Analysis
Derivadas. Problemas
OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010
NOTA
La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a
1 SCIENCE
1.1 MATHEMATICS
1.1.4 ANALYSIS
1.1.4.6 .1 DIFERENCIACION
COPYLEFT
Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/).
El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente.
Miguel Pérez Fontenla [email protected]
INDICE AUTORES
Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla
22/01/2010
TABLA DE DERIVADAS
Función Derivada Ejemplos
Constante
y=k y'=0 y=8 y'=0
Identidad
y=x y'=1 y=x y'=1
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
Regla de la cadena
( ) [ ] [ ]'( ) ( ) ' ' ( ) '( )g f x g f x g f x f x= = ⋅o
+
| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 1
COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS
Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x
2.- Calcular la derivada de la función 4( ) sin ln en x=2
f x x x xπ
= − −
3.- Calcular la derivada de la función ( ) ln xf x x x += ∈ 4.- Calcular la derivada de la función 2( ) sin f x x x=
5.- Calcular la derivada de la función 3
sin 1( )
x xf x
x
−=
6.- Calcular la derivada de la función tan cos
( )ln
x x xf x
x
−=
7.- Calcular la derivada de la función 2( ) cosf x x= 8.- Calcular la derivada de la función ( ) ln cosf x x= 9.- Calcular la derivada de la función sin( ) x xf x e= 10.- Calcular la derivada de la función ( ) ln(ln )f x x= 11.- Calcular la derivada de la función 2 2( ) ( )f x sen x= 12.- Calcular la derivada de la función 3 2
2( ) lgf x x x= +
13.- Calcular la derivada de la función 2
31
( )x
f xx
− =
14.- Calcular la derivada de la función ( ) arctan1
xf x
x=
+
15.- Calcular la derivada de la función ln
( ) arcsecx
f xx
=
16.- Calcular la derivada de la función ( ) xf x x= 17.- Calcular la derivada de la función n( ) l xf x x= 18.- Calcular la derivada de la función tan( ) xf x x=
19.- Calcular la derivada de la función 1 1
( ) ln2 1
xf x
x
−=
+
20.- Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + +
Ejercicios Propuestos
Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + −
Calcular la derivada de la función 1 1
( ) ln2 1
xf x
x
+=
−
+
| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 2
Soluciones
1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x
( )'( ) cos ' ' cos' 1 ( sin ) 1 sinf x x x x x x x= − = − = − − = +
2.- Calcular la derivada de la función 4( ) sin ln en x=2
f x x x xπ
= − −
( )3 3 4
'4 3 1 1 2 4'( ) sin ln 4 cos ; ' 4 cos
2 2 2 2 22
f x x x x x x fx
π π π π π
π π π
− = − − = − − = − − = − =
3.- Calcular la derivada de la función ( ) ln xf x x x += ∈ Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos
( ) ( ) 1'( ) ln ' ' ln ln ' 1 ln ln 1f x x x x x x x x x x
x
= = + = ⋅ + = +
4.- Calcular la derivada de la función 2( ) sin f x x x= ( ) ( ) ( )2 2 2 2'( ) sin ' 'sin sin ' 2 sin cosf x x x x x x x x x x x= = + = ⋅ +
5.- Calcular la derivada de la función 3
sin 1( )
x xf x
x
−=
( ) ( ) ( )3 3' 3 4 3
3 6 6
3
'sin sin ' 0 sin 1 sin cos sinsin 1'( ) ...
sin cos sin 1...
x x x x x x x x x x x x x x xx xf x
x x x
x x x x x
x
+ − − − + − +− = = = = + − +
=
6.- Calcular la derivada de la función tan cos
( )ln
x x xf x
x
−=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
'
2
2
2
' tan tan ' cos ' ln tan cos ln 'tan cos'( ) ...
