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Chapitre 4
CONTRAINTES DANS LES SOLS :
LOI DE TERZAGHI
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CONTRAINTES DANS LES
SOLS : LOI DE TERZAGHI
1. Notion De Contraintes Notions De Base
1.1. Notion de contrainte dans un milieu quelconque
Soit un solide quelconque (S) soumis un systme de forces
surfaciques. Considrons un plan fictif (P) qui spare le solide au voisinage
du point M en deux parties (I) et (II).
Soit dS une petite portion de surface entourant M.
Soit la force exerce sur dS par la partie (II) sur (I). Onappelle vecteur contrainte au point M sur la facette dS le
vecteur :
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Le vecteur contrainte peut se dcomposer en une composante
normale et une composante tangentielle au plan (P) :
Le vecteur contrainte est une fonction du point considr et de lorientation de
la facette passant par ce point (changement de repre) :
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Pour un point M donne, f a donc une expression diffrente selon la facette
considre (changement de repre).
Cest une remarque fondamentale : cela signifie quen un point M donne et
pour une contraint f donne selon le plan considr, un sol aura ou naura pas
par exemple une composante tangentielle (cisaillement). Cest dautant plusimportant si le matriaux na pas les mmes limites de rsistance qui en
traction, compression ou cisaillement (ce qui est souvent le cas).
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Exemple : Cas dune barre bidimensionnelle en traction simple
Soit une barre bidimensionnelle
soumise sur ses bases une traction
uniforme 1
Sur ces faces latrales ne sexerce
aucune contrainte (3= 0). Dans la
barre, ltat de contraintes est dithomogne, cest--dire quen tout
point M la contrainte qui sexerce
sur le plan horizontal est normale et
a pour valeur -1 tandis que la
contrainte qui sexerce sur le plan
vertical est nulle.
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Ltat des contraintes est donc le mme partout (intensit). En particulier
par rapport au plan horizontal (I), Le vecteur contraintefscrit :
Soit un plan (P) faisant langle avec lhorizontale. Par rapport au plan
(P), Le vecteur contrainte
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La thorie montre que pour dterminer les contraintes qui
sexercent sur toutes les diffrentes facettes autour dun point
Cest--dire les composantes des contraintes sexerant sur les
faces dun cube centr au point M et dont les arrtes sont
parallles aux axes Ox, Oy, Oz.
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Il existe en tout point M trois plans privilgis pour lesquels la
contrainte est uniquement normale ( ). Ils sont appels
plans principaux, leurs directions normales, directions
principales, et les contraintes correspondantes, contraintes
principales :
On les notes , telles que (1< 2 < 3 ), et elles
sont respectivement appeles contraintes principales
mineures, intermdiaires et majeures.
0!X
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En dautres termes, en prenant ces trois directions dites
principales, comme repre, le tenseur des contraintes devientdiagonal, et le vecteur contrainte f dans ce systme daxes
form par les vecteurs principaux, scrit :
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2. LOI DE COMPORTEMENT
La dformation dun solide rsulte des contraintes qui lui sont
appliques et inversement les contraintes apparaissent dans un
solide sous laction des dformations.
Ceci exprime une ralit savoir quil existe une relation entre
contraintes et dformations dpendant essentiellement de lanature du matriau considr.
Lexprimentation est indispensable, et rvle que ce lien entre
contrainte et dformation, parfois complexes, peut gnralement
s'exprimer partir dun nombre de paramtres mcaniquesmesurables.
Cest la loi de comportement.
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La loi de Hooke en lasticit linaire et isotrope exprime dans un
solide la linarit et la rversibilit des dformations.
Cest une loi de comportement, dont on peut dire par ailleurs
quelle est la loi support la description du comportement de
nombreux matriaux. Comment scrit-elle?
Considrons par exemple la dformation dun volume
lmentaire de sol en M provoquant les contraintes v et h.
Les dplacements seront suffisamment faibles pour pouvoir
appliquer la loi Hooke.
Cette loi scrit alors :
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Il existe par ailleurs une grandeur appele Coefficient de Poisson, tel que :
A noter :
1. E est appel le module dYoung ; E a la dimension dune contrainte,
2. Le coefficient de Poisson est un coefficient sans dimension toujours compris
entre [0 ; 0,5]
Dans le cas dun sol,
ces paramtres dpendent en ralit,
de ltat decontrainte : en particulier E crot lorsquon augmente la contrainte moyenne
v .
