~.
Sé rie E - 018 - Agosto/85
TEORIA ERGÓDICA "DAS TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS
Marcos Craizcr
CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVI~ffiNTO CIENTiFICO E TECNOLÓGICO
INSTITUTO DE :t-1ATEHÁTICA PURA E APLICADA
INFORMES DE :t-1ATEMÁTICA
série E - 018/85
TEORIA.ERGÓDICA DAS TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS
J.1arcos Craizer
Rio de Janeiro
Agosto/85 1 - ,,,,(\ I '• ' • )
1) •• .. _, •' J \._.,
CONSELHO NACIONAL DE DESENVOLVIMENTO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO
INSTITUTO DE V~TEMÁTICA PURA E APLICADA
TEORIA ERGÓDICA DAS TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS
~.
Marcos Craizer
Dissertação apresentada para obtenção do Grau de Jl~est~e
em Matemática
Rio de Janeiro
. - 1985-
- 1-
I - INTRODUÇÃO
Seja M variedade compacta sem bordo . Uma aplicação
f : M;> , e expansora se é de classe c l e existe À "> 1 tal que
IID f . v\1 ~ X
>.IJvll. ~ X E M, v E TxM. Um exemplo destas transfor
mações pode ser construÍdo tomando uma transformação linear
L: Rn..) tal que L(Zln) c 7ln e I y I > 1 para todo autovalor
de L. Então a aplicação f: Tn = Rn /7.ln.,:) induzida por L
y , e
expansora. ' Reciprocamente toda transformação eX2ansora de , e
topologicamente equivalente a uma gerada por este método (Shub
[ Sl]) . A dinâmica das transformações expansoras de variedades
é muito bem entendida , estando caracterizadas todas as variedades
que as admitem e nelas estas são sempre topologicamente equiva-
lentes a modelos "lineares" construídos de forma semelhante à des
crita acima para Tn (Gromov [Gl ]) .
Neste trabalho estudar emos a teor ia ergÓdica das trans
formações expansoras . Mai s especificamente demonstraremos r esul
tados sobre a existência de cer tas medidas invariantes que exibem
propriedades que as vinculam de forma particularmente expressiva
com a dinâmica da transformação . O prim~iro destes r esul tados
mostra que toda transformação expansora possui uma e só uma proba
bilidade invariante equivalente à 'de Lebesgue , que é obtida como
o limite da iteração da medida de Lebesgue pela transformação .
Denotemos por ~(M) o espaço das probabilidades em M
e por ~(f) o espaço das probabilidades em M f - invariantes .
. Dizemos que f : ~ E c 1
Holder- contínuo e denotamos por
Holder-C1 com constante de Hol der
é Holder- c 1 se det
c 1+Y o espaço das
y .
, e
funções
- 2-
Dizemos que u E ~(M) é exata com respeito a f se pa
ra todo A E n f-n( 6(M)) , temos ~(A) = O ou 1 , onde 6(M) é n~o
a o-álgebra dos borelianos de M. Se ~ E ~(f) e é exata , então
u é ergÓdica. Denotemos por hu(f) a entropia de ~ com res
peito a f.
Teorema I. 1. Seja f: M .,.:)
Existe uma Única u E ~(f)
1 uma transformação expansora Holder-C .
absolutamente continua com respeito a
medida de Lebesgue m. Além disso u satisfaz :
(1) du E c V (M) .dm
(2) ·u é exata
e é estritamente positiva .
~.
(.3) lÇ~(f) = r log ldet f ' ldu M
(4) hv(f) < r log ldet f ' I dv , .!t.f v E ~(f) , se M
m(f- n(A)) ~(A) ' ..!t.f boreliano A. t . q . m(M) n-+m
(5)
v I= u
m('bA) = o
Consideremos agora a questão de estudar a distribuição
assintÓtica das pré-imagens de um ponto X por f -n quando
n --+m. Seja v (x) n E ~(M) definida por
-v (x) 1 E ô = n dn :fn(y)=x
y
onde d = :/1: f- 1 (a), ,
número independente de que e um a.
Teorema I . 2 . Seja f : M .;:> expansora. Existe v E ~(f) tq .
v = lim n-+m
v n (x) , · -v- x. Além disso, v
(1) ,
v e exata e positiva sobre abertos
satisfaz :
.•
- 3-
(2) hv(f) = log d
~ ~ E ~(f) , se ~ :/: v.
A questão da relação entre ~
sultado .
, e v e resolvida pelo seguinte re
Teor em a I. 3. -As seguintes propriedades sao equivalentes:
(1) ~ << \)
(2) v « u
(3) ~ = \)
(4) Para todo x E M t . q: fn( x ) = x vale ~-
(5) Existe u E C0 (r1) t . q . logldet f ' l - log d ·= uo f - u .
Este teorema tem uma aplicação interessante sobre a
equivalência topolÓgica g : Tn ~ entre uma transformação eÃ~an
sora f : Tn ~ e seu modelo linear fL: Tn ~ gerado , como des
cr·evemos acima , por uma aplicação linear L: :Rn...::> t . q . Lt/Zn) c ?ln.
Corolário 1.4. Se existe x t . q . fn(x) = x e ldel:;(fn)'(x)l:/:dn
então existe um boreliano K c Tn co~ medida de Lebesgue total,
completamente invariante (i . e ., .f-l (K) = K) e t . q . g (K) tem
medida de Lebesgue zero .
Demonstracão : Suponhamos que -1 gfg = fL . Seja m a probabi-
lidade de Lebesgue em Tn i . é1
m(A) medida de Lebesgue de A = medida de Lebesgue de M
, Esta e fL- invariante e portanto m = ~' onde
, u e a
- 4-
medida cuja existência é afirmada pelo Teorema I . l . aplicado a
transformação expansora fL . Também, como ldet fil = ldet LI é . -1
constante , ldet fil = d onde d = # fL (a) independente de a .
Então a condição (5) do Teorema I . 3, com ~ = O, nos afirma que
m = ~ = v.
Como -1 gfg = fL' * g m f ~(f)
= log d .
Portanto * g m , e a medida v cuja existência é afir-
mada pelo Teorema I . 2 , aplicado a f . Como a condição (4) do
Teorema I . 3 não ~ satisfeita por hip6tese , g*m e -~ sao mu-
tuamente singulares e portanto existe um boreliano K t . q .
f - 1 (K) = K, ~ (K) = 1 , (g*m) (K) = O.
Mas \J (K) = 1 implica m(K) = 1 e
p lica m(g(K)) =O .
* (g m)(K) =O im-
Os Teoremas I . l e I . 2 -sao casos particulares de uma
11
unificação dev.:i.da a Ruelle ( C Rl] , [ Bl] ) , que per mi te . a construção
sistemática de probabilidades invariantes exatas . Suponhamos que
f : M ~ é uma transformação continua c w: M ~ R é·uma função
continua . Denotemos por C0 (M) o espaç.o das funções continuas
em M. Definimos ~ W: C0 (M) ,..;:> como
í:
yEf-1 (x)
Teorema I . 5 . Sejam f : M -+" expansora e w: M ~ R Holder- con-
tinua . Existem h : M ~R Holder-continua e estritamente posi -
tiva , v E ~(M) e ).. > o tais que :
- 5-
(1) r hd'J = 1
(2) .C *h = ,,h
(3) * = ~'V S- I v '11
(4) u ~-n n - h f C!'d \1 11 --+ o, C0 (M) ~ ~ tP ~ cp E
c o
(5) h é a única auto-função positiva de ~~ , a menos de mul
tiplicação por· escalares . .
(6)
(7)
A probabilidade ~ = h\1
bre abertos e satisfaz
log À =. h~(f) + r ~d~ l og ~ > h..,(f) + f td.., ,
, e f - invariante, exata, positiva so-
~'V E m(M) , \1 ~ u.
Teorema 1. 6 . Sejam f : M ...;:::> expansora e ~ : M -+ ]t , ' • M -+ JR.
Holder- contínuas . Então as seguintes condiçÕes são equi valentes :
(1)
(2) U << LI~ f
(3)
(4) Para todo x t . q . fn(x) = x vale
1 n - 1 . !: "i(fJx ) = log >..,1, - log >.._
n j=O v ~~
(5) ~ u E C0 (M) t . q .
u o f - u = log \r, - log À + C'W- $) v ~
- 6-
Observamos que a condição (4) é extremamente forte e que "em ge-
r al" funções
lares .
diferentes induzem medidas mutuamente sin-
Vejamos como os Teoremas I . l, I . 2 e I . 3 decorrem dos
Teoremas I.5 e I. G. ' Demonstremos o teorema I.l . Seja w(x) = -log\det f (x)\,
que é Holder-contínua, pois f é Holder-c1
. Seja ~E C0
(M) .