ln ln
1tan tan sin ln tan cos
...ln
x x x x x x x x x xx x xf x
x x
x x x x x x x xx
x
+ − − − − = = =
+ + − −=
7.- Calcular la derivada de la función 2( ) cosf x x=
( ) ( )'2 2 2'( ) cos sin 2 2 sinf x x x x x x= = − = −
8.- Calcular la derivada de la función ( ) ln cosf x x=
( ) ( )' 1'( ) ln cos sin tan
cosf x x x x
x= = − = −
+
| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 3
9.- Calcular la derivada de la función sin( ) x xf x e=
( ) ( ) ( )'cos cos cos'( ) 3 3 ln3 cos ' 3 ln3 cos sinx x x x x xf x x x x x x= = = −
10.- Calcular la derivada de la función ( ) ln(ln )f x x=
( )' 1 1 1'( ) ln(ln )
ln lnf x x
x x x x= = ⋅ =
11.- Calcular la derivada de la función 2 2( ) ( )f x sen x=
( ) ( )( )( )'2 2 2 2'( ) sin ( ) 2 sin cos 2f x x x x x= =
12.- Calcular la derivada de la función 3 22( ) lgf x x x= +
( )'
3 2 22 223 2
2
1 1'( ) lg 3 lg 2
2 lgf x x x x e x
xx x
= + = + ⋅ +
13.- Calcular la derivada de la función 2
31
( )x
f xx
− =
' 2 12 1
3 33 3
2 2 2
1 2 1 ( 1) 2 1 1 2'( )
3 3 3 1
x x x x x xf x
x x x x x x x
−− − − − − − = = = = −
14.- Calcular la derivada de la función ( ) arctan1
xf x
x=
+
( )( )
( )2'
2 2
111'( ) arctan
1 11
1
xx xxf x
x xx
x
++ − = = = + + + + ( ) ( )
22 2
1
1 1x x x+ + +2
1
2 1x x
= + +
15.- Calcular la derivada de la función ln
( ) arcsecx
f xx
= '
'2
2 2
ln 1 lnln
'( ) arcsecln ln ln ln
1 1
x x
x x xf xx x x x x
x x x x
− = = =
− −
16.- Calcular la derivada de la función ( ) xf x x= Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma
( ) ( ) ( )1 1( ) ln ( ) ln ln ( ) ' ln ' '( ) 1ln '( ) ln 1
( )x x
f x x f x x x f x x x f x x x f x x xf x x
= ⇔ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +
17.- Calcular la derivada de la función n( ) l xf x x=
+
| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 4
ln 2 ln1 2ln 2 ln( ) ln ( ) ln ln ln '( ) '( )
( )x xx x
f x x f x x x x f x f x xf x x x
= ⇔ = ⋅ = ⇒ = ⇒ =
18.- Calcular la derivada de la función tan( ) xf x x= tan tan
2 2
1 1 1 ln tan( ) ln ( ) tan ln '( ) ln tan '( )
( ) cos cosx x x x
f x x f x x x f x x x f x xf x x x x x
= ⇔ = ⇒ = + ⇒ = +
19.- Calcular la derivada de la función 1 1
( ) ln2 1
xf x
x
−=
+
( ) ( )( )2
1 1 11 1 1'( )
12 211
x xf x
x xx
− + − −= =
− ++
1 x+ 2
1 x
−−
x− x+
( ) 21 x+ ( )( ) 2
1 1
1 1 1x x x= =
− + −
20.- Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + +
2 2 2
1 2 1'( ) 1
1 2 1 1
xf x
x x x x x
= + =+ + + + +
2 1x x+ +2 2
1
1 1x x=
+ +
Ejercicios Propuestos
Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + −
Calcular la derivada de la función 1 1
( ) ln2 1
xf x
x
+=
−
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 5
BOLETÍN DE TRABAJO nº 1
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 13523)( 345 −−+−= xxxxxf
2. )4)(2()( 23 xxxf −=
3. 3
2
2
3)(
x
xxf =
4. )2)(2()( 3 xxxf −=
5. 1
1)(
−+
=x
xxf
6. x
xxf
ln
lg)( 2=
7. senx
xxf
cos)( =
8. 3
3)(x
xfx
=
9. 3
1)(x
xf =
10. x
xfln
1)( =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 2 6
BOLETÍN DE TRABAJO nº 2
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxf =)(
2. 2)( −= xxf
3. 3
2
)(x
xxf
−
=
4. 23 32)( −−= xxxf
5. 2
1)(
−=x
xf
6. xsenx
xfcos
1)(
+=
7. xsenx
xsenxxf
cos
cos)(
+−
=
8. x
xxf
ln1
ln1)(
+−
=
9. 2
2
1
1)(
−−−
=x
xxf
10. x
xxxf
21
2)(
+−
=
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 3 7
BOLETÍN DE TRABAJO nº 3
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. e
