MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
5 Februari 2014
Bab SebelumnyaBab Sebelumnya
7 Teknik Pengintegralan7. Teknik Pengintegralan
7.1 Aturan Dasar Pengintegralan
2 i l i l7.2 Pengintegralan Parsial
7.3 Integral Trigonometrik
7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
7.5 Integral Fungsi Rasional7.5 Integral Fungsi Rasional
7.6 Strategi Pengintegralan
2/5/2014 2(c) Hendra Gunawan
BAB 8. BENTUK TAK TENTU DANMA1201 MATEMATIKA 2A
BAB 8. BENTUK TAK TENTU DANINTEGRAL TAK WAJAR
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 3
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
8 1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/08.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopitalmenggunakan Aturan l Hopital
8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya
Menghitung bentuk tak tentu tipe∞/∞, 0.∞, ∞ ‐ ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/5/2014 4(c) Hendra Gunawan
8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0MA1201 MATEMATIKA 2A
8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l’Hopital
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 5
dengan menggunakan Aturan l Hopital
Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0
Kita masih ingat bagaimana kita berhadapandengan limit‐limit berikut:
)()(1i 3 ff .)()(lim,11lim,sinlim
3
10 cxcfxf
xx
xx
cxxx
Ketiga limit ini mempunyai kemiripan, yaitubahwa pembilang dan penyebutnya sama‐samamenuju 0. Ketiga limit tsb merupakan limit
/bentuk tak tentu tipe 0/0.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 6
CatatanCatatan
• Ketika kita membahas sistem bilangan realKetika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan.
• Yang sedang kita bahas adalah limit “bentuk• Yang sedang kita bahas adalah limit bentuktak tentu 0/0”, bukan 0/0.
Li i b di b “b k k ” k• Limit tsb disebut “bentuk tak tentu”, karenanilainya memang tak tentu (bisa ada, bisaid k d k l d bi b b dtidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antarasatu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya).
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Aturan L’HôpitalAturan L Hôpital
Misalkan Jika0)(lim)(lim xgxfMisalkan . Jika
d ( hi k hi )
0)(lim)(lim
xgxfcxcx
)('li xfada (terhingga atau tak terhingga),
)(')( xfxf)(')(lim
xgf
cx
maka .)(')(lim
)()(lim
xgxf
xgxf
cxcx
Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c‐, ∞ atau ∞atau ‐∞.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Contoh/LatihanContoh/Latihan
1. Hitung .11lim
3 x
Jawab:
Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0
11 xx
Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0. Dengan Aturan L’Hopital:
.311.3
13lim
11lim
22
1
)(3
1
xxx
x
L
x
Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakanAt L’H it lAturan L’Hopital.2/5/2014 9(c) Hendra Gunawan
2. Hitung (a) , (b) 2
sinlim xx .sinlim 3
xx g ( ) , ( )
Jawab:20 xx
.lim 30 xx
2/5/2014 10(c) Hendra Gunawan
Bahan DiskusiBahan Diskusi
Perhatikan bentuk limit berikut:Perhatikan bentuk limit berikut:
.)sin(
lim12x x
• Apakah limit ini merupakan bentuk 0/0?
tan0 xx
• Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan?• Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengan caraHitunglah nilai limit tsb (terserah dengan caraapa).
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 14
8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A
8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYAMenghitung bentuk tak tentu tipe∞/∞, 0 ∞ ∞ ‐ ∞ 00 ∞0 dan 1∞
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 15
0.∞, ∞ ‐ ∞, 0 , ∞ , dan 1
Bentuk Tak Tentu Tipe∞/∞Bentuk Tak Tentu Tipe /
Selain bentuk tipe 0/0 limit berbentuk sepertiSelain bentuk tipe 0/0, limit berbentuk seperti
x2
lim
juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baik
xx elim
pembilang maupun penyebut sama‐samamenuju tak hingga. Bentuk seperti merupakanbentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagaibentuk tak tentu tipe∞/∞.
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Aturan L’Hôpital utk Bentuk∞/∞Aturan L Hôpital utk Bentuk /
Misalkan . Jika )(lim)(lim xgxfMisalkan . Jika
ada (terhingga atau tak terhingga)
)(lim)(lim xgxfcxcx
)('li xf ada (terhingga atau tak terhingga),
k )(')( xfxf)(')(lim
xgf
cx
maka .)(')(lim
)()(lim
xgxf
xgxf
cxcx
Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c‐, ∞ atau ‐∞.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Contoh/LatihanContoh/Latihan
1. Hitung .2
lim ex
Jawab:
Bentuk limit di atas merupakan bentuk∞/∞
2xx
Bentuk limit di atas merupakan bentuk∞/∞. Dengan Aturan L’Hopital:
.2
lim2
lim)(
x
x
Lx
x
ex
e
Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kitak At L’H it lmenggunakan Aturan L’Hopital.
2/5/2014 18(c) Hendra Gunawan
Bentuk 0.∞Bentuk 0.
3. Hitung .lnlim xx
Jawab: Di sini x 0+ dan ln x ‐∞ bila x 0+. Untuk menghitung limit ini kita tuliskan
0x
Untuk menghitung limit ini, kita tuliskan
.lnlimlnlim xxx
Perhatikan bahwa bentuk di ruas kanan
./1
limlnlim00 x
xxxx
merupakan bentuk∞/∞. Karena itu
0)(lim/1limlnlimlnlim)(
xxxxxL
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 20
.0)(lim/1
lim/1
limlnlim02000
xxx
xxxxxx
Bentuk∞ –∞Bentuk
5. Hitung .11lim
g
Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di atask b t k 0/0 t /
sin0
xxx
ke bentuk 0/0 atau∞/∞.
2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 22
7. Hitung [Eh, bentuk apa lagi ini?].)1(lim 1 xg [ , p g ]
Jawab:)( xx
2/5/2014 24(c) Hendra Gunawan
Bahan DiskusiBahan Diskusi
Perhatikan bentuk limit berikut:Perhatikan bentuk limit berikut:
(a) .)(sinlim cos
2
x
xx
(b)
2
.l
lim0
x
• Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu?
ln0 xx
Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu?
• Hitunglah nilai masing‐masing limit tersebut(terserah dengan cara apa)(terserah dengan cara apa).2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 26