Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaikÖsszeállította: Pataki János; dátum: 2005. január
I. rész
1. feladatHány deciliter 1,2% zsírtartalmú tej tartalmaz ugyanannyi zsírt, mint 1,2 liter 2,8%-os
zsírtartalmú tej?(3 pont)
2. feladat
Fejezze ki x-et az összefüggésből!
(3 pont)3. feladatEgy kockát kétszer feldobunk. Melyik valószínűbb: az, hogy a dobott számok összege
páros, vagy pedig az, hogy ez az összeg páratlan?(2 pont)4. feladat
Mennyi pontos értéke?
(3 pont)5. feladatEgy derékszögű háromszög átfogója 13 cm, a befogóinak az összege 17 cm. Mekkora a
háromszög területe?(3 pont)6. feladatÍrja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad a P(1;–1) ponton és
párhuzamos a 3x – 2y = 11 egyenletű egyenessel!(2 pont)7. feladatOldja meg a egyenletet a valós számok halmazán!(4 pont)8. feladatEgy csoport diák átlagos testmagassága 181 cm. Miután a csoporthoz csatlakozott egy
újabb, 163 cm magas diák, az átlagos testmagasság 179 cm-re csökken. Hányan voltak eredetileg a csoportban?
(3 pont)9. feladatNégy házaspár tagjai közül véletlenszerűen kiválasztunk két embert. Mekkora a
valószínűsége annak, hogy éppen egy házaspár két tagját választottuk ki?(3 pont)10. feladatA K1 kocka térfogata négyszer akkora, mint a K2 kocka térfogata. Hányszor akkora a K1
kocka felszíne, mint a K2 kockáé?(4 pont)II./A rész11. feladatPéter 150 000 Ft-ot helyzett el egy bankban évi 5,25%-os kamatra.a) Mennyi Péter tőkéje a harmadik év végén?b) Hány teljes évre van szükség ahhoz, hogy Péter kezdeti tőkéje megduplázódjék?
1
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
c) Változatlan kamatláb esetén mekkora kezdeti tőke duplázódik meg pontosan tíz év alatt?
d) Mekkora kamatláb esetén duplázódik meg a 150 000 Ft betét pontosan 10 év alatt?(12 pont)12. feladatÍrja föl annak a körnek az egyenletét, amelynek AB átmérőjére A(-7, 3) , illetve B(1, 9). Írja fel a kör x-tengellyel párhuzamos érintőjének az egyenletét.(12 pont)13. feladatEgy számtani sorozat első húsz elemének az összege 45, az első negyven elem összege
pedig 290. Határozza meg a sorozat első elemét és differenciáját. Hány 100-nál kisebb eleme van a sorozatnak?
(12 pont)II./B részA 14 - 16. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.14. feladat Az alábbi táblázat egy osztály matematika dolgozatának eredményeit tartalmazza
Osztályzat 5 4 3 2 1
Gyakoriság 1 6 11 4
Relatív gyakoriság
Emelt szintű érettségi feladatsorÖsszeállította: Orosz Gyula; dátum: 2005. október
A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I – III. példatárát.
I. rész
1. feladatEgy osztályban 24-en írtak matematika dolgozatot. Feleannyi 5-ös dolgozat volt, mint 4-
es. A dolgozatok közül 20%-kal több volt a 3-as, mint a 2-es. A 4-es és 5-ös dolgozatok együttes száma megegyezett az 1-es, 2-es és 3-as dolgozatok együttes számával. Mennyi volt a dolgozatok
a) átlaga;b) módusza;c) mediánja?
(12 pont)
2. feladat
Adott a valós számok halmazán értelmezett két függvény: f(x) = ,
g(x) = .
a) Mely pontban metszi az f függvény a derékszögű koordináta-rendszer y tengelyét?b) Mely pontban metszi a g függvény a derékszögű koordináta-rendszer x tengelyét?c) Oldja meg az f(x) – 2 g(x) egyenlőtlenséget!
(12 pont)
2
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
3. feladatA H1, H2, H3, … halmazokból álló sorozat képzési szabálya a következő:
H1 = {1}, H2 = {2, 3}, H3 = {4, 5, 6} stb. (Mindig a soron következő természetes számok kerülnek be az új halmazba, és az n. halmazban n darab szám van (n N+ )).
a) Mely elemekből áll H40?b) Mennyi H40 elemeinek összege?