exf
ln
1)(
−=
2. xxxexf x ln)( −=
3. xexf x ln)( ⋅=
4. x
exf
x
ln)( =
5. x
exf
x
ln1
1)(
+−
=
6. ))(ln1()( xexxxf +−=
7. exxf =)(
8. xe exxf ⋅=)(
9. x
x
e
exf
−+
=1
1)(
10. x
x
ex
exxf
+−
=ln
ln)(
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 4 8
BOLETÍN DE TRABAJO nº 4
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxxf 3)( 3 ⋅=
2. x
xfx
3lg
3)( =
3. x
xxf
x
x
3
3
lg3
lg3)(
−
+=
4. tgxsenxxf ⋅=)(
5. tgx
senxxf =)(
6. xx
senxxxf
cos)(
+−
=
7. xtgx
senxxxf
cos
cos)(
+−
=
8. xtgx
senxxxf
cos
cos)(
⋅⋅
=
9. xtgx
xxf
+−
=1cos
)(
10. xx
senxxxf
cos)(
+−
=
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 5 9
BOLETÍN DE TRABAJO nº 5
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 33 3)( xxxf x −−=
2. ( )( )xxxf 3)( 3=
3. x
xxf
3
lg)( 3=
4. 33
ln)(
xxf =
5. ( )33
3
lg
3)(
xx
xxf
x−=
6. x
xxf
31
1)(
3
+−
=
7. x
xxf
3lg1
ln1)(
+−
=
8. ( )( )33 3)( xxxf x−=
9. 3
3lg
ln)(
xx
xxxf
−+
=
10. 3 3)( xxf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 6 10
BOLETÍN DE TRABAJO nº 6
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 53)( xxf =
2. xxxf −= 15)(
3. 2
1)(x
xf =
4. 5
3
)(x
xxf =
5. 5
1)(
x
xxf
−=
6. 5 4)( xxf =
7. 4 5)( xxf =
8. 4 5
1)(
xxf =
9. 5 4
1)(
xxf =
10. x
xxf =)(
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 7 11
BOLETÍN DE TRABAJO nº 7
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxxf =)(
2. xxxf 5)( =
3. 5
)(x
xxf =
4. x
xxf
5
)( =
5. 3
1)(
xxxf =
6. xx
xxf
3)( =
7. 3 23)( xxxf =
8. 3
3 23
)(x
xxxf =
9. 5 4
4 5
)(x
xxf =
10. 5 45
4 53
)(xx
xxxf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 8 12
BOLETÍN DE TRABAJO nº 8
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 4
5 33 5 1)(
xxxxf −−=
2. ( )( )5 33 5)( xxxf =
3. 5 3
3 5
)(x
xxf =
4. 35 3
5
)(x
xxf =
5. 5 33 5
5 33 5
)(xx
xxxf
+
−=
6. 5 3
3 5
1
1)(
x
xxf
+
−=
7.
4
5 3
1)(
x
xxf =
8. 5 3
1)(
xxf =
9. 3 5
1)(
xxf =
10. 5 3
4
)(x
xxf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 9 13
BOLETÍN DE TRABAJO nº 9
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 35 3
4
)(x
xxf =
2. 3
5
5 3
1)(
=
xxf
3. ( )35
5 3)( xxf =
4. 5 5 3)( xxf =
5. 5
3
)(x
xxf =
6. 3
1
1)(
x
xxf
+
−=
7. 3)( exf =
8. 3 5
)( xexf =
9. 3 5)( xxf =
10. 3 3 5
5)( xxf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 10 14
BOLETÍN DE TRABAJO nº 10
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. xxf 3ln)( =
2. xxf 3lg)( 3=
3. 33lg)( xxf =
4. 33lg)( xxf =
5. xxf 3lg3)( =
6. 3
3)( xxf =
7. 33 3lg)( xxf =
8. 3
3 3lg3)(x
xf =
9. 33 3lg)( xxf =
10. 3 3ln)( xxf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 11 15
BOLETÍN DE TRABAJO nº 11
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. 3 2ln)( xexxf x −−=
2. ( )( )( )3 2ln)( xexxf x−=
3. xe
xxf
ln)( =
4. 3 2
)ln()(
x
xxf
−=
5. ( )3 2ln
)(xx
exxf
xe −=
−
6. x
x
e
exf
+
−=1
1)(
7. 2ln1
ln1)(
x
xxf
+
−=
8. ( )( )
x
xxf
x
ln
3)(
3 2
=
9. 3
ln1
ln1)(
x
xxf
−
+=
10. ( )3 2)( xexf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO nº 12 16
BOLETÍN DE TRABAJO nº 12
Calcula las derivadas de las siguientes funciones
1. ( )3 2ln)( xexf =
2. 3 ln)( xexf =
3. 3 2ln)( xxf =
4. 23
ln)( xexf =
5. 3ln)( xexf =
6. 3ln
)(x
x
e
exf =
7. 31
)(x
xxf
−=
8. 3
)(xeexf =
9. xexf ln)( =
10. 3 2ln)( xexf =
+
| BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 17
BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)
Deriva:
1.
