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8/3/2019 MECFLU Cap10-Conceitos de Camada Limite

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Captulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite

PUCRS - DEM - Prof. Al 10-1

EEssccooaammeennttoo EExxtteerrnnoo VViissccoossoo::

CCoonncceeiittooss ddee CCaammaaddaa LLiimmiittee


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Mecnica dos Fluidos

10-2 Conceitos de Camada Limite

Captulo 10 - Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite

10.1 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS .................................................................................. 310.1.1 Efeito do Nmero de Reynolds no Escoamento Externo ..................... .......................... 3

10.2 ESCOAMENTO SOBRE PLACA PLANA ....................................................................................410.2.1 Foras Viscosas Predominantes Reynolds muito baixo - Re=0,1............................... 410.2.2 Foras Viscosas Moderadas Reynolds baixo - Re=10 .................... .......................... 4

10.2.3 Foras de Viscosas Confinadas Reynolds Alto - Re=107

..........................................5

10.3 CARACTERSTICAS DA CAMADA LIMITE............................................................................... 610.4 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE..........................................................................................710.5 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO ..........................................................................................710.6 ESPESSURA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO .....................................................................810.7 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACAS PLANAS...................................................................910.8 COEFICIENTE DE ARRASTO E FORA DE ARRASTO PELA TENSO DE CISALHAMENTO ..........1010.9 EQUAES DE BLASIUSPLACA PLANA CAMADA LIMITE LAMINAR ............................11ESPESSURA DA CAMADA LIMITE.................................................................................................. 11ESPESSURA DE DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE.................................................................... 1110.10 COEFICIENTE DE ARRASTO LOCAL OU COEF. DE TENSO DE CISALHAMENTO .................... 1110.11 COEFICIENTE DE ARRASTO MDIO................................................................................... 1110.12 TRANSIO DE ESCOAMENTO LAMINAR PARA TURBULENTO ...........................................1210.13 CAMADA LIMITE TURBULENTA EM PLACA PLANA ..........................................................13

10.13.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tenso de Cisalhamento.................. 1310.13.2 Coeficiente de Arrasto Mdio ................................................................................. 13

10.14 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE -ESCOAMENTO TURBULENTO ....................................... 1510.15 RESUMO DAS EQUAES DA CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA .................................... 16


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Captulo 10 - Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite

Quando um corpo se move atravs de um fluido existe um interao entre este e o fluido. Talinterao pode ser descrita por foras que atuam na interface fluido-corpo. Estas foras se devem aos efeitosviscosos e aos efeitos de presso. Em Engenharia, para avaliar os efeitos globais mais interessante

representar estas foras em funo da denominadafora de arrasto que atua na direo do escoamento e a fora de sustentao que atua na direo normal ao escoamento denominada sustentao. O arrasto esustentao podem ser obtidos pela integrao das tenses de cisalhamento e as foras normais ao corpo. NoCap.11 so abordadas as foras de sustentao e arrasto para escoamentos externos viscosos sobresuperfcies curvas tais como cilindros e aeroflios. No presente captulo abordado o escoamento externosobre placas planas.

10.1 Escoamento em Torno de CorposA caracterstica do escoamento em torno de um corpo depende de vrios parmetros como: forma do corpo,velocidade, orientao e propriedades do fluido que escoa sobre o corpo. Os parmetros mais importantespara descrever o escoamento sobre um corpo so o nmero de Reynolds e nmero de Mach.

