MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi
• tarkastellaan aikaväliä (0,t) joka jaetaan erillisiin t:n pituisiin osaväleihin
• hetkellä t = 0 otetaan käyttöön n identtistä laitetta
• olkoon i:nnellä osavälillä vikaantuneiden laitteiden lukumäärä n(i)
• olkoon Tji laitteen j toiminta-aika osavälillä i:
T
t
tji
, jos laite toimii välin i
jos laite vikaantuu välillä i
, jos laite on vikaantunut aiemmin
,
0
T jij
n
1
laiteiden kokonaistoiminta - aika välillä i
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tilastollinen tulkinta ja estimointi
z in i
T
n i
m i tz i t
n i
m iji
j
n( )( ) ( )
( )( )
( )
( ),
1
missä m(i) = välin i alussa toimivien laitteiden lukumäärä
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Empiirinen kylpyammekäyrä
i
z(i)
"Lastentautijakso"
Toimintajakso
Vanhenemisjakso
……
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Hazardi- l. vioittuvuusfunktion tulkinta vs. elinajantiheysfunktion tulkinta
z t dt P t t dt t
f t dt P t t dt
( ) ( , )"|
( ) ( , )
"vioittuu välillä " toimii hetkellä "
"vioittuu välillä "
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure)
• MTTF = vikaantumisajan odotusarvo
MTTF
E T tf t dt( ) ( )0
• koska f(t) = -R’(t)
MTTF
t R t dt tR t R t dt R t dtt t
( ( )) ( ) ( ) ( )0
0 0 0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Keskimääräinen vikaantumisaika, MTTF (mean time to failure)
• MTTF voidaan johtaa myös Laplace-muunnoksen avulla
• lähestymistapa hyödyllinen esim Markov-malleista johdettujen vikaantumisaikajakaumien tapauksessa
R s R t e dtst
( ) ( )0
R R t dt
( ) ( )00
MTTF
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Keskimääräinen vikojen välinen aika, MTBF (mean time between failures)
• laitteen toimintahostoria koostuu peräkkäisistä toiminta-ajoista (T) ja korjausajoista (Tr)
• MTBF = vikojen välisen ajan odotusarvo = vikaantumisajan odotusarvo + korjausajan odotusarvo, edellyttäen, että peräkkäiset vikaantumisajat (ja korjausajat) ovat riippumattomia, samalla tavatalla jakautuneita satunnaismuuttujia
MTBF MTTF MTTR E T E Tr( ) ( )
• MTTR = mean time to repair
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Laitteen keskimääräinen vikaantumiskäyttäytyminen
0
1
t
X(t)
MTTF MTTF MTTFMTTRMTTR
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
POISSON-prosessi
• Poisson-prosessilla on yhteys vikaantumismalleihin
• Poisson-prosessiin (tai minkä tahansa piste- tai laskuriprosessin) intensiteeteillä on tulkinta luotettavuusteoriassa ja -tekniikassa
• tietyin edellytyksin Poisson-prosessi on vikaantumisten lukumäärän malli
• nyt tarkastellaan homogeenista Poisson-prosessia
• monesti myös ns. epähomogeenisilla Poisson-prosesseilla on käyttöä luotettavuusmallina
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
OLETUKSET
• Vikaantumistapahtuma A voi esiintyä millä hetkellä tahansa, ja todennäköisyys, että A esiintyy aikavälillä (t, t+dt) ei riipu t:stä on
P t t dt dt o dt( ( , ) ( ),"A esiintyy aikavälillä
missä0 ja funktiolle o( ) pätee:
o dto dt
dtdt( ): lim( )
0 0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
OLETUKSET
• Todennäköisyys, että aikavälillä (t, t + dt] esiintyy enemmän kuin yksi tapahtuma on o(dt).
• jos mitkä tahansa aikavälit (t11, t12], (t21, t22], … ovat erillisiä, niin tapahtumat ”A esiintyy aikavälillä (tj1, tj2]”, j = 1, 2,…. ovat riippumattomia
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
• merkitään N(t):llä aikavälillä (0,t) esiintyneiden tapahtumien lukumäärää ja olkoon
P N t n p n t( ( ) ) ( , )
• nyt pätee:
eli
p t dt p t
dtp t
o dt p t
dtdt
( , ) ( , )( , )
( ) ( , ),
0 00
00
p t dt p t dt o dt
p t p t dt p t o dt
( , ) ( , )( ( ))
( , ) ( , ) ( , ) ( )
0 0 1
0 0 0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
p t dt p t
dtp t
o dt p t
dtdt
( , ) ( , )( , )
( ) ( , ),
0 00
00
d
dtp t p t p t Ce tt( , ) ( , ) ( , ) ,0 0 0 0
on luonnollista asettaa:
p C p t e t( , ) ( , )0 0 1 1 0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
• ensimmäisen tapahtuman esiintymishetken, T1, jakauma
P T t F t P T t p t e tTt( ) ( ) ( ) ( , ) ,1 11
1 1 0 1 0
f te t
T
t
1
0 0
0( )
, ,
,
muulloin
• T1 on siis eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja
E T tf t dt te dtTt( ) ( )1
0 01
1
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
• p(n,t)?
p n t dt p n t p n t p n t dt o dt
d
dtp n t p n t p n t
( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( )
( , ) ( ( , ) ( , ))
1
1
n p t e p t p
p t te
t
t
1 1 1 1 0 0
1
( , ) ( , ); ( , )
( , )
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
• rekursio
p n t
t
ne n
nt( , )
!, , , 1 2
Eli Poissonin jakauma
E N t nt
ne t
nt
n
( ( ))( )
!