−=
2
21 arcsen
x
xy
2.
−π
= − xey x log4
sen ·
3. x
xy
tg2
=
4.
=
−
xy
x
cos2
ln35
5. xe
xy
sen
32 tg=
6. arccos ·3 xxy =
7. 4
8
27 cos10
π−= xy
8. ( )32 2 ln −π=y
9. xx ee
xy
−+
−=
1
10. xy −= 1arctg
+
| EJERCICIOS VARIOS 18
EJERCICIOS VARIOS
Fuente Ana Fraga Vila
1) Deriva las siguientes funciones:
y = x
x 2
sen y = ln (3x2 − 5x) y = e−2x · cos x
y = cos3 x · cos x2
− xx+
=y 1
1ln
x
x =y
2
sen
x =y arcsen xx =y )tg( 33 sen·sen xxy =
+−x
x =y
21
21sco
3
2
x
x =y x =y
x sen
y = x2 · e−3x )(senln 2 x =y y = e−x · sen3 x
y = xcos x x =y tg2
−=
3
2 39ln
x
xy
3
2 39
x
xy
−= y = xsen x y = ln (ex + cos x)
253
2
5
3x
xy
−
−= xxy tg2 )3(= y = log ( cos x + 231 x− )
y = L 32 )7(sen xx −
+−x
x =y
21
21osc
πx
=y 3tg
)1(arctg 2x =y − e - e
e + e =y
x-x
-xx
)(sen sco 3x =y
xx =y 3 y = 322 )1(sen −+ xx 36arctg x =y
241 x
x =y
+
x +
x =y tgcos
1ln )(sen 232 xe =y −
+
| EJERCICIOS VARIOS 19
x =y arctg xxey 3)1( −= 4)1(
222 −− x
x +
x =y
( )x =y ln
x
=y 1
tg2 3 )sen(cos xxe =y x +−−
y = tg2 (6x)
2) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Determina los puntos de la
curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la recta y = 3x + 14
3) Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola x =y 1 en el punto x = 3.
4) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
5) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 12 +x en el punto de abscisa 12.
6) )En qué puntos de la curva 162
9 23 ++− xxx =y la recta tangente es paralela al eje OX?
7) Calcula a y b para que x + b + ax =y 8 tenga en el punto (−2, −8) una tangente horizontal.
8) Halla p y q sabiendo que la función f (x) = x3 + px2 + q tiene un mínimo relativo en el punto (2, 3).
9) Halla la ecuación de las tangentes a la curva y = x4 − 6x2 en sus puntos de inflexión.
10) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.
+
| EJERCICIOS VARIOS 20
11) Dada la parábola y = x2 − x
a) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x0 = 1.
b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es paralela a la recta y = −x + 3?
12) Halla las asíntotas de la función 4
22
3
−x
x =y
13) Asíntotas de la curva 45
232
2
+−+−xx
xx =y
14) Halla las asíntotas de x
xx = xf
5)(
2 −−
15) Halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de 12 −x
x =y
16) Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen de la función 12 −x
x =y
17) Calcula las asíntotas de la función y = 2
3
)4( −x
x
18) Halla las asíntotas de la curva de ecuación 9102 +− xx
x =y
19) Estudia el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función: y = 112
++
x
x + x
20) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de la función y = x2(3 − 2x).
21) Estudia el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de 13)( 23 +− xx = xf . Representarla gráficamente.
+
| EJERCICIOS VARIOS 21
22) Representa gráficamente la función 1
12
2
−+
x
x =y
Calculando el dominio de definición, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos.
23) Esboza la gráfica de xxy 63 2 −=
24) Dada la función .73)( 3 +− xx = xf
a) Calcula máximos, mínimos y puntos de inflexión
b) Esboza su gráfica
c) Escribe la ecuación de la recta tangente en su punto de inflexión.
25) Representa gráficamente ,6
1)( 23 xx = xf +− hallando: puntos de corte con los ejes,
monotonía
(crecimiento y decrecimiento), máximos, mínimos, curvatura y puntos de inflexión.
