Fundamentos de la Lógica borrosa
Fundamentos• Lógica borrosa: Basada en el concepto de
conjunto borroso• 1965: Lotfi A. Zadeh, profesor de Universidad
Berkeley, California• Conjuntos borrosos: Son aquellos en que la
transición entre la pertenencia y la no pertenencia es gradual y no abrupta. Cada elemento tiene un grado de pertenencia a un conjunto borroso definido a través de la función de pertenencia
Fundamentos
• Principio de incompatibilidad (Zadeh, 1973): “Informalmente, la esencia de este principio
está en que cuando la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para efectuar precisas y significativas sentencias sobre su comportamiento disminuye hasta que se alcanza un determinado umbral, a partir del cual precisión y significación (relevancia) se convierten en mutuamente excluyentes”.
Lógica borrosa vs. Lógica tradicional1
10 40 Temperatura
1
Temperatura
Alta20 30
MediaBaja
10 40Alta
20 30MediaBaja
¡Mi nieta tiene fiebre!
Función de pertenencia
Función de pertenencia
Soporte
2
exp)(b
axx
Funciones de pertenencia
caso otroen 0
si /)(1
si /)(1
)(
axaax
axaxa
xA
Triangular
Trapezoidal
caso otroen 0
si /)(1
si 1
si /)(1
)(
bxbbx
bxa
axaxa
xA
Funciones de pertenencia
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2trapmf gbellmf trimf gaussmf gauss2mf smf
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1zmf psigmf dsigmf pimf sigmf
Matlab: >> mfdemo
Función de pertenencia singleton
Singleton o punto borroso
Sea A una función de pertenencia, si sop(A)={x0} entonces A esun singleton y se usa la
notación
0
xA
.
Dos conjuntos en un universo.
Solape
Intersección
Unión
XxxBxA
xBxAxBA
,
,min
XxxBxA
xBxAxBA
,
,max
T(x, y)=T(y, x) Simetricidad
T(x, T(y ,z))=T(T(x, y), z) Asociatividad
Monotonicidad
Identidad unitaria
Lógica de conexión.
Lógica de conexión y o norma triangular T
Satisface las siguientes propiedades:
'')','(),( yytambiényxxsiyxTyxT
1,0,)1,( xxxT
Lógica de conexión y.
MIN
PANDA
LANDA
Lógica de conexión y.
Mínimo MIN(a, b) = min{a, b}
Lukasiewicz LANDA(a, b) = max{a+b-1, 0}
Probabilística PANDA(a, b) = ab
Weak
Hamacher
Dubois y Prade
Yager
formaotra de 0
1},{ si },{),(
bamaxbaminbaWEAK
0 ,)))(1((
),(
abba
abbaHANDA
1) (0, ,},,{
),( bamax
abbaDAND
0},)1()1(,1{1),(/1
pbaminbaYANDppp
p
Intervalos de la lógica de conexión y.
MIN
WEAK
Lógica de conexión o.
Máximo MAX(a, b) = max{a, b}
Lukasiewicz LOR(a, b) = min{a+b, 1}
Probabilística POR(a, b) = a+b - ab
Strong
Hamacher
Yager
formaotra de 1
0},{ si },{),(
baminbamaxbaSTRONG
0 ,))1(1(
)2(),(
ab
abbabaHOR
0},,1{),( pbaminbaYORp pp
p
Lógica de conexión o.
Lógica de conexión o o co-norma T
LOR
MAX
POR
Intervalos de la lógica de conexión o.
STRONG
MAX
Variable lingüística.
Variable lingüística: Variable cuyos valores son palabras o sentencias pertenecientes al lenguaje natural o artificial, la cual se caracteriza por el siguiente cuádruple:{ X, T(X), U, G }
Nombre de la variable
lingüística
Conjunto de términos (valores
lingüísticos) definidos en X
Dominio físico real sobre el que están definidos los
valores que se aplican a la variable lingüística
Función semántica que da un “significado”
(interpretación) a una variable lingüística en
función de los elementos a los que x representa
Ejemplo de variable lingüística.