(13 pont)
4. feladatEgy templom építésekor az ábra szerinti félkör
alakú ablakkeretbe három kör alakú díszítőelemet terveztek. A szimmetrikusan elhelyezkedő díszítő körablakok egymást és a keretet is érintik. Számítsuk ki a két kisebb kör alakú ablak sugarát!
(14 pont)
3
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
II. rész
Az 5. - 9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, az ötödik sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe!
5. feladatA derékszögű koordináta-rendszerben adott a k: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 egyenletű kör.a) Határozza meg, mely pontokban metszi a kör a koordináta-rendszer tengelyeit!b) Mekkora szögben metszi a kör a tengelyeket? (Egyenes és kör szögén az egyenesnek és
a közös pontban a körhöz húzott érintőnek a szögét értjük.)(16 pont)
6. feladatHány olyan ötjegyű pozitív egész szám van, amelyben van 8-as és 9-es számjegy is?
(16 pont)
7. feladatEgy acélból készült szabályos ötszög alapú gúlát levélnehezéknek használunk. Mekkora a
tömege, ha az alapéle a = 1,56 cm és az oldaléle = 72°45’-os szöget zár be az alaplappal? (Az acél sűrűsége = 7,2 g/cm3 .)
(16 pont)
8. feladat
Az a, b, c pozitív egész számok összege 300. Mennyi a K =
kifejezés minimuma, s ezt az értéket milyen a, b, c esetén veszi fel?(16 pont)
9. feladat
Hány rácsponton megy át az függvény görbéje, ha a függvény
értelmezési tartománya Df = [–3; 30]? (A derékszögű koordináta-rendszer P(x; y) pontját akkor nevezzük rácspontnak, ha x és y egész szám.)
(16 pont)
4
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
a) Tudjuk, hogy a jegyek átlaga 2,44. Hány 4-es osztályzat született?b) Töltse ki a relatív gyakoriságok sorát.c) Határozza meg az osztályzatok móduszát és mediánját.d) Ábrázolja a kumulált relatív gyakoriságokat vonaldiagramon!(17 pont)15. feladata) Egy téglalap területe 20 cm2 a kerülete pedig 20 cm. Mekkorák az oldalai?b) Egy téglalap kerülete 20 cm. Milyen határok között változhat a területe?c) Egy téglalap területe 20 cm2 . Milyen határok között változhat a kerülete?d) Igazolja, hogy ha egy téglalap területe T cm2 , a kerülete pedig K cm, akkor
.
e) Milyen nagy lehet annak a téglalapnak a területe, amelynek a kerülete és a területe egyenlő mérőszámú?
(17 pont)16. feladatAdottak a koordinátarendszerben az O(0;0) és a A(8; 6) pontok. A P(x; 10) pont az y = 10 egyenesen mozog.
a) Igazolja, hogy . Keressen hasonló kifejezést az OP távolságra.
b) Bizonyítsa be, hogy .
c) Hány fokos az OPA, ha x = 8?
d) Az f(x) függvényt az alábbi módon értelmezzük:
. Tekintsük az f(x) = 1 egyenletet.
e) Magyarázza meg az O, A és P pontok helyzete alapján, hogy mért van ennek az egyenletnek megoldása.
f) Mennyi az egyenlet pontos megoldása?(17 pont) Dobos Sándor 2004. decemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója
1. feladat, tehát x=120. A régi havi átlag 120 peták volt. (Ha a petákot nem írja ki, de a
120-at kiszámolja, a 2 pont megadható.)Összesen: 2 pont
2. feladata) (7200, 7500)=300.2 pontb) [999, 1001]=9999992 pontÖsszesen: 4 pont3. feladatHa x pozitív, akkor x2 >1, tehát x>1.1 pontHa x negatív, akkor x2 <1, tehát -1<x<0.
5
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
1 pontA megoldás .1 pontÖsszesen: 3 pont
6
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Orosz Gyula 2005. novemberioktóberi emelt szintű feladatsorának pontozási útmutatója
Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaikÖsszeállította: Orosz Gyula; dátum: 2005. október
A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I – III. példatárát.
Feladatok
I. rész
Emelt szintű érettségi feladatsor
Összeállította: Orosz Gyula
A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I – III. példatárát.