0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
• k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, jakauma
• tiheysfunktio saadaan derivoimalla:
P T t F tt
je
F tt
je
k T
jt
j
k
T
jt
j
k
k
k
( ) ( )( )
!,
( )( )
!,
1
1
0
1
0
1
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Homogeeninen Poisson-prosessi
• k:nnen tapahtuman esiintymishetken, Tk, tiheysfunktio saadaan derivoimalla
f tj t
je
t
je
et
j
t
j
et
j
t
j
e
T
jt
j
k jt
j
k
tj j
j
k
j
k
tj j
j
k
j
k
k( )
( )
!
( )
!
( )
!
( )
( )!
( )
!
( )
( )!
1
1
1 1
0
1
1 1
1
1
0
1
1 1
0
2
0
1
1
1
t
kt
k
( )
( )!
1
1
• kysymys on gammajakaumasta
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
Eksponentiaalijakauma
f t e tt( ) , , 0 0
F t e R t e MTTFt t( ) , ( ) , 11
z t vakio( )
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
Eksponentiaalijakauma
Eksponentiaalijakauma on muistiton:
P T t x T tP T t x
P T t
e
ee P T x
t x
tx( | )
( )
( )( )
( )
Var( )T 1
2
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
Weibulljakauma
f t t e
F t t
R t t
z t t
E T
T
t( ) ( ) ,
( ) exp( ( ) )
( ) exp( ( )
( ) ( )
( ) ( )
Var( ) ( ( ) ( ))
( )
1
1
22
1
1 11
1 21
11
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
Gammajakauma
• malli: laitteeseen kohdistuu shokkeja joiden välinen aika on ekponentiaalisesti jakautunut parametrilla
• laite vikaantuu, kun siihen kohdistuu k:s shokki
f tk
t e
R t F tt
je z t
f t
R t
k t
jt
j
k
( )( )
( )
( ) ( )( )
!, ( )
( )
( ),
1
0
1
1
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
Gammajakauma
E Tk
Tk
( )
Var( )
2
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
Gammajakauma
• yleistys
f t t e Rt( )( )
( ) ,
1
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Joitakin vikaantumisajan jakaumia
• muita jakaumia
• lognormaalijakauma (ln(T) ~ N(2))
• Pareto-jakauma
• inverse-gaussian
• äärimmäisten arvojen jakaumat
• Gumbel-jakaumat
• erilaiset stokastisten prosessien perusteella johdetut jakaumat (rajajakaumana yleensä joku normaalijakauman versio)
• jne.
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Vikaantumisajan jakaumien luokittelu
• IFR (increasing failure rate) ja DFR (decreasing failure rate)
MÄÄRITELMÄ:
Jakauma on IFR (DFR) jos -ln(1-F(t)) on konveksi (konkaavi) välillä
0<t<F-1(t)
• Huom! jos jakauma on jatkuva niin IFR (DFR) vastaa hazardifunktion kasvavuutta (vähenevyyttä)
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Vikaantumisajan jakaumien luokittelu
• IFRA (increasing failure rate average) ja DFRA (decreasing failure rate average)
MÄÄRITELMÄ:
Jakauma F on IFRA (DFRA) jos
1
1t
F tln( ( ))
on kasvava (vähenevä) kun t
• IFRA (DFRA) on heikompi ominbaisuus kuin IFR (DFR)
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Vikaantumisajan jakaumien luokittelu
• NBU (new better that used) ja NWU (new worse that used)
• tarkastellaan jäljella olevan elinajan jakaumaa:
R t x P T t x T xP T t x
P T x
R t x
R x( | ) ( | )
( )
( )
( )
( )
MÄÄRITELMÄ
Jakauma F on NBU (NWU) jos
R t x R t t x
R t x R t t x
( | ) ( ), , ,
( | ) ( ) , ,
0 0
0 0
(NBU)
(NWU)
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Vikaantumisajan jakaumien luokittelu
• NBUE (new better that used in expectation) ja NWUE (new worse that used in expectation)
MÄÄRITELMÄ
Jakauma F on NBUE jos
1. F:llä on äärellinen odotusarvo
2. on voimassa, että:
MTTF = xx
R t x dt x( | ) ,
0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Vikaantumisajan jakaumien luokittelu
MÄÄRITELMÄ
Jakauma F on NWUE jos
1. F:llä on äärellinen odotusarvo
2. on voimassa, että:
MTTF = xx
R t x dt x( | ) ,
0
MAT-2118Luotettavuustekniikka
Urho Pulkkinen
Luotettavuus todennäköisyyskäsitteenä; vikaantumismallit
Vikaantumisajan jakaumien luokittelu
• IFR => IFRA => NBU => NBUE
• DFR => DFRA => NWU => NWUE
• tietynlaiset järjestelmärakenteet säilyttävät jotkut em. ominaisuuksista