On pourra cependant toujours travailler par plage defforts:
(exemple : v ] 10 KPa ; 11 Kpa ] E = 10 Mpa ;
v ]11 KPa ; 11 KPa] E = 15 Mpa), de manire pouvoir utiliserlocalement la loi de Hooke (notion de calculs lastiques).
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3. Les quations dquilibre dun Sol.
Ltat des contraintes dans un solide peut tre variable entout point, cest--dire que les six quantits que nous avons
dfinies, savoir sont des fonctions de
coordonnes x, y, z du point M considr.
Considrons un cube de solide de centre M dont les cts
sont parallles aux axes Ox, Oy et Oz. Ce cube, pouvant tre
aussi petit que dsir, est soumis une force de volume
et
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Lquilibre intrieur du solide (PFS : partie dquations exprimant la
rsultante des forces nulles (F=0 ) sexprime en dimension 2 par les
relations :
Dans le cas dun solide en dimension 3 on obtient les relations :
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A noter :
1. En gnral, en mcanique des sols les forces de volume se
rduisent aux forces de pesanteur et laxe Oz est pris vertical
ascendant, donc :
X = 0 , Y = 0 , Z = -
2. La partie dquation du PFS exprimant la rsultante desmoments nulles amne le rsultat qui est dj
annonc ci-avant:zxxzzyyzyxxy XXXXXX
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4. APPLICATION AUX SOLS
4.1. Contraintes dans les sols
Les sols ne dveloppant que trs peu de contraintes normales
de traction, on adopte en mcanique des sols, linverse de la
mcanique des milieux continus (cours de RDM), la
convention de signe suivante :
< 0 : traction
> 0 : Compression
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a) le cas dun sol satur.
Dans un tel sol, les contraintes se rpartissent entre le squelette
solide et leau de la mme manire que dans une barre
composite de mtal et de caoutchouc, la force de compression
F se rpartit entre une force de compression F1 dans le
caoutchouc et une force de compression F2 dans le mtal.
Fig. 4.5 Equivalence eau/sol & caoutchouc/mtal
La seule diffrence est que, dans
le sol, leau et le squelette solide
sont intimement mlangs.
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b) Le cas dun liquide :
Nous savons que dans un liquide lquilibre, donc dans leau sans
mouvement, les contraintes sont uniquement normales quelque soit le plan
considr (un liquide ne peut pas "tenir" une contrainte tangentielle quelque
soit le plan considr en un point M de leau, ).
Les contraintes dans leau se rduisent donc la pression de leau au
point M considr,pression appele pression interstitielle et note u.
c) Dans un squelette solide (sol sans eau), sur toute facette, sexerce une
contrainte normale notes et une contrainte tangentielle note appeles
contraintes effectives.
0!X
'X
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Ainsi, si les contraintes totales qui sexercent dans les deux
phases du sol (squelette + eau) sur la facette prcdente cit en2), sont et t , on a alors la relation trs importante de
TERZAGHI :
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4.2. Application des quations dquilibre
4.2.1. Sol indfini surface horizontale
Daprs la symtrie du problme, les contraintes totales x et z sont
principales donc txy= 0
Equation dquilibre :
Soit un sol indfini surface
horizontale, soumis uniquement
laction de la pesanteur (poids
volumique total).
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La surface libre du sol ntant pas charge, il ne sexerce sur elle aucune
contrainte si bien que cte =0 et lon a :
Dans le cas des sols lits:
Par contre la connaissance de x ncessite la connaissance de la loi de
comportement du matriau.
Fig. 4.8. : Cas des sols lits
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4.2.2. Sol indfini surface incline
Soit un sol indfini dont la surface plane fait un angle avec lhorizontale ;
Fig. 4.9. : Sol indfini surface incline : calcul defpour une facette // lasurface en M
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Cherchons la contrainte qui sexerce sur une facette parallle la surface.
Les quations dquilibre scrivent :
Mais, dans ce problme ltat des contraintes en un point, doit treindpendant de x, ce qui impose :
Lintgration des quations dquilibre donne alors :
z
x
tzx
t
xz
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4.2.3. Exemple de calcul de contraintes
Soit un sol indfini surface horizontale, submerg, leau tant la
hauteur H au-dessus du sol (fig. 4.7).
1) Dterminer, la profondeurZ, la contrainte verticale totale.