Temos
= D( x:_1
I det f ' (y) 1- \,(y )\ dm(x)
yEf (x) )
Como dct f ' (x ) ~ nao se anula , usando a compacc,idade de
M, podemos tomar uma coleção de abertos disjuntos A1 , . .. , An que
cobrem M, a menos de um conjunto de medida de Lebesque zero , e
consista de um nº finito de abertos disjuntos , res
trita aos quais f seja difeomorfismo . Então
r ~d(.C-:m) = ~ ( ( I: ldet f0 (y) l -1q> (y ~ dm (x)
j Aj yEf- 1 (x) .
* Portanto ~~m = m.
= I: j
f q>dm = J q>dm .
f-1 (Aj)
Sejam Ã, h e ~ dados pelo Teorema I . 5 .
Integrando com relação a m obtemos
r hdm r tpd\J .
Logo , / I ( .. ' "
Então ,
Fazendo
Portanto
-7-:-
~ = 1, como h > O, obtemos que À = 1 e r hdm=m(M) .
r cpdm = m(M) r cpd\1,
\) = m
m(M) ·
Resulta que
A probabilidade ~ = hv satisfaz então as condições
(1), (2), (3) e (4) do teorema. Observamos que a condição (1)
na realidade implica na equivalência de ~ e m. A afirmação s~
bre a unicidade de ~ segue então do fato de que como
gÓdica, ~l << ~ ~ u1 = u.
, ~ e er-
Resta mostrar (5) .
r cp o r dm = r ~ ~ ( t.? o fn) dm
Logo
Ã, h e v
item (4)
= r \> .S:~l dm -> Jl> · hdm = m(H) J <:>d i-<
mo f - n ~ m(M) ·~ s o que prova (5) .
Vejamos agora o Teorema I . 2. Tomamos w = O e sejam
dados pelo Teorema I . 5 . Temos que
S. , · l(x) = 'i(
1 · (y) = d.
Pelo item (5) , do Teorema I . 5 , d = ~, h = 1 , e pelo
ln E c.? (y) __.... r e;:>dv , .li- cp ç C0 (M) . d yEf- n(x)
O Teorema I . 2, segue então diretamente .
O Teorema I . 3, é aplicação imediata do Teorema I . 6 .
Os Teoremas I.5 e I . 6 valem para uma classe de trans-
- 8-
formações de espaços métricos compactos muito mais geral que as
transformações expansoras de variedades , que em particular contém
os subshifts unilaterais de tipo finito . Isto possibilita , via
partições de Markov, extender boa parte dos resultados anteriores
à conjuntos hiperbÓlicos; mas esta é uma ramificação dos teoremas
I.5 e I.6 que não apresentaremos aqui. Esta classe de transfor
mações será definida no Capitulo II, e para um elemento dela con
servaremos o nome de transformação expansora porque quando o espª
ço métrico compacto em que está definida é uma variedade , a defi
nição é equivalente a dada acima .
No método que seguiremos para demonstrar o teorema de
Ruelle (Teorema l . 5) tem import~ncia o conceito de Jacobiano de
uma transformação com respeito a uma probabilidade invariante . Se
ja f : M ~ uma transformação expansora e u uma probabili dade
f - invariante . Dizemos que uma função continua · J : M ~ R
Jacobiano de f com respeito a ~ se
~ (f(A)) =r Jd~ A
, e o
para todo boreliano A onde fjA é injetiva . t fácil ver que
se Ju existir é única . Algwnas propriedades ergÓdicas de u
podem ser analisadas via J .
Teorema I . 7 . (a) h~(f) =r log J d~
(b) Se J é Holder-continua e estritamente positiva então ~ é exata .
A demonstração desse resultado será dada no Capitulo III .
Consideremos o problema de encontrar uma probabilidade
i-invariante com Jacobiano J > O dado . É fácil ver que toda
....
. .
- 9-
·função J > O que seja Jacobiano de f com respeito a alguma
probabilidade i - invariante deve satisfazer
L: f(x)=y
1
I J(x) I = 1 , -~ y EM (*)
Essa condição é também suficiente. De fat o, no Capitu
lo III demonstraremos o seguinte resultado.
Teorema I.S. Seja f: M ~ expansora e J : M -+JR. estritamente
positiva e Holder-continua. Sejam ~' h, ~ dados pelo Teorema
I.5, onde * = - log J . Então o Jacobiano de f com respeito a , e
-- -·
ma I. 5 .
hof J~ f'· = Ã.J . h
A condição ( ·*) implica que >. = 1 e ·h = 1 no Teor e-
Portanto o Jacobiano de f com r espeito a ,
1.1 e J .
·.
CAPÍTULO II
II - DINÂMICA DAS TRANSFORMAÇ0ES EXPANSORAS E O
CRITÉRIO DE HOMOLOGIA
Seja K um espaço métrico compacto.
Definição II.l. f: K -\::> contínua ,
dita se existirem e expansora
r > o, o < ).. < 1 e c > o t. q. :
(a) x~y e f(x) = f(y) ~ d(x , y) > c
(b) ~X E K e a E f - 1 (x) existe çp: Br(x) _.K t . q . çp(x)=a e
f . ep(y) = y , ~ y E Br(x ) ~
d(cp(z) . cp(w)) s:: ).d(z ,w) .li- z , w E Br (x )
Exem:elos : (a) Sejam M variedade compacta sem bordo e f : M.....:>
aplicação cl . Então f é expansora pela definição acima se e
somente se f é expansora pela definição anterior , i . é . ,
:3: o < À < 1 t . q . !ln f · vll ~ X ~ llv ll , ~X E M, ·v E TXM.
Para verificarmos isto , suponhamos primeiramente f expansora p~
1~ definição antiga . Dado x E M, :3: vi~inhança V de x t . q.
r··l(V) consiste de um número finito de abertos Wl' ... , Wn t . q .
f lw j seja difeomorfismo . Cobrimos M com vizinhanças V dessa
forma e seja r o ,
o numero de Lebesgue dessa cobertura .
Seja r 1 > O t . q. se z,w E M, e d(z,w) < rl ,
:3: geodésica f3 : [ O, 1] ___. M, com S(O) = z , f3(1) = w e
d(z,w) = 't (S) ( = comprimento de s) . Seja r = min(r0 ,I'I) .
Então , Br(x) .--+ M ,
de inversa para se rp: e um ramo
então
f ,
. . •
- 11-
d(cp(z) , cp(w)) s: -<,(~;po 13) = \l cp '(S(t))~' (t)lldt.s: fol
s: 1 À
1
f lls ' (t)lldt= f d(z , w) . o
Isto verifica a condição (b) da definição acima . Como
a condição (a) decorre de (b), no caso de K ser localmente co
nexo, f efetivamente satisfaz a definição acima .
Reciprocamente r seja x E M. Tomamos y E ~(Br (f (x)),
onde ,
I:P e t . q . ~(f(x)) = x , e suficientemente prÓximo de x
de maneira que x e y possam ser ligados por uma geodésica 13,
com ·d(x,y) = -<,(S) . Então -.
-<,(13) = d(x ,y) s: Ãd(f(x),f(y)) s: ). -<,(fo S)
1 1 ~ f llf3
1 ( t ) \I d t S: r >- li f I ( f3 ( t ) ) • f3 t ( t ) 11 çl t
o o
' Fazendo y tender a x pelo caminho 13 , com 13 (O)=v
obtemos
\lvll s: Ã\lf ' (x) ·vll
(b) Sejam M uma variedade , f : M ~ uma aplicação c1
um compacto invariante (i . é ., f(A) = A) . Dizemos que
ser se
(1) A é isolado, i . é ., ~ vizinhança U de A t . q .
n f - n U = A n;;>:O
(2) g o < À < 1 t . q .
e A cM , e expag
- 12-
Por (1) temos que f - 1 (A) = A. A partir disso , ~ f~-
cil verificar que fiA
portanto expansora .
herda todas as propriedades de f ,
(c) Se f: K~ , e expansora, A
, e e um compacto invariante,
tão fi/\ ,
necessariamente na o e expansora.
I '
, e e
en
(d) Seja A = (ai j) matriz mxm constituida de o s e 1 s.