10.1.1 Efeito do Nmero de Reynolds no Escoamento ExternoO nmero de Reynolds (Re= VD/) representa a relao entre os efeitos de inrcia e os efeitos viscosos. Sem os efeitos viscosos (=0) , o nmero deReynolds infinito. Por outro lado na ausncia de todos os efeitos de inrcia (=0) o nmero deReynolds nulo.Qualquer escoamento real apresenta um nmero de Reynolds entre esses limites. A natureza doescoamento varia muito se Re >>1 ou se Re


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10.2 Escoamento sobre Placa Plana10.2.1 Foras Viscosas Predominantes Reynolds muito baixo - Re0,1As Fig. 10.2 a Fig.10.4 mostram trs tipos de escoamentos sobre uma placa plana que tem comprimentoL.Para o caso em que Re0,1 (Fig.10.2) os efeitos viscosos so predominantes afetando o escoamento

uniforme. Devemos nos afastar consideravelmente da placa plana para alcanar uma regio do escoamentoque tem sua velocidade alterada em menos de 1%. A regio afetada pelos efeitos viscosos bastante amplaquando o nmero de Reynolds do escoamento baixo.

Figura 10.2 Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos predominantes

10.2.2 Foras Viscosas Moderadas Reynolds baixo - Re10Com o aumento doRe no escoamento (por ex. aumento de Uoo), neste casoRe10, a regio onde os efeitosviscosos so importantes se torna menor em todas as direes, exceto a jusante da placa (Fig.10.3). Se

observa que as linhas de corrente so deslocadas da posio original do escoamento uniforme, mas odeslocamento no grande como na situao referente aoRe0,1.

Figura 10.3. Placa Plana - Efeitos viscosos moderados


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10.2.3 Foras de Viscosas Confinadas Reynolds Alto - Re107Para escoamento comRe muito alto (Re107) predominam os efeitos das foras de inrcia. Os efeitos dasforas viscosas so praticamente desprezveis em todos os pontos, exceto naqueles muito prximos da placaplana e na regio de esteira localizada a jusante da placa (Fig. 10.4). Como a viscosidade do fluido no nulao fluido adere superfcie slida (condio de no escorregamento). Desta forma a velocidade varia desde

zero na superfcie da placa at um valor Uoo, na fronteira de uma regio muito fina denominada camadalimite. Essa regio conhecida comocamada limite () sempre muito menor que o comprimento da placa. Aespessura desta camada aumenta na direo do escoamento e nula no borda de ataque da placa. Oescoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento.

Se define a espessura da camada limite como a distncia da superfcie ao ponto em que a velocidadesitua-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre.

Figura 10.4 Placa Plana - Efeitos de inrcia importantes

As linhas de corrente fora da camada limite so aproximadamente paralelas placa plana. O levedeslocamento das linhas de corrente externas (fora da camada limite) se deve ao aumento da espessura dacamada limite na direo do escoamento e nula no bordo de ataque da placa. A existncia da placa planatem pouco efeito nas linhas de corrente externas tanto na frente, acima ou abaixo da placa. Por outro lado, aregio de esteira provocada por efeitos viscosos.

Camada Limite Prandtl

O fsico alemo Prandtl (1875-1953) realizou um dos grandes avanos na Mecnica dos Fluidos, em 1903,concebendo a idia da camada limite na qual define Uma regio muito fina dentro da camada limite eadjacente superfcie do corpo onde os efeitos viscosos so muito importantes, onde a componente axial davelocidade varia rapidamente com a distncia y. Uma regio fora da camada limite denominada regio deescoamento potencial onde o fluido se comporta como se fosse um fluido no viscosos, ou investido onde asforas de cisalhamento so desprezveis. Certamente a viscosidade dinmica a mesma em todo o campo deescoamento. Desta forma a importncia relativa de seus efeitos (devido aos gradientes de velocidade) diferente fora e dentro da camada limite. Os gradientes de velocidades normais ao escoamento sorelativamente pequenosfora da camada limite e o fluido se comporta como se fosse no viscoso.


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10.3 Caractersticas da Camada LimiteO tamanho da camada limite e a estrutura do escoamento nela confinado variam muito. Parte desta variao provocada pelo formato do objeto onde se desenvolve a camada limite. A seguir se analisa o efeito dacamada limite para o caso de um fluido viscoso e incompressvel sobre uma placa plana de comprimentoinfinito (x varia de 0 a infinito).