2) Dduire la contrainte effective.
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Rponse:
A la profondeur Z, la contrainte verticale totale a pour valeur :
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Chapitre 5
Proprits Hydrauliques Des Sols
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5- Proprits Hydrauliques Des Sols
I. GENERALITE - DEFINITIONS
I.1 Nappes souterraines - Vocabulaires
Lorsque les sols sont saturs, que leau est libre de circuler et quun
gradient hydraulique apparat, on parle alors de nappe souterraine.
En particulier, on distingue :
Les terrains aquifres dans lesquels leau circule avec des dbits
importants. Ils sont constitus de sols ou de roches permables
Les terrains aquifuges qui sont si peu permables que les dbits sontinsignifiants. Ils se comportent donc comme des sols ou roches
impermables.
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Surface de la nappe, surface de leau limitant la partie suprieure de la
nappe.
Nappe libre, nappe o la pression interstitielle de leau au niveau de la
surface est nulle.
Nappe phratique, premire nappe libre rencontre depuis la surface. La
surface de cette nappe sappelle le niveau phratique.
Nappe artsienne, nappe pour laquelle la pression de leau la surface de
la nappe est positive.
Une telle nappe est gnralement prisonnire entre deux couches de terrains
aquifuges.
Nappes artificielles, ce sont des nappes cres par lhomme, telles celles
qui existent lintrieur du corps dun barrage en terre.
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I.2. Hydraulique des sols
Leau dans le sol peut se prsenter sous trois formes diffrentes :
Eau de constitution : cest leau de cristallisation. Exemple : gypse(SO4Ca, 2H2O , ou encore appel pltre.
Eau libre : contrairement aux cas prcdents, pour lesquels leau
est solidaire des grains solides, leau libre remplit les espaces
forms par les grains solides et peut y circuler.
Lhydraulique des sols de ce chapitre concerne exclusivement :
1. Leau libre des sols,
2. Son coulement en rgime permanent,
3. Et en supposant que le sol est compltement satur.
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Par ailleurs, pour tudier lcoulement de leau dans les sols, nous
admettrons les hypothses suivantes :
a) Leau interstitielle est incompressible
b) La masse deau interstitielle se conserve,
En effet si lon considre un volume V de sol satur, la quantit deauV1 qui rentre dans ce volume en un instant donn est gale au
volume V2 qui en sort, si bien qu tout instant le volume deau
contenu dans le sol est le mme. Cest--dire :V1=V2
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Si (V (vx, v
y, v
z) est la vitesse dcoulement de leau dans le sol, la
condition de conservation de la masse deau interstitielle scrit :
c) Les contraintes totales et effectives ainsi que la pression de
leau (u) restent lies par la relation de TERZAGHI :
= +u et 'XX !
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I.3. Proprit de leau libre : coulement linaire travers un
sol
Considrons un cylindre de sol de section S (fig.5.1) et supposonsquil se produise un coulement de M vers N.
Laltitude de la particule fluide
au point M
Laltitude de la particule fluide
au point N
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I.3.1. Vitesse de leau dans le sol
Soit Q le dbit travers S. la vitesse apparente v de leau est pardfinition :
Cette dfinition bien que la plus utilise, donne une vitesse fictive
car en ralit leau ne circule que dans les pores de surface n.S (ntant la porosit du sol) dune part et dautre part, les trajectoires
sont vraisemblablement tortueuses et zigzagantes.
On dfinit la vitesse moyenne v par le rapport :
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I.3.2. Charge hydraulique
En hydrodynamique, on appelle charge hydraulique en un point Mla quantit :
A noter:
1. La charge hm sexprime en m.2. Dans les sols, les vitesses dcoulement sont si faibles (10 cm/s
grand maxi) que lon peut ngliger la quantit
La charge hydraulique scrit alors :
Thorme de Bernoulli
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I.3.3. Gradient hydraulique
On dfinit le gradient hydraulique i entre deux points A et B par lerapport :
Si A est voisin de B ,
A noter :
1. Cette relation dfinie dans un milieu unidirectionnelle se gnralise
aisment dans un milieu deux ou trois dimensions. On a alors
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2. Si i = 0, la charge hydraulique est la mme en tout point du milieu ;
leau interstitielle est dite en quilibre hydrostatique,
3. i est une quantit sans dimension,
4. En tout point M du sol, le vecteur i et la ligne de courant sont
tangents et sont orients dans le mme sens.