Definimos o operador a em B+(A) "= [ (x0
, x1 , ... ) lxi f= [l, ... , m) e
O par
(a, B+(A)) é chamado um subshift do tipo finito unilateral . Defi
nimos uma métrica em B+(A) por
co
d (-d.-, a ) = r: n=O
-. 1 I o.(n) - S (n) I ,
2n onde
a= (S(O) , a(l) , ... ) .
Com essa métrica ,
a e expansora , com r = 1 , À = 1 /2'
c < 1. Pois se o. f S, e a( a) = a(a) então a (O) ~ S(O) e
l ogo d(~ , S) ~ 1 > c , o que verifica (a) . Também se ~ e S sa
tisfazem d(a , S) < 1 , então a(O) = S(O) .
por a de
e axj ,a. (O)
1 = 2 d(x , S) .
a e ~ são (xj , a) e (xj , a) Cl)
= 1 , e d((xJ.,a ) , (xJ. , S)) = L: n=l
Isto verifica (b) .
Logo as pré- imagens
onde xj E ( l ~ . .. ,m) 1 l ~ (n-1) -S(n-l) l= 2n
(e) Seja f : s1 ~ uma aplicação c2 , com grau (f) > 1 e t . q.
' f (x) f: O, .li- x .
Definimos ~(f) = (U bacia de poços)c . Então se todos
os pontos periÓdicos de f são hiperbÓlicos (o que é uma 'proprie-
dade genérica) , , e expansora ..
- 13-
Defini cão II. 2 . Sejam f : K ~ expansora e S c: K. Dizemos que
S -+ K ,
contrativo de f - n g : e ramo se rg(x ) = x , -V- X E s e
d(fjg(x ) , fjg(y)) ~ >P - j d(x, y) , ~ x, y E s, Os: j ~ n .
, E imediato observar que dados X E K e a E
- n f X existe
g : Br(x) --+ K ramo contrativo de f-n t . q . g(x) = a .
Lema II.3 . Seja B(n, e,x) = (z E K I d(fjz,fjx) ~ e,
Existe e0
> O t . q . se O < e < e0
, temos
(a) Para n ;::: 1 , seja g : Br(r(x)) -+ K ramo contrativo de f-n
t.q. g fn(x) = x. Então B(n,e,x ) = g(Be(fn(x)))
(b) Se d(fnz , fnw) ~ e, - .!>1-n ;::: o ==> z = w.
Demonstração : Suponhamos n = 1 e seja e0
< min (r ; 1~~) , onde
r > O, O < À < 1, c > O são dadas pela definição II . l . Se
z E B(l ,e,x) então d(z ,x) ~ e e d(fz , fx) ~ e: , e portanto
d(gfz,x) ~ h E: . Pe la desigualdade triangul ar , d(z , gfz) < c . Logo
z = gfz , ou seja, z E g(Be(f(x))) . Isto prova (a) para n = l.
Com argumento idêntico, completamos a prova de (a) por i ndução .
d(z,w) ~
Lema II.4 ..
quência
tão existe
~ n;::: O, pelo item (a),
* n . Logo z = w, o que prova (b) .
e é chamado uma constante de expansividade para f. o
.C3
Para todo c '> o, existe ô > o t . q . s e uma se-
fx I n ~ n O) satisfaz d(fxn, xn+l) < õ, ~ n;::: o, en
X E K satisfa?.endo d(fnx, xn) < e, -ll-n :.o: o.
-ll~-
Demonstração : Sejam (pn : Br(xn) -+ K ramos contrativos de f-l
( ) ( l-À r ) com ~n fxn- l =Xn-l · Tomamos ô < mip -x-· e, I- r .
d(cpnz, xn_1 ) ~ >.(r+ ô) <r. Resulta que cpn(Br(x11))c Br~xn_1 ),
l./- n ~ l.
Consideremos a seqUência [cp1 ..... cpn(Br(xn))Jn~ 1 . É
uma seqUência decrescente de compactos e cujo diâmetro tende a
zero . Logo n ~l ·····~n (Br(x )) n~l n
consiste de um Único ponto
que chamaremos x.
Seja .t E JN . Temos
k ( t ·l k ) + ). d f x , x.t+k • (*)
Fazendo k-+ Ol '
11
Lema II . 5 . No Lema II . 4 , se a seqÜência (xn, n ~ O) . ,
fo r per1.9..
dica de perÍodo N, então x ~ p~ri6dico de perÍodo N, se as-
sumirmos que 2 € < € ' o
dada pelo Lema II . 3 .
onde ~ a constante de expansividade
Demonstração : Consideramos as 6rbitas 2 (x , fx , f x, ... ) e
( N N+l ) f x, f x, .... Como elas estão 2€- pr6ximas, usando o Lema N II . 3,(b) , X= f x.
..
, - 15-
·Observacões : (1) Usaremos futuramente o seguinte refinamento dos
Lemas II. L~ e II . 5 . No caso de x0
, x1 , . . . ser periÓdica de perío
do N e xj+l = fxj , j = O, ... ,N- 2 e d(fxN_1 ,x0 ) < ô, resulta
de (*) que
d(fjx,fjx0
) = d(fjx,xj) ~ ÀN- jd(fNx,fxN_1
) = ÀN- jd(x,fxN_1
),
O ~ j ~ N.
(2) No próximo lema, usaremos (*), com t = O, i.é,
Lema.II . 6. Dado e > O, o ~.
:!I õ > o o
existem N E JN e õ1 > O t . q .
tisfaz
então existe x E K t.q.
t . q . para todo
~ n ~ O
~ n ~ O
& > o,
Demonstração : Dado e0
> O, tomamos ô0
como no Lema II . 4 .
Pela observação (2) ,
sa-
-16-
, Se N . e suficientemente grande e õ1 suficientemente
pequeno, resulta que
• Definição II.7. Uma sequência (xn!n ~ O) é uma pré-órbita de x
se X= X o e
Lema II.B. Se d(x,y) < r e (xn!n ~ O) é uma pré-órbit~ de x,
então existe uma pré-Órbita de y, (yn!n ~ O) t.q . d(xn,yn) ~
~ ).nd(xo , yo) .
Demonstração: Consideramoo g : Br (x) --+ K
com g(x) = xn . Definimos - Yn = g(y) .
ramo contrativo de . f -n
• Lema II . 9 . Sejam Per f = (pontos periÓdicos de f 1 e A = Per f .
fI A: A ..._...) ,
transformação e uma expansora .
Demonstração : Sejam r > o, o < ). < 1 e c > o dadas pela de-
finição II.l . Seja r 1 = mi n (r , õ 0
) , õ o dado pelo lema II.6 ,
para e0
constante de expansividade . Para provarmos que f!A
é expansora , basta provarmos que ~ (Br (x) n A) c A, se x E A 1
e ~: Br(x) -+ k
Seja z E Br (x) 1
é ramo contrativo de :...1 f '
n A. Devemos verificar que
com tp (x)
~(z) E A.
= a E A.
Sem per
da de generalidade, podemos assumir que z e a (e portanto x)
sao periÓdicos . Sejam s = perÍodo a = perÍodo x e t = perío-
do z.
~-.
• I
-17-
Seja w = cp (z) . Tomamos uma pré- ór bita [wnln ~ O} de
\*i assintótica a pr é- órbita periÓdica de a e uma pr é- órbita
de x assintóti ca a pré- Órbita periÓdica de como
no Lema II. 8 .
Dado e:>O , tomamos N grande como no Lema II.6 , e cons~dera:nos
Pelo Lema II . 6 , existe p t . q . d(p , w) < e: e t . q.
sua órbita e:0
- sombreia a
p é periÓdico e portanto
õ0
- pseudo- Órbita aci~a .
w E /\ .
Teorema II. lO . K = U f - n (Per f) . n:2:0
Pelo Lema II.4 ,
Demonstraç2o : Seja x E K e w(x) . "'" o conJunt,O w- limite da Órbi
ta de X ' i . é. '
-18-
n· w(x) ·- (yl:!! seqUência (nk} c::]~ t . q . f k(x) __.. y }.
k
tomamos
Se y E w(x) , e € > O,
t e N t . q. d(ftx,y) < õ/2
seja õ dado pelo Lema II . 5 .
e d(f~Nx,y) < õ/2 . Logo t t+l t~N-1 t f x,f x, • .. ,f x,f x, . .. é uma õ-pseudo-Órbita periÓdica .
Pelo Lema II.5, ela pode ser E-sombreada por uma Órbita periÓdica.
Então y E Per f .
Cons:ideramos a transformação f j/\ ' que é expansora pelo
Lema II . 9 . Fixo € > O, seja ô dado pelo Lema. II . 4 , apl icado
' Seja õ < ô/2 t . q . I
d(z , w) < õ implique
d(fz ,.fw) < õ/2 , ~ z , w E K .