Se o Re muito alto somente o fluido confinado na camada limite sentir a presena da placa. Exceto naregio fora da camada limite a velocidade ser essencialmente igual a velocidade de corrente livre V=Ui.Para uma placa finita, o comprimento L pode ser utilizado como comprimento caracterstico. No caso daplaca plana de comprimento infinito definimos o Rex= Ux/. Se a placa longa oRe alto, apresentandouma camada limite exceto na regio muito pequena prxima da borda da placa. A presena da placa sentidaem regies muito finas da camada limite e da esteira.

Figura 10.5. Efeito rotacional de partculas de fluido dentro da camada limite

Consideremos o escoamento de uma partcula de fluido no campo de escoamento. Quando a partcula entrana camada limite comea a distorcer devido ao gradiente de velocidade do escoamento a parte superiordapartcula apresenta uma velocidade maior do que na parte inferior. O elemento de fluido no tem rotaofora da camada limite mas comea a rotar quando atravessa a superfcie fictcia da camada limite e entre na

regio onde os efeitos viscosos so importantes.O escoamento irrotacional fora da camada limiteO escoamento rotacional dentro da camada limite.

A partir de uma certa distnciax do bordo de ataque, o escoamento na camada limite torna-se turbulento e aspartculas de fluido tornam-se extremadamente distorcidas devido a natureza irregular da turbulncia. Umadas caractersticas da turbulncia o movimento de misturas produzido no escoamento. Esta mistura devido a movimentos irregulares de pores de fluido que apresentam comprimentos que variam da escalamolecular at a espessura da camada limite. Quando o escoamento laminara mistura ocorre somente emescala molecular. A transio do escoamento de laminar para turbulncia ocorre quando o Re atinge umvalor critico (Rec).

Placa Plana: Rec varia de 2x105 at 3x106 . funo da rugosidade da superfcie e da intensidade da turbulncia. Considera-se o valor crtico igual aRec=5x105. ( 500.000) Considera-se que a camada limite turbulenta quandoRex > 3x106 ( 3.000.000) Laminar Re < 5x105 Turbulento Re > 3,0 x10 6


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10.4 Espessura da Camada LimiteNa camada limite a velocidade muda de zero na superfcie da placa at o valor da velocidade de correntelivre na fronteira da camada limite. Desta forma o perfil de velocidades u=u(x,y) que satisfaz as condiesde contorno:

V=0 em y =0 e VU00 em y =.

Matematicamente como fisicamente o perfil de velocidade no apresenta nenhuma singularidade. Isto , utende a Uoo quando mais nos afastamos da placa (no necessrio que u seja precisamente igual a U00 emy=). Se define a espessura da camada limitecomo a distncia da superfcie ao ponto em que a velocidadesitua-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre.

== U,uy 990onde

10.5 Espessura de DeslocamentoA Fig. 10.6 mostra dois perfis de velocidade para escoamento sobre uma placa plana: um (Fig. 10.6a)considerando perfil uniforme de velocidade (sem atrito) e outro (Fig.10.6b) com viscosidade no qual a

velocidade na parede nula.

Figura 10.6. Camada limite e conceito de espessura de deslocamento

Devido diferena de velocidade U u dentro da camada limite, a vazo atravs da seo b b menor doque aquela na seo a a . Se deslocarmos a placa plana na seo a a de uma quantidade *, as vazespelas sees sero idnticas. Esta distncia denominada espessura de deslocamento.

Figura 10.7 Perfil de velocidade para definir espessura de deslocamento


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A definio verdadeira se

( )

=

0

*bdyuUbU

onde b a largura da placa. Desta forma:

=

0* 1 dy

Uu

A espessura de deslocamento representa o aumento da espessura do corpo necessrio para que avazo do escoamento uniforme fictcio seja igual a do escoamento viscoso real. Tambm representao deslocamento das linhas de corrente provocado pelos efeitos viscosos. Tal idia permite simular apresena da camada limite no escoamento pela adio de uma espessura de deslocamento da paredereal e tratar o escoamento sobre o corpos mais espessos como se fossem no viscoso.

