Origem da matriz: O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a
dinastia Han entre 200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley e compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela primeira vez a inversa de uma matriz.
O uso das matrizes no dia-a-dia:• Imagens de internet (GIF, JPEG)
• Planilhas eletrônicas (Excel)
Uma matriz pode ser representada de três formas:
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6Colchetes Parênteses
Barra dupla
Elemento
Coluna
Coluna Coluna
Linha
Linha
Vamos ver algumas definições úteis:
Matriz A ( m linha e n colunas )
Elemento qualquer que está na linha i e na coluna j
Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j:
ij 2x3 ij
A = (a ) ij 2x3
a = i + j ij
A = =
Matriz linha: Só tem uma linha.Exemplo:
Exercício - Matriz linha: a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal
que aij = 2i + 3j.
Matriz coluna: Só tem uma coluna Exemplo:
A =
Matriz quadrada: m = n Exemplo 1: Exemplo 2:
Exercícios – Matriz quadrada (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x
2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.
Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da diagonal são iguais a zero.
Exemplo 1: Exemplo 2:
Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplo 1: Exemplo 2:
A =
Matriz diagonal
Exemplo 1: Exemplo 2:
Exercício – Matriz diagonalEscreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.
Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.
Exemplo:Matriz de ordem 2:
Matriz de ordem 3:
Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos são 0.
A =
Se A = B, então:• a= • b=• c=• d=
A = 1
2
3
4B =
a
c
b
d
Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais:
Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes. Exemplo:
A = 1 2
34 5 6
B = 2 5 4
1 2 9
A + B = =
Exercício: Determine a matriz C, resultado da soma da matriz A e B:
A = 2 0 -4 B = 2 3 2 10 7 1 0 4 7
C = C =
Exemplo:
2 . 1 2
3 4 =
Considerando a matriz: -2 3 4 -5
, determine:
a) 4 . ( A + B)
A= E
B= 1 0
2 1
Exercício: Determine a matriz oposta de e depois determine (–A + A):
Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem.
Exemplo: Dada a matriz A = e a matriz B =
, se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos:
Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo:
B = 2 1 3 2 4 5
A = 1 2 3 3 1 1
Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 :
2 5 3 6 2
a) Existe o produto AB? Justifique:
b) Existe o produto BA? Justifique:
c) Calcule o produto AB:
Exemplo 1:
Exemplo 2:
B =
Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = i.3 + 3j.
b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.
É quando uma matriz e sua transposta são iguais. Exemplo: Dada a matriz A = , sua transposta será?
Toda matriz identidade é simétrica.
A . A = In e A . A = In A= 5 1 4 1
-1 -1