Seja x c K. Como w(x) c /\ , ex istem N E M e
(xn) n~o c 1\ t . q . d(fN+nx, xn) < õ', .lf- n ~ O. Também
s: õ/2 + ô/2 = õ ' .l.l- n ~ O.
Pelo Lema II . 4, ex iste z em 1\ t . q . d (fnz , xn) s: s,
~ n ~ O. Logo
Mas pela expansividade da f ,
Portanto x f f-N(A) .
.JY- n ~ O.
se õ e - N e sao pequenos f x = z .
Teorema II. 11. , .
Existem compactos disjuntos unJ.cos
i = 1 , . . . , nm , m = 1 , . . . , M t . q .
(a)
= 1\ (m) 1
. .
(b)
(c)
(d)
u i;m
A~m) =. h(= Per f) l.
-19-
, e topologicamente mixing .
Além disso valem as seguintes propriedades:
é uma transformação expansora
(e) ~ aberto V de (m)
Ai , existe N t.q.
nm N (m) (f ) (V) = Ai .
Demonstração : Sejam p e q periÓdicos , e (pn ln ~ o )
(qn I n ~ O) suas pré- órbitas periÓdicas . Definimos p ""
existem pré- órbitas {p~ I n ~ O) de p e (q~ ln ~ O) de ,
e
q se
q t . q .
d(q~ , pn) __.... O e d(p~ , qn) --+ O.
l ação de equivalência em Per f .
Verifiquemos que e uma re-
Claramente é r efl exiva e si-
métrica . Se p ~ q e q ~r, então ex istem pr é- órbitas
( q~ln ~ O) de q e {r~ln ~ O) de r assintóticas as pré- órbi
tas periÓdicas (pnln ~ O} de p e (qn ln ~ O) de q r especti
vamente. Seja no t.q . d(r~,qn)
mo > n o mÚltiplo dos perÍodos de
d(r~ , q) o
Pelo Lema II.B, existe
< r, se
p e q .
< r
pr~-Órbita
n > n0
, e seja
Então
(rn"ln ~O) de r' mo
assintótica a (pn ln ~ O). Como m0
é mÚltiplo do perÍodo dessa
Órbita, a pré- órbita é assintótica a
(pnln ~ O). Por simetria, r - p .
Logo - é realmente uma relação de equivalência em
Per f . Se d(p , q) < r , então p - q , o que implica que temos
- 20-
apenas um número i:lni to de classes de equivalência Xl' ... , ~ e
que elas são aberta s e fechadas em Per f . Além disso, f trans
forma classes de equivalência em classes de equivalência . Portan
to podemos enumerar as classes como xlm), 1 ~i ~ nm , 1 ~ m ~ ~ M satisfazendo
(m) f(Xi ) =
(m) f(Xn ) =
. m
Definimos
estão obviamente s a tisfeitas .
1 ~ i < n , m
Então as condiçÕes (a) e
n Provemos (d) . Como . f 1/\ é expansora (Lema II. 9) , f mI A
(b)
, t- d f-nm(/\(_m)) -_/l.(m) fnm l , e expansora. Segue cn ao e 1 i que . (rn) e expan-. /l.i sora .
n Provemos agora (e) . Sejam g = f mi (m) e
/\i V aberto de
1\~m) . Seja p E V 1
periÓdico , de g-perÍodo n0
, e seja
(pnln ~ O) sua g-pré-6rbita peri6dica . Sejam q peri6dico em
/\~m) 1
e g- pré- 6rbitas de q t . q.
d(q~j), pj+n)----+ O, quando n -+ 03 •
Sejam ô t . q . B5
(p) c V - e N t . q . d(q~j), pj+n) < õ,
~ n ~ N, O ~ j s: n0-1 . Então se n ~ N,
t . q. j +n seja mÚJtip1o de n0
, obtemos
gn(q(j)) = q. n
tomando O ~ j ~ n-1
q~j) E B5
(p) c V e
Na realidade , como g é expansora , gn(B 5 (p)) :') Br (q) ,
se ~ n < ô . Tomando um número finito de Br ( q) cobrindo 1\lm) ,
obtemos (e) .
. .
-·
- 21-
A afirmação (c) é corolário de (e)
Suponhamos agora que tenhamos uma decomposição de A em
compactos disjuntos Alm) , 1 ~ i ~ nm , 1 ~ m ~ M satisfazendo
(a) e (c) . Sejam p e q periÓdicos . De (a) segue que se
p N q , p e q estão no mesmo Alm) . De (c) segue que se p
e q estão no mesmo A~m) ' l.
então p N q. Logo tal decomposi-
ção fica bem determinada por (a) e (c). 11
Teorema 11 . 12 . Se K , e conexo e f : K ~ é expansora , então
f é· topologicamente mi.xing .
Demonstração : Sejam r > O, c > O e O <À < 1 dados pe la de
finição II . l aplicada a fiA : A~ que é expansora , pelo Lema
II . 9 . Sejam E: ·< min(r , 1~)) e ô <e t . q . se d(z , w) < õ en
tão d(fz , fw) < e.
Afirmação : Se z E f - 1 (A) e d(z, A) < õ, então z E A. Pois
nesse caso , existe w E A t . q . d(z,w) < õ . Logo d(fz , f w) < E:.
Considerando o ramo contrativo ep: Br(fw) n /\ -+ A t . q .
rpfw = w temos que d(~· fz ,z ) < õ + ÂE: < c . Logo ~· fz = z e
portanto z E A.
Da afirmação segue que S = f - 1 (A)\A é fechado . Do fato
de f ser invariante segue que . - 1 - 2
A, S, f S, f S, ... é uma cole-
ção disjunta de fechados . Pelo Teorema II . lO ; tal coleção cobre
K. Segue então do teorema de Baire, que algum deles tem in~erior
não vazio . Como f é uma aplicação aberta, isto implica que /\
tem interior não vazio .
- 22-
Consideramos a decomposição de ~· dada pelo Teorema II .
( ) n N m Algum dos Aim contém um aberto V, e como (f m) V = Ai ,
para certo N, concluÍ mos que Aim) é aberto em K. Como K
conexo , concluÍmos que ~Im) = K. Isto demonstra o teorema.
Critério de Homologia
Suponhamos f expansora e topologicamente mixing.
, e
11
Definição II .l3. Dizemos que ~ E ~ em C(K) são homÓlogas se
existir u E C(K) t . q . ~ = ~ + u o f - u e denotaremos • ~ ~.
Teorema II.l4 . Suponhamos • Holder- contínua . Então
= x > S w (x) n
·Demonstração : Se IV ,..., O, ~ = u o f - u , u E C(K) . Resulta que
n- 1 sn w(x) = ~ IV( fjx) =
j =O
e portanto se sn ~(x ) = o.
Reciprocamente , suponhamos sn w(x) = o, ~ X t . q .
fn(x) = x . Seja a E K, transitivo para f (i . é ., Cfn(a) ) n:2:0
é denso em K) e definimos u na'Órbita de a por
onde u(a) está definido arbitrariamente .
Afirmação . ,
u e uniformemente contínua na Órbita de a . Pois ,
se d(fma , fm+na) < õ , podemos formar a õ- pseudo-Órbita
m m+l m+n- 1 m f a, f a , . .. , f a , f a , ...
·I i
• I I
I ; I
,
-23-
Dado e>O, tomam9s õ t . q . existe x periÓdico de p~
riodo n cuja Órbita e-sombreia a õ- pseudo- Órbita acima . Mais
' d(fjx , fm+J.a) / , n-j d(x , fm+na) , do que isso, tal orbita satisfaz ~ h
O s: j s: n , conforme a observação (1) seguinte ao Lema II . 5 . En
tão
lu(~+na) -u(fna) I = lsm+n *(x)- sm ~(a) I = lsn ~(fma) I =
= lsn w(fma)- sn '(x)i ~ n~ll~(fm+ja)- '(fjx)l s:
o o
Isto ·demonstra a afirmação .
Da afirmação segue que podemos extender n .
ção continua em K. Seja y E K, y = lim f Ja . j -+ ro
u a uma fun-
Então
n.+l n. u(fy) - u(y) = lim u(f J a) - lim u(f Ja) =
j -+ro j -+Q)
= lim 8n .+l H a) - sn. w(a) = j -+0) J J
= lim * (f n.
Ja) = * (y) j -+ro
Portanto * = u o f - u , ou seja ,
* ,...., o.
