:
M = q4β²
(e−senβae−senβb) 2.14 As equações com os valores teóricos foram implantadas numa planilha do
Mathcad para serem comparados com os valores dos modelos no ftool, assim como no
exemplo anterior. Os resultados novamente mostraram-se bem próximos.
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3. Problema de flambagem de uma coluna engastada-livre. Determinar carga crítica e a
configuração deformada empregando as estratégias desenvolvidas até o momento.
3.1 A equação diferencial para flambagem de coluna
Os carregamentos críticos para colunas com os vários tipos de condições de
apoio podem ser determinados a partir da equação diferencial da curva de deflexão da
coluna.
O procedimento se dá da seguinte maneira: primeiro, assumindo que a coluna
já está no estado de flambagem, obtemos uma expressão para o momento fletor nacoluna e em seguida, utilizando a equação diferencial da linha elástica EIv’’ = M,obtém-se a solução geral, que, dependendo do caso, será composta por homogênea e
particular.
Caso 1 – Coluna engastada-livre
Para este caso tem-se que o momento fletor a uma distância x da base é:
M = Pδ ν 3.1Assim a equação diferencial para este caso será:
EIν = Pδ ν 3.2 Fazendo k² = P/EI temos:
ν + k ν = kδ 3.3 Que se trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes
constantes.
A solução homogênea se dá com a substituição do lado direito de (3.3) por zero.
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Assim, temos: νH = Csenkx + C coskx 3.4 E a solução particular é obtida utilizando a tabela prática, onde g(x) = A (constante),
assim: ν = A 3.5 E substituindo (3.5) em (3.3) podemos observar facilmente que:
ν = A = δ 3.6 Assim a solução geral é a soma da particular com a homogênea:
νx = Csenkx + C coskx + 3.7
Cujas condições de contorno são (rotação e translação restringidas no apoio – engaste):
ν0 = 0 e ν0 =0 3.8 Aplicando (3.8) em (3.7) chegamos à:
C = 0 e C =δ 3.9 Assim a equação (3.7) será:
νx = 1 c o s 3.10 É importante lembrar que estas equações somente são válidas para a teoria das
pequenas deformações.
Fazendo v(L) = resulta em:
0 = cos 3.11
Onde assim como > 0 , então:coskL = 0 ∴ k L = nπ2 3.12 Ou seja:
k² = PEI ∴ P = n²π²EI4L² 3.13 Sendo (3.13) a fórmula para os carregamentos críticos. Como o que nos interessa na
prática é o menor dos carregamentos críticos, faremos n = 1 , assim:
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P = π²EI4L² 3.14 Para o caso da barra engastada-livre.
Caso 2 – Coluna com par de condição de contorno não abordada na literaturaPara este caso será utilizado um par de condição de contorno não abordado em livros
de Resistência dos Materiais e será desenvolvido um problema semelhante ao caso 1,
ou seja, avaliar a carga crítica e a deformação da coluna teórica. Na literatura usual,
tem-se apenas os seguintes pares de condições de contorno nas barras: -articulada-articulada
-engastada-livre
-engastada-articulada-engastada-engastada
Será avaliado um caso em que há uma extremidade articulada e outra com um apoio
com translação livre e rotação restringida, ou seja, o caso ilustrado (esquematizado) a
seguir:
Uma consulta mostra que o resultado para o valor de Pcr teórico deve ser o mesmo do
caso de coluna engastada-livre, ou seja, com comprimento de flambagem equivalenteigual a 2.
Para este caso tem-se que o momento fletor a uma distância x da base é:
M = Pν 3.15Assim a equação diferencial para este caso será:
EIν =Pν 3.16
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Fazendo k² = P/EI temos:
ν + k ν = 0 3.17 Que se trata de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem comcoeficientes constantes.
A solução de (3.17) não é nada mais do que a solução homogênea de (3.3), ou seja:
νx = Csenkx + C coskx 3.18 Só que agora as condições de contorno são:
ν0 = 0 e ν
L = 0 3.19
Aplicando as condições de contorno temos:C = 0 e C coskL =0 3.20Fazendo C1 = 0 obteríamos a solução trivial, assim temos que:
coskL = 0 ∴ k L = 2 3.21 Substituindo o valor de k:
k² = PEI ∴ P = n²π²EI4L² 3.22 E para o primeiro valor da carga crítica (n=1):P = π²EI4L² 3.23
Observa-se que o valor de Pcr (3.23) para este caso é exatamente igual ao do caso dacoluna engastada-livre (3.14), como queríamos demonstrar.
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4. Métodos numéricos para EDOs
Nesta Etapa será utilizado o método numérico de Euler e o método de Eulermelhorado para resolver o problema de torre em vibração não-amortecida com os dadosindicados na planilha.
Para programação utilizando loop foi utilizado o software Mathcad, que permiteresolver estruturas de repetição com uma interface simples e intuitiva.
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ANEXO 1 – PROBLEMA 1 – DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES
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