Meccanica dei Fluidi
Prof. Giovanni Ianne
1Prof Giovanni Ianne
Che cos’è un fluido?
Meccanica dei Fluidi
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In natura le sostanze possono trovarsi in tre stati di
aggregazione:
Solidi, liquidi e gas
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Caratteristiche di un fluido
FLUIDO sostanza senza “forma” propria (assume la forma
del recipiente che la contiene)
Liquido - volume limitato dalla superficie libera
Gas - diffusione nell’intero volume disponibile
Un fluido può essere:
omogeneo caratteristiche fisiche costanti per tutto il suo volume
disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti
Fluido “ideale”: non comprimibile, omogeneo, senza attrito
interno (non viscoso).
Esempio: Sangue
sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche
omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico
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La densità
La densità d di un corpo è uguale al rapporto tra la sua
massa m e il suo volume V.
La densità d è direttamente proporzionale alla massa m e
inversamente proporzionale al volume V.
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• La densità è una grandezza derivata.
• La densità ha le dimensioni fisiche di una massa divisa per
una lunghezza al cubo.
La pressione e le sue leggi
Meccanica dei Fluidi
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Perché i coltelli sono affilati?
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La stessa forza può avere effetti diversi a seconda della
superficie su cui agisce. Ad esempio chi cammina sulla neve:
La pressione
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La pressione è una grandezza scalare
definita come il rapporto tra il modulo
della forza (perpendicolare
alla superficie) e l’area
di questa superficie.
La pressione
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Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della pressione
è il pascal (Pa).
Non conta la forza in se ma la sua componente
perpendicolare
La pressione
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La pressione
Esempio
Una stanza ha il pavimento di dimensioni 3.5 m per 4.2 m e altezza di
2.4 m.
Quant’è il peso dell’aria contenuta nella stanza alla pressione
atmosferica?
Soluzione
Il peso dell’aria è pari a mg dove m è la massa dell’aria contenuta nella
stanza. La massa è legata al volume dalla relazione m = rV. La densità
dell’aria a 1 bar è pari a 1.21 kg/m3 per cui possiamo scrivere:
N
smmmkg
VgmgP
418
/81.9)4.22.45.3)(/21.1( 233
r
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Ogni liquido è soggetto alla
forza-peso, che determina
una pressione data dalla
legge di Stevino:
La pressione dovuta al peso
di un liquido è proporzionale
sia alla densità del liquido che
alla sua profondità.
La pressione della forza peso nei liquidi
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Esempio
Qual è la pressione della
colonna d’acqua a cui è
sottoposto un sub che si
trova a una profondità di 4
metri?
In generale, alla pressione
dovuta alla colonna d’acqua,
bisogna aggiungere la
pressione atmosferica che
agisce sulla superficie del
mare: p0 = 10,1 x 104 Pa.
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La densità del liquido è il
rapporto tra la sua massa ed il
suo volume:
gdh è la pressione dovuta al
peso della colonna d'acqua.
Ad essa si deve sommare la
pressione atmosferica p0:
La pressione della forza peso nei liquidi
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La pressione sulla superficie S è causata dal peso del liquido
sovrastante, di volume V = Sh e massa m = d V = dSh.
La pressione del liquido è:
che nel caso più generale diventa:
ossia
Dimostrazione della legge di Stevino
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Prendiamo tre recipienti di forma diversa, chiusi alla base da
una membrana di gomma:
La pressione del liquido non dipende dalla forma del
recipiente.
La pressione sul fondo di un recipiente
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La pressione esercitata dal
liquido dipende solo dal livello
del liquido e non dalla
quantità.
Ad esempio, si può riuscire a
spaccare una botte piena
d'acqua aggiungendo solo un
tubo sottile riempito d'acqua.
La pressione sul fondo di un recipiente
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I vasi comunicanti sono due o più recipienti uniti tra loro da un
tubo di comunicazione.