10.6 Espessura da Quantidade de Movimento

A diferena de velocidades existente na camada limite U u, provoca uma reduo do fluxo daquantidade de movimento na seo b b mostrado na Fig.7 . O fluxo menor do que aquele naseo a a da mesma figura. Esta diferena de fluxo de quantidade de movimento na camadalimite, tambm conhecida como dficit do fluxo da quantidade de movimento no escoamento real dada por:

( ) ( )

=

0

dyuUubdAuUu

por definio estas integrais representam o dficit do fluxo da quantidade de movimento numacamada limite de velocidade uniforme Ue espessura . Assim,

( )

=

0

2 dyuUubbU

=

0

1 dyU

u

U

u

as trs definies de espessura de camada limite , *e so utilizadas nas anlises de camadalimite. A hiptese da camada limite ser fina essencial para o desenvolvimento do modelo deescoamento. Esta hiptese, na anlise do escoamento sobre uma placa plana garante que seja

muito menor quex (


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10.7 Coeficiente de Arrasto em Placas PlanasO coeficiente de arrasto ou de resistncia de um corpo dado por:

DfDpD CCC +=

CDf representa o coeficiente de tenso de cisalhamento.

AU

FC

Df

Df2

2

1

=

onde A representa a rea superficial ou rea molhada. Por exemplo numa placa paralela aoescoamento A=bxL onde b a largura da placa.

O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por presso.

AU

FC

Dp

Dp2

2

1

=

Neste caso A pode representar projeo num plano normal da rea do corpo. Por exemplo numcilindroA=DxL

O coeficiente de arrasto total assim definido:

AU

F

C

D

D 2

21

=

onde FD= FDp + FDf

No caso de uma placa perpendicular ao fluxo atenso de cisalhamento no contribui para afora de resistncia. O coeficiente de arrastodeve-se unicamente ao arrasto por presso. Destaforma CD= CDp.

Figura 10.8 Placa plana perpendicular ao fluxo

No caso de uma placa plana paralela ao escoamento o arrasto deve-se unicamente ao atritosuperficial. Desta forma CD= CDf.

CD=CDp


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10.8 Coeficiente de Arrasto e Fora de Arrasto pela Tenso de CisalhamentoConsiderando que o perfil de velocidade u(x,y) da camada limite seja conhecido. A tenso decisalhamento w na parede que atua ao longo da superfcie em qualquer posio x determinado apartir da definio:

0

),(

=

=

y

wy

yxu

Desta forma conhecendo a distribuio de velocidades na camada limite, pode-se determinar a forade cisalhamento, devido ao escoamento que est atuando sobre a superfcie slida. Como a equaoanterior no muito prtica para aplicaes de Engenharia define-se a tenso de cisalhamento oufora de arrasto local como funo do coeficiente de arrasto local Cf. Tambm denominadocoeficiente de tenso de cisalhamento (Cx no texto de Ozisik).

2

2

=

UCfw

onde a massa especfica do fluido e U00 a velocidade de corrente livre. Desta forma conhecendoo coeficiente da tenso de cisalhamentoCf podemos determinar a fora de arrasto exercida pelofluido que est escoando sobre a placa plana. Igualando as equaes anteriores se obtm:

0

2

),(2

=

=

y

fy

yxu

UC

o coeficiente local de arrasto poder ser determinado se o perfil de velocidade u(x,y) na camada

limite for conhecido.

O valor mdio do coeficiente da tenso de cisalhamento CDfdex=0 atx=L definido como:

=

=

L

x

fDf dxCL

C0

1

determinado o CDf podemos calcular afora de arrastoFD atuando sobre a placa de x=0 atx=Lnuma largura da placa b (lembrando que a rea superficial A=bxL).