Feladatok
I. rész (4 feladat, 51 pont):
1. feladat ( pont): Egy osztályban 24-en írtak matematika dolgozatot. Feleannyi 5-ös dolgozat volt, mint 4-
es. A dolgozatok közül 20%-kal több volt a 3-as, mint a 2-es. A 4-es és 5-ös dolgozatok együttes száma megegyezett az 1-es, 2-es és 3-as dolgozatok együttes számával. Mennyi volt a dolgozatok
átlaga;módusza;mediánja?
Megoldás:
a) Jelöljük az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös dolgozatok számát d1, d2, d3, d4, d5-tel, ekkor:
(1) d1 + d2 + d3 + d4 + d5 = 24;(2) 2d5 = d4. (3) 1,2d2 = d3. (4) d1 + d2 + d3 = d4 + d5 ( = 12),
7
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
és keressük értékét.
2 pont
(2)-ből és (4)-ből d5 = 4, d4 = 8. (3)-ból d2 5-nek többszöröse.2 pont
Ha d2 = 5, akkor d3 = 6, d1 = 1, az átlag .
1 pont10 vagy több 2-es nem lehetséges,
1 pontviszont a 0 darab 2-esnek matematikailag van értelme. Ekkor az átlag
.
2 pont
b) Ha az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös dolgozatok száma rendre 1, 5, 6, 8, 4, akkor a módusz 4; ha pedig a számuk rendre 12, 0, 0, 8, 4, akkor a módusz 1.
2 pont
c) Az első esetben a medián 3,5, a második esetben 3.2 pont
Összesen: 12 pont
2. feladat ( pont):
a) f(0) = , így az y tengelymetszet .
1 pont
b) A g(x) = 0 egyenletből = 0, ha x1 = –0,75, x2 = 2. Tehát az x
tengelymetszetek (–0,75; 0), illetve (2; 0).2 pont
c) Az Adott a valós számok halmazán értelmezett két függvény: f(x) = , g(x) =
. Oldja meg az f(x) – 2 g(x) egyenlőtlenséget!
Megoldás:
egyenlőtlenségből átalakításokkal
0, innen 3x2 + 2x – 5 0 adódik.
2 pont
8
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
A 3x2 + 2x – 5 = 0 egyenlet megoldásai x1 = 1, x2 = .
2 pont
0, ha így a megoldás: a szorzat tényezői azonos előjelűek.
1 pont
Így a megoldás x vagy 1 x.
4 pontÖsszesen: 12 pont
Megjegyzés:
Az utolsó öt pont akkor is jár, ha a megfelelő intervallumokat a másodfokú függvény grafikus ábrázolása segítségével olvassuk le.
3. feladat ( pont): A H1, H2, H3, … halmazokból álló sorozat képzési szabálya a következő:
H1 = {1}, H2 = {2, 3}, H3 = {4, 5, 6} stb. (Mindig a soron következő természetes számok kerülnek be az új halmazba, és az n. halmazban n darab szám van (n N)).
Mely elemekből áll H40?Mennyi H40 elemeinek összege?
Megoldás:
a) A H1, H2, … H39 halmazokban összesen 1 + 2 + … + 39 elem van,3 pont
ezek száma = 780,
3 pontígy H40 = {781, 782, … , 820}.
3 pont
b) b) Az elemek összege a számtani sorozat összegképlete alapján = 32
020.4 pont
Összesen: 13 pont
4. feladat ( pont):
Egy templom építésekor az ábra szerinti félkör alakú ablakkeretbe három kör alakú díszítőelemet terveztek. A szimmetrikusan elhelyezkedő díszítő körablakok egymást és a keretet is érintik. Számítsuk ki a kisebb kör alakú ablak sugarát!
9
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Megoldás:
Felhasználjuk az alábbi, körök érintkezésével kapcsolatos két tételt:1. Az érintkezési pontba húzott sugár merőleges az érintőre; valamint
2 pontvalamint
2. az érintkező körök középpontjait összekötő centrális áthalad a körök érintési pontján.2 pont
Jelöljük a keresett kör sugarát r-rel (ábra). A fenti tételek miatt az ábra szerinti ABC háromszög oldalai (cm-ben mérve) AB = 30, BC = 30 + r, AC = 60 – r.