Esaminiamo cosa succede quando i vasi comunicanti vengono
riempiti con uno stesso liquido.
Vasi comunicanti
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Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti
raggiunge in tutti i recipienti lo stesso livello.
Vasi comunicanti
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Caso generale: due liquidi diversi.
Vasi comunicanti
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Uguagliamo i valori della pressione nei due tubi, che sono dati da:
Le altezze dei due liquidi sono inversamente proporzionali alle lorodensità.
Vasi comunicanti
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La pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un
liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra
superficie a contatto con il liquido.
La legge di Pascal
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La superficie di cui si parla può essere posta in qualsiasi
punto del liquido e inclinata in qualunque modo.
Il palloncino, posto nell'acqua, mantiene sempre la forma
sferica.
Questo è spiegato dalla legge di Pascal:
La pressione esercitata su qualsiasi superficie di un liquido si
trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a
contatto con il liquido.
La legge di Pascal
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Il torchio idraulico
Legge di Pascal
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Il principio di Archimede
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Spiega perché alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano.
La spinta di Archimede
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Legge di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una
spinta verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido
spostato.
La spinta di Archimede
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dVgmgF
VgdgmS OHOH
22
gVdd
FSR
OH
)(2
OH
OH
OH
dd
dd
dd
2
2
2
corpo galleggia
corpo in equilibrio
corpo sprofonda
Esempio: corpo immerso in acqua
La spinta di Archimede
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La spinta di Archimede: la mongolfiera
La legge di Archimede
vale anche per i gas.
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Quando l’aria della mongolfiera viene riscaldata la sua
densità diminuisce: che cosa bisogna fare dunque per
perdere quota?
La spinta di Archimede: sommergibili
densità maggiore
dell’acqua
densità minore
dell’acqua
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Quanto detto si verifica con un semplice esperimento, immergendo
in acqua tre bottiglie diverse.
Il galleggiamento dei corpi
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La pressione atmosferica
Meccanica dei Fluidi
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Tutti gli oggetti sulla Terra sono sottoposti alla pressione esercitata
dalla colonna d'aria che li sovrasta: la pressione atmosferica.
La pressione atmosferica
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Nel 1654 a Magdeburgo ebbe luogo un esperimento storico, in cui 16cavalli non riuscirono a separare due semisfere metalliche tra cui erastato fatto il vuoto.
La pressione atmosferica, agendo solo all'esterno delle semisfere, lerendeva inseparabili.
La pressione atmosferica
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Venne misurata da Evangelista Torricelli, che
capovolse un tubo pieno di mercurio in una
bacinella piena di mercurio.
La pressione esercitata dalla colonna di mercurio
deve uguagliare la pressione atmosferica sulla
superficie libera.
Al livello del mare h=76 cm e
La pressione atmosferica
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Unità di misura della pressione
atmosferica:
il pascal (Pa): 1 Pa = 1N/1m2;
l'atmosfera: 1 atm = 1,01 x 105 Pa;
il bar: 1 bar = 105 Pa (circa 1 atm) usato in
meteorologia con il sottomultiplo mbar.
La pressione diminuisce con l'altitudine
perché la colonna d'aria che ci sovrasta è
più bassa e più rarefatta.
La diminuzione della pressione
atmosferica è pari a circa 1300 Pa per
ogni 100 m di innalzamento.
La pressione atmosferica
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Strumenti di misura della pressione
atmosferica:
• barometri a mercurio;
• barometri metallici.
In meteorologia si disegnano le
curve in cui la pressione
atmosferica ha lo stesso valore: le
isobare.
A: alta pressione (bel tempo)
B: bassa pressione
(maltempo).