• Corolário II .l5 . Sejam w E ~ Holder-continuas . Então
. CAPiTULO III
,J ACOBIANOS
Recordemos algumas definições dadas na introdução, dadas
com !JOuco ·mais de generalidade aqui . Sejam f: K ~ continua e lo
calmente injeti va e ~~ E ~(K). Dj zemos que uma função F E L 1 ( ~)
~ Jacobiano de f se
IJ.(f(A)) =!A FdiJ.
para todo boreliano A t . q . fiA seja injetiva . O Jacobiano , se
existir , ~ ~nico q .t . p .
definimos
(.s:w tP) (x) =
, e e denotado por J\J.f .
por.
E
yEf-1 (x)
e * (y) cp (y) ,
* Lema. III.l. Seja 'J r:. m(K) satisfazendo .Cw 'Y = '>.'J, '>. '> O.
Então
Seja h continua (') estritamente posi tj.va e
J f \.L
Demonstração : Seja A boreliano t . q .
\.L = h 'Y. Então
, e injetiva . Tomemos
seqUência (hn1n~l em C0 (K) t.q . h11
--+ lA q.t . p . ('J] e
11 hn 11 0
s: 2 , ~ n ~ 1. c
.C*(e ... ~ hn)(x) =
Então
Esta Última expressao converge a lf(A)(x) q . t . p . ('Y] e
•
. .
- 25-
portanto , pelo ~eorema da convergência dominada
Logo
Também
Como u e ~ são equivalentes , esta Última expressao
converge a ~ (f(A)) e portanto
De agora em diante , suporemos f e:>.."'Pansora e topologicamente
mixing . Se ~ E ~(K) , definimos o suporte de ~ como
Supp( ~ ) = {x E K I ~ vizinhança V de x, u (V) > O)
Lema III. 2 .
supp(u) = K.
Se ~ E ~(K) admite um Jacobiano J f \J
então
Demonstração : Suponhamos que exista V aberto , com ~ (V) = O.
Cobri~os V com borelianos A c V t . q . fjA seja injetiva .
Então
u(f(A)) = J J f du =o. A ~
Logo ~(f(V)) = O. Por indução , u (fn(V)) =O . Como sabemos
- 26-
que existe n E JN t . q . fn(V) = K, chegamos a uma contradiçio .
Lema III. 3 .:.. Se J f ~1
existe A > O t.q.
de -n f , então
11
é estritamente positivo e Holder- contínuo ,
~ n , se g : S -+ K , e um ramo contrativo
~ x,y E g(S) .
Demonstração : Corno g é ramo contrativo de I
- n f . e x,y E g(S)
O ~ j ~ n.
onde , d = diimetro (S) . Então
J\Jfn(x) =
J IJ fn(y)
~
onde c = inf xEK
n-1 Jnf(fjx) n-1 IJ~f(fjx ) -J~f(fjy) I TI ~ TI j=O J \Jf(fjy) j=O J f (fjy)
IJ
n-1 1 IJ f(fjx) - J uf(fjy) I TI 1 + -j =O c u
JIJf(x) > o. Prosseguindo
m . def ~ TT 1 + c p.Y)J d = A
c j =O
+ 1
Corolário III . 4 . (Lema de Distorsão) - Existe B > O t . q .
v sl' s2 c s .
•
·-.
•
- 27-
u(g(s1))
u (g ( s2 ))
Demonstracão : Fixo x0
E g(S) , temos
Então
u(s1 ) = f J~fnd~ ~A J~~(x0 )·~(g(S1 )) g(Sl)
u(S2) = r Jufndu :<!: í Ju~(xo) .u (g(S2)). g(S2)
u (g(s1 ))
~ (g(S2))
Invertendo os papéis de s1 e s2 , obtemos a.outra desigua l da
de .
Corolário III . 5 . Sejam e0
uma constante de expansividade de
f ' dada pelo Lema II . 3 , e O < e ~ e0
. Então existe c€ t . q .
l.l- n :2: O, .Y.. x E K.
Demonstração : Pelo Lema II . 3 , B(h , e,x) = g(Be(fnx)) , onde
g : Br(fnx) ~ K é ramo contrativo de f - n . Cobrimos K cem bo-,
las B1 . . . B~ de raio ~/3 e seja ó = min u (B1.) . õe e estrita
e l~is:l.,
mente positivo, pois, pelo Lema III . 2, u é positiva sobre aber-
tos . Também, ~ y E K, temos
Logo
- 28-
ô t ~ IJ.(Be(fnx)).- f J IJ fn diJ s: A J u.fn(x) . IJ (B(n , e, x)) . g ( B e: ( fnx) )
Portanto
Também
Portanto
Corolário III . 6 . Suponhamos ll f-invar i ante , erg.Ódica . Então
Demonstração : O teorema de Brin-Katok ( [ B2]) afirma que
lim e: ~ o
lim sup n -+oo
- ~ log l.l(B(n , e: , x)) ,
Do Corol~rio III . 5 , segue que
q . t . p . X€=K .
1 1 n lim sup - n log ~ (B(n , e: , x)) = lim sup n log J IJ. f (x) , se O< e:< e0 • n-+oo n -+oo
Do teorema de Birkhoff , resulta
q . t . p . xEK.
Portanto
-29-
Lema III. 7 . Sejam K espaço metrico compacto , ~ E ~(K) e
r uma partição boreliana de K, r= (P1 , ... ,Pn) . Seja
(Cm)~ 1 uma seqfiência de partições com diam Cm = max (diam C) CE Cm
convergindo a zero, quando m --+ m. Então existem partiçÕes m m
(El' ... , En ) t.q.
(1) Cada E~m) ,. . - de átomos de cm. ~ e a un~ao
(2) lim ~(E~m) 6. Pi) = o, ~i m-tco ~
Demonstracão : Sejam Kl' ... , Kn compactos com Ki c P. ~
e
~ (Pi\ Ki) < e. Seja õ = inf d(Ki,Kj) > o, e consideremos i;tj
'
m
t . q . diam cm < õ/2 . Dividimos os elementos c E cm em grupos - (m) (m) cujas unioes denominaremos E1 , ... , En da seguinte forma :
pode interceptar
no máximo um K. e caso ele não intercepte nenhum, podemos in~
clui- lo arbitrariamente em qualquer E~m) . Então ~
~ (E~m) A P .) = ~ ~
~ (P. \ E~m)) + ~J (E~m) \ p·.) ~ ~ ~ ~
n ~ ~ (Pi\Ki) + ~ (K\ U Ki) ~ (n+l) e:
j=l
Teorema III.8 . Se J~f é estritamente positivo e Holder- conti
nuo , então ,.
1.1. e exata .
Demonstração : Seja uma partição de K, com
diam r0
< r e Podemos então de-
finir ramos contra ti vos g~j : p? __... ~
K de - n o::; j =:;n. f ' ' ~
1 n n · o
Então ~ i ~ to . Sejam P .. = g .. (P. ) . ~J ~ J ~
-30-
n P = (P .. , os: j~n. , l !: iS:.{, } é uma partição de K com n lJ 1 . o
diam p -+ o. n
Suponhamos por contradição que exista A E j~Of-j(a(K))
t.q. ~(A) '> O
que )./- e: '> o,
Como A E n j;;"::O
c u.(Ac) '> o. :!IN ( e) '>O t.q.
Aplicando o Lema III.7 temos
se n ;;:: N(e:), :3: ~. E P t.q. lJ n
u.(A n F:.) ------~l~J-;;:: l-e: . ~<~j)
f - j ( 3(K)) , A = f-n(An) , para certo An E n f -j (S(K)) j;;"::O
e portanto g~j(An n P~) A n n Pelo lema de distorsão = pij '
(Corolário III . 4},
De maneira análoga,
1-4 (A n p?) n 1
u. ( p~)
t . q .
Como f , e topologicamente mixing , existe N t . q .
N J.llS: 1' S:' "'o , existe j(i) t . q . o ram~ contrativo gl ,,j (i) de
f - N satisfaz N o
Pl,j(i) c pi
Para simplificar a notação , denotaremos
Qi N
e gl , j(i)
Seja c -= min que é estritamente i
Qi tem interior não- vazio . Tomemos e t . q . o
eB Sl;lP u(Pi) 1
onde 1 ô < 2B
< ô c
N Pl, j(i) por
positivo , pois
Dessa maneira
-31-
IJ(An n Qi) ----- '> 1-ô
~ (Qi)
> 1- ô
Observando que An = f-N ~
mente o lema de distorsão
. Ac = f-N R.': e n -N
u (B n P?) n l. > 1- õB
> 1- õB
Somando resulta
1 > 2- 2õB .
e chegamos a uma contradição .
e aplicando nova-
-32-
CAPÍTULO IV
O TEOREMA DE RUELLE
Teorema IV.l. Sejam K um espaço métrico compacto : f: K ~
expansora e topo logicamente mixing; e v Holder-contínua. Então ·
existem h: K --+ ~ Ilolder-contínua e estritamente positiva,
v f ~(K) e À > O t.q .
l.