3 pontHa a C pont merőleges vetületét AB-n T jelöli, akkor AT = r, BT = 30 – r, és a CTB és CTA derékszögű háromszögekre felírhatjuk Pitagorasz tételét.
3 pont
CT mindkét derékszögű háromszögben közös befogó, így BC2 – BT2 = AC2 – AT2, (30 + r)2 – (30 – r)2 = (60 – r)2 – r2,
2 pont
ahonnan rendezés után r = 15 cm.2 pont
Összesen: 14 pont
10
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
II. rész (4x16 pont):
Az 5. - 9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, az ötödik sorszámát írja be a 2. oldalon az üres négyzetbe!
5. feladat I. megoldásaa) A K(3; 4) középpontú kör az y = 0
egyenletű x tengelyt az A(0; 0), illetve B(6; 0) pontokban metszi; az x = 0 egyenletű y tengelyt pedig (az origón kívül) a C(0; 8) pontban.
4 pont
b) Az = (3; 4), = (–3; 4) és = (3; –4) vektorok rendre az A, B, C pontokban húzott a, b, c érintők normálvektorai, így az érintők egyenlete: a: 3x + 4y = 0; b: –3x + 4y = –18 és c: 3x – 4y = –32 (ábra).
6 pontA kör és a tengelyek hajlásszöge megegyezik az érintők és a tengelyek hajlásszögével.
2 pont
Az érintők iránytangense rendre tg = , tg = , tg = , innen az x tengelyt A-ban
és B-ben 36,9°-os szögben metszi a kör; míg az y tengelyt A-ban és C-ben 53,1°-os szögben (ábra).
4 pontÖsszesen: 16 pont
Megjegyzések:
Számolás nélkül észrevehetjük, hogy pl. a és b tükrös helyzetűek az x = 3 egyenletű egyenesre; valamint hogy b és c párhuzamosak. Ezekkel az észrevételekkel kissé kényelmesebb a számolás.
11
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
A kör és a tengelyek hajlásszögének meghatározásához nincs szükség az érintők egyenle-tére. A megoldás tovább rövidíthető, ha az , , normálvektorok segítségével közvetlenül számolunk hajlásszögeket.
5. feladat II. megoldása Második megoldás (útmutatás):
A kör „alsó félkörének” egyenlete y = = . Ennek x = 0 és x = 6 helyen vett deriváltjai a kör és az x tengely hajlásszögeinek tangenseit adják az A és B
pontokban. y’ = = .
y’(0) = , y’(6) = ; az első megoldással egyező eredményt kaptunk. Az y =
„felső félkör” x = 0 helyen vett deriváltjából hasonlóan következtethetünk a C pontbeli hajlásszögre.
12
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
6. feladat Jelöljük A-val és B-vel azon ötjegyű pozitív egész számok halmazát, amelyekben nincs 8-
as, ill. 9-es számjegy! A feladat elemszámának meghatározása. (A H alaphalmaz az ötjegyű pozitív egész számok halmaza.)
3 pontA = B = 894 , A B = 784 , H = 9104 .
4 pontInnen = H – (A + B – A B) =
5 pont= 9104 – 2894 + 784 = 13 696.
4 pont(Az összes ötjegyű pozitív egész számból kivontuk azokat, amelyek nem tartalmaznak 8-
as, ill. 9-es számjegyet; de így a sem 8-ast, sem 9-est nem tartalmazó számokat kétszer vontuk le, tehát egyszer hozzá kell adni az összeghez.)
Összesen: 16 pont
5. feladat (16 pont): Az ABCD négyzet oldala 10 egység hosszúságú. Egy P pont az ábra szerinti AC egyenesen A-tól és C-től távolodva mozog v sebességgel úgy, hogy kezdetben a C pontban van.
P
D
A B
C
Határozzuk meg az ABP háromszög kerületét és területét
az eltelt idő függvényében;
a P pontnak az AD egyenestől való távolsága függvényében!
Megoldás:
a) Ha az eltelt idő t, akkor PC = vt, PP’ = BC + 2
PC =
2vt10 , s a terület T =
2vt550
(területegység). A koszinusz-tételből PB2 = BC2 + CP2 – 2BCCPcos45°, innen BP =
13
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
21vt102tv100 22 , a háromszög kerülete K = AB + AP + PB =
21vt102tv10021010 22 egység.