La pressione atmosferica
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221 dghpdghpatm
hdghhdgpp atm )( 212
Misura differenze di pressione
h1
h2Esempio:
misura invasiva della
pressione arteriosa
(pressione intramurale)
Manometro a liquido
La misura della pressione del sangue nelle
arterie è sempre riferita alla Patm
120 mmHg (120+760) mmHgProf Giovanni Ianne 38
Sfigmomanometro
ps = pressione sistolica
pd = pressione diastolica
p > ps silenzio
ps > p > pd rumore pulsato
p < pd rumore continuo
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Fleboclisi
Il flacone deve essere
posto ad una altezza h
sufficiente !
Es: se p = 18 mmHg
h > 25 cm !
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Sifone
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Effetti della pressione idrostatica
La pressione nei diversi punti
del corpo varia quando da
sdraiati ci portiamo in
posizione eretta
Nota: hmax = 130 cm
attenti alle forti
accelerazioni verso l’alto !!!
0
170
150
100
110
120
130
140
160
18080
70
60
50
40
10
20
30
0
+120
+60
0
– 60
80
70
50
60
40
90
h (mmHg)
pv pa
(cm)
+
–
pressione venosa pressione arteriosa
(valori medi)
posizione eretta
p = paorta + dg h
h(cuore) = 0
Cenni di dinamica dei fluidi
Meccanica dei Fluidi
43Prof Giovanni Ianne
La corrente di un fluido è il
movimento ordinato di un liquido o di
un gas.
La portata q è il rapporto tra il volume
di fluido V che attraversa una
sezione in un tempo t ed il tempo t
stesso:
La corrente di un fluido
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La sezione trasversale di un fluido attraverso cui si misura la
portata è una superficie immaginaria immersa nel fluido.
La corrente di un fluido
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Si dice stazionaria una corrente la cui portata attraverso
qualsiasi sezione del conduttore è costante nel tempo.
Correnti stazionarie
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La portata q di un fluido che scorre a velocità v in una
conduttura di sezione S è data dalla formula:
Quindi la portata è direttamente proporzionale sia alla
sezione del tubo che alla velocità del fluido.
L’equazione di continuità
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Sistema circolatorio
CUORE
AORTA
CAPILLARI
ARTERIOLE
ARTERIE
VENA
CAVA
VENE
VENULE
valvole
POLMONI
Portata circolo:
Q 5 litri/min = 83 cm3/s
Aorta:
r = 0.9 cm
S = pr2 = 2.5 cm2
v = Q/ S 33 cm/s
Capillari:
S = 2500 cm2
v 0.033 cm/s = 0.33 mm/s
circolazione
sistemica
circolazione
polmonare
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La portata
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Un liquido, a differenza di un gas, si può considerare
incompressibile, cioè mantiene inalterato il proprio volume.
In un tubo singolo:
Moto di un liquido in una conduttura
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Nel tubo singolo senza sorgenti e pozzi vale l'equazione di
continuità:
la portata del liquido in A e in B è costante;
la sezione trasversale della conduttura e la velocità del liquido
sono inversamente proporzionali.
L’equazione di continuità
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La proporzionalità inversa tra sezione del tubo e velocità del
liquido, SAv
A= S
Bv
B, significa che nelle strettoie il liquido
fluisce più in fretta: se S si dimezza v raddoppia e viceversa.
Quando si annaffia si
blocca parzialmente la
sezione del tubo con
un dito per far sì che
l'acqua, uscendo a v
maggiore, arrivi più
lontano.
L’equazione di continuità
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L’equazione di continuità
Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la superficie
totale. In ogni tratto si avrà sempre Q = v S.
NOTA. Nell’ultimo tratto conta la sezione totale dei canali!
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Equazione di continuità
Esempio di applicazione al flusso sanguigno
Negli esseri umani il sangue fluisce dal
cuore nell’aorta, dalla quale passa nelle
arterie maggiori. Queste si ramificano
nelle piccole arterie (arteriole), che a
loro volta si ramificano in miriadi di
piccoli capillari. Il sangue ritorna al
cuore attraverso le vene. Il raggio
dell’aorta è circa 1.2 cm e il sangue che
vi scorre attraverso ha una velocità di
circa 40 cm/sec. Un capillare tipico ha
un raggio di circa 4 10-2 cm e il sangue
vi scorre attraverso ad una velocità di
circa 5 10-4 m/s. Stimare quanti capillari
vi sono nel corpo.