2

2

=

UbLCF DD

Obs. Para placa plana paralela direo do escoamento. CD=CDf.


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10.9 Equaes de BLASIUS Placa Plana Camada Limite LaminarPara o caso de placa plana existem diferentes solues para determinar a espessura da camada limite,espessura de deslocamento da camada limite, coeficiente de arrasto local e coeficiente de arrasto mdio. Em1908 Blasius, discpulo de Prandtl, obtm a soluo exata da camada limite numa placa plana (gradiente depresso nulo) considerando:

Escoamento em regime laminar. Escoamento permanente Escoamento bidimensional Escoamento incompressvelSolues aproximadas foram tambm determinadas para tal problema considerando o perfil de velocidadescomo umpolinmio de segundo grau, de terceiro grau e de quarto grau.

A seguir so apresentadas as equaes denominadas exatas, determinadas por Blasius, vlidas paraescoamento laminarRe < 5,0x105 at 1,0x106

Figura 10.9. Esquema de placa plana

Espessura da camada Limite

x

x

Re

5=

Espessura de deslocamento da camada limite

=

U

vx73,1* ou tambm

xRe

73,1*=

10.10 Coeficiente de arrasto local ou Coef. de tenso de cisalhamento

2/1Re

664,0

x

fC =

10.11 Coeficiente de arrasto mdioPodemos determinar o coeficiente de arrasto mdio CDf integrando Cf dex=0 atx=L

=

=

L

x

fDf dxCL

C0

1

2/12/1 Re

328,1

Re

664,02

LL

DfD CC === onde ReL= VL/

vxU

x00Re = x

L


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10.12 Transio de Escoamento Laminar para Turbulento

O valor de Re de transio uma funo muito complexa de vrios parmetros como rugosidade dasuperfcie, curvatura da superfcie e intensidade das perturbaes existentes no escoamento.

No caso do ar a transio de escoamento laminar para turbulento, na camada limite sobre uma placa plana,ocorre para Rec na faixa de 2x105 a 3x106. Para efeitos prticos utiliza o valor fixo Rec=5x10

5 que naverdade corresponde ao limite inferior da regio de transio.

O processo de transio envolve instabilidade do campo de escoamento. Pequenas perturbaes impostassobre a camada limite, como vibraes na placa, rugosidade da superfcie, pulsaes no escoamento principalaumentam ou diminuem a instabilidade dependendo do lugar onde a perturbao for introduzida:

Se a perturbao ocorre em Rex < Rec so amortecidas fazendo com que a camada limite retorne aoregime laminar

Se a perturbao ocorre em Rex > Reciro crescer transformando o escoamento em regime turbulento. A mudana do escoamento laminar para turbulento tambm provoca uma mudana na forma do perfil de

velocidades.

Figura 10.10 Perfis de velocidades em placa plana - regime laminar, transio e turbulento (ar).

Observa-se na Fig.10.10 que o perfil turbulento de velocidades mais plano apresentando um alto gradientede velocidade na parede. Trata-se do escoamento de ar com uma velocidade de corrente livre de 27m/s.

Numa placa plana a camada limite ser sempre turbulenta paraRe > 4,0 x106


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10.13 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana10.13.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tenso de CisalhamentoA partir de dados experimentais Schilichting apresentou a seguinte correlao para o coeficiente de arrastolocal para placa plana lisa.

7x

52,0 10Re5x10paradovliRe0592,0


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efetuando a integrao se obtm:

L

ccLDC Re

Re328,1Re074,0Re074,0

5,08,02,0 =

vlido para Rec ReL < 107 ,

Definio do Nmero de Reynolds Total e Crtico e Local

v

LUL

00Re = o nmero de Reynolds para o comprimento total (L) da placa plana.

v

xU cc

00Re = o nmero deReynolds crtico da transio do escoamento laminar para turbulento

v

xUx

00Re = o nmero deReynolds crtico em qualquer posio da placa

Forma Geral do Coeficiente de Atrito Mdio

O coeficiente mdio de arrastoCD sobre a regio onde o escoamento parcialmente laminar e parcialmenteturbulento, depende do valor do nmero de Reynolds crtico Rec . Por isto a Eq. anterior especificada demaneira mais compacta.

