Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
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Il calcolo vettoriale
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I vettori: definizione Attenzione a definizioni superficiali
Del tipo: “Definito da modulo, direzione, verso” Sono valide “a senso”, e solo in coordinate
cartesiane! Dimenticatela se l’avete sentita a scuola!
In realtà si definisce il vettore come un
Ente astratto che si trasforma come le coordinate di un
punto
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I vettori: definizione In una relazione vettoriale tutti i termini
si trasformano in modo identico. Quindi
le relazioni vettoriali sono invarianti per trasformazioni
di coordinate Quindi una relazione valida in un sistema
di coordinate, vale, nella stessa forma, in ogni sistema di coordinate!
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I vettori: definizione Si definisce come scalare un numero,
però
un numero che sia indipendente dal
sistema di coordinate Quindi una componente di un vettore NON
è uno scalare… questa dipende dal sistema di coordinate
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Vettori e componenti Quindi un vettore è definito
come un punto Coppia o terna ordinata di numeri reali
I numeri che lo definiscono si dicono le
componenti del vettore Attenzione: Nei sistemi polari o cilindrici
le componenti dei vettori possono essere sia misure sia di distanze, sia di angoli
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Vettori e componenti Ci riferiremo nel Corso sempre ad
un sistema cartesiano ortogonale Salvo un paio di casi
Nello spazio 3D un vettore è definito da tre componenti
Ecco alcune notazioni usate di solito , ,
x
x y z x y z y
z
v
v v v v v v v
v
v
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Vettori e componenti Nello spazio 2D un vettore è
definito da due componenti Ecco alcune notazioni usate di
solito
,x
x y x yy
vv v v v
v
v
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Vettori e componenti Le componenti di un vettore sono
interpretabili, ad esempio, come Le coordinate di un punto Le proiezioni di un segmento orientato
Da questo l’interpretazione geometrica o grafica (molto comoda, peraltro) della “freccetta”
Però fate attenzione: un vettore è l’insieme di TUTTE le freccette parallele nello spazio!
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Uno schizzo
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Prodotto vettore per scalare
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Vettorimoltiplicazione per uno scalare
Un vettore è definito tramite le sue componenti
Si dà significato al vettore nullo
Attenzione: i vettori vanno indicati in modo
diverso dagli scalari! Freccette, grassetto, corsivo...
x y zv v vv
0 0 0O
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Vettorimoltiplicazione per uno scalare
Si definisce la moltiplicazione di un vettore per uno scalare nel modo seguente
Si dà quindi significato all’opposto di un vettore
x y z x y zw w w v v v
w v
x y z x y zw w w v v v
w v
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Vettorimoltiplicazione per uno scalare
Se un vettore si ottiene da un altro moltiplicandolo per uno scalare, i due vettori si dicono
paralleli Il significato grafico spiega la
ragione di questo nome:
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Somma di vettori
Detta anche “composizione”
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Vettorila somma
Si definisce la somma di due vettori come
Le proprietà della somma dei vettori sono facili da dimostrare
Commutativa Associativa Distributiva (rispetto alla moltiplicazione per uno
scalare)
x y z x y z
x x y y z z
v v v w w w
v w v w v w
v w
v w
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Vettorila somma
Interpretazione geometrica: Vettore come segmento orientato Somma come costruzione testa-coda
Caso particolare: regola del parallelogramma Attenzione: questa è comoda solo nel caso di DUE
vettori Attenzione al nome somma: nome usato
per economia (e viste le operazioni sulle componenti) Il nome è alquanto improprio Spesso (e meglio) si usa “composizione”
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La combinazione lineare
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Vettorila combinazione lineare
È la combinazione di moltiplicazione per uno scalare e di somma
Molto utile!
x y z x y z
x x y y z z
v v v w w w
v w v w v w
v w
v w
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Vettorila combinazione lineare
Un caso particolare notevole: la differenza
Una combinazione lineare di due vettori fornisce sempre un vettore complanare al piano individuato dai primi due
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x x y y z zv w v w v w v w
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Somma e differenza di vettori