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Equazione di continuità
Esempio di applicazione al flusso sanguigno
Soluzione:
Supponiamo che la densità del sangue non cambi significativamente dall’aorta ai capillari. Per
l’equazione di continuità la portata di volume nell’aorta deve essere uguale alla portata attraverso
tutti i capillari. L’area totale dei capillari è data dall’area di un capillare moltiplicata per il numero N
dei capillari.
Siano 𝐴1 l’area dell’aorta e 𝐴2l’area di tutti i capillari in cui fluisce il sangue. Allora 𝐴2 = 𝑁 𝜋𝑟𝑐𝑎𝑝2
dove N è il numero dei capillari e 𝑟𝑐𝑎𝑝 ∼ 4 ⋅ 10−4𝑐𝑚 è il valor medio stimato per il raggio di un
capillare. Dall’equazione di continuità abbiamo
𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 ⇒ 𝑣2𝑁𝜋𝑟𝑐𝑎𝑝2 = 𝑣1𝜋𝑟𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎
2
Quindi
𝑁 =𝑣1
𝑣2 𝑟𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎
2
𝑟𝑐𝑎𝑝2 =
0.40 𝑚/𝑠
5 ⋅ 10−4 𝑚/𝑠
1.2 ⋅ 10−2 𝑚
4 ⋅ 10−6 𝑚
2
∼ 7 ⋅ 109
Dell’ordine di 10 miliardi di capillari.
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Equazione di continuità
Esempio di applicazione al flusso sanguigno
Rappresentazione
schematica della
variazione di sezione
totale e di velocità media
del sangue nei vari distretti
del sistema circolatorio.
La velocità nei capillari è
molto bassa dell’ordine del
millimetro al secondo.
La bassa velocità è
essenziale per i processi
biochimici di scambio di
sostanze necessari alla
vita.
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Un fluido che scorre in un tubo a diametro variabile e piegato indirezione verticale è soggetto a diverse forze:
oltre alla forza d'attrito.
L’equazione di Bernoulli
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Per il fluido varia: la quota y, la velocità v e la pressione p a cui è sottoposto.
Nelle ipotesi di: fluido incompressibile, corrente stazionaria e attrito inesistente, vale
l'equazione di Bernoulli:
L’equazione di Bernoulli
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L’equazione di Bernoulli
L’equazione di Bernoulli è una conseguenza diretta del principio di conservazione
dell’energia
Dividendo tutto per V e ricordando la definizione di densità possiamo scrivere
costante pressionepotenzialecinetica EEE
VpmghmvVpmghmvEtotale 22
2
211
2
12
1
2
1
costante 2
1
2
122
2
211
2
1
pghvpghvV
Etotale rrrr
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S2S1
v1
v2
Q = costanteS1 v1 = S2 v2
S2 > S1 v2 < v1
v2 < v1 p2 > p1
aneurisma tende a peggiorare
2
22
2
11 v2
1v
2
1dpdp
Esempio: aneurisma
Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):
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Esempio: stenosi
h1 = h2
S2
S1
v1
v2
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
S2 < S1 v2 > v1
v2 > v1 p2 < p1
stenosi tende a peggiorare
Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):
2
22
2
11 v2
1v
2
1dpdp
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Esercizio
In una casa l’acqua calda circola in un impianto di riscaldamento. Se l’acqua viene pompata ad una
velocità di 0.5 m/sec attraverso un tubo del diametro di 4.0 cm nello scantinato ad una pressione di 3
atm, quali saranno la velocità di flusso e la pressione in un tubo di 2.6 cm al secondo piano situato 5 m
sopra?
