M103 Linearna algebra 1
Tema: Linearni operatori
15. 5. 2018.
predavac: Darija Markovic asistent: Darija Markovic
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
1 Spektar
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 2/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
• za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V , ciljnam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matrica operatora A biticim jednostavnija
• najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica
[A]aa =
α1 0 · · · 0
0 α2. . .
......
. . .. . . 0
0 0 0 αn
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 3/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
• za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V , ciljnam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matrica operatora A biticim jednostavnija
• najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica
[A]aa =
α1 0 · · · 0
0 α2. . .
......
. . .. . . 0
0 0 0 αn
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 3/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
• za A ∈ L(V ) na nekom konacnodimenzionalnom prostoru V , ciljnam je naci takvu bazu prostora V u kojoj ce matrica operatora A biticim jednostavnija
• najjednostavnije bi bilo ako bismo postigli da u nekoj bazia = {a1, . . . , an} prostora V operatoru A pripada dijagonalnamatrica
[A]aa =
α1 0 · · · 0
0 α2. . .
......
. . .. . . 0
0 0 0 αn
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 3/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
• iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavu jednakosti:
Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan
Definicija 2.53.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se da jeskalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postoji vektorx ∈ V , x 6= 0, takav da je
Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar (operatoraA) i oznacava sa σ(A).
• koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastita vrijednost, au engleskom jeziku naziv eigenvalue
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 4/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
• iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavu jednakosti:
Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan
Definicija 2.53.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se da jeskalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postoji vektorx ∈ V , x 6= 0, takav da je
Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar (operatoraA) i oznacava sa σ(A).
• koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastita vrijednost, au engleskom jeziku naziv eigenvalue
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 4/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
• iz matricnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da jedijagonalan matricni zapis u bazi a ekvivalentan sustavu jednakosti:
Aa1 = α1a1, Aa2 = α2a2, . . . , Aan = αnan
Definicija 2.53.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se da jeskalar λ0 ∈ F svojstvena vrijednost operatora A ako postoji vektorx ∈ V , x 6= 0, takav da je
Ax = λ0x.Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar (operatoraA) i oznacava sa σ(A).
• koriste se jos termini karakteristicna vrijednost i vlastita vrijednost, au engleskom jeziku naziv eigenvalue
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 4/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Napomena 2.54.(a) vektor x iz navedene definicije naziva se svojstveni vektor pridruzen
svojstvenoj vrijednosti λ0. Treba primijetiti da svojstveni vektor nikakonije jedinstven: ako je x svojstveni vektor pridruzen λ0 onda je i αxsvojstveni vektor pridruzen istoj svojstvenoj vrijednosti, i to za svakiskalar α iz F, α 6= 0
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 5/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Napomena 2.54.(b) neka je
VA(λ0) = {x ∈ V : Ax = λ0x}.
Ovaj skup se naziva svojstveni potprostor pridruzen svojstvenojvrijednosti λ0. Uocimo da je VA(λ0) zaista potprostor jer evidentnovrijedi
VA(λ0) = Ker (A− λ0I).
Primijetimo da je skup VA(λ) = {x ∈ V : Ax = λx} uvijek, zasvaki skalar λ, potprostor od V . Svojstvene vrijednosti su oni skalariλ0 za koje je potprostor VA(λ0) netrivijalan. Zakljucujemo:svojstvena vrijednost operatora A je takav skalar λ0 za koji jeoperator A− λ0I singularan.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 6/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Napomena 2.54.
(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijski multiplicitet)svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0). Iz definicije je jasnoda je
d(λ0) ≥ 1.
Primjer 2.55.
Operator A ∈ L(X0(M)) simetrije ravnine M u odnosu na prvukoordinatnu os prostoru X0(M) ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 iλ2 = −1; naime A~i =~i i A~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo sekasnije uvjeriti i formalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 7/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Napomena 2.54.
(c) ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostoraVA(λ0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijski multiplicitet)svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se s d(λ0). Iz definicije je jasnoda je
d(λ0) ≥ 1.
Primjer 2.55.
Operator A ∈ L(X0(M)) simetrije ravnine M u odnosu na prvukoordinatnu os prostoru X0(M) ima svojstvene vrijednosti λ1 = 1 iλ2 = −1; naime A~i =~i i A~j = −~j. Geometrijski je ocito (u sto cemo sekasnije uvjeriti i formalno) da su to jedine dvije svojstvene vrijednosti ovogoperatora.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 7/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Primjer 2.56.
Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π, nemasvojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost
Rϕ~a = λ0~a
znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektora prirotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.
Definicija 2.57.