26) Estudia y representa gráficamente 12
2
+x
x =y
27) Halla b, c y d para que la función dcxbxxxf +++= 23)( tenga un punto de inflexión en x = 3,
pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo en x = 5.
28) Representa gráficamente la función y = (2 − x)2 calculando previamente:
a) Dominio de definición.
b) Puntos de corte con los ejes.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
+
| 22
29) Dada la función 21
)(x
x = xf+
a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
b) Halla sus asíntotas.
c) Esboza su gráfica
+
| 23
+
| 24
Fuente: IES Rego da auga
+
| 25
SOLUCIONES BOLETIN 1
1. 315815)('13523)( 234345 −+−=→−−+−= xxxxfxxxxxf
2. ( ) 44432223 401624)8)(2()4(6)(')4)(2()( xxxxxxxxfxxxf −=−−=−+−=→−=
3. ( )( ) ( )( )
( ) 26
4
6
44
23
223
3
2
2
3
4
6
4
1812
2
6326)('
2
3)(
xx
x
x
xx
x
xxxxxf
x
xxf
−=
−=
−=
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4. )2ln2)(2()2)(6()(')2)(2()( 323 xxx xxxfxxf −+−=→−=
5. ( )
( ) ( )22 1
2
1
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11
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−=
−
+−−=→
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x
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6. ( ) ( )
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2
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1lglnlg
1
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x
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7. xsen
xxsen
xsen
xxxsenxxf
xsenxfctgx
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xxf
2
22
22
coscoscoscos)('
1)('
cos)(
−−=
⋅−⋅−=⇔
−=→==
8. ( )
( ) ( )4
1
6
12
23
23
3
33ln333ln3333ln3)('
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x
x
x
xx
x
xxxf
xxf
xxxxxxx ++ −⋅=
−⋅=
−⋅=→=
9. 4
433
33)('
1)(
xxxfx
xxf
−=−=→== −−
10. xxx
xx
xfx
xf22 ln
1
ln
11ln0
)('ln1
)(−
=−⋅
=→=
+
| 26
SOLUCIONES BOLETIN 2
1. x
x
xxxfxxxf2
1
2
1
2
1
2
1)(')(
2
12
11
2
1
2
1
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−
2. 3
3122 222)(')(
xxxxfxxf
−=−=−=→= −−−−
3. 6
61553
2 555)(')(
xxxxfx
x
xxf
−=−=−=→== −−−−
−
4. 323 66)('32)( −− +=→−= xxxfxxxf
5. xxfxx
xf 2)('1
)( 22
=→==−
6. ( ) ( )
( )( )
( )22 cos
cos
cos
cos1cos0)('
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senxx
xsenx
senxxxsenxxf
xsenxxf
+
−−=
+
−−+=→
+=
7. ( )( ) ( )( )
( )2cos
coscoscoscos)('
coscos
)(xsenx
senxxxsenxxsenxsenxxxf
xsenx
xsenxxf
+
−−−++=→
+−
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8. ( ) ( )
( ) ( )22 ln1
2
ln1
1ln1ln1
1
)('ln1ln1
)(xxx
xxx
xxfx
xxf
+
−=
+
−−+−
=→+−
=
9. ( )( ) ( )( )
( )22
322
2
2
1
2112)('
1
1)(
−
−−
−−
−−−−=→
−
−=
x
xxxxxf
x
xxf
10. ( )( ) ( )( )
( )221
2ln22212ln21)('
21
2)(
x
xxxx
x
x xxf
xxf
+
−−+−=→
+
−=
+
| 27
SOLUCIONES BOLETIN 3
1. ( )
0ln
0)1(ln0)('
ln1
)(2
=⋅−−⋅
=→−
=e
eexf
e
exf
2. 1ln1
ln11)('ln)( −−+=−−+⋅=→−= xxeex
xxxeexfxxxexf xxxxx
3. x
exexfxexf xxx 1ln)('ln)( ⋅+⋅=→⋅=
4. x
xexe
xfx
exf
xxx
2ln
1ln
)('ln
)(⋅−⋅
=→=
5. ( )( ) ( )
( )2ln1
11ln1
)('ln1
1)(
x
xexe
xfx
exf
xx
x
+
−−+−=→
+−
=
6. )1)(ln1())(1
()('))(ln1()( xxx exexx
xfexxxf +−++−=→+−=
7. 1)(')( −=→= ee exxfxxf
8. xexexe exeexxfexxf ⋅+⋅=→⋅= −1)(')(
9. ( )( ) ( )( )
( )21
11)('
1
1)(
x
xxxx
x
x
e
eeeexf
e
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−
−+−−=→
−
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10. ( ) ( )
( )2ln
1lnln
1
)('ln
ln)(
x
xxxx
x
x
ex
ex
exexex
xfex
exxf
+
+−−+
−=→
+
−=
+
| 28
SOLUCIONES BOLETIN 4
1. 3ln333)('3)( 323 xxx xxxfxxf ⋅+⋅=→⋅=
2. ( )
( )23
33
3 lg
lg1
3lg3ln3)('
lg
3)(
x
ex
x
xfx
xf
xx
x
−=→=
3. ( ) ( )
( )23
3333
3
3
lg3
lg1
3ln3lg3lg3lg1
3ln3)('
lg3
lg3)(
x
ex
xxex
xfx
xxf
x
xxxx
x
x
−
−+−−
+=→
−
+=
4. )1(cos)(')( 2xtgsenxtgxxxftgxsenxxf +⋅+⋅=→⋅=
5. ( ) senxxtg
xtgsenxtgxxxfx
tgx
senxxf −==
+⋅−⋅=→== ....