5. En tout point M du sol, le vecteur vitesse est tangent la ligne de
courant et orient dans le mme sens.
Cette perte de charge i traduit le frottement exerc par leau sur
le squelette solide: La pousse dcoulement qui en rsulte est
lorigine de nombreux sinistres (glissement de terrain, ).
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Les premires expriences intressantes concernant la filtration de leau ontt ralises par Darcy partir de 1854 dans la cour de lHpital de Dijon.
Il tudiait lcoulement de leau sans pression dans une canalisation
verticale de 35 cm de diamtre et de 2.5 m de hauteur et remplie de sable.
Darcy mesurait la fois la perte de charge entre les 2 extrmits de la
conduites et le dbit de la filtration correspond lorsque le rgime permanent
tait tabli.
Le rsultat fondamental de Darcy (1856) est que le dbit par unit daire est
proport. la perte de charge et inversement proport. la hauteur de la
conduite
1.3.4. Loi de DARCY
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1.3.4. Loi de DARCY
La loi de DARCY est la loi fondamentale de lhydraulique des sols. La loi fondamentale de DARCY publie en 1856 exprime la
proportionnalit entre la vitesse dcoulement et le gradient hydraulique.
Cest une loi exprimentale :
1. La loi de DARCY se vrifie en gnrale trs bien condition de rester en
rgime laminaire, cest--dire quand les vitesses restent faibles
2. Le coefficient de proportionnalit K est appel coefficient de permabilit
du sol. Il sexprime en cm/s
3. Lquation du dbit travers une section S de sol, scrit alors en fonctionde i et K :
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1.3.5. Surfaces quipotentielles Nous avons vu que dans le cas dune nappe deau stagnante, la
charge hydraulique est alors la mme en tout point.
Par contre, sil y a un coulement(fig.5.3 ), caractris par les lignesou filets deau (a,b,c, ), les points (A,B,C,) perpendiculaire ces lignes dcoulement et sur un mme plan, ont la mme chargehydraulique, ces surfaces portent le nom de surfaces
quipotentielles.
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2. PERMEABILITE DU SOL 2.1.Coefficient de permabilit
Etudions lcoulement de leau dans un tube horizontal comprenant un
chantillon de sol AB (fig. 5.4). Lexprience montre que le dbit Q deau
qui passe travers cet chantillon peut tre donn par une formule de la
forme :
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2.2. Dtermination du coefficient de permabilit K au
laboratoire
Le plus simple procds utilis pour dterminer la permabilit dunsol est lutilisation dun permamtre.
Lchantillon E est plac entre deux pierres poreuses P. Le rcipient
R est maintenu toujours plein. La mesure du volume deau Q qui
traverse lchantillon dpaisseur L pendant un temps T permet
davoir la valeur de K.
En effet, on tire de lquation (1) :
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La valeur du coefficient de permabilit K dpend de nombreux facteurs.On peut citer notamment :
La granulomtrie,
La forme des grains, Lenchevtrement des grains et la compacit du milieu.
Le tableau suivant donne quelques caractristiques correspondant diverses valeurs de K :
1. 10-6 cm/s reprsente une vitesse de 30 cm/an,
2. Il est utilis pour des sols trs faible permabilit ( K< 10-5 cm/s -exemple cas des Argiles) un permamtre dit charge variable :
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Le tube (1) (fig.5.6 ) est rempli deau.
A linstant t = t1 la hauteur de leau dans le rcipient est h1 ;
A linstant t = t2
la hauteur devient h2
On dmontre dans ce cas que
la permabilit de lchantillon
est donne par la relation :
d est le diamtre de la section (1)
D: est le diamtre de lchantillon de sol
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3. La permabilit des sables granulomtrie uniforme
peut tre value en utilisant la formule approche de HAZEN :
NB :
K en m/s et d en mm
d10 est le diamtre efficace cest dire le diamtre correspondant 10%de passant.
A noter: en pratique HAZEN est valable si lon trouve
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2.3. Mesure in situ
Les mesures de permabilit au laboratoire ont linconvnient
doprer sur des chantillons trop petits pour fournir une
reprsentation valable de la permabilit dun sol, par suite
des htrognits locales.
Les permabilits mesures en laboratoire sont toujours plusfaibles que celles mesure in situ.