Neka je A ∈Mn(F). Polinom
kA(λ) = det(A− λI)
naziva se svojstveni polinom matrice A.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 8/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Primjer 2.56.
Operator Rϕ ∈ L(V 2(0)) rotacije za kut ϕ ∈ [0, 2π〉, ϕ 6= 0, π, nemasvojstvenih vrijednosti. Zaista, jednakost
Rϕ~a = λ0~a
znaci da su vektori Rϕ~a i ~a kolinearni, a takvih netrivijalnih vektora prirotaciji za kut ϕ 6= 0, π ocito nema.
Definicija 2.57.
Neka je A ∈Mn(F). Polinom
kA(λ) = det(A− λI)
naziva se svojstveni polinom matrice A.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 8/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Propozicija 2.58.Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.
Definicija 2.59.
Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) te neka je[A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V . Svojstvenipolinom operatora A, kA, definira se kao svojstveni polinom matrice [A]ee:
kA(λ) = k[A]ee(λ)
Primjer 2.60.Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije iz primjera 2.56.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 9/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Propozicija 2.58.Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.
Definicija 2.59.
Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) te neka je[A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V . Svojstvenipolinom operatora A, kA, definira se kao svojstveni polinom matrice [A]ee:
kA(λ) = k[A]ee(λ)
Primjer 2.60.Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije iz primjera 2.56.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 9/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Propozicija 2.58.Slicne matrice imaju jednake svojstvene polinome.
Definicija 2.59.
Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) te neka je[A]ee matricni zapis operatora A u nekoj bazi e prostora V . Svojstvenipolinom operatora A, kA, definira se kao svojstveni polinom matrice [A]ee:
kA(λ) = k[A]ee(λ)
Primjer 2.60.Odredimo svojstveni polinom operatora rotacije iz primjera 2.56.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 9/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Teorem 2.61.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te nekaje A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednost operatora A ako isamo ako vrijedi
kA(λ0) = 0.
Napomena 2.62.U osnovi, teorem 2.61. tvrdi da su svojstvene vrijednosti operatora upravonultocke njegovog svojstvenog polinoma. Primijetimo, medutim, da jejedna od pretpostavki teorema λ0 ∈ F. To konkretno znaci da su u realnimprostorima svojstvene vrijednosti samo realne nultocke svojstvenogpolinoma.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 10/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Teorem 2.61.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te nekaje A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ F je svojstvena vrijednost operatora A ako isamo ako vrijedi
kA(λ0) = 0.
Napomena 2.62.U osnovi, teorem 2.61. tvrdi da su svojstvene vrijednosti operatora upravonultocke njegovog svojstvenog polinoma. Primijetimo, medutim, da jejedna od pretpostavki teorema λ0 ∈ F. To konkretno znaci da su u realnimprostorima svojstvene vrijednosti samo realne nultocke svojstvenogpolinoma.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 10/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Napomena 2.63.
Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje teorema 2.61. jerpolinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.
Napomena 2.64.Sve do sada izbor polja u nasim razmatranjima nije igrao nikakvu ulogu.Teorem 2.61. ocito predstavlja mjesto na kojem se teorija pocinje dijeliti narealnu i kompleksnu. S jedne strane, polje kompleksnih brojeva jealgebarski zatvoreno, i zato svaki operator na konacnodimenzionalnomkompleksnom prostoru ima svojstvenu vrijednost. Nasuprot tomu, polje Rnije algebarski zatvoreno, tj. ima polinoma s realnim koeficijentima bezrealnih nultocaka.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 11/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Napomena 2.63.
Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenihvrijednosti. Ovo je neposredna posljedica tvrdnje teorema 2.61. jerpolinom n−tog stupnja ima najvise n nultocaka.
Napomena 2.64.Sve do sada izbor polja u nasim razmatranjima nije igrao nikakvu ulogu.Teorem 2.61. ocito predstavlja mjesto na kojem se teorija pocinje dijeliti narealnu i kompleksnu. S jedne strane, polje kompleksnih brojeva jealgebarski zatvoreno, i zato svaki operator na konacnodimenzionalnomkompleksnom prostoru ima svojstvenu vrijednost. Nasuprot tomu, polje Rnije algebarski zatvoreno, tj. ima polinoma s realnim koeficijentima bezrealnih nultocaka.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 11/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Primjer 2.65.
Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom u kanonskojbazi e prostora R3:
[A]ee =
2 −1 01 0 0−1 0 2
.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 12/12
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Spektar
Primjer 2.65.
Uzmimo operator A ∈ L(R3) dan svojim matricnim prikazom u kanonskojbazi e prostora R3:
[A]ee =
2 −1 01 0 0−1 0 2
.Odredimo spektar i svojstvene vektore operatora A.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 12/12