)1(cos)('cos)(
2
2
6. ( )( ) ( )( )
( )2cos
1coscos1)('
cos)(
xx
senxsenxxxxxxf
xx
senxxxf
+
−−−+−=→
+−
=
7. ( )( ) ( )( )
( )22
cos
)1(coscoscos)('
cos
cos)(
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senxxtgsenxxxtgxxsenxxf
xtgx
senxxxf
+
−+−−+−−=→
+−
=
8. ( )( ) ( )
( )2
22
22
cos
(coscos
1coscoscos
)('cos
cos)(
xtgx
senxxtgxx
senxxxtgxxxsen
xfxtgx
senxxxf
⋅
−⋅+⋅⋅−⋅+−=→
⋅⋅
=
9. ( )( ) ( )( )
( )22 111cos1
)('1cos
)(xtgx
xtgxxtgxsenxxf
xtgx
xxf
+
++−−+−−=→
+−
=
10. ( )( ) ( )( )
( )2cos
1coscos1)('
cos)(
xx
senxsenxxxxxxf
xx
senxxxf
+
−−−+−=→
+−
=
+
| 29
SOLUCIONES BOLETIN 5
1. 3 2
233
3
13ln33)('3)(
xxXfxxxf xx
⋅−−=→−−=
2. ( )( ) ( ) ( )( )3ln333
1)('3)( 3
3 2
3 xxx xx
xfxxf +
⋅=→=
3. ( ) ( )( )
( )233
3
3
3ln3lg3lg1
)('3
lg)(
x
xx
x
xex
xfx
xf
−
=→=
4. x
xfx
xf⋅
=→=33 3
1)('
3
ln)(
5. ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )233
3 233
333
32
33
3
lg
3
1lglg
13lg3ln33
)('lg
3)(
xx
xxxe
xxxxx
xfxx
xxf
xx
x
⋅+
−−−
=→−
=
6. ( )( ) ( )( )
( )2323
31
3ln31313)('
31
1)(
x
xx
x
xxxf
xxf
+
−−+=→
+
−=
7. ( ) ( )
( )23
33
3 lg1
lg1
ln1lg11
)('lg1
ln1)(
x
ex
xxx
xfx
xxf
+
−−+
=→+−
=
8. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
⋅−+−+−=→−=
3 2
3333233
3
133ln333)('3)(
xxxxxxxfxxxf xxxx
9.