Soluzione:
Usiamo l’equazione di continuità a densità costante per determinare la velocità del flusso al secondo
piano e, successivamente, l’equazione di Bernoulli per determinare la pressione.
Prima calcoliamo la velocità di flusso al secondo piano, che indicheremo con 𝑣2, essendo nota la velocità
di flusso nel seminterrato (𝑣1), utilizzando l’equazione di continuità. Ricordando che le aree sono
proporzionali al quadrato del raggio (𝐴 = 𝜋𝑟2) otteniamo
𝑣2 =𝑣1𝐴1
𝐴2=𝑣1𝜋𝑟1
2
𝜋𝑟22 =
0.50𝑚/𝑠 0.020𝑚 2
0.012𝑚 2= 1.2 𝑚/𝑠
Per trovare la pressione al secondo piano usiamo l’equazione di Bernoulli
𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 +1
2 𝜌(𝑣1
2 − 𝑣22)
= 3.0 105 𝑁𝑚−2 + 1.0 103 𝑘𝑔𝑚−3 9.8 𝑚𝑠−2 −5.0𝑚
+1
2 1.0 103 𝑘𝑔𝑚−3 0.5 𝑚𝑠−1 2 − 1.2 𝑚𝑠−1 2 = 2.5 105𝑁𝑚−2 = 2.5 𝑎𝑡𝑚
Il termine dovuto alla velocità in questo caso contribuisce molto poco.
L'attrito viscoso si oppone al moto degli oggetti nei fluidi.
1) Attrito con le pareti della conduttura.
In condizione laminare (senza vortici) le lamine di fluido a
contatto con la parte risentono dell'attrito e lo trasmettono in
parte al resto del fluido.
L’attrito nei fluidi
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Si verifica sperimentalmente che vale la legge:
• F: forza necessaria per mantenere in moto il fluido a velocità v;
• S: area dello strato di fluido;
• d: distanza dalla parete;
• : coefficiente di viscosità (dipende dal fluido).
Attrito con le pareti della conduttura
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Coefficienti di viscosità per diversi fluidi:
Attrito con le pareti della conduttura
Unità di misura (nel sistema MKS):
N s/m2 = Pa s
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Legge di Poiseuille
L’equazione di Poiseuille mette in
relazione la differenza di
pressione, condizione essenziale
per il moto di un fluido, con le
caratteristiche geometriche del
condotto, la viscosità del liquido e
la portata che risulta direttamente
proporzionale alla differenza di
pressione:
21
4
8PP
L
RQ
p La velocità è maggiore al centro
del condotto e decresce a mano a
mano che ci si avvicina alle pareti
secondo un profilo parabolico.
Il moto avviene in regime
laminare.
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2) Attrito su un corpo in moto nel fluido.
Un’automobile accelera partendo da ferma.
Attrito su un corpo in moto nel fluido
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Nel caso più semplice di una sfera di raggio r che si muove in
un fluido di viscosità a velocità v la forza FV
di attrito
viscoso è data dalla legge di Stokes:
Attrito su un corpo in moto nel fluido
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Un paracadutista è soggetto alla:
• forza-peso FP
diretta verso il basso;
• forza d'attrito viscoso FV
diretta
verso l'alto e che aumenta al
crescere della velocità di caduta v.
A un certo istante
Attrito su un corpo in moto nel fluido
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Quando Ftot
= 0 il paracadutista scende a v=costante (I
principio dinamica) fino alla fine: è chiamata velocità limite.
Per una massa di 100 kg attaccata ad un paracadute di
diametro di 10 m, la velocità limite è circa 3 m/s.
Attrito su un corpo in moto nel fluido
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Si ha Ftot
= 0 quando FP
= FV
.
Uguagliando la formula di Stokes alla forza-peso otteniamo:
che dà una velocità limite
Attrito su un corpo in moto nel fluido
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