P’
P
D
A B
C
b) A P pont és az AD egyenes távolsága megegyezik PP’-vel. Ha PP’ = z, akkor AP = z2 ,
CP = )10z(2 , BP = 2
1)10z(2102)10z(2100 2 = 500z60z2 2 . A
terület T = 5z, a kerület K = 10 + z2 + 500z60z2 2 egység.
6. feladat (16 pont): Mekkora szögben metszi az (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 kör a koordináta-rendszer tengelyeit?
Első megoldás:
A K(3; 4) középpontú kör az y = 0 egyenletű x tengelyt az A(0; 0), illetve B(6; 0) pontokban metszi; az x = 0 egyenletű y tengelyt pedig az (origón kívüli) C(0; 8) pontban.
Az = (3; 4), = (–3; 4) és = (3; –4) vektorok rendre az A, B, C pontokba húzott a, b, c érintők normálvektorai, így az érintők egyenlete a: 3x + 4y = 0; b: –3x + 4y = –18 és c: 3x – 4y = –32. A kör és a tengelyek hajlásszöge megegyezik az érintők és a tengelyek
hajlásszögével. Az érintők iránytangense rendre tg = , tg = , tg = , innen az x
tengelyt A-ban és B-ben 36,9°-os szögben metszi a kör; míg az y tengelyt A-ban és C-ben 53,1°-os szögben (ábra).
14
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Megjegyzés:
Számolás nélkül észrevehetjük, hogy pl. a és b tükrös helyzetűek az x = 3 egyenletű egyenesre; valamint hogy b és c párhuzamosak. Ezekkel az észrevételekkel kissé kényelmesebb a számolás.
Második megoldás (útmutatás):
A kör „alsó félkörének” egyenlete y = = . Ennek x = 0 és x = 6 helyen vett deriváltjai a kör és az x tengely hajlásszögeinek tangenseit adják az A és B
pontokban. y’ = = .
y’(0) = , y’(6) = ; az első megoldással egyező eredményt kaptunk. Az y =
„felső félkör” x = 0 helyen vett deriváltjából hasonlóan következtethetünk a C pontbeli hajlásszögre.
77. feladat (16 pont): Egy acélból készült szabályos ötszög alapú gúlát levélnehezéknek használunk. Mekkora a
tömege, ha az alapéle a = 1,56 cm és az oldaléle = 72°45’-os szöget zár be az alaplappal? (Az acél sűrűsége = 7,2 g/cm3.)
Megoldás:
Jelölje az ABCDE alapú gúla alaplapon kívüli csúcsát S, ennek vetületét az alaplapon T, T vetületét az AB oldalon U (ábra).
1 pont
Az adatok alapján = TBS és UB = = 0,78 cm.
2 pont
15
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Az ATB egyenlő szárú háromszög szárai által bezárt szög a teljes kör ötöde: ATB = 72°.
Így UTB = 36°, BT = = 1,33 (cm). A gúla ST magassága a BTS
derékszögű háromszögből számolható: ST = BTtg = 4,27 (cm).
6 pont
Az ABCDE lap öt egybevágó, egyenlő szárú háromszögre bontható fel, területe TABCDE =
4,19 (cm2).
3 pont
A gúla térfogata V = 5,96 (cm3), tömege m = V 42,94 (g).
4 pontÖsszesen: 16 pont
9. feladat (16 pont): Hány olyan ötjegyű pozitív egész szám van, amelyben van 8-as és 9-es számjegy is?
Megoldás:
Jelöljük A-val és B-vel azon ötjegyű pozitív egész számok halmazát, amelyekben nincs 8-as, ill. 9-es számjegy! A feladat elemszámának meghatározása. (A H alaphalmaz az ötjegyű pozitív egész számok halmaza.) A = B = 894, A B = 784, H = 9104. Innen = H – (A + B – A B) = 9104 – 2894 + 784 = 13696. (Az összes ötjegyű pozitív egész számból kivontuk azokat, amelyek nem tartalmaznak 8-as, ill. 9-es számjegyet; de így a sem 8-ast, sem 9-est nem tartalmazó számokat kétszer vontuk le, tehát egyszer vissza kell adni az összeghez.)