( ) ( )
( )
−
−+−−
+
−+
=→−+
=2
3
33
3
2
3
3
3 lg
lg1
1lnlg1
1
lg
ln3
1)('
lg
ln)(
xx
ex
xxxxx
xx
xx
xfxx
xxxf
10. 3
13ln3)('33)( 333 ⋅
=→==
xx
x xfxf
+
| 30
SOLUCIONES BOLETIN 6
1. 45 15)('3)( xxfxxf =→=
2. 115)(')( 1415 −=→−= xxfxxxf
3. 3
322
22)('
1)(
xxxfx
xxf
−=−=→== −−
4. 3
325
3 22)(')(
xxxfx
x
xxf
−=−=→== −−
5. 65
65545
5454)('
1)(
xxxxxfxx
x
xxf +
−=+−=→−=
−= −−−−
6. 5
5
15 4
5
5
5
4)(')( 5
4
xxxfxxxf ==→==−
7. 4
545
)(')(4
4
1
4
54 5 x
xxfxxxf ==→==
8. 4 9
4
9
4
5
4 5 4
5
4
5)('
1)(
xxxfx
xxf
−=
−=→==
−−
9. 5 9
5
9
5
4
5 4 5
4
5
4)('
1)(
xxxfx
xxf
−=
−=→==
−−
10. x
xfxxx
xxf
2
1)(')( 2
1
2
11
=→===−
+
| 31
SOLUCIONES BOLETIN 7
1. xxxxfxxxxxf23
23
23
)(')( 2
11
2
3
2
3
2
11
===→===−+
2. 92
91
2
11
2
11
2
15
5
211
211
211
)(')( xxxxfxxxxxf ===→===−+
3. 11
2
111
2
9
2
95
2
1
52
9
2
9
2
9)(')(
xxxxfxx
x
xxf
−=
−=
−=→===
−−
−−−
4. 72
71
2
9
2
9
2
155
2
9
2
9
2
9)(')( xxxxfxx
x
xxf ===→===
−−
5. 3 7
3
71
3
4
3
4
3
11
3 3
4
3
4
3
4)('
1)(
xxxxfxx
xxxf
−=
−=
−=→===
−−
−−−−
6. 2 7
2
71
2
5
2
5
2
131
32
5
2
5
2
5)(')(
xxxxfxx
xx
xxf
−=
−=
−=→===
−−
−−−−
7. 3 83
81
3
11
3
11
3
23
3 23
311
311
311
)(')( xxxxfxxxxxf ===→===−+
8. 6 76
71
6
13
6
13
6
922
2
3
3
23
3
3 23
25
613
613
)(')( xxxxfxxxx
xxxf
−===→====
−−
−+
9. 20 11
20
111
20
9
20
9
20
1625
5
4
4
5
5 4
4 5
20
9209
209
)(')(x
xxxfxxxx
xxf ===→====
−−
−−
10. 20 59
20
591
20
39
20
39
20
16252
5
45
4
53
5 45
4 53
20
392039
2039
)(')(x
xxxfxxxxx
xxxf
−=
−=
−=→====
−−
−−−+−−−+
+
| 32
SOLUCIONES BOLETIN 8
1. 55 2
2 355
2
3
245
3
3
5
45 33 5 4
5
33
54
53
35
)('1
)(xx
xxxxxfxxx
xxxxf +−=+−=→−−=−−= −
−−
2. ( )( )15
341534
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19
15
34
5
3
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55 33 5 x
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3. 15
16
15
16)(')(
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16
5
3
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5 3
3 5 xxxfx
x
x
x
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4. 15
221522
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15
7
15
223
1
5
223
1
5
35
3
1
5
3
5
35 3
5 xxxfxxx
x
x
x
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=
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5.
( ) ( )( )25 33 5
5 2
2 35 33 55 33 5
5 2
2 3
5 33 5
5 33 5 5
33
5
5
33
5
)(')(xx
x
xxxxx
x
x
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6.
( ) ( )( )
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2 35 35 3
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5 3
3 5
1
35
115
3
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x
xxx
xxf
x
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7. 5
23
5
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5
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5
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4
5 3 xxxfxxx
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8. 5 8
5
8
5
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3
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9. 3 8
3
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−=
−=→==
−−
10. 5
17517
)(')(5 12
5
12
5
17
5
34
5 3
4x
xxfxxx
xxf ==→===
−
+
| 33
SOLUCIONES BOLETIN 9
1. 15
171517
)(')(15 2
15
2
15
173
1
5
173
1
5
34
3
1
5
3
4
35 3
4 xxxfxxx
x
x
x
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=
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−
2. ( )2
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13
3
1
55
3
5
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5 3
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xx
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533
55 3 =→=
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4. 25 22
25
22
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1
5
35 5 3
25
3
25
3)(')(
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==
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5. x
xfxxx
x
x
x
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2
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55
1
2
1
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5
3
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6.
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2
1
1
1
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x
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x
x
xxf
x
xxf
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8. 3 2
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5)(')(
3 53 5
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9. 31
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10. 9 5
9
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1
3
9
55ln5
9
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9 5
9
5
9
5
3
53 5
xxxfxf
xxxxx ⋅⋅
=⋅=→=
==
−
+
| 34
SOLUCIONES BOLETIN 10
1. ( )
( )3ln3lg3
1
3lg3
1)('3lg)( 3
3 2
3
33
x
xx
x exfxf ⋅
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2. ( )
( )23
3 23
3 3 31
ln3
1)('ln)( x
xx
xfxxf
=→=
3.