2 .
3 .
f hdV = 1
t · h = hh * * twv = Àv
4 . 11 >--n .r.; rp - h r cpdvllco _. o,
5. h é a única auto-função positiva de tw
plicação por escalares .
a menos de multi-
def 6 . A probabilidade ~ = hv
log À
é invariante , exata e
= h f + r * d~ l.l
7 . log À> hA f 1 f w d~ , para toda ~ E ~(f), ~ f- ~ 1.1
Demonstração : (1) Consideramos * * G: ~(K) ~ dada por G(bl) = .S: tJ/t u (1)
G está bem definida , pois t(l) > O
.r.*u(l) = r .1.'.(1) du > o .
· Também, como t , e positiva , G(u)
habilidade .
e portanto
é realmente uma pro-
O teoren1a de Tychonoff- Schauder (Larsen C Ll]) nos ga-
- 33-
rante então que G tem um ponto fixo ~.
temos
* Se À = ~ u (l) > O ,
* r. ~ = À~ •
Para simplificar a notação , estamos usando t em vez
e \lcp\1 denotará a norma C0 de cp.
(2) :!I A> O t.q. m m
S. (1) (x)/~ (1) (y) < A, .li- x,y E K.
Demonstração: ·Provaremos primeiro o seguinte lema.
Lema 1. ~ õ > o t . q . li- x,y E K, d(x , y) < õ e n > o podemos
escrever f - n(x) = fx1 , . .. ,xk), f - n(y) = fyl , ..• ,yk) satisfa-
zendo d(fjxi ' :fjy.) J.
n- j ( ) ~ À d x, y , para todo O~j~n , l~i~k .
Demonstração : Seja
tivo de f - 1 t . q .
õ = min(r,c/2À) .
g(i)x = xi , onde
e: seja .g(i) ramo contra
f-1(x) = tx1 , . .. , xk ) . De-
finimos
Logo
t . q .
Y· = g(i)y. J.
Então se Y· = y. ' J. J temos que
d (x. , x.) ~ d (x . , y. ) + d (xJ. , yJ.) ~ 2 Àô ~ c . J. J J. J.
xi = xj. Então a cada correspondem Y· J. distin"!::os
d (X . , y . ) ~ Àd (X , y ) . J. J.
Invertendo os papéis de x e y, ve-
mos que tal correspondência é bi- unívoca . Isto demonstra o lema
para n = 1 . Por indução , usando raciocÍnio análogo ao feito aci-
ma, completamos a demonstração do lema . Iii
Demonstraremos então (2) . Suponhamos primeiramente que d(x , y) < õ.
Então f -m (x ) { J = xl' ... 'xk
ma acima . Temos
Logo
k sm~(xi) E e s:
i =l
- 34-
k sm~ (y i) E e
i=l
A' e
s: .
Para o caso geral, conbrimos K por bolas de diâmetro
õ ; Bl' ..• , Bt e ·tomamos N t . q . fN(Bi) = K , .J.I- 1 s: i s: t .
com+N(l) (x) = ~ S '" (z) <~.- LJ e m+N "' = z Ef-m-N( x)
= E z : fmz E f - N (x)
Escrevemos
f-N(x) = (xfl) ' .•. , x~l) ' .. , , xit ) ' • •. , x~.t) ) 1 t
f-N(y) = (yil)' .•. '~~~)' ... , yft) ' ... ,y~~)} .
onde o Índice em cima indica que
dição sobre N acima implica que k1 , •.. , kt' s 1 , .•. , st são estri
tamente positivos .
.I
!
- 35-
.tm+N (1) (x) s: eNII*\1 t I:
j=1.
eN \1~ 11 t
= I: j=1
Sabemos que
tm(1)(x1~j)) s: A :m(1)(yr(j)). ~ i= 1 k r 1 , , .•• , j' = , ••. ,sj.
Portanto
--- - ;::.
max k. 1S: j s:t J
1 =A '----
max k. 1s:js:t J
Como kj(x) , x E K é limitado , (2) está demonstr ado .
(3) (a) sup \:>.-n .1:n(1) :: < c
n
(b) inf inf l h-n : n(1)(x)l > O. n x
Demonstração : De (1) temos
r). - n ( 1 )d v = 1~ ~ n E :N •
Segue que existem sn e tn t . q .
L.
- 36-
Usando (2) , resulta
, -n ~n(l )(x) <A e , -n ~n( )( ) 1 ,.. ""' ,.. ... 1 X '> A ' ~ X !== K , n E :N .
(4) Seja cV o espaço das funções Holder-contínuas com constante
de de IIolder v provido da norma
llepll + sup. x-/=y
d(x,y)<a
lcp(x)~(y) I d(x , y) v
Suponhamos que v é uma constante de Holder de w e
que a = õ dado pelo lema 1 . Então
e
onde \1 ).-n t,n ll é a norma do operador À- n s.n no espaço cV. v, a
Para simplificar a notação não escreveremos mais ll · ll v, a , mas
apenas 11 · llv.
como no Lema 1. Suponhamos u E c V , u ~ O. Temos
Também'
I v :s: C d(x ,y) •
Portanto
'
- 37-
Então
= ~n u(y)(l + C11 d(x,y)Y) +
+ C(u) )..ny d(x,y)Y (1 +c" d(x,y)V).~n· .(l)(y).
Rearranjando os termos
--- -
onde D = 1 +C" õV. Prosseguindo
1>.- n ~nu(x) - >.-n ~nu(y)l ------~--- s: c"l >.-n ~n(l)(y)lllull +
d(x , y)Y
onde, após utilizarmos 3 . (a), juntamos todas as constantes em
uma única constante E.
Novamente usando 3 . (a) temõs
Portanto
- 38-
-Para u qualquer em cY temos u = u+ - u- , e u
em e positivas. Então
11 >--n ~nully ~ 11 >. - n ,cn u+lly + 1! >. - n .cnu-lly ~
~ Fllu+ll y + F!lu-lly ~ 2FIIull y.
Logo e supll>.-n ~nlly <to n
(5) Existe h E cY estritamente positiva t . q. ~h = >.h e
r hd\1 = 1.
Demonstração : Consideramos a seqü&ncia (gn) n dada por n- 1 .
gn = l-~ E À- J .r. j 1 . n . O J=
Por ( 4) ,
•
Recorrendo ao teorema de Arzelá-Áscol~, encontramos sub-
s eqtl&ncia t .q . em Então
nk ~h = lim ~ E À- j ~ j 1 =
k--+to nk j=l
h E cY
).- j .l:jl - 1 + ).-nk .l:nkl)
= >.h
pois s up 11 >.-n ~ n 111 < to n
e
Além disso, como r g d\1 = 1, .temos que f hd\1 = 1 . nk
De (3),(b) decorre que h , e estritamente positiva.
(6) Seja ~ = hv . Então ~ é invariante e exata .
-j':J-
Demonstração : Seja u E C0 (K) . Então
f Uo f dl.l =rUo f ·h ~\1 = ~-l f .r.(h. uo f)d\1
= ~-l f .r.h . ud\1 = r uhd\1 = r ud~ .
Portanto ,
~ e invariante . No Lema III . l, vimos que
Jvf = ~e-w e portanto é Holder-continuo e estritamente positivo.
Resulta do Teorema III.8 que
a v, ~ também e. exata.
v é exata. Como ,
\.l e equivalente
(7) Sejam u e ~ em C0 (K) . Então
Esta Última expressão converge a [ ~di.L · r E d~, pois 1.1
mixing . Logo
Demonstraremos agora o seguinte lema .