16
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Középszintű sor
II.a.
k2. 5.4. A koordinátarendszer kezdőpontjából kilőtt lövedék röppályáját az f(x) = x – 0,1x2
függvény grafikonja írja le.
Mekkora a lőtávolság?Mekkora a lövedék által elért legnagyobb magasság?
k2. 5.8. Egy sakkversenyen n nő és 2n férfi vett részt. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. Nem volt döntetlen, és a nők által megnyert játszmák száma úgy aránylik a férfiak által megnyert játszmák számához, mint 7:5. Hány nő vett részt a játékban?
g3061. Milyen magas az az épület, amely a lábától egyenletesen lejtő úton mért 24 méter távolságból 35°50’, és a lejtőn 28 méterrel lejjebbről 19°30’-es szög alatt látszik? Mekkora a lejtő hajlásszöge?
***
Feladat: kínai maradéktétel
k1. 1.24. Az alábbi táblázatban az 1990 és 2002 közötti néhány évben a személyi sérüléssel járó közúti közlekedési balesetekről soroltunk fel néhány adatot.
1990
2000
2001
2002
Balesetek száma 27801
17493
18505
19686
Ebből: járművezető hibája 23890
15302
16235
17317
gyalogos hibája 3426
1886
2031
2001
műszaki hiba 241
129
82 105
Ittasan okozott balesetek száma 4258
2062
2138
2440
Ebből: járművezető hibája 3741
1827
1928
2209
gyalogos hibája 507
233
208
226
Meghalt személyek száma 2432
1200
1239
1429
Sérült személyek száma 36996
22698
24149
25978
8. feladat
17
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
Közös nevezőre hozás után K = = .
4 pont
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt = 100, innen
abc 1000000.4 pont
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségben akkor állhat egyenlőség, ha a tagok megegyeznek. Innen abc maximális, ha a = b = c = 100.
4 pont
Ekkor K minimális, a felvett minimum K = = .
4 pontÖsszesen: 16 pont
9. feladat
Átalakításokkal y = = = = .
Ha x természetes szám, akkor 2x is természetes szám, s ha y is egész, akkor 2x – 1 osztója 45-nek.
2 pontA lehetséges eseteket táblázatba foglalhatjuk (az exponenciális függvény
kölcsönösen egyértelmű):
2x – 1 1 3 5 9 15 452x 2 4 6 10 16 46x 1 2 4y 50 20 8
3 pontHárom esetben kapunk egész értéket x-re, a rácspontok: (1; 50), (2; 20), (4; 8).
3 pont
Ha x negatív egész szám, akkor x = –z helyettesítéssel = = =
. 2z pozitív egész szám, s ha y egész, akkor 1 – 2z osztója 45-nek.
2 pontA lehetséges eseteket táblázatba foglalhatjuk.
1 – 2z –1 –3 –5 –9 –15 –452z 2 4 6 10 16 46z 1 2 4x –1 –2 –4y –95 –55 –43
3 pontHárom esetben kapunk egész számot x-re, az utolsó érték viszont nincs benne a [–3; 30]
alaphalmazban. A megfelelő rácspontok: (–2; 55), (–1; 95).
18
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
3 pontA függvény tehát összesen öt rácsponton megy át.
Összesen: 16 pontEgy-egy átlagos napra hány baleset, ittasan okozott baleset, személyi sérülés, halállal
végződő sérülés jut?Mekkora az egyes években a gyalogosok hibájából történt balesetek százalékos aránya?
Ábrázoljuk vonaldiagrammal az egyes években az ittas járművezetők, ill. gyalogosok hibájából okozott balesetek számát!
Készítsünk az adatokból halmozott, majd 100%-ig halmozott vonaldiagramot is!
KooGeoExp, Log
***
e1. 5.22. Igazak-e az alábbi állítások?
Egy 13 elemű halmaz bármely négy 10 elemű részhalmazának közös része nem üres.Ha egy 13 fős társaságban bárkinek van legalább 10 ismerőse, akkor bármely négy
személynek van közös ismerőse.
19
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor Orosz Gyula, 2005. november
1. feladatsor - feladatok
I. rész (10 feladat, 30 pont):
II./a rész (3 feladat, 36 pont):
II./b rész (2 feladat, 34 pont):
A 14 - 16. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania.
20