⋅
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3 233
33
3
1lg
1)('lg)(
xe
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4. ( )3ln3lg3
1)('3lg)( 33
x
x
x exfxf
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5. ( )3ln33
1)('3ln)( x
x
x xfxf
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6. ( )2333
3 3lg1
)('lg)( xex
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7. ( )
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3
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3
1)('3lg)( 3
33
33
x
x
x exfxf
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xfxfxx
3lglg lg
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9. ( )
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3 23
13ln3)('3)(
33
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3
13ln3lg
3
13ln3)('3)( 3
33
3lg3lg 33
33 x
xexfxf
xx
+
| 35
SOLUCIONES BOLETIN 11
1. 3
3 2
3
21)('ln)(
xe
xxfxexxf xx −−=→−−=
2. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) →
−+−+−
=→−=3
3 23 23 2
3
2lnln
1)('ln)(
xexxexxe
xxfxexxf xxxx
3. ( )2ln
1
)('ln
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xx
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e
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( ) ( )
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3
3 2
3 2
3
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1
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)(x
xxx
xxf
x
xxf
−+
−−
=→−
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5. ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )23 2
3
3 23 21
3 2ln
3
2ln
1ln
)('ln
)(xx
xxx
xexxxeex
xfxx
exxf
xexe
xe
+−−−−
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=
−−−
−
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x
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x
x
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e
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+
−=
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( )22
22
2ln1
21
ln1ln11
)('ln1
ln1)(
x
xx
xxx
xfx
xxf
+
−−+
=→+
−=
8. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )2
3 2
3
3 2
3 2
ln
13ln
3
233ln3
)('ln
3)(
x
xxx
xx
xfx
xxf
xxx
x
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+
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9.
( ) ( )
( )
−
−+−−
−
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−
+=
−
2
3
2
3
ln1
2
11ln1ln1
2
11
ln1
ln1
3
1)('
ln1
ln1)(
x
xxxx
xx
x
xxf
x
xxf
10. ( )32
)(')( 3
2
3
23 2
⋅=→==xx
x exfeexf
+
| 36
SOLUCIONES BOLETIN 12
1. ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]( ) ( )
33
1
3
23 23 2
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+
| 37
SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA
2) (1, 1) , (−1, −1)
3) y −3
1 = −
9
1(x − 3)
4) y = −6(x − 1)
5) y − 5 = 5
1(x − 12)
6) (1, 3,5) , (2, 3)
7) a = 2, b = 0
8) p =−3; q = 7
9) y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = −8(x − 1)
10) y = −6(x − 1)
11) a) y = x − 1 b) (0, 0)
12) x = 2, x = −2, y = 2x
13) x = 4, y = 1
14) x = 0, y = x − 1
15) (0, 0), x = −1, x = 1, y = 0
16) Punto de inflexión (0, 0)
17) x = 4, y = x + 8
18) x = 1, x = 9, y = 0
19) Creciente en ]−∞, −2[ ∪ ]0, +∞[. Decreciente en ]−2,−1[ ∪ ]−1, 0[. Mínimo (0, 1). Máximo (−2,−3)
20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ]−∞, 0[ ∪ ]1, +∞[. Convexa en ]−∞, 2/1 [. Cóncava ] 2/1 , +∞ [
+
| 38
21) Creciente en ]−∞,0[ ∪ ]2,+ ∞ [. Decreciente en ]0, 2[. Mínimo (2, −3). Máximo (0, 1)
Convexa en ]1, +∞[. Cóncava ]−∞, 1[. Punto de inflexión (1, −1)
22) 24)
24) a) Mínimo (1, 5). Máximo (−1, 9). Punto de inflexión (0, 7)
b)
c) y − 7 = −3x
25) 26)
27) b = −9, c = 15, d = −7
+
| 39
28) a) D = R; b) (0, 4) (2, 0) c) Decreciente en ]− ∞, 2[ ; Creciente en ]2, +∞[. Mínimo (2, 0)
29) a) Creciente en ]−1, 1[. Decreciente en ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[. Máximo (1, 2/1 ), mínimo (−1, − 2/1 )
b) y = 0
+
| 40
Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλµξσφφδεε
·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘H⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×