•V= Velocidad•T(V)= {Baja, Moderada, Alta}•U=[0, 150] km/h•G:
{ X, T(X), U, G }
57 ; 0 para 0
57 0 para 150
02-1
vv
vv
Baja
501 ; 0 para 0
150 0 para 150
752-1
vv
vv
Moderada
150 ; 75 para 0
150 75 para 150
1502-1
vv
vv
Alta
Términos lingüísticos modificados.
Término lingüístico modificado: Concentración o dilatación de funciones de pertenencia como consecuencia de utilizar un modificador o adjetivo: muy, algo, etc.
X
kA
k xxA /)(
Aplicándose la dilatación cuando k < 1 y la
concentración cuando k > 1
Ejemplos de términos lingüísticos modificados
.
•T(V)= {Baja, Moderada, Alta}•T(V)= {Mas Baja, Menos Moderada, No Alta}
57 ; 0 para 0
57 0 para 150
02-1
0.5
vv
vv
BajaMas
501 ; 0 para 0
150 0 para 150
752-1
2
vv
vv
ModeradaMenos
150 ; 75 para 1
150 75 para 150
1502-1-1
vv
vv
AltaNo
Razonamiento basado en un conjunto de reglas
.
Sistema borroso: Sistema inteligente que, a partir de un conjunto de funciones de pertenencia definidas en determinado universo de discurso y determinadas reglas definidas por un experto realiza una inferencia a partir de valores de las variables de entrada
Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO
Partes de una regla.
Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO
Premisa ConclusiónVariables de entrada
Variable de salida
Términos lingüísticos
Operador lógico borroso
(Normas)
Generación del conocimiento.
Regla 1: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es medio entonces nivel en el punto 3 es medioRegla 2: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es alto entonces nivel en el punto 3 es alto
Bajo Medio Alto
C1 Caudal en el punto 1
Bajo Medio Alto
C2 Caudal en el punto 2
.49
.56
.2
Variables de entrada
Grados de pertenencia
Generación del conocimiento.
Regla 1: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es medio entonces nivel en el punto 3 es medioRegla 2: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es alto entonces nivel en el punto 3 es alto
Bajo Medio Alto
C1 Caudal en el punto 1
Bajo Medio Alto
C2 Caudal en el punto 2
.49
.56
.2
Regla
Antecedente 1
Antecedente 2
(A_1A_2)
Regla 1
0.49 0.2 0.2
Regla 2
0.49 0.56 0.49
Norma T: MIN
Grado de veracidad de la regla
Borrosificador
Generación del conocimiento.
Regla 1: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es medio entonces nivel en el punto 3 es medioRegla 2: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es alto entonces nivel en el punto 3 es alto
ReglaGrado de
veracidad de la regla
Regla 1
0.2
Regla 2
0.49
Bajo Medio Alto
Nivel en el punto 3
.49.2
Regla 1
Regla 2
Implicación o inferencia
Implicación o inferencia: Se aplica cuando existen reglas con el mismo consecuente
Generación del conocimiento.
Regla 1: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es medio entonces nivel en el punto 3 es medioRegla 2: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es alto entonces nivel en el punto 3 es alto
Bajo Medio Alto
Nivel en el punto 3
.49.2
Regla 1
Regla 2
l
iiU
l
iiUi
u
uu
uC
1
1*
)(
)(
3
C3 Caudal en el punto 3
.49.2
DesborrosificadorCentro de área o Centro promedio
Pasos para diseñar un conjunto de reglas
.
Definir las variables de entradas y salidas
Definir el universo de discurso
Determinar el número de funciones de
pertenencia
Distribuir las funciones de pertenencia
Definir el método de borrosificación
Definir el método de inferencia
Definir el método de desborrosificación
Examinar la conducta del modelo y la superficie de salida: Redefinir reglas Ejemplo