Il existe plusieurs mthode de mesure de permabilit in situ,
parmi lesquels les essais Dupuit et Lefranc qui seront
examins plus loin.
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2.4. Permabilit moyenne fictive horizontale et
verticale des terrains lits
La plupart des sols sont lits (succession de roches altres dediffrentes origines ). Il apparat que la permabilit est beaucoup
plus forte dans le sens des lits que dans le sens perpendiculaire aux
lits.
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2.4.1 Coefficient de permabilit moyen
perpendiculaire aux plans de stratification ou
permabilit moyenne verticale Ecrivons lquation de conservation de la masse deau interstitielle :
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2.4.2 Coefficient de permabilit moyen paralllement au
plan de stratification ou permabilit moyenne horizontale
Le dbit total est la somme des dbits dans chaque couche
pour une tranche dpaisseur unit et pour un gradient
hydraulique i.
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Soient : Q le dbit total.
le dbit traversant chaque couche lmentaire i.
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2.4.3 Coefficient de permabilit quivalent
Nous sommes dans le cas dun coulement vertical et horizontal.
On dfinie alors la grandeur suivante :
A noter: La direction dcoulement dans les terrains sdimentaires est
importante. En effet, les dpts successifs tant horizontaux, leau
circule plus facilement horizontalement que verticalement.
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3. Hydraulique souterraine sous des ouvrages
de gnie civil
3.1. Equation de LAPLACE
Considrons un sol soumis un coulement.
En combinant la condition de continuit et la loi de DARCY nous obtenons
le systme suivant :
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Soit :
A noter :
Cette quation concerne la charge hydraulique exclusivement ;
elle suffit caractriser tout coulement souterrain dans un sol.
Le niveaupizomtrique est l'altitude ou la profondeur (par
rapport la surface du sol) de l'interface entre la zone satureet la zone non sature dans une formation aquifre
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3.2. Cas des coulements deux dimensions en
milieu homogne et isotrope
La plupart des problmes dhydraulique des sols peuvent tre
ramens deux dimensions :
Dans ce contexte lquation de Laplace scrit :
Plusieurs mthodes permettent de rsoudre cette quation :
- la mthode numrique,
- la mthode analogique (analogie lectrique),- la mthode graphique.
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Exercice dapplication:
Calculer la perte de charge travers largile dans lcoulementpermanent ascendant.
Cte de rfrence : 0 en A
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Exercice 5.1 Cas dune tranche drainante
On recherche le dbit Q par mtre de longueur de tranche pour
descendre le niveau de la nappe proximit de la tranche une
cte L en rgime permanent. On supposera lcoulement horizontal ;
le sol est un sable dont d10 = 0,06 mm (voir formule de HAZEN
pour le calcul de k, au paragraphe 2.2 du prsent chapitre).
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Solution de lexercice 5.1
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Exercice 5.2
On considre une pente infinie incline d'un angle b par rapport l'horizontale. Le sol, de poids volumique g est le sige d'un
coulement parallle la pente et dont la surface libre est la
profondeur zo. On considre que le poids volumique est le mme au-
dessous et au-dessus de la nappe.
a) Dterminer la contrainte totale s'exerant au point M(z) sur la facette
parallle la surface.
b) Dterminer la pression interstitielle en M, ainsi que la contrainte
effective normale sur la facette parallle la surface.
c) Calculer le gradient hydraulique de l'coulement.
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Exercice 5.3
On considre la coupe gotechnique ci-aprs d'un sol
constituant le fond d'une fouille creuse par dragage. Il s'agit
essentiellement de trois argiles surmontant une couche de
sable de permabilit trs leve
On supposera que les couches d'argile ont le mme poids
volumique, soit = 20kN/m3. La pression interstitielle labase de la couche 3 est UD=270kPa.
En admettant que les couches d'argile sont le sige d'un
coulement permanent vertical :
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a) Calculer la permabilit verticalequivalente de l'ensemble destrois couches d'argile.
b) Calculer le dbit traversant lestrois couches.
c) Tracer la courbe de variation dela charge hydraulique h enfonction de z
NB : On appliquera le principede la conservation du dbit decouche en couche :
d) En dduire la courbe de variation de la pression interstitielle u en fonction de z.
e) Calculer les forces agissant sur la phase solide en tte de chacune des couches.En tirer des conclusions quant leur stabilit.
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Solution de lexercice 5.3
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