Lema 2 . Sejam v E ~(K) positiva sobre abertos e
•
, e
uma seqUência limitada e equicontínua t . q . existe * ~ CO(K) sa
tisfazendo
Então
Demonstracão:
pologia C0•
Seja
Então,
* d\1 ___. n dv,
w ponto de acumulação de o
se ,,, ---+ ,,, "n '+'o
j temos
( ,,, } na to-"n n~o
Logo
.h dv 'n . J
- 40-
Suponhamos por absurdo que ~ f ~0 • Então existe um aberto V
aonde ~-* > ô '> o o (ou * -* > ô '> O) . Escolhemos ~ E C0 (K) o es-
tritamente positiva e com suporte em V. Resulta que
e chegamos a uma contradição . Então ~ = o '+' e o , uni c o ponto de
acumulação de (wn ) n:<!:O c o , ~ . Como (wn }n:<!:O
, r el ati va-em e e
ment e compacto em c o '
'f_. n * em co . a
Do Lema 2 conc l uÍmos que x. - n .Cnu --+ h [ udv , em C0 . ' ~ u E c V(K ) .
Observando que c V(k) ~ denso em C0 {K) e
s up 1l ). -n .s:nll < (J) ' concluímos que -X. - n .s:nu - • h J udv em C0
n
A AA
(8) Suponhamos h ~ O em C0 (K) t . q . .S:h = ).h . Então
(9)
pois
Como v
Logo
A
x.-n .cn h = (~)n h __. h r hdv
A , e positiva sobre abertos e h>- O,
A
). = X. . Concluímos que h = h r hdv .
Do Lema III . l, temos que
Recorrendo ao Corol~rio III . 6 , temos
A
h f: o,
hu. (f) = r log J ~./ du = log ).. ..:. f '+r dhl
, u e invariante .
f hdv > O.
- 1-
Os i tens (1) a (9) · demonstram o teorema de Rue11e ,
exceto por 7 .
(10) Demonstremos 'i .
Seja r= (P1 , ... , Pm} uma partição de K com diâmetro
< r .
Lema 3 . Existem c1 > O e c2 > O t . q. .li- m :<! O e g:P ---+ K
ramo contrativo de - m f .
~(g(P)) c1 ~ ~ c2 '
exp[ - m 1og ~ + Sm W(x) }
Demonstração : '
Do Lema III-. 3 , e imediato que
~ xEg(P) .
1 m u (P) ~ A Ju f (x ) ~ u (g (P)) ~ A J \.4 (x ) , .li- ·x E g(P) .
Segue que
1 inf u (P) ~ u (g(P)) · J fm( x ) ~ A sup u (P) . A PEr u PEr
Lembrando que
exp (-, 1og >. + Sm ~ (x) }
- 111 h o f Jf= ~ e "
IJ h
; exp {- log h(fm(x))
h(x) ~nf h
= h(fm(x)) E L~up h
I sto demonst ra o Lema 3 .
temos que
+ log h(x)}
sup ~l inf hj .
a
- 42-
Seja p(m) = (g < P ) I g : P _. K ,
ramo contrativo de -m) Então , se e f .
'11 E ~(f) ,
H'l1(f , P(m)) + r sm *d, = E [-n(g(P) - log n(g(P)) r sn ~d~ g,P g(P)
Seja zm ,, = sup s ·'· (x) g(P) ' xf=g(P) m ~~' . Então
H11(f,P(m)) +r Sm Wd'l1 :S: E n(~(P))[-log n(g(P )) + z;(P) wJ g,P
Lema 4 . E
Pl' · • · , pn~ 0
pl+ . · . +pn=l
A demonstraç~o do lema 4 s~r~ dada adiante . Prosseguindo, temos
Pelo lema 3 ,
Logo
Substituindo acima
E g , P
m z * e g(P)
n pei_Tlonstração do Lema 4: Seja v(::c1 , .•• ,xn) = E xi log xi +
i =l n + E a1xi uma função definida em ((x1 , ... , xn) I xi ~O e
:i.=l n
(*)
E x . = 1). i= 1 J.
Suponhamos que p = (p1 , ... , p11
) é um máximo de v
• .
·.
..
Logo
1 ~ j ~ n .
bv = 0 be. - e. l. J
- 4)-
Então
2 ~ j ~ n .
2 ~ j s:: n.
Resulta que
1 -log p 1 - p ·-- + a1 = 1 pl
1 -log p. - p. ·-- + a. J J pj J
Rearranjando os termos
--E como
n r: p . = 1
j=l J · temos que
(
n = r:
j=l
Calculando o valor de v nesse ponto encontramos
n a. v(p) = l og r: e J
j=l
Observamos que se v atinge o máximo em um ponto da
fronteira p = (p1 , ... , pn) podemos supor sem perda de generalid~
de que 1Ç =O . Mas por cálculos idênticos v não pode assumir , .
seu max1.mo em (pl ' ... 'p 1' o) - n - com p. > o J
1 ~ j s:: n- 1 , pois
tal máximo seria menor do que o máximo obtido acima . Reduzindo o
problema dessa maneira, chegaríamos a conclusão que v atinge seu , .
max1.mo em (1,0, ... , O)
n a. l og E e J
j=l
, o que e um absurdo pois
al > log e = a 1 = v(l , O, . . . , O) .
- 44-
Portanto v atinge seu máximo no interior e
a . v(x1 , . .. ,xn ) ~ log ( ~ e J )
j=l
Lema 5 . Sejam K wn espaço métrico compacto, T) f 'm(K) , e > O
e C uma partição boreliana . Existe õ > O t . q . HT) (C/D) < e .
sempre que D for uma partição de diam D < õ .
Demonstracão . Seja C= (c1 , ... , Cn}. Recorrendo ao Lema III . 7 ;
a ó >O t . q . se diam D < õ , ex iste . E= (El' . .. , En) c
A expressão
n (Ei) , e s e depende continuamente dos n~meros n (Ei n Cj ) e
anula quando n(C.1• n E. ) = õ .. n (C . ) . Logo para ~ 1 lJ J
e1 suficientemen
te pequeno , temos
Logo
Lema 6 . Suponhamos diam P < õ
mais fina do que p(m) .
Demonstração : Sejam gl (P) e
diam gl (P) < >.õ e diam g2 (P)
x 2 E g2 (P) t . q . cl(x1 ,x2 ) > c ,
c = ~ ·
g2 (P)
< >. õ.
temos
• ~ - m Entao .P v ... V· f P
, e
átomos de p(l) . Então
Como 3x1 ~ gl(P) e
que não existe Q E p t . q .
a n g1 ( P) -1= o e Q n g2 (P) I= </J . Isto demonstra que P V·f- l(P)
, e mais fina do que r( l ) . Como dlam r v f - 1 ( r ) < >. õ < ó podemos
. .
-45-
repetir o argumento para mostrarmos que PV f - 1 (P) V f - 2 (P)
fina do que P(2 ). E assim sucessivamente .
, e mais
11
Definição . Uma coleção R= (R1 , ... ,Rn )
uma partição de Markov de f se
, de abertos disjuntos e
(1) n U R.
. 1 ~ ~=
= K
(2) diam R. <r, ~i = 1, ... , ~
e para todo ramo contrativo
~: R. ~ K de f-l vale ~
~ (R.) n R.~ </J~ ttl (R.;) c R. , ~ J ... J
~ 1 s: j s: n .
Lema 7. Existem partições de Markov de f com diâmetro arbitra-
riamente pequeno .
Demonstracão : Seja a= [B1, ... , B~) urna cobertura de K por bolas
abertas com diâmetro < e. Definimos , para n ~ O, nCn) =
= (~ (Bi)l ~: Bi ~ K é ramo contrativo de· f - n) . Para ls:i s:~ , defi
nimos indutivamente B~O) = B. e B~r) = B~r-l) U( U B\ l l ~ l BE e(r) , B n B(r-1)~0)
Temos então que diam B~r) s: e + 2e ~+ ... +2e~r . Sejam~= · U B~r) r=O 2
A e Então diam Bi s: l ->. . Observamos também que se
contrativo de f - l e
. prÓpria construção dos
Seja R a coleção dos abertos R c K A
então R c B. J
e t . q . R seja maximal com essa ,
coleção finita de abertos disjuntos t . q . e uma e
A
cp: B. ---+ K l
t . q . se
, e ramo
pela
Rn Êj ~ <tJ
propriedade . R
u R = K. Para R E R.
completarmos a demonstração do Lema , dvemos mostrar que vale a con
dição (2) da definição acima .
- l1.6--
Afirmação : Os cp(Êj) t . q . cp(Bj) n Bl f- f/J cobrem , Pois se X ( 131 , ~c E riJ(n) (Dn) , onde cp(n) e ramo contrativo de
f-n e Dn E [B1 , . . . , B~ ). Além disso existe seqüencia ~(j)(D.) ,
1~ j~ n t . q. ~P(j)( Oj) n rp(j+l)(Dj+l) f- o. 1 ~ j:: n-1 e J
(1) cp (Dl) n B1 f r/>. Suponhamos que D1 = Bj . Pela construção dos
Êj, a seqtlêncla cp( j-l) (Dj), 1 ~ j ~ n está inteiramente contida em
Bj , onde tp(j-l) = fo Cfl(j)_ Portanto x está em cp(rp(n-l)Dn)c
c cp(Bj) c cp(Bj) n B1 f- f/J. Isto demonstra a afirmação .