7Lc

2,0 10ReReparavlidoRe

Re074,0


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10.14 Espessura da Camada Limite - Escoamento TurbulentoUtilizando uma relao emprica para a tenso de cisalhamento na parede na forma:

2

5/1

0

0296,0

=

=

= U

xU

v

y

u

y

w

so obtidas expresses que permitem avaliar a espessura da camada limite turbulenta para placa plana.

1. Para a camada limiteplenamente turbulenta, comeando da borda de ataque da placa (x=0).5/1Re381,0

)(

= xx

x

2. No caso em que a espessura da camada limite laminar at o ponto em que Rec=5x105, e ento se tornaplenamente turbulenta.

7515/1 10Re5x10paravlidaRe10256Re381,0)(


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10.15 Resumo das Equaes da Camada Limite em Placa PlanaComo ser observa existe uma grande quantidade de equaes que podem ser utilizadas para avaliar ocoeficiente de arrasto mdio em placas planas. O uso de cada equao depender do regime de escoamento.A placa poder apresentar escoamento plenamente laminar, escoamento plenamente turbulento ou se naplaca plana existe uma regio com escoamento laminar e posteriormente uma regio com escoamento

turbulento. A seguir, para simplificar, podemos utilizar as seguintes relaes em exerccios especficos.

I - Camada Limite Laminar

Perfis de Velocidade

Linear

y

U

u= Parablico

2

2

=

yy

U

uSenoidal

=

y

U

u

2sen

Equao de Blasius 3x105


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Exemplo - Comparao das Variveis para Camada Limite Laminar e Turbulenta.

gua (=1000kg/m3 e =1x106 m2/s) escoa com velocidade de U=1,0 m/s sobre uma placa plana deL=1m.Avalie a espessura da camada limite (x), a espessura de deslocamento *(x) e espessura de quantidade demovimento (x) e a tenso de cisalhamento na parede w(x) parax=L.(a) Considere que mantido escoamento laminar em toda a placa.(b) Considere que a camada limite provocada, de modo que se torna turbulenta a partir na borda de ataque.1. Determinamos o nmero de Reynolds para x=L.

ULL =Re

66

10101

11Re ==

x

xL

(a) Considerando Equaes para Regime Laminar

xx

x

Re

5)(=

xx

x

Re

73,1)(*=

)(

7

1)( xx =

mm

x

510

516==

mmxx 73,15346,0)(*

==

mmx 71,07

5)(

==

000664,010

664,0

Re

664,06===

x

fC ( )

2

2

3

2

332,02

11000000664,0

2 m

N

m

kgx

UCfw ===

(b) Considerando Equaes para Regime Turbulento

5/1Re381,0)(

= xx

x

8

)()(*

xx

= )(

72

7)( xx =

( ) mmxx 2410381,01)(5/16==

mmx 38

24

)(

*==

mmx 34,22472

7

)(==

( ) 00375,0100,0594Re0594,0 5/165/1 === xfC ( )

2

22

875,12

1100000375,0

2 m

Nx

UCfw ===

Espessura da camada limite 8,45

24

)min(

)(==

arLa

Turbulento

Espessura de deslocamento da camada limite 73,173,1

3

)min(

)(*

*

==

arLa

Turbulento

Espessura da quantidade de movimento 86,371,0

74,2

)min(

)(==

arLa

Turbulento

Tenso de cisalhamento na parede. 63,5332,0

87,1

)min(

)(==

arLa

Turbulento

w

w

Obs: Existe um crescimento maior das variveis na camada limite turbulenta devido a uma tenso decisalhamento na parede mais alta.