Seja R r R, t . q . cp(R) n Êl f- rt> . Da afirmação acima de
corre que podemos encontrar Bj satisfazendo cp(Bj) n Bl f- r/> e
cp (Êj) n cp (R) I= r/> : Portanto Bj nRf-rt> e resulta que R c B .. J
Logo Isto demonstra que cp(R) c R' '
para
algum R ' c: R. •
Os Lemas 6 e 7 nos permitem considerar partiçÕes r
satisfazendo m v f -i r= (g (P . )I~ : P.-4· K
l . l
, ' e ramo cont rativo de i =O
f-m) = p(m) _ Basta tomar como r uma partição de Markov (dis tri
buindo os bordos dos abertos arbitrariamente) com diâmetro < c/3'1.. ,
como no Lema 6 .
Pois ness e caso os átomos das duas partiçÕes são exata-
mente da forma O =s: is: m} .
O Lema 5 nos mostra que h~(f) = h~(f , P) , l.f T1 E <ffi(f) .
Pols se C é uma partição qualquer de K , tomo t . q .
r V •• • V f-mp tenha. diâmetro menor do que ô . Então
e
. '
. -~
-47-
A partir desses fatos e de (*) , temos que
Adiante nós iremos reo-bter esse fato, e ainda mos.trare-
mos que a igualdade só é válida no caso n = ~. A demonstração
acima nos fornece uma idéia intuitiva de porque u é a probabili
dade que maximiza a expressão hn(f) + r * dn. De fato , o Lema 4
nos informa qual devem ser os valores de ~(p) para que valha a
igualdade acima , e tais vàlores são exatamente os valores de
~ (p) , pelo Lema 3 .
Devemos mostrar que se n f u, n E ~(f) , então
hn ( f) + r w d n < log ,.. .
1º caso . n singular com r espeito a u .
Nesse caso , existe cl t . q . ~ (C l) = o e ~(Cl) = 1.
Se c = n u f - j (C1 ) , então N~l j~N
f - 1 (C) = C, u (C) = o e TJ(C) = 1.
m Usando novamente o Lema II·I . 7 , encontramos F união de
átomos de P(m) t . q .
(n+u )(Fm llC) -t O quando m-+ cn .
Suponhamos por absurdo que
-48-
Logo
m 1og À ~ E ( )(-n(B) 1og n(B) + J s v dn) Bff-l m B m
Seja Zm ' ( ) ( P) '11 = s up sm ~ x . g xEg ( P)
Então
m m log). ~ E ( ) n(B)(ZB ~ - 1og n(B)) ~
BEP m
m 0- 1og n(B))'+ E n(B)( ZB t- 1og n(B)).
BC(Fm)c
Lema 8 . Suponhamos p. ~ J
o, j = 1, ... , n , s =
ai , . · . . , an c n . Então
n n a. r: P. (a . - 1og p j) ~ s(1og r: e l.
j=1 J J i=1
Demo!!.§tração : Análoga à do Lema q .
Prosseguindo , temos então
onde C = sup (-s 1og s) . Rearranjando temos o~s~1
Recorrer do ao Lema 3,
-2C ~ r: 1-J.(B)
h E Pj ~
j=1
- 1og s) .
r: ~(B) n(Fm) 1og n(Fm)c) 1og +
BcFm c BC{Fm)c c1 1
1
1og 1 + n(Fm) 1og ~(Fm) + n( (Fm) c) 1og ~ ( ( Fm) c) . = c1
e
=
. ..;
- ... Portanto a expressao a direita converge a e -chegamos a uma
contradição .
ConcluÍmos que
e portanto, utilizando a partição adequada
log ). > l H ( P V ••• V f - m P) + r ~ d T'l m T'l
Como a expressão à direita é decrescente com m,
hT'l(f) + r w dT'l < log ).
2º Caso . T'l não-singular com respeito a u. Como n também nao
é absolutamente contínua com respeito a u, po~emos decompÔ- la
como n = an' + (1-~) u', onde O < ~ < 1, n' singular e u'
absolutamente contínua (com respeito a u) . Seja A t . q .
f - 1 (A) =A ; n'(A) = 1 e u (A) =O . Então , para todo B borelia
no-,
= ~ T'l(B nA)= n'(B nA)= T'l ' (B) .
Portanto T'l' E !llt(f) . Resulta que u' E !llt(f) e logo~' = u .
Lema 9 . Sejam 'J,V' E !llt(f), mutuamente singulares, e 0< ~<1.
- 50-
·Demonstração : Se jam A :f-invariante t . q . v(A) = 1 e v' (A) = O,
a = (A,Ac) e 11 = a.v+(l-a.)v '. Então , se ~ é uma partição de
K, temos
H (~ v a) = 11
v(R) log a.v( R) +
+ (1-o.) E v'(R) log (1-a.) v'(R) = Rf= RVa RCA
= a. log a.+ (1- a.) log(l-o.) + a. Hv (R. V a)+ (l-a) ~,(RV a) .
Portanto
--h"' (f) .= lim l ·H ((P V a) V . . . V f-n+l (P V O)) =
'I n -+oo n '!)
= lini l H ( P v .•. V f - n+l P V a) n -+oo n 11
= 1im 1 ra. log a. + (1-a. ) log(l-a.) + n -+oo n L
= a.hv ( f) + ( 1-a.) ~ , ( f) .
Do lema temos que
< a. log ~ + (1-a.) log À
= log À.
Isto demonstra o item 7 , e portanto todo o teorema IV . l .
•
- 51-
Teorema IV. 2 . Sejam w e . ~ Holder- contínuas . Então
se e somente se w - log ~~ - ~ - log À~.
Demonstração : Se então J f u~
= J f . ucp
, Isto e ,
Definimos Então
E portanto
(log h) o f - log h= ( v - l og À*) - (rp - log Àtp ) .
Reciprocamente , suponhamos que exista H E C0 (k)- t . q .
H o f - H = ( $ - log À W) - ( tp - log Àçp )
Para mostrarmos que \.Lw = uc.?, bas ta mostrarmos que
Ucp « uw, pois são probabilidades ergÓdicas . Para isto , basta
mostrarmos que v~ << v* . Seja h = exp H. Então , se U. E C0 (K)
- 1 1 ( w- log >-w) (y) (h- l À* ~*h u)(x) =h- (x ) ~ e h (y ) u(y) =
yEf- 1 (x)
(v-log À*+H)(y) = h-l (x) ( ) ~ e u y =
yEf- 1 (x)
($ - log Àw+H-Ho f)(y) e u(y) =
- 52-
Logo
h-1 >..-n w
.r,n w h = >..-n
cp .~:n
cp' li-n :<! o
Por outro lado
h cp f ud'Vcp 1im - n .r.n = ~cp u n-+oo cp
-1 1im -n .r.n u h = h ~w n-.oo w
= h- 1 hw r h Ud'V * .
Porta~to , se u f C0 (k) , u :<!O , temos
f 1 ~ udvm ~ , - inf h cp ·
Isto mostra que vcp << v~ .
.!
J
- 53-
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Oll/83 - FÓrmulas Integrais e Teoremas de Uni·cidade
M~nica Moulin Ribeiro Levcovitz
Ol2/84 - Perturbação do Oscilador Harm~nico QuruLtico por um Campo Elétrico Dependente do Tempo
Celius Antonio Hagalhães
Ol3/84 - Produtos de Somas de Quadrados
ErmÍnia de Lourdes Campello Fanti
OJ.4/8Jr. - Trabalhos de· Norse Sobre os ProlJlemas de Schoen:fl ies
Renato Dnartc Carneiro Nonteiro
015/84 - O M6todo de Dona- Boso - Dcnjamin para a Exist~ncia de Onda SoLitária na Eqnação de Nokrasov
Paulo Marcelo Dias de Hagalhães
016/85 - Variedades Con:formemente Euclidiru1.as
Marco Antonio Noguej.ra Fernandes
017/85 - Ri~ldez ue Superi'Ícies Convexas
Fibio Corr~a Dutra
018/85 - Teoria ErgÓU.ica das Traus:formaçÕes Expansoras
Harcos -Craizor
1
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